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重慶市忠縣三匯中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.2.已知a,b∈R,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知有相同兩焦點(diǎn)F1、F2的橢圓+y2=1和雙曲線-y2=1,P是它們的一個(gè)交點(diǎn),則ΔF1PF2的形狀是()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍有三角形 D.等腰三角形4.甲射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率為,乙射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率為,則甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次,則該目標(biāo)被擊中的概率為()A. B. C. D.5.設(shè),則的值為()A. B.1 C.0 D.-16.已知復(fù)z=-1-2i(1+i)2,則復(fù)數(shù)zA.-34+14i7.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是()A. B. C. D.8.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如右圖,則的充要條件是()123A.B.C.D.9.在區(qū)間[-1,4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則≥的概率是()A. B. C. D.10.球的體積是,則此球的表面積是()A. B. C. D.11.對(duì)于一個(gè)數(shù)的三次方,我們可以分解為若干個(gè)數(shù)字的和如下所示:…,根據(jù)上述規(guī)律,的分解式中,等號(hào)右邊的所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為()A.71 B.75 C.83 D.8812.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,質(zhì)點(diǎn)間隔3分鐘先后從點(diǎn),繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜃鹘撬俣葹榛《?分鐘的勻速圓周運(yùn)動(dòng),則與的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A.37.5分鐘 B.40.5分鐘 C.49.5分鐘 D.52.5分鐘二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.觀察下列算式:,,,,…,,則____.14.已知點(diǎn)在橢圓上,垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線,垂足為,并且為線段的中點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程是_____.15.有一棱長(zhǎng)為的正方體框架,其內(nèi)放置氣球,使其充氣且盡可能地膨脹(仍保持為球的形狀),則氣球表面積的最大值為_(kāi)___________.16.已知全集,集合,,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)近年來(lái),網(wǎng)絡(luò)電商已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活,并慢慢改變了人們的消費(fèi)方式為了更好地服務(wù)民眾,某電商在其官方APP中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng),以了解用戶對(duì)商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià)現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中隨機(jī)抽出200條較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表如下:對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿意合計(jì)對(duì)商品狀況好評(píng)10020120對(duì)商品狀況不滿意503080合計(jì)15050200(I)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與商品狀況好評(píng)之間有關(guān)系?(Ⅱ)為了回饋用戶,公司通過(guò)APP向用戶隨機(jī)派送每張面額為0元,1元,2元的三種優(yōu)惠券用戶每次使用APP購(gòu)物后,都可獲得一張優(yōu)惠券,且購(gòu)物一次獲得1元優(yōu)惠券,2元優(yōu)惠券的概率分別是,,各次獲取優(yōu)惠券的結(jié)果相互獨(dú)立若某用戶一天使用了APP購(gòu)物兩次,記該用戶當(dāng)天獲得的優(yōu)惠券面額之和為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)P(K2≥k)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式:K2,其中n=a+b+c+d18.(12分)為了了解創(chuàng)建文明城市過(guò)程中學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況,相關(guān)部門對(duì)某中學(xué)的100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.得到如下的統(tǒng)計(jì)表:滿意不滿意合計(jì)男生50女生15合計(jì)100已知在全部100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人對(duì)創(chuàng)建工作滿意的概率為.(1)在上表中相應(yīng)的數(shù)據(jù)依次為;(2)是否有充足的證據(jù)說(shuō)明學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)?19.(12分)本小題滿分13分)工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù),每次只派一個(gè)人進(jìn)去,且每個(gè)人只派一次,工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘,如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出,再派下一個(gè)人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派,他們各自能完成任務(wù)的概率分別,假設(shè)互不相等,且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.(1)如果按甲在先,乙次之,丙最后的順序派人,求任務(wù)能被完成的概率.若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序,任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化?(2)若按某指定順序派人,這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為,其中是的一個(gè)排列,求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值(數(shù)字期望);(3)假定,試分析以怎樣的先后順序派出人員,可使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)字期望)達(dá)到最小.20.(12分)已知常數(shù),函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍.21.(12分)如圖①,有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的敞口玻璃容器,底面是邊長(zhǎng)為20cm的正方形,高為30cm,內(nèi)有20cm深的溶液.現(xiàn)將此容器傾斜一定角度(圖②),且傾斜時(shí)底面的一條棱始終在桌面上(圖①、②均為容器的縱截面).(1)要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出,角的最大值是多少?(2)現(xiàn)需要倒出不少于的溶液,當(dāng)時(shí),能實(shí)現(xiàn)要求嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)設(shè)函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若,,求a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】
由,得,則,故選A.2、A【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】解:因?yàn)椋?,則等式成立,即充分性成立,若成立,即,所以解得或即必要性不成立,則“”是“”的充分不必要條件,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義:又;故選B4、D【解題分析】
記事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次,該目標(biāo)被擊中,利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出事件的對(duì)立事件的概率,再利用對(duì)立事件的概率公式可得出事件的概率.【題目詳解】記事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次,該目標(biāo)被擊中,則事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次,兩人都未擊中目標(biāo),由獨(dú)立事件的概率乘法公式得,,故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式,解題時(shí)要弄清楚各事件之間的關(guān)系,可以采用分類討論,本題采用對(duì)立事件求解,可簡(jiǎn)化分類討論,屬于中等題.5、C【解題分析】
首先采用賦值法,令,代入求值,通分后即得結(jié)果.【題目詳解】令,,,.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),涉及系數(shù)和的時(shí)候可以采用賦值法求和,本題意在考查化歸轉(zhuǎn)化和計(jì)算求解能力,屬于中檔題型.6、C【解題分析】∵z=-1-2i7、B【解題分析】
函數(shù),,令,解得x.利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性.【題目詳解】函數(shù),,令,解得.∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.∴時(shí)函數(shù)取得極大值即最大值..故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.求三角函數(shù)的最值問(wèn)題,一般是通過(guò)兩角和差的正余弦公式將函數(shù)表達(dá)式化為一次一角一函數(shù),或者化為熟悉的二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)來(lái)解決.8、B【解題分析】
由題設(shè)及數(shù)學(xué)期望的公式可得,則的充要條件是.應(yīng)選答案B.9、D【解題分析】
先解不等式,確定解集的范圍,然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型計(jì)算概率.【題目詳解】因?yàn)椋?,解得,所?【題目點(diǎn)撥】幾何概型中長(zhǎng)度模型(區(qū)間長(zhǎng)度)的概率計(jì)算:.10、B【解題分析】
先計(jì)算出球的半徑,再計(jì)算表面積得到答案.【題目詳解】設(shè)球的半徑為R,則由已知得,解得,故球的表面積.故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的體積和表面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、C【解題分析】
觀察可知,等式右邊的數(shù)為正奇數(shù),故在之前,總共使用了個(gè)正奇數(shù),因此,,故所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為83.【題目詳解】觀察可知,等式右邊的數(shù)為正奇數(shù),故在之前,總共使用了個(gè)正奇數(shù),所以的分解式中第一個(gè)數(shù)為,最后一個(gè)是,因此,所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為83,故選C。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的歸納推理能力。12、A【解題分析】
分析:由題意可得:yN=,yM=,計(jì)算yM﹣yN=sin,即可得出.詳解:由題意可得:yN=,yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin,令sin=1,解得:=2kπ+,x=12k+,k=0,1,2,1.∴M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí),N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=1×12+=17.5(分鐘).故選A.點(diǎn)睛:本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用,三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點(diǎn)坐標(biāo)和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、142;【解題分析】
觀察已知等式的規(guī)律,可猜想第行左邊第一個(gè)奇數(shù)為后續(xù)奇數(shù)依次為:由第行第一個(gè)數(shù)為,即:,解得:,可得:,即可得解.【題目詳解】第行等號(hào)左邊第一個(gè)加數(shù)為第個(gè)奇數(shù),即,于是第一個(gè)加數(shù)為,所以第個(gè)等式為,,【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納與推理,猜想第行左邊第一個(gè)奇數(shù)為進(jìn)而后續(xù)奇數(shù)依次為:是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】設(shè)P(x,y),則M(x,).∵點(diǎn)M在橢圓上,∴,即P點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=1.故填.15、【解題分析】
氣球表面積最大時(shí),球與正方體的各棱相切.【題目詳解】由題意要使氣球的表面積最大,則球與正方體的各棱相切,∴球的直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),即為,半徑為,球的表面積為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查球與正方體的切接問(wèn)題,解題時(shí)要注意分辯:球是正方體的內(nèi)切球(球與正方體各面相切),球是正方體的棱切球(球與正方體的所有棱相切),球是正方體的外接球(正方體的各頂點(diǎn)在球面上).16、【解題分析】
利用集合補(bǔ)集和交集的定義直接求解即可.【題目詳解】因?yàn)槿?集合,,所以.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的補(bǔ)集、交集的定義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與商品狀況好評(píng)之間有關(guān)系.(Ⅱ)見(jiàn)解析【解題分析】
(Ⅰ)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式,求得K3的值,利用附表即可得到結(jié)論;(Ⅱ)求得X的取值分別為,利用相互對(duì)立事件的計(jì)算公式,求得相應(yīng)的概率,得出隨機(jī)變量的分布列,利用期望的公式,即可求解.【題目詳解】(Ⅰ)由題意,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式,可得K311.1>10.1.∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與商品狀況好評(píng)之間有關(guān)系.(Ⅱ)由題意可得:X的取值分別為0,1,3,3,3.則P(X=0),P(X=1)3,P(X=3)3,P(X=3)3,P(X=3).可得X的分布列為:X01333P(X)可得數(shù)學(xué)期望E(X)0+13333.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,以及離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求解,對(duì)于求離散型隨機(jī)變量概率分布列問(wèn)題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可能取值,計(jì)算得出概率,列出離散型隨機(jī)變量概率分布列,最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望,其中列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問(wèn)題.18、(1)5,30,80,20,55,45;(2)有.【解題分析】分析:(1)根據(jù)列聯(lián)表得關(guān)系確定數(shù)值,(2)根據(jù)公式求K2,再與參考數(shù)據(jù)比較得可靠性.詳解:(1)填表如下:滿意不滿意合計(jì)男生50555女生301545合計(jì)80201005,30,80,20,55,45(2)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得K2的觀測(cè)值k=≈9.091>7.879,所以有在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān).點(diǎn)睛:本題考查卡方公式,考查基本求解能力.19、(1)不變化;(2);(3)先派甲,再派乙,最后派丙時(shí),均值(數(shù)字期望)達(dá)到最小【解題分析】
(1)按甲在先,乙次之,丙最后的順序派人,任務(wù)能被完成的概率為.若甲在先,丙次之,乙最后的順序派人,任務(wù)能被完成的概率為,發(fā)現(xiàn)任務(wù)能完成的概率是一樣.同理可以驗(yàn)證,不論如何改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序,任務(wù)能被完成的概率不發(fā)生變化.(2)由題意得可能取值為∴,∴其分布列為:
.(3),∴要使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)字期望)達(dá)到最小,則只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,則;若先派乙,再派甲,最后派丙,則,,∴先派甲,再派乙,最后派丙時(shí),均值(數(shù)字期望)達(dá)到最小.20、(1)詳見(jiàn)解析(2)【解題分析】試題分析:(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得到導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)的分母恒大于0,分子為含參的二次函數(shù),故討論分子的符號(hào),確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性,即分和得到導(dǎo)函數(shù)分子大于0和小于0的解集進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用第(1)可得到當(dāng)時(shí),導(dǎo)數(shù)等于0有兩個(gè)根,根據(jù)題意即為兩個(gè)極值點(diǎn),首先導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根必須在原函數(shù)的可行域內(nèi),把關(guān)于的表達(dá)式帶入,得到關(guān)于的不等式,然后利用導(dǎo)函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問(wèn)題.(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),即時(shí),恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的.(2)解:(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),即時(shí),恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?由(1)可得當(dāng)時(shí),,則,即,則為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),代入可得=令,令,由知:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,對(duì)求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即不符合題意.當(dāng)時(shí),,對(duì)求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上
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