河南省開封市、商丘市九校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

河南省開封市、商丘市九校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．2．已知，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．03．已知，是兩個不同的平面，，是異面直線且，則下列條件能推出的是（）A．， B．， C．， D．，4．已知某函數(shù)圖象如圖所示，則圖象所對應(yīng)的函數(shù)可能是（）A． B．C． D．5．如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，是的極大值點(diǎn)B．，是的極小值點(diǎn)C．，不是的極值點(diǎn)D．，是是的極值點(diǎn)6．已知集合，，，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在有極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，將y=fA． B．C． D．9．若，，則（）A． B． C． D．10．對于平面、、和直線、、、,下列命題中真命題是()A．若,則B．若,則C．若則D．若,則11．已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足且，若在區(qū)間上的最大值為2，則的值分別為A．，2 B．， C．，2 D．，412．若關(guān)于x的不等式對任意的恒成立，則可以是（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直三棱柱中，.有下列條件：①；②；③.其中能成為的充要條件的是__________．（填上序號）14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________．15．已知函數(shù)，則________．16．如圖所示，為了測量，處島嶼的距離，小明在處觀測，，分別在處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛40海里至處，觀測在處的正北方向，在處的北偏西方向，則，兩處島嶼間的距離為__________海里．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）傳說《西游記》中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”.作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化。假定孫悟空在使用“如意金箍棒”與各路妖怪打斗時(shí)，都將其變化為底面半徑為4至10之間的圓柱體?，F(xiàn)假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時(shí)“如意金箍棒”的底面半徑為10，長度為.在此基礎(chǔ)上，孫悟空使“如意金箍棒”的底面半徑以每秒1勻速縮短，同時(shí)長度以每秒40勻速增長，且在這一變化過程中，當(dāng)“如意金箍棒”的底面半徑為8時(shí)，其體積最大.（1）求在這一變化過程中，“如意金箍棒”的體積隨時(shí)間（秒）變化的解析式，并求出其定義域；（2）假設(shè)在這一變化過程中，孫悟空在“如意金箍棒”體積最小時(shí)，將其定型，準(zhǔn)備迎戰(zhàn)下一個妖怪。求此時(shí)“如意金箍棒”的底面半徑。18．（12分）袋中有紅、黃、白色球各1個，每次任取1個，有放回地抽三次，求基本事件的個數(shù)，寫出所有基本事件的全集，并計(jì)算下列事件的概率：（1）三次顏色各不相同；（2）三次顏色不全相同；（3）三次取出的球無紅色或黃色．19．（12分）如圖，四棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.20．（12分）為了解某養(yǎng)殖產(chǎn)品在某段時(shí)間內(nèi)的生長情況，在該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了120件樣本，測量其增長長度（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)其增長長度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，，分成6組，制成頻率分布直方圖，如圖所示其中增長長度為及以上的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品．（1）求圖中的值；（2）已知這120件產(chǎn)品來自于，B兩個試驗(yàn)區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表：將聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.99%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品與A，B兩個試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系，并說明理由；下面的臨界值表僅供參考：（參考公式：，其中）（3）以樣本的頻率代表產(chǎn)品的概率，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行分析研究，計(jì)算抽取的這4件產(chǎn)品中含優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．21．（12分）已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）記與的面積分別為和，求的最大值.22．（10分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.2、B【解題分析】

由題意可作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，圖象公共點(diǎn)的個數(shù)即為函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)的零點(diǎn)個數(shù)．【題目詳解】可由題意在同一個坐標(biāo)系中畫出f(x)=2lnx，的圖象，其中紅色的為f(x)=2lnx的圖象，由圖象可知：函數(shù)f(x)和g(x)的圖象有2個公共點(diǎn)，即h(x)=f(x)?g(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，求零點(diǎn)個數(shù)問題通常采用數(shù)形結(jié)合方法，畫出圖像即可得到交點(diǎn)個數(shù)，屬于中等題.3、D【解題分析】分析：根據(jù)線面垂直的判定定理求解即可.詳解：A.，，此時(shí)，兩平面可以平行，故錯誤；B.，，此時(shí)，兩平面可以平行，故錯誤；C.，，此時(shí)，兩平面仍可以平行，故錯誤，故綜合的選D.點(diǎn)睛：考查線面垂直的判定，對答案對角度，多立體的想象擺放圖形是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.4、D【解題分析】

對給出的四個選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、討論后可得結(jié)果．【題目詳解】對于A，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以不滿足題意．對于B，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不滿足題意．對于C，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意．對于D，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，滿足題意．故選D．【題目點(diǎn)撥】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．5、B【解題分析】

由圖判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合為在點(diǎn)P處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【題目詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點(diǎn)，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題通過圖象考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析圖象不難求解.6、D【解題分析】

按照補(bǔ)集、交集的定義，即可求解.【題目詳解】，，.

故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的混合計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】分析：令，得，，整理得，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在山過的值域問題，令，則即可.詳解：令，得，，整理得，令，則，則令，則在單調(diào)遞減，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．8、D【解題分析】

根據(jù)f'x的正負(fù)與f【題目詳解】因?yàn)閒'x是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，f'x>0時(shí)，函數(shù)A中，直線對應(yīng)f'x，曲線對應(yīng)B中，x軸上方曲線對應(yīng)fx，x軸下方曲線對應(yīng)fC中，x軸上方曲線對應(yīng)f'x，x軸下方曲線對應(yīng)D中，無論x軸上方曲線或x軸下方曲線，對應(yīng)f'x時(shí)，fx都應(yīng)該是單調(diào)函數(shù)，但圖中是兩個不單調(diào)的函數(shù)，顯然故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，熟記導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系即可，屬于常考題型.9、A【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)列方程求解即可.詳解：因?yàn)椋?，解得，故選A.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.10、C【解題分析】

若由線面垂直的判定定理知,只有當(dāng)和為相交線時(shí),才有

錯誤；

若此時(shí)由線面平行的判定定理可知,只有當(dāng)在平面

外時(shí),才有錯誤；由面面平行的性質(zhì)定理:若兩平面平行,第三個平面與他們都相交,則交線平行,可判斷,若，，，則為真命題,正確；若此時(shí)由面面平行的判定定理可知,只有當(dāng)、為相交線時(shí),才有錯誤.

故選C.考點(diǎn)：考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系.11、A【解題分析】試題分析：畫出函數(shù)圖像，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足且，且在區(qū)間上的最大值為1，所以=1，由解得，即的值分別為，1．故選A．考點(diǎn)：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．點(diǎn)評：基礎(chǔ)題，數(shù)形結(jié)合，畫出函數(shù)圖像，分析建立m,n的方程．12、D【解題分析】

分別取代入不等式，得到答案.【題目詳解】不等式對任意的恒成立取得：取得：排除A,B,C故答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式恒成立問題，用特殊值法代入數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③【解題分析】分析：由題意，對所給的三個條件，結(jié)合直三棱柱中，，作出如圖的圖象，借助圖象對的充要條件進(jìn)行研究.詳解：若①，如圖取分別是的中點(diǎn)，可得，由直三棱柱中，可得都垂直于側(cè)面，由此知都垂直于線，又，所以平面，可得，又由是中點(diǎn)及直三棱柱的性質(zhì)知，故可得，再結(jié)合垂直于線，可得面，故有，故①能成為的充要條件，同理③也可，對于條件②，若，可得面，，若，由此可得平面形，矛盾，故不為的充要條件，綜上，①③符合題意，故答案為①③.點(diǎn)睛：本題主要考查直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時(shí)，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.14、8【解題分析】

利用求解.【題目詳解】，則.故答案為：8【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15、3【解題分析】

根據(jù)題意，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)合函數(shù)的解析式可得，進(jìn)而計(jì)算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，則又由則故答案為：3【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算和分段函數(shù)求值，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】分析：根據(jù)已知條件，分別在和中計(jì)算，在用余弦定理計(jì)算.詳解：連接，由題可知，，，，，，則在中，由正弦定理得為等腰直角三角形，則在中，由余弦定理得故答案為.點(diǎn)睛：解三角形的應(yīng)用問題，先將實(shí)際問題抽象成三角形問題，再合理選擇三角形以及正、余弦定理進(jìn)行計(jì)算.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，定義域?yàn)椋?2)4【解題分析】

（1）根據(jù)時(shí)間，寫出“如意金箍棒”的底面半徑和長度，由此計(jì)算出體積的解析式，并根據(jù)半徑的范圍求得的取值范圍，也即定義域.利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和極大值，根據(jù)此時(shí)“如意金箍棒”的底面半徑列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得解析式.（2）由（1）中求得的單調(diào)區(qū)間，求得的最小值，并求得此時(shí)“如意金箍棒”的底面半徑.【題目詳解】解：（1）“如意金箍棒”在變化到秒時(shí)，其底面半徑為，長度為則有，得：時(shí)，（秒），由知，當(dāng)時(shí)，取得極大值所以，解得（）所以，定義域?yàn)椋?）由（1）得：所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)則的最小值或；又所以當(dāng)（秒）時(shí)，“如意金箍棒”體積最小，此時(shí)，“如意金箍棒”的底面半徑為（）【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查圓柱的體積公式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，考查中國古代文化，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)應(yīng)用問題，屬于中檔題.18、（1）；（2）；（3）；【解題分析】

按球顏色寫出所有基本事件；（1）計(jì)數(shù)三次顏色各不相同的事件數(shù)，計(jì)算概率；（2）計(jì)數(shù)三次顏色全相同的事件數(shù)，從對立事件角度計(jì)算概率；（3）計(jì)數(shù)三次取出的球無紅色或黃色事件數(shù)，計(jì)算概率；【題目詳解】按抽取的順序，基本事件全集為：｛（紅紅紅），（紅紅黃），（紅紅藍(lán)），（紅黃紅），（紅黃黃），（紅黃藍(lán)），（紅藍(lán)紅），（紅藍(lán)黃），（紅藍(lán)藍(lán)），（黃紅紅），（黃紅黃），（黃紅藍(lán)），（黃黃紅），（黃黃黃），（黃黃藍(lán)），（黃藍(lán)紅），（黃藍(lán)黃），（黃藍(lán)藍(lán)），（藍(lán)紅紅），（藍(lán)紅黃），（藍(lán)紅藍(lán)），（藍(lán)黃紅），（藍(lán)黃黃），（藍(lán)黃藍(lán)），（藍(lán)藍(lán)紅），（藍(lán)藍(lán)黃），（藍(lán)藍(lán)藍(lán)）｝，共27個．（1）三次顏色各不相同的事件有（紅黃藍(lán)），（紅藍(lán)黃），（黃紅藍(lán)），（黃藍(lán)紅），（藍(lán)紅黃），（藍(lán)黃紅），共6個，概率為；（2）其中顏色全相同的有3個，因此所求概率為；（3）三次取出的球紅黃都有的事件有12個，因此三次取出的球無紅色或黃色事件有15個，概率為．無紅色或黃色事件【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是寫出所有基本事件的集合，然后按照要求計(jì)數(shù)即可，當(dāng)然有時(shí)也可從對立事件的角度考慮．19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判定定理可證；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值來求解與平面所成角的正弦值．試題解析：（Ⅰ）由已知得.取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，，，，，，，.設(shè)為平面的一個法向量，則即可取.于是.【考點(diǎn)】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角．【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來處理．20、（1）0.025；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)面積之和為1，列出關(guān)系式，解出a的值.（2）首先根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算A,B這兩個試驗(yàn)區(qū)優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品、非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的總和，然后根據(jù)表格填入數(shù)據(jù)，再根據(jù)公式計(jì)算即可.（3）以樣本頻率代表概率，則屬于二項(xiàng)分布，利用