2024屆湖南省常德外國(guó)語學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆湖南省常德外國(guó)語學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為客觀了解上海市民家庭存書量，上海市統(tǒng)計(jì)局社情民意調(diào)查中心通過電話調(diào)查系統(tǒng)開展專項(xiàng)調(diào)查，成功訪問了位市民，在這項(xiàng)調(diào)查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是B．總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是C．總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民，樣本的容量是D．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民，樣本的容量是2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．8張卡片上分別寫有數(shù)字，從中隨機(jī)取出2張，記事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于9”，則（）A． B． C． D．4．已知集合，，現(xiàn)從這兩個(gè)集合中各取出一個(gè)元素組成一個(gè)新的雙元素組合，則可以組成這樣的新集合的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．5．在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．（2，4]6．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．287．因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，上面的推理錯(cuò)誤的是A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是8．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．如圖所示，陰影部分的面積為（）A． B．1 C． D．10．已知函數(shù)，，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．12．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，延長(zhǎng)、交拋物線于、兩點(diǎn)設(shè)直線的斜率為，則（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是.14．在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：_____________________.(寫出一條即可)15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______.16．觀察下面一組等式：，，，，根據(jù)上面等式猜測(cè)，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（I）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).（II）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.18．（12分）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB=CE．（1）證明：∠D=∠E；（2）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．19．（12分）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)的最大值是，求的最小值.20．（12分）已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)求展開式中含的項(xiàng).21．（12分）已知橢圓：的離心率，該橢圓中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線，使直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過定點(diǎn)？若存在，求出所有符合條件的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）已知復(fù)數(shù)，求下列各式的值：(Ⅰ)(Ⅱ)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)總體、樣本及樣本的容量的概念，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題目可知，總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是故選B項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查總體、樣本及樣本的容量的概念，屬于簡(jiǎn)單題.2、B【解題分析】,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為:.點(diǎn)在第二象限,所以B選項(xiàng)是正確的.3、C【解題分析】

利用古典概型的概率公式計(jì)算出和，再利用條件概率公式可得出答案。【題目詳解】事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為小于的偶數(shù)”，以為一個(gè)基本事件，則事件包含的基本事件有：、、、、、，共個(gè)，由古典概型的概率公式可得，事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則所取的兩個(gè)數(shù)全是奇數(shù)或全是偶數(shù)，由古典概型的概率公式可得，因此，，故選：C。【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，數(shù)量利用條件概率公式，是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)也考查了古典概型的概率公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。4、C【解題分析】

利用分類計(jì)數(shù)加法原理和分步計(jì)數(shù)乘法原理計(jì)算即可，注意這個(gè)特殊元素的處理.【題目詳解】已知集合，，現(xiàn)從這兩個(gè)集合中各取出一個(gè)元素組成一個(gè)新的雙元素組合，分為2類：含5，不含5；則可以組成這樣的新集合的個(gè)數(shù)為個(gè).故選C.5、A【解題分析】

由，取的中點(diǎn)E，翻折前，連接，則，，翻折后，在圖2中，此時(shí)，及，進(jìn)而得到，由此可求解得取值范圍，得到答案.【題目詳解】由題意得，取的中點(diǎn)E，翻折前，在圖1中，連接，則，翻折后，在圖2中，此時(shí)，因?yàn)?，所以平面，所以，又為的中點(diǎn)，所以，所以，在中，可得①；②；③，由①②③，可得.如圖3，翻折后，當(dāng)與在一個(gè)平面上，與交于，且，又，所以，所以，此時(shí)，綜上可得的取值范圍是，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面圖形的翻折問題，以及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用折疊前后圖形的線面位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.6、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意：，故選C.考點(diǎn)：排列組合.7、A【解題分析】

由于三段論的大前提“對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是錯(cuò)誤的，所以選A.【題目詳解】由于三段論的大前提“對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是錯(cuò)誤的，只有當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)才是增函數(shù)，故答案為：A【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查三段論，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)一個(gè)三段論，只有大前提正確，小前提正確和推理形式正確，結(jié)論才是正確的.8、B【解題分析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關(guān)系得到正弦值.【題目詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1在中故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.9、B【解題分析】如圖所示軸與函數(shù)圍成的面積為,因此故選B.10、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，則對(duì)任意的，.此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當(dāng)時(shí)，解方程，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在和，使得，即，且當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.11、D【解題分析】分析：先求，再求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.詳解：由題得令因?yàn)閤>0，所以x>2.故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求函數(shù)的定義域→求導(dǎo)→解不等式＞0得解集→求,得函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間.12、D【解題分析】

設(shè)，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，設(shè)，，則，，設(shè)AC，BD所在的直線方程可得，，由此可得的值．【題目詳解】設(shè)過點(diǎn)F作斜率為的直線方程為：，

聯(lián)立拋物線C：可得：，

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，

則，

設(shè)，，

則，同理，

設(shè)AC所在的直線方程為，

聯(lián)立，得，

，同理，，

則．

故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE.取BC中點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥BC，EF=2，，四面體ABCD的體積，顯然，當(dāng)E在AD中點(diǎn)，即B是短軸端點(diǎn)時(shí)，BE有最大值為b=，所以.[評(píng)注]本題把橢圓拓展到空間，對(duì)缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大！當(dāng)然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要的，不過，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點(diǎn)：AB=BD(同時(shí)AC=CD)，從而致命一擊，逃出生天！14、尋找異常點(diǎn)，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯(cuò)【解題分析】

分析殘差是回歸診斷的一部分，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤，分析模型選擇是否合適．【題目詳解】分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：尋找異常點(diǎn)，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯(cuò)；故答案為：尋找異常點(diǎn)，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯(cuò)．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程中殘差的作用，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】分析：當(dāng)時(shí)，求得；當(dāng)時(shí)，類比寫出，兩式相減整理得，從而確定數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.詳解：當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減，，得數(shù)列是以1為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列通項(xiàng)公式故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查已知數(shù)列的前項(xiàng)和與關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.其求解過程分為三步：（1）當(dāng)時(shí)，求出；（2）當(dāng)時(shí)，用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式；（3）對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．16、【解題分析】由已知可得，因此，從而．點(diǎn)睛：歸納推理是通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)，從已知相同本質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題，本題是數(shù)的歸納，它包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系有關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解題分析】

（I）根據(jù)題目條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)。（II）根據(jù)是的一個(gè)極值點(diǎn)，得出，再根據(jù)，求出的范圍，再利用（１）中的結(jié)論，得出的單調(diào)性，觀察得出，對(duì)與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明?！绢}目詳解】（I）∵，，．∴或1、當(dāng)，即時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)：，．2、當(dāng)，即時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)無極值點(diǎn).3、當(dāng)，即時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)：，．故當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).（II）由（Ⅰ）知，，且，∴，由（1）中3知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又（這一步是此題的關(guān)鍵點(diǎn)，觀察力）1、當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，成立.2、當(dāng)即時(shí)，成立.3、當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增.此時(shí)，成立.綜上所述，，當(dāng)時(shí)，“=”成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求含有參數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，以及利用利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，解題時(shí)用到了分類討論的思想。18、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】試題分析：（1）由四點(diǎn)共圓性質(zhì)可得∠D=∠CBE.再結(jié)合條件∠CBE=∠E,得證（2）由等腰三角形性質(zhì)得OM⊥AD,即得AD∥BC,因此∠A=∠CBE=∠E.而∠D=∠E,所以△ADE為等邊三角形.試題解析：解:(1)由題設(shè)知A,B,C,D四點(diǎn)共圓,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為N,連結(jié)MN,則由MB=MC知MN⊥BC,故O在直線MN上.又AD不是☉O的直徑,M為AD的中點(diǎn),故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE為等邊三角形.19、（1）.（2）【解題分析】

（1）利用絕對(duì)值三角不等式即可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由絕對(duì)值三角不等式得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.為正實(shí)數(shù)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.（2）由（1）知：，即.，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取等號(hào)）.的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用絕對(duì)值三角不等式和柯西不等式求解最值的問題；利用柯西不等式的關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知等式的形式，配湊出符合柯西不等式形式的式子，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）【解題分析】

列出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，利用前三項(xiàng)系數(shù)成等差可求得；（1）根據(jù)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）根據(jù)展開式通項(xiàng)公式可知，當(dāng)時(shí)為所求項(xiàng)，代入通項(xiàng)公式求得結(jié)果.【題目詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：展開式前三項(xiàng)的系數(shù)依次為，，，整理可得：解得：（舍）或二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：（1）二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為：（2）令，解得：展開式中含的項(xiàng)為【題目點(diǎn)撥】本題考查組合數(shù)的運(yùn)算、二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)