2024屆黑龍江省大慶四中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆黑龍江省大慶四中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在四棱錐中，底面是正方形，頂點在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側(cè)棱長為，體積為4，且四棱錐的高為整數(shù)，則此球的半徑等于（）（參考公式：）A．2 B． C．4 D．2．已知，是的導(dǎo)數(shù)，若的展開式中的系數(shù)小于的展開式中的系數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．如表是某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：34562.53m4.5若根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法可求得對的回歸直線方程是，則表中的值為（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.54．某高中舉辦了一場中學(xué)生作文競賽活動，現(xiàn)決定從參賽選手中選出一等獎一名、二等獎二名、三等獎二名，通過評委會獲悉在此次比賽中獲獎的學(xué)生為3男2女，其中一等獎、二等獎的獎項中都有男生，請計算一下這5名學(xué)生不同的獲獎可能種數(shù)為（）A．12 B．15 C．18 D．215．設(shè)，則二項式展開式的常數(shù)項是（）A．1120 B．140 C．-140 D．-11206．（）A．0 B． C．1 D．27．若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．8．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為（）A． B．C． D．9．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是A．2015 B．2016 C．2017 D．201810．對于實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，則11．在三棱錐中，，，面，，，分別為，，的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．12．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)_________.14．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有100個個體的總體中依次抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率為_____．15．已知點在直線（為參數(shù)）上，點為曲線（為參數(shù)）上的動點，則的最小值為________________.16．二項式的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓上.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點.若直線與直線的斜率的和為，證明：必過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．18．（12分）如圖，四棱錐中，，，，，，.（1）求證：；（2）求鈍二面角的余弦值.19．（12分）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP是由中宣部主管，以新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端+手機(jī)客戶端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺，2019年1月1日上線后便成為了黨員干部群眾學(xué)習(xí)的“新助手”.為了調(diào)研某地黨員在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP的學(xué)習(xí)情況，研究人員隨機(jī)抽取了名該地黨員進(jìn)行調(diào)查，將他們某兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP上所得的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計如表所示：分?jǐn)?shù)頻數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1（1）由頻率分布表可以認(rèn)為，這名黨員這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”上的得分近似服從正態(tài)分布，其中近似為這名黨員得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），近似這名黨員得分的方差，求；（2）以頻率估計概率，若從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，記抽得這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”上的得分不低于分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，20．（12分）知函數(shù)，，與在交點處的切線相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍.21．（12分）如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）當(dāng)時,證明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.22．（10分）在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點,（１）求證:MN//平面PAD（２）求點B到平面AMN的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.則在中，有，再根據(jù)體積為可求及，在中，有，解出后可得正確的選項.【題目詳解】如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.設(shè)底面正方形的邊長為，正四棱錐的高為，則.因為該正四棱錐的側(cè)棱長為，所以，即……①又因為正四棱錐的體積為4，所以……②由①得，代入②得，配湊得，，即，得或.因為，所以，再將代入①中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半徑等于.故選B.【題目點撥】正棱錐中，棱錐的高、斜高、側(cè)棱和底面外接圓的半徑可構(gòu)成四個直角三角形，它們溝通了棱錐各個幾何量之間的關(guān)系，解題中注意利用它們實現(xiàn)不同幾何量之間的聯(lián)系.2、B【解題分析】

由展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中的系數(shù)是，得到，繼而解得結(jié)果．【題目詳解】由題意，函數(shù)展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中x的系數(shù)是，依題意得，解得．故選：B．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的計算，其中解答熟記導(dǎo)數(shù)的運算公式和二項展開式的通項是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．3、A【解題分析】由題意可得，故樣本中心為。因為回歸直線過樣本中心，所以，解得。選A。4、B【解題分析】

一等獎為男生，則從3個男生里選一個；二等獎有男生，可能是一男一女，可能是兩男；剩下的即為三等獎的學(xué)生，依照分析求組合數(shù)即可【題目詳解】由題可知，一等獎為男生，故；二等獎可能為2個男生或1個男生，1個女生，故故獲獎可能種數(shù)為，即選B【題目點撥】本題考查利用排列組合解決實際問題，考查分類求滿足條件的組合數(shù)5、A【解題分析】

分析：利用微積分基本定理求得，先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式的常數(shù)項.詳解：由題意，二項式為，設(shè)展開式中第項為，，令，解得，代入得展開式中可得常數(shù)項為，故選A.點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.6、C【解題分析】

根據(jù)定積分的意義和性質(zhì)，，計算即可得出.【題目詳解】因為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了含絕對值的被積函數(shù)的定積分求值，定積分的性質(zhì)，屬于中檔題.7、B【解題分析】

分析函數(shù)每段的單調(diào)性確定其最值，列a的不等式即可求解.【題目詳解】由題,單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故,因為函數(shù)存在最大值，所以解.故選B.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性，確定每段函數(shù)單調(diào)性及最值是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號為正，負(fù)，正.,選項D的圖象正確.故選D.點睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.9、C【解題分析】分析：首先求得a的表達(dá)式，然后列表猜想的后三位數(shù)字，最后結(jié)合除法的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合二項式定理可得：，計算的數(shù)值如下表所示：底數(shù)指數(shù)冪值5155225531255462555312556156255778125583906255919531255109765625據(jù)此可猜想最后三位數(shù)字為，則：除以8的余數(shù)為1，所給選項中，只有2017除以8的余數(shù)為1，則的值可以是2017.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查二項式定理的逆用，學(xué)生歸納推理的能力等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10、D【解題分析】試題分析：對于A．若，若則故A錯；對于B．若，取則是假命題；C．若，取，則是錯誤的，D．若，則取，又，所以，又因為同號，則考點：不等式的性質(zhì)的應(yīng)用11、B【解題分析】

由題意可知，以B為原點，BC，BA，BP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)法求角即可.【題目詳解】∵∴，以B為原點，BC，BA，BP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得∴∴，∴異面直線與所成角的余弦值為故選B【題目點撥】本題考查了異面直線所成角的余弦值求法問題，也考查了推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．12、D【解題分析】

由復(fù)數(shù)的乘除運算即可求得結(jié)果【題目詳解】故選【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，解題的關(guān)鍵是要掌握復(fù)數(shù)四則運算法則，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將化簡為的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求得的值.【題目詳解】因為為純虛數(shù)，所以.【題目點撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法運算，考查純虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

總體含100個個體，從中抽取容量為5的樣本，則每個個體被抽到的概率為.【題目詳解】因為總體含100個個體，所以從中抽取容量為5的樣本，則每個個體被抽到的概率為.【題目點撥】本題考查簡單隨機(jī)抽樣的概念，即若總體有個個體，從中抽取個個體做為樣本，則每個個體被抽到的概率均為.15、【解題分析】

先求出直線的普通方程，再求出點到直線的距離，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出|MN|的最小值.【題目詳解】由題得直線方程為，由題意，點到直線的距離，∴.故答案為：【題目點撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查點到直線的距離的最值的求法和三角函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

利用二項式展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)求解.【題目詳解】由于的展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，所以的展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查二項式展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，.【解題分析】

（I）由于兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過兩點.又由知，不經(jīng)過點，所以點在上.將兩點的坐標(biāo)代入方程，聯(lián)立即可解得，從而得出的方程；（II）設(shè)直線與直線的斜率分別為，，利用設(shè)而不求方法證明．【題目詳解】（I）由于兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過兩點.又由知，不經(jīng)過點，所以點在上.因此，解得.故的方程為.（II）設(shè)直線與直線的斜率分別為，將代入得由題設(shè)可知.設(shè)，則.而由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，，則由，得，所以過定點.【題目點撥】設(shè)而不求方法的一般思路，設(shè)出直線與圓錐曲線的的交點坐標(biāo)，將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，通過韋達(dá)定理，弦長公式或斜率關(guān)系結(jié)合題意解答．18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明.（2）過點在平面內(nèi)作直線，由（1）以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出鈍二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：在中，，且，由余弦定理，得.過點作，可知四邊形是矩形，，且.又，故，于是有，即.又，且，平面，.（2）過點在平面內(nèi)作直線，由（1）可知，和直線兩兩垂直，如圖，以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，可得，，，，.設(shè)平面的法向量為，由得令，得，，即.再取平面的一個法向量.設(shè)二面角的大小為，則，即二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查了線面垂直的判定定理、定義，空間向量法求面面角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）利用分?jǐn)?shù)統(tǒng)計表求得和；又，根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得結(jié)果；（2）計算出從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服從于二項分布，利用二項分布概率公式求解出每個可能的取值對應(yīng)的概率，從而得到分布列；再利用二項分布數(shù)學(xué)期望計算公式求得期望.【題目詳解】（1）由題意得：（2）從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，抽得的人得分不低于分的概率為：由題意得，的可能取值為，且；；；；的分布列為：【題目點撥】本題考查正態(tài)分布中的概率求解問題、二項分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠確定服從于二項分布，屬于常規(guī)題型.20、(1)．(2)或．【解題分析】分析：（1）分別求出與在交點處切線的斜率，從而得到答案；（2）對求導(dǎo)，分類討論即可.詳解：(1)，，又，，與在交點處的切線相互垂直，,.又在上,，故.(2)由題知.①,即時,令,得;令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故存在使.又，，，在區(qū)間上有一個零點,在區(qū)間上有一個零點,在區(qū)間上有一個零點,共個零點,不符合題意,舍去.②時,令,得，令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，又,,有兩個零點,符合題意.③,即時,令,得,令,