統(tǒng)計(jì)之回歸方程問(wèn)題（典型例題+跟蹤訓(xùn)練）【解答題搶分】2023年高考數(shù)學(xué)（新高考通用）解析版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題17統(tǒng)計(jì)之回歸方程問(wèn)題

目錄一覽

一、典型例題講解

二、梳理必備知識(shí)

三、基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

（1）線性回歸方程

（2）非線性回歸方程

六、高考真題銜接

二、梳理必備知識(shí)

1.散點(diǎn)圖

將樣本中的〃個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（占,%）。=1,2,…描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)

的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為

正相關(guān)，如圖（1）所示；

（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為

負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示.

⑴⑵

2.相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量x的取值占，變量y的觀測(cè)值為％則變量x與夕的相關(guān)系數(shù)

〃__〃__

Z（七一》）（％-y）Z%必-"孫

一「=1?,通常用r來(lái)衡量x與y之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，r

w21-￡

V/=11=1岳y/=i:-宓v*=1

的范圍為-IWrVl.

（1）當(dāng)r>0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

（2）卜|越接近1,表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)：卜|越接近°，表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)

系.當(dāng)|r|=l時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上.

（3）通常當(dāng)卜|>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

3.線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法.

對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（XI，夕|）,（北，V），…，（x,?丹），其回歸方程3=八+5的求法為

n__n__

Z（七-x）（y,-y）Zxiyi-nxy

b=^—：!-----=-4---—

^x^-nx2

i=i>=i

a=y-bx

其中，x=—Yx,.,>>=—y,y,.,（x,y）稱為樣本點(diǎn)的中心.

n,=i'ni

4.殘差分析

對(duì)于預(yù)報(bào)變量y,通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值％,通過(guò)回歸方程得到的j稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)

測(cè)值等于殘差，4稱為相應(yīng)于點(diǎn)（外,%）的殘差，即有&=%-￡.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差

的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.

（1）殘差圖

通過(guò)殘差分析，殘差點(diǎn)（占后）比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的

帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過(guò)殘差平方和。=分析，如果殘差平方和越小，則說(shuō)明選用的模型的擬合效果越好；反

之，不合適.

（3）相關(guān)指數(shù)

Z（?-%）2

用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2=l-^———.

ZU-7）2

/=1

后越接近于1,說(shuō)明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

5.非線性回歸

建立非線性回歸模型的基本步驟

（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；

（2）畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類(lèi)型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函

數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)模型等）；

（4）通過(guò)換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

三、基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)

一、單選題

1.研究變量x,V得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，有以下結(jié)論：

①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；

②用相關(guān)指數(shù)W來(lái)刻畫(huà)回歸效果，肥越小說(shuō)明擬合效果越好；

③由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程？=&+3一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心（元刃：

④若變量丁和X之間的相關(guān)系數(shù)為r=-0.9462,則變量了和x之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)，以上正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用殘差平方和和判斷模型的擬合效果可判斷①；利用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果，火越大說(shuō)明擬

合效果越好，可判斷③；由線性回歸直線的方程特點(diǎn)可判斷；由相關(guān)系數(shù),的絕對(duì)值趨近于1,可判斷④

【詳解】①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確；

②錯(cuò)誤，尸越接近1越好；

③由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程j>=1x+a一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心（只刃正確；

④若變量y和X之間的相關(guān)系數(shù)卜1=0.9462非常接近1,說(shuō)明負(fù)相關(guān)性很強(qiáng)，正確.

綜上所述有3個(gè)說(shuō)法正確.

故選：c

2.某單位為了了解辦公樓用電量歹（度）與氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作量與當(dāng)天平均

氣溫，并制作了對(duì)照表：

氣溫（℃）181310-1

用電量（度）24343864

由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程i=-2x+A,當(dāng)氣溫為-VC時(shí)，預(yù)測(cè)用電量均為A.68度B.52度C.12

度D.28度

【答案】A

【詳解】由表格可知1=10,7=40,根據(jù)回歸直線方程必過(guò)「,?。┑昧?40+20=60,因此當(dāng)x=T時(shí)，j=68,

故選擇A.

3.觀測(cè)兩個(gè)相關(guān)變量，得到如下數(shù)據(jù)：

X-1-2-3-4-554321

y-0.9-2-3.1-3.9-5.154.12.92.10.9

則兩變量之間的線性回歸方程為A.y=0.5x-lB.y=xC.y=2x+0.3

D.9=x+l

【答案】B

【詳解】分析:求出樣本中心點(diǎn)為（0,0）,代入選項(xiàng)即可得到答案.

-1-2-3-4-54-5+4+3+2+1

詳解:由題意胃==0

10

_-0.9-2-3.1-3.9-5.1+54-4.1+2.9+2.1+0.9

y=----------------------------------------=0

所以樣本中心點(diǎn)為（0,0）

將樣本中心點(diǎn)為（0,0）代入選項(xiàng)，只有B滿足.

故答案選B.

點(diǎn)睛：本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是利用回歸直線方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

4.下表是鞋子的長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)碼數(shù)的關(guān)系

長(zhǎng)度（cm）2424.52525.52626.5

碼數(shù)383940414243

如果人的身高"5?）與腳板長(zhǎng)x（cm）呈線性相關(guān)且回歸直線方程為N=7x-7.6.若某人的身高為173,據(jù)此模

型，估計(jì)其穿的鞋子的碼數(shù)為A.40B.41C.42D.43

【答案】C

【分析】把人的身高代入方程y=7x-7.6,可求出腳板長(zhǎng)，再查表可得到本題的答案.

【詳解】令夕=173代入直線方程y=7x-7.6,解得x=25.8,所以腳板長(zhǎng)為25.8（c/n）,查表得穿的鞋子的碼

數(shù)應(yīng)為42.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系如表：

X24568

y3040605070

若已知》與x的線性回歸方程為y=6.5x+17.5,那么當(dāng)廣告費(fèi)支出為6萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）

為（）萬(wàn)元，（殘差=|真實(shí)值-預(yù)測(cè)值I）A.17.5B.6.5C.24.5D.56.5

【答案】B

【解析】將x=6代入回歸直線方程求出估計(jì)值，然后將真實(shí)值與估計(jì)值作差即可求解.

【詳解】取x=6,得少=6.5x6+17.5=56.5,

...當(dāng)廣告費(fèi)支出為6萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為|50-56.5|=6.5.

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了回歸直線方程、殘差，屬于基礎(chǔ)題.

6.某統(tǒng)計(jì)部門(mén)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖.

3535

3030

2525

2020

1515

1()10

55

00

5101520253035101520253035

相關(guān)系數(shù)為勺相關(guān)系數(shù)為々

3535

3030

2525

2()20

1515

101()

55

00

51015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為Q相關(guān)系數(shù)為々

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()

A.〃＜弓＜4＜與B.弓C.與D.

【答案】C

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得相關(guān)性的強(qiáng)弱,即可比較大小.

【詳解】由圖可知：0{所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且4對(duì)應(yīng)的相關(guān)性比4對(duì)應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng),

故0<4<小〃，q所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況可知々<心<0,因此

r2<r4<r3<r{9

故選：C

7.在變量歹與x的回歸模型中，根據(jù)下面四個(gè)的相關(guān)系數(shù)卜|,判斷擬合效果最好的是（）

A.模型1的相關(guān)系數(shù)年|為62B.模型2的相關(guān)系數(shù)上|為0.3

C.模型3的相關(guān)系數(shù)W|為0.9D.模型4的相關(guān)系數(shù)卜|為88

【答案】C

【分析】由相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,回歸模型擬合效果越好即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大小可得模型3的相關(guān)系數(shù)上|為0.9,離1最接近，

所以C項(xiàng)的擬合效果最好.

故選：C

8.某校課外學(xué)習(xí)小組研究某作物種子的發(fā)芽率歹和溫度x（單位：。C）的關(guān)系，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示

的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖判斷，最適宜作為發(fā)芽率V和溫度X的回歸方程類(lèi)型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2（^>0）

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

【答案】D

【分析】根據(jù)散點(diǎn)的分布可得出合適的回歸方程類(lèi)型.

【詳解】由散點(diǎn)圖可見(jiàn)，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢(shì)，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加緩慢.

A中，？=。+云是直線型，均勻增長(zhǎng)，不符合要求；

B中，^=〃+辰2僅>0）是二次函數(shù)型，圖象呈現(xiàn)下凸，增長(zhǎng)也較快，不符合要求;

C中，y=a+加，是指數(shù)型，爆炸式增長(zhǎng)，增長(zhǎng)快，不符合要求；

D中，V="+61nx是對(duì)數(shù)型，增長(zhǎng)緩慢，符合要求.

故對(duì)數(shù)型最適宜該回歸模型.

故選：D.

二、填空題

9.某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入V（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代號(hào),1234567

_______

人均純收入W千元2.93.33.64.4a5.25.9

y關(guān)于t的線性回歸方程為y=0.5/+2.3，則a的值為

【答案】4.8

【詳解】由回歸方程必過(guò)樣本中心，可知

2.9+3.3+3.6+4.4+。+5.2+5.9八1+2+3++4+5+6+7-

----------------------------二0.5x-------------------+2.3Q=4.8.

77

10.已知了,y取值如表：

X01356

y1in3/w5.67.4

畫(huà)散點(diǎn)圖分析可知：歹與X線性相關(guān)，且求得回歸方程為夕=工+1,則加=

3

【答案】4

2

【詳解】分析：計(jì)算三》,根據(jù)線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，代入方程求出m的值.

詳解：計(jì)算x=（x（0+1+3+5+6）=3,

—1、14+4加

y=-x（zl+m+3m+5?6+7?4）=---,

，這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（3,生），

又y與x的線性回歸方程j=x+l過(guò)樣本中心點(diǎn)，

.14+4/71

，一--=1x3+1,

3

解得m=-.

3

故填

2

點(diǎn)睛：本題考查了回歸直線方程過(guò)樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)

1.新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn).某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研

與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)品收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

研發(fā)投入X（億元）12345

產(chǎn)品收益y（億元）3791011

（1）計(jì)算x,y的相關(guān)系數(shù)外并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若

0.3<|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般，若|網(wǎng)>0.75,則線性相關(guān)程度較高）

（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益.

555

參考數(shù)據(jù)：EU-X）=10,X（Z-7）=40,Z（x,-可?-刃=19.

/=1?=1/=1

fa-?。ǎ?7）￡（占-引（匕-力

附：相關(guān)系數(shù)公式：r=?/I,,，回歸直線方程的斜率A=『-----------，截距

四（七-寸俾%-方

A—，—

Cl=y-/zr?

【答案】（l"=0.95,具有較高的線性相關(guān)程度

（2）^=1.9x4-2.3?40.3億元

【分析】（1）將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可得結(jié)論.

（2）求出回歸直線方程，將》=20代入線性回歸方程計(jì)算即可.

555

【詳解】（1）可=10,ZS—刃一=40,工（占一月5-刃=19,

/=1/=1/=]

...該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入X與產(chǎn)品收益y具有較高的線性相關(guān)程度.

方(再-可(乂-力

(2)?：6=「-----------------=3=1.9,

2(710

1=1

x=1(l+2+3+4+5)=3,y=1(3+7+9+10+ll)=8,

.?,a=8-1.9x3=2.3.

Ay關(guān)于x的線性回歸方程為j=1.9x+2.3,

將》=20代入線性回歸方程可得，=1.9x20+2.3=40.3,

.??預(yù)測(cè)研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益為40.3（億元）.

2.為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)小收集數(shù)據(jù)如下:

天數(shù)工123456

繁殖個(gè)數(shù)

612254995190

y

“繁殖個(gè)數(shù)y

200

150

100

50

°2468天數(shù)x

（1）在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷y=6x+a（a,/＞為常數(shù)）與了=°聲"（9,

Q為常數(shù)，且仇＞0，。2彳。）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)V關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即

可，不必說(shuō)明理由）

（2）對(duì)于非線性回歸方程y=c聲6（仇，為常數(shù)，且。＞0，。2*0），令z=lny,可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)

數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

Zk，-x)

XyZ

Z=1/=11=1

3.5062.833.5317.50596.5712.09

①證明：“對(duì)于非繾住回歸方程^=。聲“令z=l"，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有繾住關(guān)系

（即z=.x+a,0,a為常數(shù)）”；

②根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）.

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,K）,（孫均），…,（3,），其回歸直線方程￡=瓦+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)

分別為/=“------;—,a=v-pu.

X"）

i=\

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，選擇》=《小'為回歸方程較適宜

（2）①證明見(jiàn)解析；②……設(shè)

【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)圖象的特征進(jìn)行判斷即可；

（2）①根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化公式進(jìn)行求解即可；

②利用題中所給的數(shù)據(jù)和公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示.

「繁殖個(gè)

200

150

100

50

O2468天數(shù)x

由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線的周?chē)?

故選擇y=。聲/為回歸方程較適宜;

(2)①由已知，z=\ny,則z=Iny=舊卜門(mén)時(shí))=Inc〕+Ine"=Inj+。2%，

則a=ln。，B="即z=^x+a.所以繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)，關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系.

②由①知繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x可以用線性回歸方程來(lái)擬合.

￡(x,-x)(x-^)

1=1J2.09

由表中數(shù)據(jù)可得力=B0.69,

-17.5

a-z=px=3.53-0.69x3.5?1.12,

則z關(guān)于x的線性回歸方程為2=0.69x+1.12.

又z=l”,

因此細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的非線性回歸方程為9=eO6Ri」2.

五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)

線性回歸方程

1.（江西省贛州市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題）遵守交通規(guī)則，人人有責(zé).“禮讓行人”是我國(guó)《道路

交通安全法》的明文規(guī)定，也是全國(guó)文明城市測(cè)評(píng)中的重要內(nèi)容.《道路交通安全法》第47條明確規(guī)定：“機(jī)

動(dòng)車(chē)行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速行駛，遇行人正在通過(guò)人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車(chē)讓行.機(jī)動(dòng)車(chē)行經(jīng)沒(méi)有交通信

號(hào)的道路時(shí)，遇行人橫過(guò)道路，應(yīng)當(dāng)避讓.否則扣3分罰200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干

路口監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不“禮讓行人”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

月份234

違章駕駛員人數(shù)12510510090

（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)V與月份X之間的回歸直線方程，=良+￡,并預(yù)測(cè)該路口2021年5月不“禮

讓行人”駕駛員的大約人數(shù)（四舍五入）;

（2）交警從這4個(gè)月內(nèi)通過(guò)該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查5（）人,調(diào)查駕駛員不“禮讓行人”行為與駕齡的關(guān)系,

得到下表:

不禮讓行人禮讓行人

駕齡不超過(guò)2年1020

駕齡2年以上812

能否據(jù)此判斷有90%的把握認(rèn)為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān)？

EXN一X卜一x）（必-y）

參考公式：b=R---------一目---------------

￡2

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

片=——幽二垃——，其中“j+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】（1）j）=-llx+132.5,大約人數(shù)為78人；（2）沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān).

【分析】（1）本題可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出嚏=g、亍=105,然后根據(jù)公式求出否=71、3=132.5,即可求出

回歸直線方程，最后令x=5,即可得出結(jié)果；

（2）本題可求出長(zhǎng)2土0.23,然后與表中數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，即可得出結(jié)果.

-1+2+3+45-125+105+100+90…

【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)易知:x=-----------=—,y------------------=105,

424

4___

2玉%-4盯995-1050A--5

貝！=--------==-H,a=y-Z>x=105-(-ll)x2=i32.5,

DU30-252

f=l

故所求回歸直線方程為3=7lx+132.5，

令x=5,貝!Jj=-llx5+132.5=77.5z78人,

預(yù)測(cè)該路口5月份不“禮讓行人”的駕駛員大約人數(shù)為78人.

（2）由表中數(shù)據(jù)可得：K2=50”l0xl2/0x8f“023<2.706,

18x32x30x20

對(duì)比表中數(shù)據(jù)可知，沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān).

2.（江蘇省徐州市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下表所示是我國(guó)2015年至2021年生活垃圾無(wú)

害化處理量（單位：億噸）.

年份r2015201620172018201920202021

處理量歹（億噸）1.81.972.12.262.42.552.69

（1）由數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與f的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；

（2）建立y關(guān)于/的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.

_7__P―-

附：”2.25,必-y）"」3，20.78,7722.65.相關(guān)系數(shù)，=?…，

Y/=1/=!

回歸方程/=&+2中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：5=J——--，》-即.

X"）

1=1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）j=-300.45+0.15f,預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約3億噸

【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式，直接計(jì)算求解即可.

（2）根據(jù)題意，列方程計(jì)算出回歸方程，進(jìn)而代入預(yù)測(cè)值，即可求解.

（1）由表中數(shù)據(jù)和附注中數(shù)據(jù)可得：i=2018,￡（4-J=28,

j=l\

j=i413

所以「-----:------?0.999

聞ft")20.78x2x2.65

因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.999,說(shuō)明y與t的線性相關(guān)相當(dāng)高,

從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.

。生^0.15,

(2)由(1)得人=J-----:—

Z")28

/=1

.=亍-京a2.25-0.15x2018=-300.45.

所以y關(guān)于t的回歸方程為：j=-300.45+0.15/.

將2023代入回歸方程得：y=-300.45+0.15x2023=3.

所以預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約3億噸.

3.(河南省南陽(yáng)地區(qū)2021-2022學(xué)年高二3月階段檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題)近些年來(lái)，短視頻社交軟件日益受到

追捧，用戶可以通過(guò)軟件選擇歌曲，拍攝音樂(lè)短視頻，創(chuàng)作自己的作品.某用戶對(duì)自己發(fā)布的視頻個(gè)數(shù)x與

收到的點(diǎn)贊個(gè)數(shù)之和y之間的關(guān)系進(jìn)行了分析研究，得到如下數(shù)據(jù)：

X34567

y455()606570

(1)計(jì)算x,了的相關(guān)系數(shù)/■(計(jì)算結(jié)果精確到0.01),并判斷是否可以認(rèn)為發(fā)布的視頻個(gè)數(shù)與收到的點(diǎn)贊數(shù)之

和的相關(guān)性很強(qiáng)；

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程.

EU-^)(z-y)￡占其-加■.歹￡(%-可(匕-刃

參考公式：?=『-----------=%----------，a=y-bx,r=-j=-------：--------?.參考數(shù)據(jù)：

￡(占-4〃二JEU-^)：E(X-7)2

?,=]j=lVi=lf=l

7043?0.656-V0.043?0.207.

【答案】(1)0.99,可以認(rèn)為發(fā)布的視頻個(gè)數(shù)與收到的點(diǎn)贊數(shù)之和的相關(guān)性很強(qiáng)

(2)y=6.5x+25.5

【分析】(1)根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式直接求解即可，然后再判斷

（2）根據(jù)回歸方程公式直接求解即可

z、mvi-3+4+5+6+7—45+50+60+65+70

【詳解】（1）因?yàn)閄=------------=5,y=------------------=58,

所以￡（為一無(wú)乂%-力=65,￡（玉-可=10.

1=11=1

555

因?yàn)閆（y，一刃=430，所以ZG-于『2（%一'）2=4300

/=1i=l/=!

￡（x,-T）（M-刃65

所以“?0.99,

宓―巾―）2

V*=11=1

由此可以認(rèn)為發(fā)布的視頻個(gè)數(shù)與收到的點(diǎn)贊數(shù)之和的相關(guān)性很強(qiáng).

55

（2）由（1）知必-刃=65,￡（x,.-r/=10,

/=1/=1

.次a-可（必-同65

所以八J-----------瑤=6.5.

2寸10

>=|

因?yàn)椋?=于一反=58-6.5x5=25.5,

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=6.5x+25.5.

4.（河南省安陽(yáng)市重點(diǎn)高中2021-2022學(xué)年高三模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）共享汽車(chē)，是指許多人合用一輛車(chē),

即開(kāi)車(chē)人對(duì)車(chē)輛只有使用權(quán)，而沒(méi)有所有權(quán)，有點(diǎn)類(lèi)似于在租車(chē)行業(yè)里的短時(shí)間的租車(chē).它手續(xù)簡(jiǎn)便，打

個(gè)電話或通過(guò)網(wǎng)上就可以預(yù)約訂車(chē).某市為了了解不同年齡的人對(duì)共享汽車(chē)的使用體驗(yàn)，隨機(jī)選取了100

名使用共享汽車(chē)的體驗(yàn)者，讓他們根據(jù)體驗(yàn)效果進(jìn)行評(píng)分.

（1）設(shè)消費(fèi)者的年齡為x,對(duì)共享汽車(chē)的體驗(yàn)評(píng)分為y.若根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到少關(guān)于x的線性

回歸方程為$=1.5x+15,且年齡X的方差為S:=9,評(píng)分y的方差為S；=25.求y與x的相關(guān)系數(shù)廠，并

據(jù)此判斷對(duì)共享汽車(chē)使用體驗(yàn)的評(píng)分與年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱（當(dāng)卜|20.75時(shí)，認(rèn)為相關(guān)性強(qiáng)，否則認(rèn)為相關(guān)性

弱）.

（2）現(xiàn)將100名消費(fèi)者的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評(píng)分劃分為“好評(píng)''和"差評(píng)”，整理得到如下數(shù)據(jù)，請(qǐng)

將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)共享汽車(chē)的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān).

好評(píng)差評(píng)合計(jì)

青年16

中老年12

合計(jì)44100

￡卜,臼(乂j)

附：回歸直線夕=八+￡的斜率i'Z(x,-)2

相關(guān)系數(shù)廠

￡卜4)±(%-討

/=1/=1

獨(dú)立性檢驗(yàn)中的K2=-―”華產(chǎn)—?<，其中〃=a+6+c+d

(Q+b)(a+c)(b+dL)(c+d)

臨界值表:

2

P(K>ku)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

【答案】（1"=0.9；對(duì)共享汽車(chē)使用體驗(yàn)的評(píng)分與年齡的相關(guān)性很強(qiáng).

（2）有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)共享汽車(chē)的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān).

100100100

【分析】（D根據(jù)方差公式求出Z5一目2=900,￡（y,「歹）2=2500,結(jié)合5求出Z（X,-元）（%-歹）=135（）,

/=!7=1/=1

再根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，可得結(jié)果；

（2）求出長(zhǎng)2,結(jié)合臨界值表可得結(jié)果.

100

【詳解】⑴因?yàn)?石配一君-，所以￡（%-4=900,

s=--------=9M

'r100

100

因?yàn)?所以*（力-力=2500,

s>'=100eI

100

Z（七-磯乂7）100100

因?yàn)楸?$,所以Z（巧一項(xiàng)匕一歹）=1$xX（七-守=1$x900=1350,

￡（占一,Iz

r=l

100

Z(七-弓(乂7)

13501350

所以相關(guān)系數(shù)，.=-7==="-i—----------------二09

1007900x250030x50'

Vr=li=I

因?yàn)?.9>0.75,所以可以判斷對(duì)共享汽車(chē)使用體驗(yàn)的評(píng)分與年齡的相關(guān)性很強(qiáng).

（2）根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表如下:

好評(píng)差評(píng)合計(jì)

青年163248

中老年401252

合計(jì)5644100

100(16x12-32x40)2

因?yàn)閅?19.25>10,828,

(16+32)(16+40)(32+12)(40+12)

所以有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)共享汽車(chē)的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān).

5.（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三第五次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）2015年7月31日，在吉隆

坡舉行的國(guó)際奧委會(huì)第128次全會(huì)上，北京獲得2022年冬奧會(huì)舉辦權(quán).在申冬奧過(guò)程中，中國(guó)正式向國(guó)際社

會(huì)作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國(guó)為國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大

國(guó)擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國(guó)經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會(huì)申辦成功

到2021年10月，全國(guó)參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這

是北京冬奧會(huì)給予全球冬季體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，可以說(shuō)是2022年北京冬奧會(huì)的第

一塊金牌."冬奧熱'’帶動(dòng)“冰雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來(lái)發(fā)展迅速,

2016至2022六個(gè)冰雪季的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：

年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022

年度代號(hào)t123456

旅游人次y1.71.972.240.942.543.15

（1）求y與，的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并回答y與f的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；

（2）因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號(hào)不變），求y

關(guān)于f的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并推測(cè)沒(méi)有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)

值.

16_1666=%，應(yīng)心優(yōu)（%-力

附注：參考數(shù)據(jù)：/=（Z4=3.5,丁=（2匕=2.09,=47.72,?7.

6,=16/=i/=i

/=1/=1

￡（4-，）（%-?。?/p>

參考公式：相關(guān)系數(shù)ri=l

__

yi-yl

乘估計(jì)公式分別為：b=-------；1=1,a=y-bt

Z"）

I=I,=!

【答案】（1）0.55,線性相關(guān)性不強(qiáng)

（2）3=0.26/+1.43,2.47億

【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，再進(jìn)行判斷即可,

（2）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合回歸方程公式計(jì)算y關(guān)于t的線性回歸方程,再將f=4代入回歸方程可求出2019-2020

年度冰雪旅游人次的估計(jì)值

【詳解】（1）由參考數(shù)據(jù)計(jì)算得

66

Z6-7）（%-歹）=》禹-6方=47.72-6x3.5x2.09=3.83

6

。出=0.55,

所以「i=l

667

f=l

因?yàn)?</<0.75,所以線性相關(guān)性不強(qiáng).

（2）五組數(shù)據(jù)的均值分別為7T=3.4,7=2.32

6

4.47.72-4x0.94-5x3.4x2.32=4.52

t,2Y-5*=91-16-5x3.42=17.2

4.52

=0.263,

tb邛F2

i=l

&=y'—bfx1.43

y關(guān)于t的線性回歸方程為y=0.26/+1.43

令f=4,則夕=0.26x4+1.43=2.47,

因此，在沒(méi)有疫情情況下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值為2.47億.

6.（陜西省西安市蓮湖區(qū)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，中醫(yī)藥全

面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn).某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)

品收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

研發(fā)投入X（億元）12345

產(chǎn)品收益y（億元）3791011

（1）計(jì)算x,y的相關(guān)系數(shù)「，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若

0.3<|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般，若|川>0.75,則線性相關(guān)程度較高）

（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益.

555

參考數(shù)據(jù)：2（匕-葉=10,>包一刃2=40,X（x,-動(dòng)枚-歹）=19.

/=1/=!

力（占-可（%-7）2（士-三）（乂-刃

附：相關(guān)系數(shù)公式：r=J，回歸直線方程的斜率3=口-----------，截距

?。ā咀。?-力￡（士-丁）2

Vi=lVi=li=1

A-：-

Cl=y-bx?

【答案】（l"=0.95,具有較高的線性相關(guān)程度

(2)J=1.9X+2.3>40.3億元

【分析】（1）將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可得結(jié)論.

（2）求出回歸直線方程，將工=20代入線性回歸方程計(jì)算即可.

【詳解】（1）???￡（占一可2=10,5,5

刃=40,2（占-可包-刃=19,

*'=1i=l/=1

2（毛-可（必-力

1919

?尸=j=]=-f=~尸=-0.9S>0.75,

j火（七一可收（必一力2V10xV4020

，該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入x與產(chǎn)品收益y具有較高的線性相關(guān)程度.

.S5a-碩乂-力19

（2）?:b=口-----------=—=1.9,

10

r=!

于=((1+2+3+4+5)=3,歹=*(3+7+9+10+11)=8,

=8—1.9x3=2.3.

Ay關(guān)于x的線性回歸方程為j=l.9x+2.3,

將》=20代入線性回歸方程可得，5=1.9x20+2.3=40.3,

.??預(yù)測(cè)研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益為40.3（億元）.

7.（西藏拉薩市高中六校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)

量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.

八N（百千克）

二二二工二

3?????

?????

?????

?????

?????

o―3浦k1；（千克）

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)廠并加以說(shuō)明（若

H>0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求V關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)液體肥料每畝使用量為10千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？

附：相關(guān)系數(shù)公式廠=

參考數(shù)據(jù)：^/03?0.55,5/0^9?0.95

回歸方程/=暮+￡中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

E(七-可(乂-力X七％一”孫

b=-^；-----------------=-4----------^y--xb'.

￡(占-葉Yx.2~nx~

1=12=1

【答案】(1"“0.95,說(shuō)明見(jiàn)解析

(2)j>=0.3x+2.5；550千克

【分析】⑴根據(jù)散點(diǎn)圖中的數(shù)據(jù)分別求得可得17，尤1,二）（乂-習(xí),

/=!

進(jìn)而求得相關(guān)系數(shù)廠，再與0.75比較下結(jié)論.

（2）結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)，分別求得否，a>寫(xiě)出回歸方程，然后將尸10代入求解.

2+4+5+6+8_3+4+4+4+5.

【詳解】（1）由已知數(shù)據(jù)可得了=------------=5cy=-------------=4,

5

5

所以Z(x,-可(%-尸)=(-3)x(T)+(-l)xO+OxO+lxO+3xl=6,

/=1

)2=7(-3)2+(-1)2+02+12+32=2退,

火（必-刃2=^/（-1）2+02+02+02+12=五,

5

2出”應(yīng)

i=lV1=1

因?yàn)閺S＞0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

八之（x,-可（必-7）

（2）b=