復(fù)習(xí)-固體物理習(xí)題與思考題

第一章晶體結(jié)構(gòu)思考題

1.

以堆積模型計(jì)算由同種原子構(gòu)成的同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)之比.[解答]設(shè)原子的半徑為R,體心立方晶胞的空間對(duì)角線為4R,晶胞的邊長(zhǎng)為,晶胞的體積為,一個(gè)晶胞包含兩個(gè)原子,一個(gè)原子占的體積為,單位體積晶體中的原子數(shù)為;面心立方晶胞的邊長(zhǎng)為,晶胞的體積為,一個(gè)晶胞包含四個(gè)原子,一個(gè)原子占的體積為,單位體積晶體中的原子數(shù)為.因此,同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)之比為=0.272.2.

解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？[解答]晶體容易沿解理面劈裂，說明平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層的間距大.因?yàn)槊骈g距大的晶面族的指數(shù)低,所以解理面是面指數(shù)低的晶面.3.

基矢為,,的晶體為何種結(jié)構(gòu)?若+,又為何種結(jié)構(gòu)?為什么?[解答]有已知條件,可計(jì)算出晶體的原胞的體積.由原胞的體積推斷,晶體結(jié)構(gòu)為體心立方.按照本章習(xí)題14,我們可以構(gòu)造新的矢量,,.對(duì)應(yīng)體心立方結(jié)構(gòu).根據(jù)14題可以驗(yàn)證,滿足選作基矢的充分條件.可見基矢為,,的晶體為體心立方結(jié)構(gòu). 若+,則晶體的原胞的體積,該晶體仍為體心立方結(jié)構(gòu).4.

與晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指數(shù)是什么? [解答] 正格子與倒格子互為倒格子.正格子晶面(h1h2h3)與倒格式h1+h2+h3垂直,則倒格晶面(l1l2l3)與正格矢l1+l2+l3正交.即晶列[l1l2l3]與倒格面(l1l2l3)垂直.5.

在結(jié)晶學(xué)中,晶胞是按晶體的什么特性選取的? [解答] 在結(jié)晶學(xué)中,晶胞選取的原則是既要考慮晶體結(jié)構(gòu)的周期性又要考慮晶體的宏觀對(duì)稱性.6.六角密積屬何種晶系?一個(gè)晶胞包含幾個(gè)原子? [解答] 六角密積屬六角晶系,一個(gè)晶胞(平行六面體)包含兩個(gè)原子.7.面心立方元素晶體中最小的晶列周期為多大?該晶列在哪些晶面內(nèi)? [解答] 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面內(nèi).若以密堆積模型,則原子面密度最大的晶面就是密排面.由圖1.9可知密勒指數(shù)(111)[可以證明原胞坐標(biāo)系中的面指數(shù)也為(111)]是一個(gè)密排面晶面族,最小的晶列周期為.根據(jù)同族晶面族的性質(zhì),周期最小的晶列處于{111}面內(nèi).8.在晶體衍射中，為什么不能用可見光？ [解答] 晶體中原子間距的數(shù)量級(jí)為米，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長(zhǎng)應(yīng)小于米.但可見光的波長(zhǎng)為7.6?4.0米,是晶體中原子間距的1000倍.因此,在晶體衍射中，不能用可見光.9.高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比,對(duì)于同級(jí)衍射,哪一晶面族衍射光弱?為什么? [解答] 對(duì)于同級(jí)衍射,高指數(shù)的晶面族衍射光弱,低指數(shù)的晶面族衍射光強(qiáng).低指數(shù)的晶面族面間距大,晶面上的原子密度大,這樣的晶面對(duì)射線的反射(衍射)作用強(qiáng).相反,高指數(shù)的晶面族面間距小,晶面上的原子密度小,這樣的晶面對(duì)射線的反射(衍射)作用弱.另外,由布拉格反射公式 可知,面間距大的晶面,對(duì)應(yīng)一個(gè)小的光的掠射角.面間距小的晶面,對(duì)應(yīng)一個(gè)大的光的掠射角.越大,光的透射能力就越強(qiáng),反射能力就越弱.10.溫度升高時(shí),衍射角如何變化?X光波長(zhǎng)變化時(shí),衍射角如何變化? [解答] 溫度升高時(shí),由于熱膨脹,面間距逐漸變大.由布拉格反射公式 可知,對(duì)應(yīng)同一級(jí)衍射,當(dāng)X光波長(zhǎng)不變時(shí),面間距逐漸變大,衍射角逐漸變小.所以溫度升高,衍射角變小.當(dāng)溫度不變,X光波長(zhǎng)變大時(shí),對(duì)于同一晶面族,衍射角隨之變大.

.可見高溫時(shí),格波的聲子數(shù)目與溫度近似成正比.7.你認(rèn)為簡(jiǎn)單晶格存在強(qiáng)烈的紅外吸收嗎？ [解答]實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí),離子晶體能強(qiáng)烈吸收遠(yuǎn)紅外光波.這種現(xiàn)象產(chǎn)生的根源是離子晶體中的長(zhǎng)光學(xué)橫波能與遠(yuǎn)紅外電磁場(chǎng)發(fā)生強(qiáng)烈耦合.簡(jiǎn)單晶格中不存在光學(xué)波,所以簡(jiǎn)單晶格不會(huì)吸收遠(yuǎn)紅外光波.8.愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源是什么? [解答]按照愛因斯坦溫度的定義,愛因斯坦模型的格波的頻率大約為,屬于光學(xué)支頻率.但光學(xué)格波在低溫時(shí)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)非常小,低溫下對(duì)熱容貢獻(xiàn)大的主要是長(zhǎng)聲學(xué)格波.也就是說愛因斯坦沒考慮聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)是愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源.9.在甚低溫下,德拜模型為什么與實(shí)驗(yàn)相符? [解答]在甚低溫下,不僅光學(xué)波得不到激發(fā),而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波也未被激發(fā),得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長(zhǎng)聲學(xué)格波.長(zhǎng)聲學(xué)格波即彈性波.德拜模型只考慮彈性波對(duì)熱容的貢獻(xiàn).因此,在甚低溫下,德拜模型與事實(shí)相符,自然與實(shí)驗(yàn)相符.10.在絕對(duì)零度時(shí)還有格波存在嗎?若存在,格波間還有能量交換嗎?

[解答]頻率為的格波的振動(dòng)能為,其中是由個(gè)聲子攜帶的熱振動(dòng)能,()是零點(diǎn)振動(dòng)能,聲子數(shù).絕對(duì)零度時(shí),=0.頻率為的格波的振動(dòng)能只剩下零點(diǎn)振動(dòng)能. 格波間交換能量是靠聲子的碰撞實(shí)現(xiàn)的.絕對(duì)零度時(shí),聲子消失,格波間不再交換能量.11.溫度很低時(shí),聲子的自由程很大,當(dāng)時(shí),,問時(shí),對(duì)于無限長(zhǎng)的晶體,是否成為熱超導(dǎo)材料? [解答]對(duì)于電絕緣體,熱傳導(dǎo)的載流子是聲子.當(dāng)時(shí),聲子數(shù)n.因此,時(shí),不論晶體是長(zhǎng)還是短,都自動(dòng)成為熱絕緣材料.12.石英晶體的熱膨脹系數(shù)很小,問它的格林愛森常數(shù)有何特點(diǎn)? [解答]由本教科書可知,熱膨脹系數(shù)與格林愛森常數(shù)成正比.石英晶體的熱膨脹系數(shù)很小,它的格林愛森常數(shù)也很小.格林愛森常數(shù)大小可作為晶格非簡(jiǎn)諧效應(yīng)大小的尺度.石英晶體的格林愛森常數(shù)很小,說明它的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)很小.

第四章

晶體中電子能帶理論

思考題

1.

波矢空間與倒格空間有何關(guān)系?為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)是準(zhǔn)連續(xù)的? [解答]波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間,倒格空間的基矢分別為,而波矢空間的基矢分別為,N1、N2、N3分別是沿正格子基矢方向晶體的原胞數(shù)目.倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為,波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為,即波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積,是倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積的1/N.由于N是晶體的原胞數(shù)目,數(shù)目巨大,所以一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積與一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積相比是極其微小的.也就是說,波矢點(diǎn)在倒格空間看是極其稠密的.因此,在波矢空間內(nèi)作求和處理時(shí),可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的.2.

與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對(duì)什么狀態(tài)的電子具有強(qiáng)烈的散射作用？ [解答]當(dāng)電子的波矢k滿足關(guān)系式時(shí),與布里淵區(qū)邊界平行且垂直于的晶面族對(duì)波矢為k的電子具有強(qiáng)烈的散射作用.此時(shí),電子的波矢很大,波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上,k垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的模等于.3.

一維周期勢(shì)函數(shù)的付里葉級(jí)數(shù)中,指數(shù)函數(shù)的形式是由什么條件決定的?

[解答]周期勢(shì)函數(shù)V(x)付里葉級(jí)數(shù)的通式為上式必須滿足勢(shì)場(chǎng)的周期性,即.顯然.要滿足上式,必為倒格矢.可見周期勢(shì)函數(shù)V(x)的付里葉級(jí)數(shù)中指數(shù)函數(shù)的形式是由其周期性決定的.4.

在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點(diǎn)? [解答]電子的能帶依賴于波矢的方向,在任一方向上,在布里淵區(qū)邊界上,近自由電子的能帶一般會(huì)出現(xiàn)禁帶.若電子所處的邊界與倒格矢正交,則禁帶的寬度,是周期勢(shì)場(chǎng)的付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù).不論何種電子,在布里淵區(qū)邊界上,其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方向上的斜率為零,即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交.5.

當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí),其有效質(zhì)量何以與真實(shí)質(zhì)量有顯著差別? [解答]晶體中的電子除受外場(chǎng)力的作用外,還和晶格相互作用.設(shè)外場(chǎng)力為F,晶格對(duì)電子的作用力為Fl,電子的加速度為.但Fl的具體形式是難以得知的.要使上式中不顯含F(xiàn)l,又要保持上式左右恒等,則只有.顯然,晶格對(duì)電子的作用越弱,有效質(zhì)量m*與真實(shí)質(zhì)量m的差別就越小.相反,晶格對(duì)電子的作用越強(qiáng),有效質(zhì)量m*與真實(shí)質(zhì)量m的差別就越大.當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí),與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對(duì)電子的散射作用最強(qiáng)烈.在晶面族的反射方向上,各格點(diǎn)的散射波相位相同,迭加形成很強(qiáng)的反射波.正因?yàn)樵诓祭餃Y區(qū)邊界上的電子與晶格的作用很強(qiáng),所以其有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量有顯著差別.6.

帶頂和帶底的電子與晶格的作用各有什么特點(diǎn)? [解答]由本教科書得.將上式分子變成能量的增量形式，從能量的轉(zhuǎn)換角度看,上式可表述為.由于能帶頂是能帶的極大值，<0，所以有效質(zhì)量<0.說明此時(shí)晶格對(duì)電子作負(fù)功,即電子要供給晶格能量,而且電子供給晶格的能量大于外場(chǎng)力對(duì)電子作的功.而能帶底是該能帶的極小值，>0，所以電子的有效質(zhì)量>0.但比m小.這說明晶格對(duì)電子作正功.m*<m的例證,不難由(5.36)式求得<1.7.電子的有效質(zhì)量變?yōu)榈奈锢硪饬x是什么? [解答]仍然從能量的角度討論之.電子能量的變化.從上式可以看出，當(dāng)電子從外場(chǎng)力獲得的能量又都輸送給了晶格時(shí),電子的有效質(zhì)量變?yōu)?此時(shí)電子的加速度,即電子的平均速度是一常量.或者說,此時(shí)外場(chǎng)力與晶格作用力大小相等,方向相反.8.緊束縛模型下,內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較,哪一個(gè)寬?為什么?

[解答]以s態(tài)電子為例.緊束縛模型電子能帶的寬度取決于積分的大小,而積分的大小又取決于與相鄰格點(diǎn)的的交迭程度.緊束縛模型下,內(nèi)層電子的與交疊程度小,外層電子的與交迭程度大.因此,緊束縛模型下,內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較,外層電子的能帶寬.9.等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交的物理意義是什么？

[解答]將電子的波矢k分成平行于布里淵區(qū)邊界的分量和垂直于布里淵區(qū)邊界的分量k┴.則由電子的平均速度得到,.等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交,則在布里淵區(qū)邊界上恒有=0,即垂直于界面的速度分量為零.垂直于界面的速度分量為零,是晶格對(duì)電子產(chǎn)生布拉格反射的結(jié)果.在垂直于界面的方向上,電子的入射分波與晶格的反射分波干涉形成了駐波.10.一維簡(jiǎn)單晶格中一個(gè)能級(jí)包含幾個(gè)電子? [解答]設(shè)晶格是由N個(gè)格點(diǎn)組成,則一個(gè)能帶有N個(gè)不同的波矢狀態(tài),能容納2N個(gè)電子.由于電子的能帶是波矢的偶函數(shù),所以能級(jí)有(N/2)個(gè).可見一個(gè)能級(jí)上包含4個(gè)電子.11.本征半導(dǎo)體的能帶與絕緣體的能帶有何異同? [解答]在低溫下,本征半導(dǎo)體的能帶與絕緣體的能帶結(jié)構(gòu)相同.但本征半導(dǎo)體的禁帶較窄,禁帶寬度通常在2個(gè)電子伏特以下.由于禁帶窄,本征半導(dǎo)體禁帶下滿帶頂?shù)碾娮涌梢越柚鸁峒ぐl(fā),躍遷到禁帶上面空帶的底部,使得滿帶不滿,空帶不空,二者都對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn).第六章金屬電子論思考題

1.如何理解電子分布函數(shù)的物理意義是:能量為E的一個(gè)量子態(tài)被電子所占據(jù)的平均幾率?[解答]金屬中的價(jià)電子遵從費(fèi)密-狄拉克統(tǒng)計(jì)分布,溫度為T時(shí),分布在能級(jí)E上的電子數(shù)目,g為簡(jiǎn)并度,即能級(jí)E包含的量子態(tài)數(shù)目.顯然,電子分布函數(shù)是溫度T時(shí),能級(jí)E的一個(gè)量子態(tài)上平均分布的電子數(shù).因?yàn)橐粋€(gè)量子態(tài)最多由一個(gè)電子所占據(jù),所以的物理意義又可表述為:能量為E的一個(gè)量子態(tài)被電子所占據(jù)的平均幾率.2.絕對(duì)零度時(shí),價(jià)電子與晶格是否交換能量?[解答] 晶格的振動(dòng)形成格波，價(jià)電子與晶格交換能量，實(shí)際是價(jià)電子與格波交換能量.格波的能量子稱為聲子,價(jià)電子與格波交換能量可視為價(jià)電子與聲子交換能量.頻率為的格波的聲子數(shù).從上式可以看出,絕對(duì)零度時(shí),任何頻率的格波的聲子全都消失.因此,絕對(duì)零度時(shí),價(jià)電子與晶格不再交換能量.3.你是如何理解絕對(duì)零度時(shí)和常溫下電子的平均動(dòng)能十分相近這一點(diǎn)的?[解答]自由電子論只考慮電子的動(dòng)能.在絕對(duì)零度時(shí),金屬中的自由(價(jià))電子,分布在費(fèi)密能級(jí)及其以下的能級(jí)上,即分布在一個(gè)費(fèi)密球內(nèi).在常溫下,費(fèi)密球內(nèi)部離費(fèi)密面遠(yuǎn)的狀態(tài)全被電子占據(jù),這些電子從格波獲取的能量不足以使其躍遷到費(fèi)密面附近或以外的空狀態(tài)上,能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費(fèi)密面附近的少數(shù)電子,而絕大多數(shù)電子的能態(tài)不會(huì)改變.也就是說,常溫下電子的平均動(dòng)能與絕對(duì)零度時(shí)的平均動(dòng)能一定十分相近.4.晶體膨脹時(shí),費(fèi)密能級(jí)如何變化?[解答]費(fèi)密能級(jí),其中是單位體積內(nèi)的價(jià)電子數(shù)目.晶體膨脹時(shí),體積變大,電子數(shù)目不變,變小,費(fèi)密能級(jí)降低.5.為什么溫度升高,費(fèi)密能反而降低?[解答]當(dāng)時(shí),有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)即是費(fèi)密能級(jí).溫度升高,費(fèi)密面附近的電子從格波獲取的能量就越大,躍遷到費(fèi)密面以外的電子就越多,原來有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)上的電子就少于一半,有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)必定降低.也就是說,溫度升高,費(fèi)密能反而降低.6.為什么價(jià)電子的濃度越大,價(jià)電子的平均動(dòng)能就越大?[解答]由于絕對(duì)零度時(shí)和常溫下電子的平均動(dòng)能十分相近，我們討論絕對(duì)零度時(shí)電子的平均動(dòng)能與電子濃度的關(guān)系.價(jià)電子的濃度越大價(jià)電子的平均動(dòng)能就越大,這是金屬中的價(jià)電子遵從費(fèi)密-狄拉克統(tǒng)計(jì)分布的必然結(jié)果.在絕對(duì)零度時(shí),電子不可能都處于最低能級(jí)上,而是在費(fèi)密球中均勻分