統(tǒng)計之回歸方程問題（典型例題+跟蹤訓練）【解答題搶分】2023年高考數學（新高考通用）解析版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數學解答題典型例題+跟蹤訓練（新高考通用）

專題17統(tǒng)計之回歸方程問題

目錄一覽

一、典型例題講解

二、梳理必備知識

三、基礎知識過關

四、解題技巧實戰(zhàn)

五、跟蹤訓練達標

（1）線性回歸方程

（2）非線性回歸方程

六、高考真題銜接

二、梳理必備知識

1.散點圖

將樣本中的〃個數據點（占,%）。=1,2,…描在平面直角坐標系中，所得圖形叫做散點圖.根據散點圖中點

的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關系.

（1）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為

正相關，如圖（1）所示；

（2）如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為

負相關，如圖（2）所示.

⑴⑵

2.相關系數

若相應于變量x的取值占，變量y的觀測值為％則變量x與夕的相關系數

〃__〃__

Z（七一》）（％-y）Z%必-"孫

一「=1?,通常用r來衡量x與y之間的線性關系的強弱，r

w21-￡

V/=11=1岳y/=i:-宓v*=1

的范圍為-IWrVl.

（1）當r>0時，表示兩個變量正相關；當r<0時，表示兩個變量負相關.

（2）卜|越接近1,表示兩個變量的線性相關性越強：卜|越接近°，表示兩個變量間幾乎不存在線性相關關

系.當|r|=l時，所有數據點都在一條直線上.

（3）通常當卜|>0.75時，認為兩個變量具有很強的線性相關關系.

3.線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數關系的兩個變量之間的關系（相關關系）的方法.

對于一組具有線性相關關系的數據（XI，夕|）,（北，V），…，（x,?丹），其回歸方程3=八+5的求法為

n__n__

Z（七-x）（y,-y）Zxiyi-nxy

b=^—：!-----=-4---—

^x^-nx2

i=i>=i

a=y-bx

其中，x=—Yx,.,>>=—y,y,.,（x,y）稱為樣本點的中心.

n,=i'ni

4.殘差分析

對于預報變量y,通過觀測得到的數據稱為觀測值％,通過回歸方程得到的j稱為預測值，觀測值減去預

測值等于殘差，4稱為相應于點（外,%）的殘差，即有&=%-￡.殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差

的分析可以判斷模型刻畫數據的效果以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析.

（1）殘差圖

通過殘差分析，殘差點（占后）比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的

帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過殘差平方和。=分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反

之，不合適.

（3）相關指數

Z（?-%）2

用相關指數來刻畫回歸的效果，其計算公式是：R2=l-^———.

ZU-7）2

/=1

后越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

5.非線性回歸

建立非線性回歸模型的基本步驟

（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；

（3）由經驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈非線性關系，一般選用反比例函數、二次函

數、指數函數、對數函數、基函數模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.

三、基礎知識過關

一、單選題

1.研究變量x,V得到一組樣本數據，進行回歸分析，有以下結論：

①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；

②用相關指數W來刻畫回歸效果，肥越小說明擬合效果越好；

③由樣本數據得到的回歸方程？=&+3一定過樣本點的中心（元刃：

④若變量丁和X之間的相關系數為r=-0.9462,則變量了和x之間的負相關很強，以上正確說法的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用殘差平方和和判斷模型的擬合效果可判斷①；利用相關指數來刻畫回歸效果，火越大說明擬

合效果越好，可判斷③；由線性回歸直線的方程特點可判斷；由相關系數,的絕對值趨近于1,可判斷④

【詳解】①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確；

②錯誤，尸越接近1越好；

③由樣本數據得到的回歸方程j>=1x+a一定過樣本點的中心（只刃正確；

④若變量y和X之間的相關系數卜1=0.9462非常接近1,說明負相關性很強，正確.

綜上所述有3個說法正確.

故選：c

2.某單位為了了解辦公樓用電量歹（度）與氣溫x（℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計了四個工作量與當天平均

氣溫，并制作了對照表：

氣溫（℃）181310-1

用電量（度）24343864

由表中數據得到線性回歸方程i=-2x+A,當氣溫為-VC時，預測用電量均為A.68度B.52度C.12

度D.28度

【答案】A

【詳解】由表格可知1=10,7=40,根據回歸直線方程必過「,亍）得力=40+20=60,因此當x=T時，j=68,

故選擇A.

3.觀測兩個相關變量，得到如下數據：

X-1-2-3-4-554321

y-0.9-2-3.1-3.9-5.154.12.92.10.9

則兩變量之間的線性回歸方程為A.y=0.5x-lB.y=xC.y=2x+0.3

D.9=x+l

【答案】B

【詳解】分析:求出樣本中心點為（0,0）,代入選項即可得到答案.

-1-2-3-4-54-5+4+3+2+1

詳解:由題意胃==0

10

_-0.9-2-3.1-3.9-5.1+54-4.1+2.9+2.1+0.9

y=----------------------------------------=0

所以樣本中心點為（0,0）

將樣本中心點為（0,0）代入選項，只有B滿足.

故答案選B.

點睛：本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是利用回歸直線方程經過樣本中心點，屬于基礎題.

4.下表是鞋子的長度與對應碼數的關系

長度（cm）2424.52525.52626.5

碼數383940414243

如果人的身高"5?）與腳板長x（cm）呈線性相關且回歸直線方程為N=7x-7.6.若某人的身高為173,據此模

型，估計其穿的鞋子的碼數為A.40B.41C.42D.43

【答案】C

【分析】把人的身高代入方程y=7x-7.6,可求出腳板長，再查表可得到本題的答案.

【詳解】令夕=173代入直線方程y=7x-7.6,解得x=25.8,所以腳板長為25.8（c/n）,查表得穿的鞋子的碼

數應為42.

故選：C

【點睛】本題主要考查線性回歸方程的簡單應用，屬于基礎題.

5.某種產品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間的關系如表：

X24568

y3040605070

若已知》與x的線性回歸方程為y=6.5x+17.5,那么當廣告費支出為6萬元時，隨機誤差的效應（殘差）

為（）萬元，（殘差=|真實值-預測值I）A.17.5B.6.5C.24.5D.56.5

【答案】B

【解析】將x=6代入回歸直線方程求出估計值，然后將真實值與估計值作差即可求解.

【詳解】取x=6,得少=6.5x6+17.5=56.5,

...當廣告費支出為6萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為|50-56.5|=6.5.

故選：B.【點睛】本題考查了回歸直線方程、殘差，屬于基礎題.

6.某統(tǒng)計部門對四組數據進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖.

3535

3030

2525

2020

1515

1()10

55

00

5101520253035101520253035

相關系數為勺相關系數為々

3535

3030

2525

2()20

1515

101()

55

00

51015202530355101520253035

相關系數為Q相關系數為々

下面關于相關系數的比較，正確的是()

A.〃＜弓＜4＜與B.弓C.與D.

【答案】C

【分析】根據散點圖的分布可得相關性的強弱,即可比較大小.

【詳解】由圖可知：0{所對應的圖中的散點呈現正相關，而且4對應的相關性比4對應的相關性要強,

故0<4<小〃，q所對應的圖中的散點呈現負相關，且根據散點的分布情況可知々<心<0,因此

r2<r4<r3<r{9

故選：C

7.在變量歹與x的回歸模型中，根據下面四個的相關系數卜|,判斷擬合效果最好的是（）

A.模型1的相關系數年|為62B.模型2的相關系數上|為0.3

C.模型3的相關系數W|為0.9D.模型4的相關系數卜|為88

【答案】C

【分析】由相關系數的絕對值越接近于1,回歸模型擬合效果越好即可得出結論.

【詳解】根據相關系數的絕對值大小可得模型3的相關系數上|為0.9,離1最接近，

所以C項的擬合效果最好.

故選：C

8.某校課外學習小組研究某作物種子的發(fā)芽率歹和溫度x（單位：。C）的關系，由實驗數據得到如圖所示

的散點圖.由此散點圖判斷，最適宜作為發(fā)芽率V和溫度X的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2（^>0）

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

【答案】D

【分析】根據散點的分布可得出合適的回歸方程類型.

【詳解】由散點圖可見，數據分布成遞增趨勢，但是呈現上凸效果，即增加緩慢.

A中，？=。+云是直線型，均勻增長，不符合要求；

B中，^=〃+辰2僅>0）是二次函數型，圖象呈現下凸，增長也較快，不符合要求;

C中，y=a+加，是指數型，爆炸式增長，增長快，不符合要求；

D中，V="+61nx是對數型，增長緩慢，符合要求.

故對數型最適宜該回歸模型.

故選：D.

二、填空題

9.某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入V（單位：千元）的數據如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代號,1234567

_______

人均純收入W千元2.93.33.64.4a5.25.9

y關于t的線性回歸方程為y=0.5/+2.3，則a的值為

【答案】4.8

【詳解】由回歸方程必過樣本中心，可知

2.9+3.3+3.6+4.4+。+5.2+5.9八1+2+3++4+5+6+7-

----------------------------二0.5x-------------------+2.3Q=4.8.

77

10.已知了,y取值如表：

X01356

y1in3/w5.67.4

畫散點圖分析可知：歹與X線性相關，且求得回歸方程為夕=工+1,則加=

3

【答案】4

2

【詳解】分析：計算三》,根據線性回歸方程過樣本中心點，代入方程求出m的值.

詳解：計算x=（x（0+1+3+5+6）=3,

—1、14+4加

y=-x（zl+m+3m+5?6+7?4）=---,

，這組數據的樣本中心點是（3,生），

又y與x的線性回歸方程j=x+l過樣本中心點，

.14+4/71

，一--=1x3+1,

3

解得m=-.

3

故填

2

點睛：本題考查了回歸直線方程過樣本中心點的應用問題，屬于基礎題.

四、解題技巧實戰(zhàn)

1.新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻.某中醫(yī)藥企業(yè)根據市場調研

與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產品收益y（億元）的數據統(tǒng)計如下：

研發(fā)投入X（億元）12345

產品收益y（億元）3791011

（1）計算x,y的相關系數外并判斷是否可以認為研發(fā)投入與產品收益具有較高的線性相關程度？（若

0.3<|r|<0.75,則線性相關程度一般，若|網>0.75,則線性相關程度較高）

（2）求出y關于x的線性回歸方程，并預測研發(fā)投入20（億元）時產品的收益.

555

參考數據：EU-X）=10,X（Z-7）=40,Z（x,-可?-刃=19.

/=1?=1/=1

fa-亍）（％-7）￡（占-引（匕-力

附：相關系數公式：r=?/I,,，回歸直線方程的斜率A=『-----------，截距

四（七-寸俾%-方

A—，—

Cl=y-/zr?

【答案】（l"=0.95,具有較高的線性相關程度

（2）^=1.9x4-2.3?40.3億元

【分析】（1）將已知數據代入相關系數公式計算即可得結論.

（2）求出回歸直線方程，將》=20代入線性回歸方程計算即可.

555

【詳解】（1）可=10,ZS—刃一=40,工（占一月5-刃=19,

/=1/=1/=]

...該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入X與產品收益y具有較高的線性相關程度.

方(再-可(乂-力

(2)?：6=「-----------------=3=1.9,

2(710

1=1

x=1(l+2+3+4+5)=3,y=1(3+7+9+10+ll)=8,

.?,a=8-1.9x3=2.3.

Ay關于x的線性回歸方程為j=1.9x+2.3,

將》=20代入線性回歸方程可得，=1.9x20+2.3=40.3,

.??預測研發(fā)投入20（億元）時產品的收益為40.3（億元）.

2.為了研究某種細菌隨天數x變化的繁殖個數小收集數據如下:

天數工123456

繁殖個數

612254995190

y

“繁殖個數y

200

150

100

50

°2468天數x

（1）在圖中作出繁殖個數y關于天數x變化的散點圖，并由散點圖判斷y=6x+a（a,/＞為常數）與了=°聲"（9,

Q為常數，且仇＞0，。2彳。）哪一個適宜作為繁殖個數V關于天數x變化的回歸方程類型？（給出判斷即

可，不必說明理由）

（2）對于非線性回歸方程y=c聲6（仇，為常數，且。＞0，。2*0），令z=lny,可以得到繁殖個數的對

數z關于天數x具有線性關系及一些統(tǒng)計量的值.

Zk，-x)

XyZ

Z=1/=11=1

3.5062.833.5317.50596.5712.09

①證明：“對于非繾住回歸方程^=。聲“令z=l"，可以得到繁殖個數的對數z關于天數x具有繾住關系

（即z=.x+a,0,a為常數）”；

②根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程（系數保留2位小數）.

附:對于一組數據（%,K）,（孫均），…,（3,），其回歸直線方程￡=瓦+&的斜率和截距的最小二乘估計

分別為/=“------;—,a=v-pu.

X"）

i=\

【答案】（1）作圖見解析，選擇》=《小'為回歸方程較適宜

（2）①證明見解析；②……設

【分析】（1）根據散點圖，結合一次函數和指數型函數圖象的特征進行判斷即可；

（2）①根據對數與指數的互化公式進行求解即可；

②利用題中所給的數據和公式進行求解即可.

【詳解】（1）作出散點圖如圖所示.

「繁殖個

200

150

100

50

O2468天數x

由散點圖看出樣本點分布在一條指數型曲線的周圍,

故選擇y=。聲/為回歸方程較適宜;

(2)①由已知，z=\ny,則z=Iny=舊卜門時)=Inc〕+Ine"=Inj+。2%，

則a=ln。，B="即z=^x+a.所以繁殖個數的對數，關于天數x具有線性關系.

②由①知繁殖個數的對數z關于天數x可以用線性回歸方程來擬合.

￡(x,-x)(x-^)

1=1J2.09

由表中數據可得力=B0.69,

-17.5

a-z=px=3.53-0.69x3.5?1.12,

則z關于x的線性回歸方程為2=0.69x+1.12.

又z=l”,

因此細菌的繁殖個數y關于天數x的非線性回歸方程為9=eO6Ri」2.

五、跟蹤訓練達標

線性回歸方程

1.（江西省贛州市2021屆高三二模數學（文）試題）遵守交通規(guī)則，人人有責.“禮讓行人”是我國《道路

交通安全法》的明文規(guī)定，也是全國文明城市測評中的重要內容.《道路交通安全法》第47條明確規(guī)定：“機

動車行經人行橫道時，應當減速行駛，遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行.機動車行經沒有交通信

號的道路時，遇行人橫過道路，應當避讓.否則扣3分罰200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干

路口監(jiān)控設備抓拍到的駕駛員不“禮讓行人”行為統(tǒng)計數據：

月份234

違章駕駛員人數12510510090

（1）請利用所給數據求違章人數V與月份X之間的回歸直線方程，=良+￡,并預測該路口2021年5月不“禮

讓行人”駕駛員的大約人數（四舍五入）;

（2）交警從這4個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查5（）人,調查駕駛員不“禮讓行人”行為與駕齡的關系,

得到下表:

不禮讓行人禮讓行人

駕齡不超過2年1020

駕齡2年以上812

能否據此判斷有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關？

EXN一X卜一x）（必-y）

參考公式：b=R---------一目---------------

￡2

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

片=——幽二垃——，其中“j+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】（1）j）=-llx+132.5,大約人數為78人；（2）沒有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關.

【分析】（1）本題可根據表中數據求出嚏=g、亍=105,然后根據公式求出否=71、3=132.5,即可求出

回歸直線方程，最后令x=5,即可得出結果；

（2）本題可求出長2土0.23,然后與表中數據進行對比，即可得出結果.

-1+2+3+45-125+105+100+90…

【詳解】（1）由表中數據易知:x=-----------=—,y------------------=105,

424

4___

2玉%-4盯995-1050A--5

貝！=--------==-H,a=y-Z>x=105-(-ll)x2=i32.5,

DU30-252

f=l

故所求回歸直線方程為3=7lx+132.5，

令x=5,貝!Jj=-llx5+132.5=77.5z78人,

預測該路口5月份不“禮讓行人”的駕駛員大約人數為78人.

（2）由表中數據可得：K2=50”l0xl2/0x8f“023<2.706,

18x32x30x20

對比表中數據可知，沒有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關.

2.（江蘇省徐州市2021-2022學年高二下學期期末數學試題）下表所示是我國2015年至2021年生活垃圾無

害化處理量（單位：億噸）.

年份r2015201620172018201920202021

處理量歹（億噸）1.81.972.12.262.42.552.69

（1）由數據可知，可用線性回歸模型擬合y與f的關系，請用相關系數加以說明；

（2）建立y關于/的回歸方程（系數精確到0.01）,并預測2023年我國生活垃圾無害化處理量.

_7__P―-

附：”2.25,必-y）"」3，20.78,7722.65.相關系數，=?…，

Y/=1/=!

回歸方程/=&+2中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：5=J——--，》-即.

X"）

1=1

【答案】（1）答案見解析

（2）j=-300.45+0.15f,預測2023年我國生活垃圾無害化處理量將約3億噸

【分析】（1）根據相關系數的計算公式，直接計算求解即可.

（2）根據題意，列方程計算出回歸方程，進而代入預測值，即可求解.

（1）由表中數據和附注中數據可得：i=2018,￡（4-J=28,

j=l\

j=i413

所以「-----:------?0.999

聞ft")20.78x2x2.65

因為y與t的相關系數近似為0.999,說明y與t的線性相關相當高,

從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.

。生^0.15,

(2)由(1)得人=J-----:—

Z")28

/=1

.=亍-京a2.25-0.15x2018=-300.45.

所以y關于t的回歸方程為：j=-300.45+0.15/.

將2023代入回歸方程得：y=-300.45+0.15x2023=3.

所以預測2023年我國生活垃圾無害化處理量將約3億噸.

3.(河南省南陽地區(qū)2021-2022學年高二3月階段檢測文科數學試題)近些年來，短視頻社交軟件日益受到

追捧，用戶可以通過軟件選擇歌曲，拍攝音樂短視頻，創(chuàng)作自己的作品.某用戶對自己發(fā)布的視頻個數x與

收到的點贊個數之和y之間的關系進行了分析研究，得到如下數據：

X34567

y455()606570

(1)計算x,了的相關系數/■(計算結果精確到0.01),并判斷是否可以認為發(fā)布的視頻個數與收到的點贊數之

和的相關性很強；

(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程.

EU-^)(z-y)￡占其-加■.歹￡(%-可(匕-刃

參考公式：?=『-----------=%----------，a=y-bx,r=-j=-------：--------?.參考數據：

￡(占-4〃二JEU-^)：E(X-7)2

?,=]j=lVi=lf=l

7043?0.656-V0.043?0.207.

【答案】(1)0.99,可以認為發(fā)布的視頻個數與收到的點贊數之和的相關性很強

(2)y=6.5x+25.5

【分析】(1)根據相關系數公式直接求解即可，然后再判斷

（2）根據回歸方程公式直接求解即可

z、mvi-3+4+5+6+7—45+50+60+65+70

【詳解】（1）因為X=------------=5,y=------------------=58,

所以￡（為一無乂%-力=65,￡（玉-可=10.

1=11=1

555

因為Z（y，一刃=430，所以ZG-于『2（%一'）2=4300

/=1i=l/=!

￡（x,-T）（M-刃65

所以“?0.99,

宓―巾―）2

V*=11=1

由此可以認為發(fā)布的視頻個數與收到的點贊數之和的相關性很強.

55

（2）由（1）知必-刃=65,￡（x,.-r/=10,

/=1/=1

.次a-可（必-同65

所以八J-----------瑤=6.5.

2寸10

>=|

因為（5=于一反=58-6.5x5=25.5,

所以y關于x的線性回歸方程為y=6.5x+25.5.

4.（河南省安陽市重點高中2021-2022學年高三模擬考試理科數學試題）共享汽車，是指許多人合用一輛車,

即開車人對車輛只有使用權，而沒有所有權，有點類似于在租車行業(yè)里的短時間的租車.它手續(xù)簡便，打

個電話或通過網上就可以預約訂車.某市為了了解不同年齡的人對共享汽車的使用體驗，隨機選取了100

名使用共享汽車的體驗者，讓他們根據體驗效果進行評分.

（1）設消費者的年齡為x,對共享汽車的體驗評分為y.若根據統(tǒng)計數據，用最小二乘法得到少關于x的線性

回歸方程為$=1.5x+15,且年齡X的方差為S:=9,評分y的方差為S；=25.求y與x的相關系數廠，并

據此判斷對共享汽車使用體驗的評分與年齡的相關性強弱（當卜|20.75時，認為相關性強，否則認為相關性

弱）.

（2）現將100名消費者的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評分劃分為“好評''和"差評”，整理得到如下數據，請

將2x2列聯(lián)表補充完整并判斷是否有99.9%的把握認為對共享汽車的評價與年齡有關.

好評差評合計

青年16

中老年12

合計44100

￡卜,臼(乂j)

附：回歸直線夕=八+￡的斜率i'Z(x,-)2

相關系數廠

￡卜4)±(%-討

/=1/=1

獨立性檢驗中的K2=-―”華產—?<，其中〃=a+6+c+d

(Q+b)(a+c)(b+dL)(c+d)

臨界值表:

2

P(K>ku)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

【答案】（1"=0.9；對共享汽車使用體驗的評分與年齡的相關性很強.

（2）有99.9%的把握認為對共享汽車的評價與年齡有關.

100100100

【分析】（D根據方差公式求出Z5一目2=900,￡（y,「歹）2=2500,結合5求出Z（X,-元）（%-歹）=135（）,

/=!7=1/=1

再根據相關系數公式求出相關系數，可得結果；

（2）求出長2,結合臨界值表可得結果.

100

【詳解】⑴因為2石配一君-，所以￡（%-4=900,

s=--------=9M

'r100

100

因為2所以*（力-力=2500,

s>'=100eI

100

Z（七-磯乂7）100100

因為必1$,所以Z（巧一項匕一歹）=1$xX（七-守=1$x900=1350,

￡（占一,Iz

r=l

100

Z(七-弓(乂7)

13501350

所以相關系數，.=-7==="-i—----------------二09

1007900x250030x50'

Vr=li=I

因為0.9>0.75,所以可以判斷對共享汽車使用體驗的評分與年齡的相關性很強.

（2）根據題意可得2x2列聯(lián)表如下:

好評差評合計

青年163248

中老年401252

合計5644100

100(16x12-32x40)2

因為Y?19.25>10,828,

(16+32)(16+40)(32+12)(40+12)

所以有99.9%的把握認為對共享汽車的評價與年齡有關.

5.（吉林省東北師范大學附屬中學2022屆高三第五次模擬考試文科數學試題）2015年7月31日，在吉隆

坡舉行的國際奧委會第128次全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權.在申冬奧過程中，中國正式向國際社

會作出“帶動三億人參與冰雪運動”的莊嚴承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運動做出重大貢獻的大

國擔當展現，也是根據我國經濟水平和全民健身需求做出的群眾性運動的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會申辦成功

到2021年10月，全國參與冰雪運動人數累計達到3.46億，實現了“帶動三億人參與冰雪運動”的目標，這

是北京冬奧會給予全球冬季體育運動和奧林匹克運動的最為重要的遺產，可以說是2022年北京冬奧會的第

一塊金牌."冬奧熱'’帶動“冰雪熱”，也帶動了冰雪經濟，以冰雪運動為主要內容的冰雪旅游近年來發(fā)展迅速,

2016至2022六個冰雪季的旅游人次y（單位億）的數據如下表：

年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022

年度代號t123456

旅游人次y1.71.972.240.942.543.15

（1）求y與，的相關系數（精確到0.01）,并回答y與f的線性相關關系的強弱；

（2）因受疫情影響，現將2019—2020年度的異常數據剔除，用剩下的5個年度數據（年度代號不變），求y

關于f的線性回歸方程（系數精確到0.01）,并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計

值.

16_1666=%，應心優(yōu)（%-力

附注：參考數據：/=（Z4=3.5,丁=（2匕=2.09,=47.72,?7.

6,=16/=i/=i

/=1/=1

￡（4-，）（%-丁）

參考公式：相關系數ri=l

__

yi-yl

乘估計公式分別為：b=-------；1=1,a=y-bt

Z"）

I=I,=!

【答案】（1）0.55,線性相關性不強

（2）3=0.26/+1.43,2.47億

【分析】（1）由已知數據結合相關系數公式求出相關系數，再進行判斷即可,

（2）由已知數據結合回歸方程公式計算y關于t的線性回歸方程,再將f=4代入回歸方程可求出2019-2020

年度冰雪旅游人次的估計值

【詳解】（1）由參考數據計算得

66

Z6-7）（%-歹）=》禹-6方=47.72-6x3.5x2.09=3.83

6

。出=0.55,

所以「i=l

667

f=l

因為0</<0.75,所以線性相關性不強.

（2）五組數據的均值分別為7T=3.4,7=2.32

6

4.47.72-4x0.94-5x3.4x2.32=4.52

t,2Y-5*=91-16-5x3.42=17.2

4.52

=0.263,

tb邛F2

i=l

&=y'—bfx1.43

y關于t的線性回歸方程為y=0.26/+1.43

令f=4,則夕=0.26x4+1.43=2.47,

因此，在沒有疫情情況下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估計值為2.47億.

6.（陜西省西安市蓮湖區(qū)2021-2022學年高二下學期期末文科數學試題）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全

面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻.某中醫(yī)藥企業(yè)根據市場調研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產

品收益y（億元）的數據統(tǒng)計如下：

研發(fā)投入X（億元）12345

產品收益y（億元）3791011

（1）計算x,y的相關系數「，并判斷是否可以認為研發(fā)投入與產品收益具有較高的線性相關程度？（若

0.3<|r|<0.75,則線性相關程度一般，若|川>0.75,則線性相關程度較高）

（2）求出y關于x的線性回歸方程，并預測研發(fā)投入20（億元）時產品的收益.

555

參考數據：2（匕-葉=10,>包一刃2=40,X（x,-動枚-歹）=19.

/=1/=!

力（占-可（%-7）2（士-三）（乂-刃

附：相關系數公式：r=J，回歸直線方程的斜率3=口-----------，截距

住（…丫?。?-力￡（士-?。?

Vi=lVi=li=1

A-：-

Cl=y-bx?

【答案】（l"=0.95,具有較高的線性相關程度

(2)J=1.9X+2.3>40.3億元

【分析】（1）將已知數據代入相關系數公式計算即可得結論.

（2）求出回歸直線方程，將工=20代入線性回歸方程計算即可.

【詳解】（1）???￡（占一可2=10,5,5

刃=40,2（占-可包-刃=19,

*'=1i=l/=1

2（毛-可（必-力

1919

?尸=j=]=-f=~尸=-0.9S>0.75,

j火（七一可收（必一力2V10xV4020

，該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入x與產品收益y具有較高的線性相關程度.

.S5a-碩乂-力19

（2）?:b=口-----------=—=1.9,

10

r=!

于=((1+2+3+4+5)=3,歹=*(3+7+9+10+11)=8,

=8—1.9x3=2.3.

Ay關于x的線性回歸方程為j=l.9x+2.3,

將》=20代入線性回歸方程可得，5=1.9x20+2.3=40.3,

.??預測研發(fā)投入20（億元）時產品的收益為40.3（億元）.

7.（西藏拉薩市高中六校2021-2022學年高一下學期期末聯(lián)考數學試題）根據統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產

量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對應數據的散點圖，如圖所示.

八N（百千克）

二二二工二

3?????

?????

?????

?????

?????

o―3浦k1；（千克）

（1）依據數據的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請計算相關系數廠并加以說明（若

H>0.75,則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求V關于x的回歸方程，并預測當液體肥料每畝使用量為10千克時，西紅柿畝產量的增加量約為多少？

附：相關系數公式廠=

參考數據：^/03?0.55,5/0^9?0.95

回歸方程/=暮+￡中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

E(七-可(乂-力X七％一”孫

b=-^；-----------------=-4----------^y--xb'.

￡(占-葉Yx.2~nx~

1=12=1

【答案】(1"“0.95,說明見解析

(2)j>=0.3x+2.5；550千克

【分析】⑴根據散點圖中的數據分別求得可得17，尤1,二）（乂-習,

/=!

進而求得相關系數廠，再與0.75比較下結論.

（2）結合（1）中的數據，分別求得否，a>寫出回歸方程，然后將尸10代入求解.

2+4+5+6+8_3+4+4+4+5.

【詳解】（1）由已知數據可得了=------------=5cy=-------------=4,

5

5

所以Z(x,-可(%-尸)=(-3)x(T)+(-l)xO+OxO+lxO+3xl=6,

/=1

)2=7(-3)2+(-1)2+02+12+32=2退,

火（必-刃2=^/（-1）2+02+02+02+12=五,

5

2出”應

i=lV1=1

因為廠＞0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關系.

八之（x,-可（必-7）

（2）b=