2024屆江蘇省五校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆江蘇省五校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)數(shù)據(jù)中去掉（3，10）后，下列說法正確的是（）A．殘差平方和變小 B．方差變大C．相關(guān)指數(shù)變小 D．解釋變量與預(yù)報(bào)變量的相關(guān)性變?nèi)?．將曲線y=sin2x按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B． C． D．3．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（）A． B．C． D．4．在我國南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)家祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢既同，則積不容異”．其意思是，用一組平行平面截兩個(gè)幾何體，若在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)幾何體的體積必然相等．根據(jù)祖暅原理，“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知函數(shù)的拐點(diǎn)是，則（）A． B． C． D．16．函數(shù)(,則()A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定7．的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．148．在等差數(shù)列中，且，則的最大值等于(）A．3 B．4 C．6 D．99．在0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．216 B．288 C．312 D．36010．若，則（）A． B． C． D．11．設(shè)a=log20.3，b=10lg0.3，c=100.3，則A．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a12．在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量和，下圖是由這兩個(gè)變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類型是()A． B．C． D．（）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知中，角．．的對(duì)邊分別為．．，且，，，則____14．在未來3天中，某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣的準(zhǔn)確率為0.8，則在未來3天中，至少連續(xù)2天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是______．15．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上的一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為________.16．5名學(xué)生站成一排拍照片，其中甲乙兩名學(xué)生不相鄰的站法有_______種．（結(jié)果用數(shù)值表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求的值及展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？18．（12分）某中學(xué)一名數(shù)學(xué)老師對(duì)全班50名學(xué)生某次考試成績分男女生進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),其中120分(含120分)以上為優(yōu)秀,繪制了如下的兩個(gè)頻率分布直方圖:（1）根據(jù)以上兩個(gè)直方圖完成下面的列聯(lián)表:成績性別優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)男生女生總計(jì)（2）根據(jù)(1)中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算,你有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系?2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001（3）若從成績在[130,140]的學(xué)生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率.19．（12分）如圖，四棱錐，底面為直角梯形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知的內(nèi)角A的大小為，面積為.(1)若，求的另外兩條邊長；(2)設(shè)O為的外心，當(dāng)時(shí)，求的值.21．（12分）在四棱錐中，，是的中點(diǎn)，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）2018年2月22日，在韓國平昌冬奧會(huì)短道速滑男子500米比賽中，中國選手武大靖以連續(xù)打破世界紀(jì)錄的優(yōu)異表現(xiàn)，為中國代表隊(duì)奪得了本屆冬奧會(huì)的首枚金牌，也創(chuàng)造中國男子冰上競速項(xiàng)目在冬奧會(huì)金牌零的突破.某高校為調(diào)查該校學(xué)生在冬奧會(huì)期間累計(jì)觀看冬奧會(huì)的時(shí)間情況，收集了200位男生、100位女生累計(jì)觀看冬奧會(huì)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）.又在100位女生中隨機(jī)抽取20個(gè)人，已知這20位女生的數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示.（I）將這20位女生的時(shí)間數(shù)據(jù)分成8組，分組區(qū)間分別為，，…，，，完成頻率分布直方圖；（II）以（I）中的頻率作為概率，求1名女生觀看冬奧會(huì)時(shí)間不少于30小時(shí)的概率；（III）以（I）中的頻率估計(jì)100位女生中累計(jì)觀看時(shí)間小于20個(gè)小時(shí)的人數(shù)，已知200位男生中累計(jì)觀看時(shí)間小于20小時(shí)的男生有50人.請(qǐng)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生觀看冬奧會(huì)累計(jì)時(shí)間與性別有關(guān)”.男生女生總計(jì)累計(jì)觀看時(shí)間小于20小時(shí)累計(jì)觀看時(shí)間小于20小時(shí)總計(jì)300附：（）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由散點(diǎn)圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強(qiáng)，由相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系得出選項(xiàng).【題目詳解】由散點(diǎn)圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以變大，變大，殘差平方和變小，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)線性相關(guān)性強(qiáng)弱的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)，以及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系，屬于簡單題目.2、B【解題分析】

根據(jù)反解,代入即可求得結(jié)果.【題目詳解】由伸縮變換可得:代入曲線,可得:,即.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的伸縮變換,屬基礎(chǔ)題,難度容易.3、B【解題分析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；所以在內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)；所以時(shí)，故選B4、A【解題分析】

先閱讀題意，再由原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件可得解【題目詳解】由已知有”在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等”是“兩個(gè)幾何體的體積必然相等“的充分條件不必要條件，結(jié)合原命題與其逆否命題的真假可得：“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的充分不必要條件，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了閱讀能力、原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件，屬中檔題。5、D【解題分析】

遇到新定義問題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，在該題中求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0，即可得到拐點(diǎn)，問題得以解決．【題目詳解】解：函數(shù)，，，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，已知函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，所以，即，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．導(dǎo)數(shù)的定義，和拐點(diǎn)，根據(jù)新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的求法；解答的關(guān)鍵是函數(shù)值滿足的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題6、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)(,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到當(dāng)x>1時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)增，當(dāng)x<1時(shí)，導(dǎo)函數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)椋实玫?故答案為C.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了導(dǎo)函數(shù)對(duì)于研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性可以通過常見函數(shù)的性質(zhì)得到，也可以通過定義法證明得到函數(shù)的單調(diào)性，或者通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性．7、C【解題分析】

化簡二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【題目詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為7.故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查與正整數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

先由等差數(shù)列的求和公式，得到，再由基本不等式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，所以，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為4.故選B。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式求積的最大值，熟記等差數(shù)列的求和公式以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.9、C【解題分析】

根據(jù)能被2整除，可知為偶數(shù).最高位不能為0，可分類討論末位數(shù)字，即可得總個(gè)數(shù).【題目詳解】由能夠被2整除，可知該六位數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)末位情況，分兩種情況討論：當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，其余五個(gè)數(shù)為任意全排列，即有種；當(dāng)末位數(shù)字為2或4時(shí)，最高位從剩余四個(gè)非零數(shù)字安排，其余四個(gè)數(shù)位全排列，則有，綜上可知，共有個(gè).故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合的簡單應(yīng)用，分類分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】分析：由題意根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，再分別求得的值，從而可得結(jié)果.詳解：由常數(shù)項(xiàng)為零，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，且，，，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.11、A【解題分析】

求出三個(gè)數(shù)值的范圍，即可比較大小.【題目詳解】，，，，，的大小關(guān)系是：.故選：A.【題目點(diǎn)撥】對(duì)數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法：①單調(diào)性法，在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底．②中間值過渡法，即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個(gè)數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進(jìn)行“比較傳遞”．③圖象法，根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系．12、B【解題分析】

根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢，選定正確的選項(xiàng).【題目詳解】散點(diǎn)圖呈曲線，排除A選項(xiàng)，且增長速度變慢，排除選項(xiàng)C、D，故選B．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查散點(diǎn)圖，考查回歸直線方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】，∴，由余弦定理得，∴，故答案為.14、0.768【解題分析】

至少連續(xù)2天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確包含3種情況：①三天都預(yù)報(bào)準(zhǔn)確；②第一二天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確，第三天預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確；③第一天預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確，第二三天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確．分別求解后根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解即可．【題目詳解】至少連續(xù)2天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確包含3種情況：①三天都預(yù)報(bào)準(zhǔn)確，其概率為；②第一二天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確，第三天預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確，其概率為；③第一天預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確，第二三天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確，其概率為．∴在未來3天中，至少連續(xù)2天預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是．即所求概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求法和互斥事件的概率，解答類似問題時(shí)首先要分清概率的類型，然后在選擇相應(yīng)的公式求解．某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對(duì)立事件的概率，這樣可減少運(yùn)算量，提高準(zhǔn)確率．要注意“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化．15、【解題分析】

由在拋物線C上,結(jié)合拋物線的定義,即可求拋物線C的方程.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,解得,則拋物線C的方程為:;當(dāng)時(shí),,解得,則拋物線C的方程為:;故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用拋物線的定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,難度較易.16、72【解題分析】

首先對(duì)除甲乙外的三名同學(xué)全排列，再加甲乙插空排入，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得到結(jié)果.【題目詳解】將除甲乙外的三名同學(xué)全排列，共有：種排法甲、乙插空排入，共有：種排法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得排法共有：種排法本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問題中的不相鄰問題的求解，關(guān)鍵是明確解決不相鄰的問題可采用插空的方式來進(jìn)行求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）第四項(xiàng)為第五項(xiàng)為.（2）無常數(shù)項(xiàng).【解題分析】分析:(1)先根據(jù)題意得到，解方程即得n=7.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)和第五項(xiàng)，求第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即得解.(2)假設(shè)展開式中有常數(shù)項(xiàng)，求出r的值，如果r有正整數(shù)解，則有，否則就沒有.詳解：（1）由題意可得，解得.所以展開式有8項(xiàng)，所以第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第四項(xiàng)為第五項(xiàng)為.（2）展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得（舍去），故展開式無常數(shù)項(xiàng).點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二項(xiàng)式定理的二項(xiàng)式系數(shù)，考查特定項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本運(yùn)算能力.(2)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式：（）,其中叫二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù).18、（1）詳見解析；（2）有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫好聯(lián)表；（2）計(jì)算出的數(shù)值，由此判斷出所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系.（3）先計(jì)算出男生、女生分別有多少人，然后用減去全部都是男生的概率，求得所求的概率.【題目詳解】（1）成績性別優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)男生131023女生72027總計(jì)203050（2）由（1）中表格的數(shù)據(jù)知,.因?yàn)?所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系.（3）成績在[130,140]的學(xué)生中男生有人,女生有人,從6名學(xué)生中任取2人,共有種選法,若選取的都是男生,共有種選法;故所求事件的概率.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查古典概型概率計(jì)算，考查對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)法證明平面，即可證得平面平面；；（2）如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（1）證明：因?yàn)闉橹苯翘菪?，，又因?yàn)?，所以，所以，所?又因?yàn)?，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）作于，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)，因?yàn)?，，所以，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，9分設(shè)平面法向量，則，取，則，所以平面一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角為正弦值為.點(diǎn)睛：本題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)學(xué)結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想20、（1）,；（2）或【解題分析】

（1）由三角形面積公式得到AC邊，再由余弦定理即可得出BC邊；（2）由（1）可知，利用余弦定理可求，設(shè)的中點(diǎn)為，則，結(jié)合為的外心，可得，從而可求得．【題目詳解】（1）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，于是，所以因?yàn)椋?由余弦定理得.（2）由得，即，解得或4.設(shè)的中點(diǎn)為D，則，因?yàn)镺為的外心，所以，于是.所以當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的面積公式及余弦定理的應(yīng)用以及向量的基本運(yùn)算和性質(zhì)的應(yīng)用．屬于中檔題.21、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面