浙江省杭州市浙大附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

浙江省杭州市浙大附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則，推廣到空間中可以得到類似結(jié)論：已知正四面體的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則為（）A． B． C． D．3．將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則下列各式正確的是（）A． B．C． D．4．設(shè)圓x2+y2+2x-2=0截x軸和y軸所得的弦分別為AB和CDA．22 B．23 C．25．展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A． B． C． D．6．已知則的最小值是()A． B．4 C． D．57．用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243B．252C．261D．2798．若對于任意的實(shí)數(shù)，有，則的值為（）A． B． C． D．9．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%10．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．311．設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為.將此結(jié)論類比到空間四面體：設(shè)四面體的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，則四面體的內(nèi)切球半徑為r＝（）A． B．C． D．12．函數(shù)在處的切線斜率為（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知方程有兩個根、，且，則的值為______.14．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為.15．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為___________．16．已知函數(shù)，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，根據(jù)下列條件分別求實(shí)數(shù)的值.（Ⅰ）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（Ⅱ）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上.18．（12分）已知函數(shù).（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)．是否存在直線（）與函數(shù)的圖象相切？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．19．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點(diǎn)為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；（2）設(shè)，當(dāng)在同一水平面內(nèi)時，求與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個線段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小，且保持三個線段與底面成角相同，若，，問為何值時，的體積最大，并求出最大值．20．（12分）已知函數(shù)，．(Ⅰ)當(dāng)時，證明：；(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請證明你的結(jié)論．21．（12分）選修4-5：不等式選講.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（2）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）某工廠甲、乙兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為相.（1）若從甲、乙兩條生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品。至少有一件合格的概率為.求的值：（2）在（1）的前提下，假設(shè)每生產(chǎn)一件不合格的產(chǎn)品，甲、乙兩條生產(chǎn)錢損失分別為元和元，若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢件產(chǎn)品。估計哪條生產(chǎn)線的損失較多？（3）若產(chǎn)品按照一、二、三等級分類后銷售，每件可分別獲利元，元，元，現(xiàn)從甲、乙生產(chǎn)線各隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示。用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為，求的分布列并估計該廠產(chǎn)量為件時利潤的期望值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】，，，∴“”是“”的充分不必要條件．故選：．2、B【解題分析】

平面圖形類比空間圖形,二維類比三維,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.【題目詳解】設(shè)正四面體P-ABC的邊長為a，設(shè)E為三角形ABC的中心，H為正四面體P-ABC的中心，則HE為正四面體P-ABC的內(nèi)切球的半徑r,BH=PH且為正四面體P-ABC的外接球的半徑R，所以BE=，所以在中，，解得，所以R=PE-HE=，所以，根據(jù)的球的體積公式有，，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查類比推理，常見類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.3、C【解題分析】

根據(jù)平移得到，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意：，故，取，故.故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，由，則故，則正確，其他選項(xiàng)不正確.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)平移，中心對稱，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.4、C【解題分析】

先求出|AB|,|CD|,再求四邊形ABCD的面積.【題目詳解】x2+y令y=0得x=±3-1,則令x=0得y=±2，所以|CD|=2四邊形ACBD的面積S=故答案為：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

求出展開式的通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行化簡，最后讓的指數(shù)為零，最后求出常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】解:，令得展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了求二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)問題，運(yùn)用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.6、C【解題分析】

由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值，注意等號成立的條件.【題目詳解】由題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即的最小值是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．7、B【解題分析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十個數(shù)字組成的三位數(shù)(含有重復(fù)數(shù)字的)共有9×10×10=900，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648，因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有900－648=1．8、B【解題分析】試題分析：因?yàn)?，所以，故選擇B.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.9、B【解題分析】試題分析：由題意故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布10、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫出圖像如下圖所示，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點(diǎn)睛：本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識.屬于中檔題.11、C【解題分析】

由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.【題目詳解】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是r，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為：，所以.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，屬于中檔題.12、B【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，然后代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求得本題答案.【題目詳解】由，得，所以切線斜率.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查在曲線上一點(diǎn)的切線斜率，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或1【解題分析】

對方程的兩根分成實(shí)根和虛根兩種情況討論，再利用韋達(dá)定理和求根公式分別求解．【題目詳解】當(dāng)△時，，；當(dāng)△時，，故答案為：或1．【題目點(diǎn)撥】此題考查實(shí)系數(shù)二次方程根的求解，考查分類討論思想的運(yùn)用，求解的關(guān)鍵在于對判別式分大于0和小于0兩種情況．14、5.【解題分析】.試題分析：約束條件的可行域如圖△ABC所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A(1，1)時，z取最大值，最大值為1+4×1=5.【考點(diǎn)】線性規(guī)劃及其最優(yōu)解.15、4【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，將條件轉(zhuǎn)化為距離問題即可得到答案【題目詳解】設(shè)，由得所以即點(diǎn)是圓心為，半徑為1的圓上的動點(diǎn)，表示的是點(diǎn)與點(diǎn)的距離所以其最小值為點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即故答案為：4【題目點(diǎn)撥】本題考查的是復(fù)數(shù)模的幾何意義，圓當(dāng)中的最值問題一般向圓心進(jìn)行轉(zhuǎn)化.16、【解題分析】，，解得，故，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)純虛數(shù)為實(shí)部為0，虛部不為0即可得到方程，于是求得答案；（Ⅱ）將復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)表示出來，代入直線上，即可得到答案.【題目詳解】解：因?yàn)?，?fù)數(shù)可表示為，（Ⅰ）因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以解得；（Ⅱ）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上所以即解得或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義等相關(guān)概念，難度較小.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和（2）存在，的值是．【解題分析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)存直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，則這條直線可以寫成，與直線比較，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）∵，∴．令，得，解之，得；令，得，解之，得，或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和．（2）∵，，∴．∴．假設(shè)存直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)（），則這條直線可以寫成．∵，，∴．即．∴解之，得所以存在直線與函數(shù)的圖象相切，的值是．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19、（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當(dāng)時，最大體積為：；【解題分析】

（1）根據(jù)線段等長首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點(diǎn)均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn)，可知四面體棱長均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設(shè)正四面體棱長為，利用表示出各邊，利用勾股定理構(gòu)造方程可求得，從而可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）取中點(diǎn)，利用三線合一性質(zhì)可知，從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高，根據(jù)三棱錐體積公式可將體積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，并確定此時的取值，從而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線段等長，即到四面體四個頂點(diǎn)距離相等為四面體外接球的球心又底面在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長均相等為正四面體（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心設(shè)中心為，則平面，如下圖所示：即為與平面所成角設(shè)正四面體棱長為則，在中，，解得：即與平面所成角為：（3）取中點(diǎn)，連接，，為中點(diǎn)且，令，，則設(shè)，，則令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，取極大值，即為最大值：即當(dāng)時，取得最大值，最大值為：此時，即綜上所述，當(dāng)時，體積最大，最大值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中的幾何體特征判斷、直線與平面所成角的求解、三棱錐體積的最值的求解問題；求解三棱錐體積的最值問題，關(guān)鍵是要把底面面積和三棱錐的高均利用某一變量來進(jìn)行表示，從而將所求體積最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于此變量的函數(shù)最值問題的求解，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)或其他求解函數(shù)最值的方法求得結(jié)果.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2條，證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)x＞0時，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分別求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即可得證；（Ⅱ）先確定曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，先化簡方程得lnm﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象，通過圖象的交點(diǎn)個數(shù)來判斷方程的解的個數(shù)，即可得到所求結(jié)論．【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)x＞0時，設(shè)h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減；0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增；可得h（x）在x＝1處取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；設(shè)l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，l′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x＞0時，l′（x）＞0，l（x）遞增；可得l（x）＞l（0）＝1＞0，綜上可得當(dāng)x＞0時，g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2，證明如下：設(shè)公切線與g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切點(diǎn)分別為（m，lnm），（n，en），m≠n，∵g′（x），f′（x）＝ex，可得，化簡得（m﹣1）lnm＝m+1，當(dāng)m＝1時，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；當(dāng)m≠1時，（m﹣1）lnm＝m+1化為lnm，由lnx1，即lnx﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象，由圖象可知：y＝lnx﹣1和y的函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，可得方程lnm有兩個實(shí)根，則曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數(shù)是2條．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值和最值，考查方程與構(gòu)造函數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想，考查化簡運(yùn)算能力，屬于較難題．21、（1）4（2）【解題分析】分析：（1）利用絕對值三角不等式求函數(shù)的最大值.(2)