2024屆湖南省益陽市桃江第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆湖南省益陽市桃江第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過雙曲線的一個焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．2．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．已知命題：①函數(shù)的值域是；②為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度；③當(dāng)或時，冪函數(shù)的圖象都是一條直線；④已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是.其中正確的命題個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．14．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，第一步驗(yàn)證時，左邊應(yīng)取的項是()A．1 B． C． D．6．已知直線、經(jīng)過圓的圓心，則的最小值是A．9 B．8 C．4 D．27．設(shè)函數(shù)滿足則時，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值8．已知集合,集合,則A． B． C． D．9．已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則的解析式為（）A． B．C． D．10．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則A．1 B． C．2 D．11．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子管進(jìn)行測試，那么在五次測試中恰有三次測到正品的概率是（）A． B． C． D．12．的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓錐的底面面積為，母線長為5，則它的側(cè)面積為______．14．已知函數(shù)（且）恒過定點(diǎn)，則__________.15．棱長為的正四面體的高為__________.16．已知離散型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若集合具有以下性質(zhì)：（1）且；（2）若，，則，且當(dāng)時，，則稱集合為“閉集”.（1）試判斷集合是否為“閉集”，請說明理由；（2）設(shè)集合是“閉集”，求證：若，，則；（3）若集合是一個“閉集”，試判斷命題“若，，則”的真假，并說明理由.18．（12分）某種子培育基地新研發(fā)了兩種型號的種子，從中選出90粒進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，并根據(jù)結(jié)果對種子進(jìn)行改良.將試驗(yàn)結(jié)果匯總整理繪制成如下列聯(lián)表：（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為發(fā)芽和種子型號有關(guān)；（2）若按照分層抽樣的方式，從不發(fā)芽的種子中任意抽取20粒作為研究小樣本，并從這20粒研究小樣本中任意取出3粒種子，設(shè)取出的型號的種子數(shù)為，求的分布列與期望.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,求的最小值及此時點(diǎn)的直角坐標(biāo).20．（12分）已知函數(shù)，（1）求在區(qū)間上的極小值和極大值；（2）求在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值．21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上存在兩個極值點(diǎn)，，且，證明：.22．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．（1）求直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)對稱性知是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【題目詳解】由雙曲線的對稱性可知，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì)，在遇到焦點(diǎn)時，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計算能力，屬于中等題．2、A【解題分析】

根據(jù)三視圖得出幾何體為一個圓柱和一個長方體組合而成，由此求得幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體由圓柱和長方體組合而成，故體積為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查圓柱、長方體體積計算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

：①根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；②根據(jù)三角函數(shù)的圖形關(guān)系進(jìn)行判斷；③根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷；④根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷.【題目詳解】①因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)時，函數(shù)的值域是，故①正確；②函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，故②錯誤；③當(dāng)時，直線挖去一個點(diǎn)，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖形是一條直線，故③錯誤；④作出的圖像如圖所示：所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，又因?yàn)樵谏嫌袃蓚€，在上有一個，不妨設(shè)，則，即，則的范圍即為的范圍，由，得，則有，即的范圍是，所以④正確；所以正確的命題有2個，故選C.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)真命題的個數(shù)問題，在結(jié)題的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖像的平移變換，零指數(shù)冪的條件以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，靈活掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.4、A【解題分析】

用余弦的定義可以直接求解.【題目詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了余弦的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、D【解題分析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)時，等式的左邊是，應(yīng)選答案D．6、A【解題分析】

由圓的一般方程得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，由直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以最小值為1【題目詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心為，半徑．直線經(jīng)過圓心C，，即，因此，，、，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．由此可得當(dāng)，即且時，的最小值為1．故選A．【題目點(diǎn)撥】若圓的一般方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑7、D【解題分析】

函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點(diǎn)睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論.8、D【解題分析】，，則，選D.9、D【解題分析】結(jié)合函數(shù)圖像可得：，，結(jié)合周期公式有：，且當(dāng)時，，令可得：，據(jù)此可得函數(shù)的解析式為：.本題選擇D選項.點(diǎn)睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.10、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，再由復(fù)數(shù)的模的計算公式求解即可．【題目詳解】由，得，，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模的計算．11、D【解題分析】

根據(jù)二項分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求出所求事件的概率。【題目詳解】由題意可知，五次測試中恰有三次測到正品，則有兩次測到次品，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：D?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的計算，主要考查學(xué)生對于事件基本屬性的判斷以及對公式的理解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。12、C【解題分析】分析：直接利用微積分基本定理求解即可.詳解：，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查微積分基本定理的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，考查計算能力，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍成的圖形,沿著圓錐的母線,把圓錐的側(cè)面展開,得到一個扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長,而扇形的半徑等于母線長,圓錐的側(cè)面積等于展開后扇形的面積.【題目詳解】由圓錐的底面面積為,底面半徑為,可得底面周長為扇形的面積=扇形弧長扇形半徑側(cè)面積為=故答案為:.【題目點(diǎn)撥】解題關(guān)鍵是通過圓的面積求得圓的半徑,然后根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長,通過扇形的面積公式得到的答案.14、【解題分析】令指數(shù)，則：，據(jù)此可得定點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則：.15、【解題分析】

利用正弦定理計算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【題目詳解】設(shè)正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，，因此，正四面體的高為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查正四面體高的計算，解題時要充分分析幾何體的結(jié)構(gòu)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計算，考查空間想象能力，屬于中等題.16、【解題分析】∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，∴μ=1，得對稱軸是x=1．∵，∴P（1<ξ<3）==0.468，∴P（1＜ξ＜3）=0.468=．故答案為．點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－1σ<X≤μ＋1σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）否，理由見詳解；（2）證明見詳解；（3）真命題，理由見詳解【解題分析】

（1）利用閉集的定義判斷；

（2）利用閉集的定義證明；

（3）利用閉集的定義，先說明中均不含0，1時，，再說明，進(jìn)而得出，，從而有，可得到，，即得出.【題目詳解】解：（1），∴集合不是“閉集”，

（2）證明：∵集合是“閉集”，

，

故；（3）若集合是一個“閉集”，任取，若中有0或1時，顯然；若中均不含0，1，由定義可知：，，由（2）知，，即．同理可得，

若或，則顯然，

若且，則，

，

，

，

故命題為真命題．【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算的定義及學(xué)生對新定義的接受能力，屬于中檔題．18、(1)有99%的把握認(rèn)為發(fā)芽和種子型號有關(guān)(2)見解析【解題分析】

根據(jù)表格完成表格的填空并計算出做出判斷的可能值為0，1，2，3分別計算出概率，然后計算期望【題目詳解】（1）所以有99%的把握認(rèn)為發(fā)芽和種子型號有關(guān).（2）按分層抽樣的方式抽到的20粒種子中，型號的種子共4粒，型號的種子共16粒，所以的可能值為0,1,2,3，，，，所以的分布列為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了的計算和分布列與期望，只要將聯(lián)表補(bǔ)充完整，按照計算方法即可求出，繼而可以求出分布列與期望，較為基礎(chǔ)。19、(Ⅰ)C1的普通方程,C2的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)|MN|取得最小值,此時M(,).【解題分析】

(Ⅰ)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離最小值，利用三角函數(shù)知識即可求解．【題目詳解】(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),普通方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，即，直角坐標(biāo)方程為，即；(Ⅱ)設(shè)M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離，即，當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ-(k∈Z)時,|MN|取得最小值,此時M(,).【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化成普通方程，利用三角函數(shù)知識即可求解，屬于中等題.20、（1）極小值為，極大值為.（2）答案不唯一，具體見解析【解題分析】

（1）對三次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，解導(dǎo)數(shù)不等式，畫出表格，從而得到極值；（2）由（1）知函數(shù)的性質(zhì)，再對進(jìn)行分類討論，求在的性質(zhì)，比較兩段的最大值，進(jìn)而得到函數(shù)的最大值.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，令，解得或.當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：x0-0+0-遞減極小值遞增極大值遞減故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值為，當(dāng)時，函數(shù)取值極大值為.（2）①當(dāng)時，由（1）知，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，，所以在上的值大值?.②當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為.故當(dāng)時，在上最大值為；當(dāng)時，在上的最大值為2.【題目點(diǎn)撥】本題三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為背景，考查利用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的極值，考查分類討論思想的應(yīng)用.21、(1);(2)見解析.【解題分析】分析：（1）由題意得出在定義域上恒成立，即，設(shè)，則，由此利用