廣東省興寧一中2024屆高二數學第二學期期末預測試題含解析

廣東省興寧一中2024屆高二數學第二學期期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設復數滿足，則的共軛復數的虛部為（）A．1 B．-1 C． D．2．函數的最小正周期是（）A． B． C． D．3．設方程的兩個根為，則（）A． B． C． D．4．設，若是的等比中項，則的最小值為（）A．8 B． C．1 D．45．曾玉、劉云、李夢、張熙四人被北京大學、清華大學、武漢大學和復旦大學錄取，他們分別被哪個學校錄取，同學們做了如下的猜想甲同學猜：曾玉被武漢大學錄取，李夢被復旦大學錄取同學乙猜：劉云被清華大學錄取，張熙被北京大學錄取同學丙猜：曾玉被復旦大學錄取，李夢被清華大學錄取同學丁猜：劉云被清華大學錄取，張熙被武漢大學錄取結果，恰好有三位同學的猜想各對了一半，還有一位同學的猜想都不對那么曾玉、劉云、李夢、張熙四人被錄取的大小可能是（）A．北京大學、清華大學、復旦大學、武漢大學B．武漢大學、清華大學、復旦大學、北京大學C．清華大學、北京大學、武漢大學、復旦大學D．武漢大學、復旦大學、清華大學、北京大學6．復數等于（）A． B． C．0 D．7．某市踐行“干部村村行”活動，現有3名干部甲、乙、丙可供選派，下鄉(xiāng)到5個村蹲點指導工作，每個村至少有1名干部，每個干部至多住3個村，則干部甲住3個村的概率為()A． B． C． D．8．已知向量，，若，則（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－19．如果，那么的值是（）A． B． C． D．10．在“一帶一路”的知識測試后甲、乙、丙三人對成績進行預測.甲:我的成績最高.乙:我的成績比丙的成績高丙:我的成績不會最差成績公布后,三人的成績互不相同且只有一個人預測正確,那么三人按成績由高到低的次序可能為（）A．甲、丙、乙 B．乙、丙、甲C．甲、乙、丙 D．丙、甲、乙11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則()A． B． C． D．12．如圖，在正方體中，分別是的中點，則下列說法錯誤的是（）A． B．平面C． D．平面二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一個容器，下部分是高為的圓柱體，上部分是與圓柱共底面且母線長為的圓錐，現不考慮該容器內壁的厚度，則該容器的最大容積為___________．14．若是函數的極值點，則在上的最小值為______.15．若二項式（x﹣）n的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中含x2項的系數為__．16．在極坐標系中，點到直線的距離為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）求在點處的切線方程；（2）若存在，滿足成立，求的取值范圍．18．（12分）設數列an的前n項和為Sn且對任意的正整數n都有:（1）求S1（2）猜想Sn的表達式并證明19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半粙為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設點極坐標為，且，，.（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）①求點的直角坐標；②若直線與曲線交于，兩點，求.20．（12分）（）．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若，存在兩個極值點，，試比較與的大?。唬?）求證：（，）．21．（12分）7名同學，在下列情況下，各有多少種不同安排方法？（答案以數字呈現）（1）7人排成一排，甲不排頭，也不排尾．（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必須在一起．（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人兩兩不相鄰．（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序（不一定相鄰）．（5）7人分成2人，2人，3人三個小組安排到甲、乙、丙三地實習．22．（10分）已知，．當時，求的值；當時，是否存在正整數n，r，使得、、，依次構成等差數列？并說明理由；當時，求的值用m表示．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求解出的共軛復數，然后直接判斷出的虛部即可.【題目詳解】因為，所以，所以的虛部為.故選：A.【題目點撥】本題考查共軛復數的概念以及復數的實虛部的認識，難度較易.復數的實部為，虛部為.2、D【解題分析】

根據正切型函數的周期公式可求出函數的最小正周期.【題目詳解】由題意可知，函數的最小正周期，故選D.【題目點撥】本題考查正切型函數周期的求解，解題的關鍵在于利用周期公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.3、D【解題分析】

畫出方程左右兩邊所對應的函數圖像，結合圖像可知答案?！绢}目詳解】畫出函數與的圖像，如圖結合圖像容易知道這兩個函數的圖像有兩個交點，交點的橫坐標即為方程的兩個根，結合圖像可知，，根據是減函數可得，所以有圖像可知所以即，則，所以，而所以故選D【題目點撥】本題考查對數函數與指數函數的圖像與性質，解題的關鍵是畫出圖像，利用圖像解答，屬于一般題。4、D【解題分析】∵是的等比中項，∴3=3a?3b=3a+b，∴a+b=1．a＞2，b＞2．∴==2．當且僅當a=b=時取等號．故選D．點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤5、D【解題分析】

推理得到甲對了前一半，乙對了后一半，丙對了后一半，丁全錯，得到答案.【題目詳解】根據題意：甲對了前一半，乙對了后一半，丙對了后一半，丁全錯，曾玉、劉云、李夢、張熙被錄取的大學為武漢大學、復旦大學、清華大學、北京大學（另外武漢大學、清華大學、北京大學、復旦大學也滿足）.故選：.【題目點撥】本題考查了邏輯推理，意在考查學生的推理能力.6、A【解題分析】

直接化簡得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點撥】本題考查了復數的化簡，屬于簡單題.7、A【解題分析】

先利用排列組合思想求出甲干部住個村的排法種數以及將三名可供選派的干部下鄉(xiāng)到個村蹲點的排法種數，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率?！绢}目詳解】三名干部全部選派下鄉(xiāng)到個村蹲點，三名干部所住的村的數目可以分別是、、或、、，排法種數為，甲住個村，則乙、丙各住一個村，排法種數為，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：A?！绢}目點撥】本題考查排列組合應用問題以及古典概型概率的計算，解決本題的關鍵在于將所有的基本事件數利用排列組合思想求出來，合理利用分類計數和分步計算原理，考查分析問題和運算求解能力，屬于中等題。8、C【解題分析】

根據題意得到的坐標，由可得的值.【題目詳解】由題，，，或，故選C【題目點撥】本題考查利用坐標法求向量差及根據向量垂直的數量積關系求參數9、D【解題分析】

由誘導公式，可求得的值，再根據誘導公式化簡即可．【題目詳解】根據誘導公式，所以而所以選D【題目點撥】本題考查了誘導公式在三角函數式化簡中的應用，屬于基礎題．10、D【解題分析】

假設一個人預測正確，然后去推導其他兩個人的真假，看是否符合題意．【題目詳解】若甲正確，則乙丙錯，乙比丙成績低，丙成績最差，矛盾；若乙正確，則甲丙錯，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，則成績由高到低可為乙、甲、丙；若丙正確，則甲乙錯，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可為丙、甲、乙．A、B、C、D中只有D可能．故選D．【題目點撥】本題考查合情推理，抓住只有一個人預測正確是解題的關鍵，屬于基礎題．11、D【解題分析】

隨機變量服從正態(tài)分布,則,利用概率和為1得到答案.【題目詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布,

,

答案為D.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布,利用正態(tài)分布的對稱性是解決問題的關鍵.12、C【解題分析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．【題目詳解】∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，

∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

設正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，

則B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正確；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C錯誤；

平面ABCD的法向量又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正確．

故選C．【題目點撥】本題考查命題的真假判斷，考空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設圓柱底面圓的半徑為，分別表示出圓柱和圓錐的體積，利用導數求得極值點，并判斷在極值點左右兩側的單調性，即可求得函數的最大值，即為容器的最大容積.【題目詳解】設圓柱底面圓的半徑為，圓柱體的高為，則圓柱的體積為；圓錐的高為，則圓錐的體積，所以該容器的容積為則，令，即，化簡可得，解得，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，取得最大值；代入可得，故答案為：.【題目點撥】本題考查了導數在體積最值問題中的綜合應用，圓柱與圓錐的體積公式應用，屬于中檔題.14、【解題分析】

先對f(x)求導，根據可解得a的值，再根據函數的單調性求出區(qū)間上的最小值．【題目詳解】，則，解得，所以，則.令，得或；令，得.所以在上單調遞減；在上單調遞增.所以.【題目點撥】本題考查由導數求函數在某個區(qū)間內的最小值，解題關鍵是由求出未知量a．15、1120【解題分析】由題意可得：n=8.∴通項公式，令=2，解得r=4.∴展開式中含x2項的系數為.故答案為：1120.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.16、3【解題分析】

將A和直線化成直角坐標系下點和方程，再利用點到直線的距離公式計算即可.【題目詳解】由已知，在直角坐標系下，，直線方程為，所以A到直線的距離為.故答案為：3【題目點撥】本題考查極坐標方程與普通方程的互化，點到直線的距離，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）求出，得出切點坐標，利用導數求出，得出切線的斜率，再利用點斜式寫出切線的方程；（2）由，即，將問題轉化為，然后利用導數求出函數在區(qū)間上的最大值，可求出實數的取值范圍．【題目詳解】（1），，在處的切線方程為：，即；（2），即，令，得.時，，時，.在上減，在上增，又時，的最大值在區(qū)間端點處取到.，，，在上最大值為，故的取值范圍是：.【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，利用函數不等式能成立求參數的取值范圍，在處理函數不等式成立的問題時，可利用分類討論或者參變量分離法來求解，在利用參變量分離時要注意是恒成立還是能成立的問題，以便轉化為對象函數相應的最值來處理，考查計算能力，屬于中等題．18、（1）12,23【解題分析】

（1）分別代入n=1,2,3計算即可求解；（2）猜想:Sn=【題目詳解】當n=1,S當n=2,當n=3,（2）猜想:Sn證明：①當n=1時，顯然成立；②假設當n=k(k≥1且k∈N*)則當n=k+1時，由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1時,猜想也成立.綜合①②得Sn【題目點撥】本題考查遞推數列求值，數學歸納法證明，考查推理計算能力，是基礎題19、（Ⅰ）直線,曲線（Ⅱ）①②【解題分析】

（Ⅰ）利用參數方程化普通方程，利用極坐標化普通方程求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）①求出，即得點M的直角坐標；②利用直線參數方程t的幾何意義解答.【題目詳解】解（Ⅰ），曲線.（Ⅱ）①，，.②將代入，得，，，.【題目點撥】本題主要考查參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線參數方程t的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）遞減，遞增（2）（3）詳見解析【解題分析】試題分析：（1）求出函數的定義域，求出導數，求得單調區(qū)間，即可得到極值；（2）求出導數，求得極值點，再求極值之和，構造當0＜t＜1時，g（t）=2lnt+-2，運用導數，判斷單調性，即可得到結論；（3）當0＜t＜1時，g（t）=2lnt+-2＞0恒成立，即lnt+-1＞0恒成立，設t=（n≥2，n∈N），即ln+n-1＞0，即有n-1