2024屆河北省滄州市普通高中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆河北省滄州市普通高中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在用數(shù)學(xué)歸納法證明:“凸多邊形內(nèi)角和為”時(shí)，第一步驗(yàn)證的等于（）A．1 B．3 C．5 D．72．若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b<0，則()A．a(chǎn),b都小于0B．a(chǎn),b都大于0C．a(chǎn),b中至少有一個(gè)大于0D．a(chǎn),b中至少有一個(gè)小于03．已知，，那么等于（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象與兩坐標(biāo)軸都沒(méi)有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A． B．2 C．3 D．2或5．下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（）A．72 B．108 C．144 D．1967．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．8．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．09．的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為3，則該展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．2 B．8 C． D．-1710．設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．11．當(dāng)輸入a的值為，b的值為時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的結(jié)果是()A． B． C． D．12．在平行四邊形ABCD中，，則cos∠ABD的范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量滿(mǎn)足，，的夾角為，則__________．14．已知滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，則的最小值為_(kāi)______．15．已知，則________．16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如果球、正方體與等邊圓柱（底面直徑與母線相等）的體積相等，求它們的表面積的大小關(guān)系．18．（12分）若存在常數(shù)（），使得對(duì)定義域內(nèi)的任意，（），都有成立，則稱(chēng)函數(shù)在其定義域上是“利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否是“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請(qǐng)證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)（）是“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；（3）若（）是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，都有.19．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）定義：在等式中，把，，，…，叫做三項(xiàng)式的次系數(shù)列(如三項(xiàng)式的1次系數(shù)列是1，1，1).(1)填空：三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是_______________；三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是_______________；(2)由楊輝三角數(shù)陣表可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),類(lèi)似的請(qǐng)用三項(xiàng)式次系數(shù)列中的系數(shù)表示(無(wú)須證明)；(3)求的值.21．（12分）某校要用三輛汽車(chē)從新校區(qū)把教職工接到老校區(qū)，已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路，汽車(chē)走公路①堵車(chē)的概率為，不堵車(chē)的概率為；汽車(chē)走公路②堵車(chē)的概率為，不堵車(chē)的概率為.若甲、乙兩輛汽車(chē)走公路①，丙汽車(chē)由于其他原因走公路②，且三輛車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響.（1）若三輛汽車(chē)中恰有一輛汽車(chē)被堵的概率為，求走公路②堵車(chē)的概率；（2）在（1）的條件下，求三輛汽車(chē)中被堵車(chē)輛的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（Ⅰ）試計(jì)算，，，，并猜想的表達(dá)式；（Ⅱ）求出的表達(dá)式，并證明（Ⅰ）中你的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

多邊形的邊數(shù)最少是，即三角形，即可得解；【題目詳解】解：依題意，因?yàn)槎噙呅蔚倪厰?shù)最少是，即三角形，用數(shù)學(xué)歸納法證明:“凸多邊形內(nèi)角和為”時(shí)，第一步驗(yàn)證的等于時(shí)，是否成立，故選：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的基本原理，屬于簡(jiǎn)單題.用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立時(shí)，需要驗(yàn)證時(shí)成立，然后假設(shè)假設(shè)時(shí)命題成立，證明時(shí)命題也成立即可，對(duì)于第一步，要確定，其實(shí)就是確定是結(jié)論成立的最小的.2、D【解題分析】假設(shè)a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相矛盾,因此假設(shè)錯(cuò)誤,即a,b中至少有一個(gè)小于0.3、B【解題分析】

根據(jù)條件概率公式得出可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】由條件概率公式得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，利用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義，求出m的值，代入判斷即可．【題目詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，，解得：或，時(shí)，，其圖象與兩坐標(biāo)軸有交點(diǎn)不合題意，時(shí)，，其圖象與兩坐標(biāo)軸都沒(méi)有交點(diǎn)，符合題意，故，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)，是一道常規(guī)題．5、D【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義，逐項(xiàng)分析即可.【題目詳解】A：中指數(shù)是，所以不是指數(shù)函數(shù)，故錯(cuò)誤；B：是冪函數(shù)，故錯(cuò)誤；C：中底數(shù)前系數(shù)是，所以不是指數(shù)函數(shù)，故錯(cuò)誤；D：屬于指數(shù)函數(shù)，故正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】指數(shù)函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)：形如（且）的是指數(shù)函數(shù)，形如（且且且）的是指數(shù)型函數(shù).6、C【解題分析】

分步完成，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．【題目詳解】按題意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．因此填法總數(shù)為．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理．解題關(guān)鍵是確定完成這件事的方法．7、D【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的乘法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義得出.【題目詳解】，因此，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，解復(fù)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，首先利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算性質(zhì)將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后針對(duì)實(shí)部和虛部求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，令其實(shí)部與虛部分別相等即可求出答案．9、D【解題分析】

令得各項(xiàng)系數(shù)和，可求得，再由二項(xiàng)式定理求得的系數(shù)，注意多項(xiàng)式乘法法則的應(yīng)用．【題目詳解】令，可得，，在的展開(kāi)式中的系數(shù)為：．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，在二項(xiàng)展開(kāi)式中，通過(guò)對(duì)變量適當(dāng)?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù)，如令可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，再令可得展開(kāi)式中偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和與奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和的差，兩者結(jié)合可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．10、A【解題分析】試題分析：∵隨機(jī)變量，∴，解得．∴，∴，故選C．考點(diǎn)：1．二項(xiàng)分布；2．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)方差．11、C【解題分析】

模擬程序的運(yùn)行，根據(jù)程序流程，依次判斷寫(xiě)出a，b的值，可得當(dāng)a=b=4時(shí)，不滿(mǎn)足條件a≠b，輸出a的值為4，即可得解．【題目詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得a=16，b=12滿(mǎn)足條件a≠b，滿(mǎn)足條件a>b，a=16?12=4，滿(mǎn)足條件a≠b，不滿(mǎn)足條件a>b，b=12?4=8，滿(mǎn)足條件a≠b，不滿(mǎn)足條件a>b，b=4?4=4，不滿(mǎn)足條件a≠b，輸出a的值為4.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.12、D【解題分析】

利用可得邊之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理可得cos∠ABD的表達(dá)式，然后可得范圍.【題目詳解】因?yàn)?，所以；不妨設(shè)，則，把兩邊同時(shí)平方可得，即；在中，，所以；；令，，則，易知，為增函數(shù)，所以.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的運(yùn)算及解三角形，構(gòu)造目標(biāo)表達(dá)式是求解的關(guān)鍵，涉及最值問(wèn)題經(jīng)常使用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來(lái)求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先計(jì)算，再由展開(kāi)計(jì)算即可得解.【題目詳解】由，，的夾角為，得.所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.14、7【解題分析】試題分析：作出不等式表示的平面區(qū)域，得到及其內(nèi)部，其中把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，表示的斜率為，截距為，由于當(dāng)截距最大時(shí)，最大，由圖知，當(dāng)過(guò)時(shí)，截距最大，最大，因此，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.

考點(diǎn)：1、線性規(guī)劃的應(yīng)用；2、利用基本不等式求最值.15、【解題分析】分析：由題意，利用目標(biāo)角和已知角之間的關(guān)系，現(xiàn)利用誘導(dǎo)公式，在結(jié)合二倍角公式，即可求解．詳解：由題意，又由，所以．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，其中解答中正確構(gòu)造已知角與求解角之間的關(guān)系，合理選擇三角恒等變換的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．16、．【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，求得，令，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解題分析】

分別用體積表示其面積，再比較大小?！绢}目詳解】解：設(shè)球的半徑為R、正方體的棱長(zhǎng)為a,等邊圓柱的底面半徑為r,且它們的體積都為V,則:V=,．,．【題目點(diǎn)撥】分別用體積表示其面積，再比較大小。18、（1）不是；詳見(jiàn)解析（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）利用特殊值,即可驗(yàn)證是不是“利普希茲條件函數(shù)”.（2）分離參數(shù),將不等式變?yōu)殛P(guān)于,的不等式,結(jié)合定義域即可求得常數(shù)的最小值;（3）設(shè)出的最大值和最小值,根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)必有最大值與最小值,結(jié)合與1的大小關(guān)系,及“利普希茲條件函數(shù)”的性質(zhì)即可證明式子成立.【題目詳解】（1）函數(shù)不是“利普希茲條件函數(shù)”證明:函數(shù)的定義域?yàn)榱顒t所以不滿(mǎn)足所以函數(shù)不是“利普希茲條件函數(shù)”（2）若函數(shù)（）是“利普希茲條件函數(shù)”則對(duì)定義域內(nèi)任意,（）,均有即設(shè)則,即因?yàn)樗运詽M(mǎn)足的的最小值為（3）證明:設(shè)的最大值為,最小值為在一個(gè)周期內(nèi),函數(shù)值必能取到最大值與最小值設(shè)因?yàn)楹瘮?shù)（）是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”則若,則成立若,可設(shè),則所以成立綜上可知,對(duì)任意實(shí)數(shù),都成立原式得證.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)新定義及抽象函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,對(duì)題意正確理解并分析解決問(wèn)題的方法是關(guān)鍵,屬于難題.19、(1)(2)【解題分析】

（1）分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量，代入向量夾角公式，結(jié)合異面直線夾角公式，即可得到答案；（2）利用向量垂直，求得兩個(gè)平面的法向量，利用向量所成角的余弦值進(jìn)而求得二面角的余弦值.【題目詳解】(1)因?yàn)閮蓛纱怪?，所以分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)槔忾L(zhǎng)為3,，則，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是.(2)平面的法向量是設(shè)平面的法向量是，又因?yàn)樗约戳?，則，，所以．所以所以二面角的余弦值是.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)利用向量解決空間立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有用向量法求異面直線所成角的余弦值，二面角的余弦值，在解題的過(guò)程中，正確建立空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）（3）50【解題分析】【試題分析】（1）分別將，把展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算即三項(xiàng)式的次系數(shù)列是三項(xiàng)式的次系數(shù)列是；（2）運(yùn)用類(lèi)比思維的思想可得；（3）由題設(shè)中的定義可知表示展開(kāi)式中的系數(shù)，因此可求出．解：（1）三項(xiàng)式的次系數(shù)列是三項(xiàng)式的次系數(shù)列是；（2）；（3）表示展開(kāi)式中的系數(shù)，所以．21、（1）；（2）．【解題分析】

（1）三輛車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響三輛汽車(chē)中恰有一輛汽車(chē)被堵，是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，走公路②堵車(chē)的概率為p，不堵車(chē)的概率為1﹣p，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫(xiě)出關(guān)于P的方程，解出P的值，得到結(jié)果（2）三輛汽車(chē)中被堵車(chē)輛的個(gè)數(shù)ξ，由題意知ξ可能的取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率寫(xiě)出變量的分布列，即可求得期望．【題目詳解】解：（1）三輛車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響三輛汽車(chē)中恰有一輛汽車(chē)被堵，是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，走公路②堵車(chē)的概率為p，不堵車(chē)的概率為1﹣p，得即3p＝1，則即p的值為．（2）由題意知ξ可能的取值為0，1，2，3∴