北京西城44中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

北京西城44中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，函數(shù)的定義域為集合B，則A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）2．在中，，，則（）A．1 B． C． D．23．某單位為了了解用電量(度)與氣溫()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫()101318－1用電量(度)38342464由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中的，預(yù)測當(dāng)氣溫為時，用電量度數(shù)約為（）A．64 B．65 C．68 D．704．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，1AC＝AA1＝BC＝1．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為（）A．2B．3C．1D．25．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式的解集為，且的極小值等于，則的值是()。A． B． C．5 D．46．若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A．0 B．4 C．5 D．67．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．8．在二項式的展開式中，的系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．809．在中，，，，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若，則A．1 B． C． D．10．已知函數(shù)，若集合中含有4個元素，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．11．袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機(jī)變量，則所有可能取值的個數(shù)是（）A．5 B．9 C．10 D．2512．若一圓柱的側(cè)面積等于其表面積的，則該圓柱的母線長與底面半徑之比為（）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．向量，，在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中的位置如圖所示，若向量與共線，則________．14．設(shè)函數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)，則________.15．如果，且為第四象限角，那么的值是____.16．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用(萬元)與銷售額(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)上表可得回歸方程中的為7。據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為10萬元時銷售額為__________萬元。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，且對任意,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，求證：．18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式對于任意恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.19．（12分）某市為迎接“國家義務(wù)教育均衡發(fā)展”綜合評估，市教育行政部門在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了所學(xué)校，并組織專家對兩個必檢指標(biāo)進(jìn)行考核評分.其中分別表示“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”兩項指標(biāo)，根據(jù)評分將每項指標(biāo)劃分為(優(yōu)秀)、(良好)、(及格）三個等級，調(diào)查結(jié)果如表所示.例如：表中“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”指標(biāo)為等級的共有所學(xué)校.已知兩項指標(biāo)均為等級的概率為0.21.（1）在該樣本中，若“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”優(yōu)秀率是0.4，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”有關(guān)；師資力量（優(yōu)秀）師資力量（非優(yōu)秀）合計基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（優(yōu)秀）基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（非優(yōu)秀）合計（2）在該樣本的“學(xué)校的師資力量”為等級的學(xué)校中，若，記隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且對任意的，都有，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)的最小值為M.（1）求M；（2）若正實數(shù)，，滿足，求：的最小值.22．（10分）在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足.，當(dāng)點在圓上運(yùn)動時，（1）求點的軌跡的方程；（2）若，直線交曲線于、兩點（點、與點不重合），且滿足.為坐標(biāo)原點，點滿足，證明直線過定點，并求直線的斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：，，所以?？键c：1.函數(shù)的定義域；2.集合的運(yùn)算。2、B【解題分析】

由向量的數(shù)量積公式直接求解即可【題目詳解】因為，所以為直角三角形，所以，所以.故選B【題目點撥】本題考查平面向量的夾角與模，以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.3、C【解題分析】

先求解出氣溫和用電量的平均數(shù)，然后將樣本點中心代入回歸直線方程，求解出的值，即可預(yù)測氣溫為時的用電量.【題目詳解】因為，所以樣本點中心，所以，所以，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時，.故選：C.【題目點撥】本題考查回歸直線方程的求解以及利用回歸直線方程估計數(shù)值，難度較易.注意回歸直線方程過樣本點的中心.4、A【解題分析】如圖，以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，設(shè)AD＝a，則D點坐標(biāo)為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB設(shè)平面B1CD的一個法向量為m＝(x，y，z)．則CB1?m=0得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)，則由cos60°＝m?n|m|?|n|，得1a2+2＝125、D【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的極小值等于，即可求出的值，得到答案．【題目詳解】依題意，函數(shù)，得的解集是，于是有，解得，∵函數(shù)在處取得極小值，∴，即，解得，故選：D．【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，著重考查了學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ).6、B【解題分析】

確定不等式組表示的平面區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求得z＝2x+y的最大值．【題目詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖：z＝2x+y表示直線y＝﹣2x+z的縱截距，由圖象可知，在A（1，2）處z取得最大值為4故選：B．【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是確定不等式組表示的平面區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

由題意，求得，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，，則，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得.故選A.【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

根據(jù)二項展開式的通項，可得，令，即可求得的系數(shù)，得到答案.【題目詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，可得，即展開式中的系數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

通過解直角三角形得到，利用向量的三角形法則及向量共線的充要條件表示出利用向量共線的充要條件表示出，根據(jù)平面向量就不定理求出，值．【題目詳解】在中，又所以為AD的中點故選D．【題目點撥】本題考查解三角形、向量的三角形法則、向量共線的充要條件、平面向量的基本定理．10、D【解題分析】

先求出，解方程得直線與曲線在上從左到右的五個交點的橫坐標(biāo)分別為，再解不等式得解.【題目詳解】.由題意，在上有四個不同的實根.令，得或，即或.直線與曲線在上從左到右的五個交點的橫坐標(biāo)分別為.據(jù)題意是，解得.故選D.【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.11、B【解題分析】號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種.考點：離散型隨機(jī)變量．12、B【解題分析】

設(shè)這個圓柱的母線長為，底面半徑為，根據(jù)已知條件列等式，化簡可得答案.【題目詳解】設(shè)這個圓柱的母線長為，底面半徑為，則，化簡得，即，故選：B【題目點撥】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式，考查了圓柱的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到的坐標(biāo)，這樣即可得出的坐標(biāo)，根據(jù)與共線，可求出，從而求出的坐標(biāo)，即得解.【題目詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：；與共線故答案為：【題目點撥】本題考查了平面向量線性運(yùn)算和共線的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)求值.【題目詳解】因為為奇函數(shù)令，故.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)奇偶性求值，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

利用先求得,再利用求解即可,注意利用角的范圍確定三角函數(shù)值的符號.【題目詳解】由題,因為,且,則或,因為為第四象限角,所以,則,所以,故答案為:【題目點撥】本題考查利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.16、73.5【解題分析】

求出，根據(jù)回歸直線過樣本點的中心，結(jié)合已知為7，可以求出，把，代入回歸方程中，可預(yù)測出銷售額.【題目詳解】由題表可知，，代入回歸方程，得，所以回歸方程為，所以當(dāng)時，(萬元)．【題目點撥】本題考查了回歸直線過樣本點的中心這一結(jié)論.考查了學(xué)生的運(yùn)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解題分析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點，當(dāng)時，函數(shù)有一個極值點．（2）由題意可得，原問題等價于恒成立，討論函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)的取值范圍是；（3）原問題等價于，繼而證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增即可.試題解析：（1），當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點；當(dāng)時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當(dāng)時在上沒有極值點，當(dāng)時，在上有一個極值點．（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又∵，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴，即，∴在上單調(diào)遞增，即，∴當(dāng)時，有．點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18、(1)當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.(2)【解題分析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)得到，討論a和0和1的大小關(guān)系，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）原題等價于對任意，有成立，設(shè)，所以，對g(x)求導(dǎo)研究單調(diào)性，從而得到最值，進(jìn)而求得結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為．．①若，則當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；②若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．（Ⅱ）原題等價于對任意，有成立，設(shè)，所以．．令，得；令，得．∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為與中的較大者．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，故，所以，從而．∴，即．設(shè)，則．所以在上單調(diào)遞增．又，所以的解為．∵，∴的取值范圍為．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的增減性以及求函數(shù)的極值和最值，應(yīng)用分類討論法，構(gòu)造函數(shù)等方法來解答問題．對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù).19、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）依題意求得n、a和b的值，填寫列聯(lián)表，計算K2，對照臨界值得出結(jié)論；（2）由題意得到滿足條件的（a，b），再計算ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望值．【題目詳解】（Ⅰ）依題意得，得由，得由得師資力量(優(yōu)秀)師資力量（非優(yōu)秀）基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（優(yōu)秀）2021基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（非優(yōu)秀）2039.因為，所以沒有90﹪的把握認(rèn)為“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”有關(guān).（Ⅱ）,,得到滿足條件的有：，，，，故的分布列為1357故【題目點撥】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗和離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，屬于中檔題．20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）對a分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.再對a分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題得解.【題目詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，.（i）當(dāng)時，恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（ii）當(dāng)時，在上，在上，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，，，解得.∴.②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，，，解得.∴.③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減..則，即.令，，易得，所以在上單調(diào)遞增.又∵，∴對任意的，都有.∴.綜上所述，的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的