甘肅省慶陽市寧縣中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

甘肅省慶陽市寧縣中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在菱形ABCD中，，線段AD，BD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K．現(xiàn)將繞對角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角A－BD－C的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過程中有（）A． B． C． D．2．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門決定派出五位相關(guān)專家對三個貧困地區(qū)進行調(diào)研，每個地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為A．18 B．24 C．28 D．363．已知，則（）A． B． C． D．4．設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為28，則（）A.1B.4C.7D.1或75．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準線于點C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為，其展開式中的常數(shù)項為，則（）A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)的模為()A． B． C． D．8．已知點與拋物線的焦點的距離是，則的值是（）A． B． C． D．9．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為：若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積為A．16 B． C． D．10．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)11．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．12．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點為F，點是拋物線C上的一點滿足，則拋物線C的方程為________.14．已知拋物線的焦點為，平行軸的直線與圓交于兩點（點在點的上方），與交于點，則周長的取值范圍是____________15．已知滿足約束條件，則的最大值為__16．二項式的展開式中的系數(shù)為，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．18．（12分）某研究機構(gòu)為了調(diào)研當代中國高中生的平均年齡，從各地多所高中隨機抽取了40名學(xué)生進行年齡統(tǒng)計，得到結(jié)果如下表所示：年齡（歲）數(shù)量6101284(Ⅰ)若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，試估計這批學(xué)生的平均年齡；(Ⅱ)若在本次抽出的學(xué)生中隨機挑選2人，記年齡在間的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析研究，他們分別記錄了月日至月日的每天晝夜溫差與實驗室每天每顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期月日月日月日月日月日溫差發(fā)芽數(shù)（顆）該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.（1）求選取的組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是月日與月日的數(shù)據(jù)，請根據(jù)月日至月日的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過顆.則認為得到的線性回歸方程是可靠的.試問（2）中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.20．（12分）設(shè)相互垂直的直線，分別過橢圓的左、右焦點，，且與橢圓的交點分別為、和、.（1）當?shù)膬A斜角為時，求以為直徑的圓的標準方程；（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知數(shù)列的前項的和，滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項的和.22．（10分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求證：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直線AB與平面A1BC所成角的正切值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體，表示和，轉(zhuǎn)化為在兩個有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問題，還需考慮和兩種特殊情況.【題目詳解】如圖，繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個圓錐，(為圓心，為半徑，為的中點)，，，當且時，與等腰中，為公共邊，，,.當時，,當時，,綜上，。C.D選項比較與的大小關(guān)系，如圖即比較與的大小關(guān)系，根據(jù)特殊值驗證：又當時，,當時，，都不正確.故選B.【題目點撥】本題考查了二面角的相關(guān)知識，考查空間想象能力，難度較大，本題的難點是在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，如何轉(zhuǎn)化和，從而達到比較的目的，或考查和兩種特殊情況，可快速排除選項.2、D【解題分析】分析：按甲乙兩人所派地區(qū)的人數(shù)分類，再對其他人派遣。詳解：類型1：設(shè)甲、乙兩位專家需要派遣的地區(qū)有甲乙兩人則有，另外3人派往2個地區(qū)，共有18種。類型2：設(shè)甲、乙兩位專家需要派遣的地區(qū)有甲乙丙三人則有，另外2人派往2個地區(qū)，共有18種。綜上一共有36種，故選D點睛：有限制條件的分派問題，從有限制條件的入手，一般采用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，先分類后分步。3、D【解題分析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值得解．【題目詳解】∵cosθ?tanθ＝sinθ，∴sin（）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2．故選D．【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】試題分析：，所以，因為遞減數(shù)列，所以，解得?？键c：等差數(shù)列5、C【解題分析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關(guān)系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【題目詳解】拋物線y2＝4x焦點F（1，0），準線方程l：x＝﹣1，準線l與x軸交于H點，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設(shè)直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．【題目點撥】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．6、C【解題分析】

二項展開式的二項式系數(shù)和為，可得，使其通項公式為常數(shù)項時，求得，從而得到關(guān)于的方程.【題目詳解】展開式中各項的二項式系數(shù)和為，，得，，當時，，解得：.【題目點撥】求二項式定理展開式中各項系數(shù)和是用賦值法，令字母都為1；而展開式各項的二項式系數(shù)和固定為.7、A【解題分析】分析：首先根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式以及復(fù)數(shù)的除法運算公式，將復(fù)數(shù)z化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的公式計算求得復(fù)數(shù)z的模.詳解：因，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算以及復(fù)數(shù)模的計算公式，在求解的過程中，需要保證公式的正確性，屬于簡單題目.8、B【解題分析】

利用拋物線的焦點坐標和兩點間的距離公式，求解即可得出的值.【題目詳解】由題意可得拋物線的焦點為，因為點到拋物線的焦點的距離是5.所以解得.故選:B.【題目點撥】本題主要考查拋物線的標準方程和性質(zhì)，還結(jié)合兩點間距離公式求解.9、C【解題分析】

由已知求出正方體內(nèi)切球的體積，再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積．【題目詳解】正方體的棱長為2，則其內(nèi)切球的半徑，正方體的內(nèi)切球的體積，又由已知，．故選C．【題目點撥】本題考查球的體積的求法，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

易知函數(shù)是上的增函數(shù),,結(jié)合零點存在性定理可判斷出函數(shù)零點所在區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)是上的增函數(shù),是上的增函數(shù),故函數(shù)是上的增函數(shù).,,則時,;時,,因為,所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點.故選:B.【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點所在區(qū)間,利用函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

利用奇偶性可排除A、C；再由的正負可排除D.【題目詳解】，，故為奇函數(shù)，排除選項A、C；又，排除D，選B.故選：B.【題目點撥】本題考查根據(jù)解析式選擇圖象問題，在做這類題時，一般要結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性以及特殊點函數(shù)值來判斷，是一道基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

根據(jù)判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進而求得正三棱錐的體積.【題目詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質(zhì)，考查向量加法運算，考查幾何體外接球有關(guān)問題的求解，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由在拋物線C上,結(jié)合拋物線的定義,即可求拋物線C的方程.【題目詳解】當時,,解得,則拋物線C的方程為:;當時,,解得,則拋物線C的方程為:;故答案為:.【題目點撥】本題考查利用拋物線的定義求拋物線的標準方程,難度較易.14、【解題分析】

過點作垂直與拋物線的準線，垂足為點，由拋物線的定義得，從而得出的周長為，考查直線與圓相切和過圓心，得出、、不共線時的范圍，進而得出周長的取值范圍?！绢}目詳解】如下圖所示：拋物線的焦點，準線為，過點作，垂足為點，由拋物線的定義得，圓的圓心為點，半徑長為，則的周長，當直線與圓相切時，則點、重合，此時，；當直線過點時，則點、、三點共線，則。由于、、不能共線，則，所以，，即，因此，的周長的取值范圍是，故答案為：。【題目點撥】本題考查拋物線的定義，考查三角形周長的取值范圍，在處理直線與拋物線的綜合問題時，若問題中出現(xiàn)焦點，一般要將拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線的距離利用定義轉(zhuǎn)化，利用共線求最值，有時也要注意利用臨界位置得出取值范圍，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于難題。15、【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【題目詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標函數(shù)為，由圖可得，當直線過時，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】分析：先根據(jù)二項展開式的通項求得的系數(shù)，進而得到的值，然后再根據(jù)微積分基本定理求解即可．詳解：二項式的展開式的通項為，令，可得的系數(shù)為，由題意得，解得．∴．點睛：解答有關(guān)二項式問題的關(guān)鍵是正確得到展開式的通項，然后根據(jù)題目要求求解．定積分計算的關(guān)鍵是確定被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分基本定理求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1(2)（，）【解題分析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時f(1)=3e≠2．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當x∈(，2)時，f′(x)<2；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2處取得極小值．若a≤，則當x∈(2，2)時，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.18、（1）估計這批學(xué)生的平均年齡為歲；（2）見解析.【解題分析】分析：(1)根據(jù)組中值與對應(yīng)區(qū)間概率乘積的和計算平均數(shù)，(2)先判斷隨機變量服從“超幾何分布”，再根據(jù)“超幾何分布”分布列公式以及數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.詳解：(Ⅰ)由表中的數(shù)據(jù)可以估算這批學(xué)生的平均年齡為.所以估計這批學(xué)生的平均年齡為（歲）.(Ⅱ)由表中數(shù)據(jù)知，“本次抽出的學(xué)生中”挑選2人，服從“超幾何分布”，則,,.故的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望為.點睛：對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布，超幾何分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19、（1）；（2）；（3）見解析【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意列舉出從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是可能出現(xiàn)的，滿足條件的事件包括的基本事件有6種．根據(jù)等可能事件的概率做出結(jié)果．

（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先求出，，即求出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．

（3）根據(jù)估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，就認為得到的線性回歸方程是可靠的，根據(jù)求得的結(jié)果和所給的數(shù)據(jù)進行比較，得到所求的方程是可靠的．詳解：(1)設(shè)“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天的數(shù)據(jù)”為事件A.從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)．每種情況都是等可能出現(xiàn)的，事件A包括的基本事件有6種．∴.∴選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率是.(2)由數(shù)據(jù)可得，.∴，.∴y關(guān)于x的線性回歸方程為.(3)當x＝10時，，|22－23|<2；同理，當x＝8時，，|17－16|<2.∴(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的．點睛：本題考查等可能事件的概率，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計驗算所求的方程是否是可靠的，屬中檔題.．20、（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，詳見解析【解題分析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，計算出線段的中點坐標，利用弦長公式計算出，于此得出圓心坐標和半徑長，再寫出圓的標準式方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，分別計算出和，可計算出的值，在直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及韋達定理計算出，同理計算出，代入題中等式計算出的值，從而說明實數(shù)存在．【題目詳解】（1）由題意可設(shè)的方程為，代入可得．所以，的中點坐標為．又，所以，以為直徑的圓的方程為．（2）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立．①當與軸垂直或與軸垂直時，；②設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．將的方程代入得：．由韋達定理得：，，所以．同理可得．所以．因此，存在，使得恒成立．【題目點撥】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查弦長公式、圓的標準方程，計算量大，解題的易錯點就是計算，計算時可充分利用因式分解等一些常規(guī)步驟來操作，另外在設(shè)直線方程時也可以掌握一些技巧，降低運算量．21、（1）