2024屆唐徠回民中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆唐徠回民中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)F是拋物線(xiàn)C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N，若M是FN的中點(diǎn)，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．2 B．4 C．±2 D．±43．若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則值為()A． B． C． D．4．隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則（）A． B． C． D．5．如果直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值為（）A． B． C． D．6．已知向量，若，則（）A．1 B． C．2 D．37．四大名著是中國(guó)文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書(shū)室借閱四大名著《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（）A． B． C． D．8．在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是（）A． B． C． D．9．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．10．若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)相切，則()A． B． C． D．11．設(shè)是平面內(nèi)的兩條不同直線(xiàn)，是平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A．B．C．D．12．是虛數(shù)單位，若，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量，已知，則_____．14．根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的i的值為_(kāi)_______．15．若C5x=C16．袋中有2個(gè)白球，1個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取1個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)2次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了次球，則_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓滿(mǎn)足：過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)短軸端點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在橢圓C上，且，求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值.18．（12分）已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù).（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）若，判斷函數(shù)f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足（且），點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).（1）求曲線(xiàn)的方程，并說(shuō)明是什么曲線(xiàn)；（2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線(xiàn)與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，已知面積的最大值為，求的值.20．（12分）某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).①②③（是虛數(shù)單位）（Ⅰ）從三個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論.21．（12分）已知集合，其中。表示集合A中任意兩個(gè)不同元素的和的不同值的個(gè)數(shù)。(1)若，分別求和的值；(2)若集合，求的值，并說(shuō)明理由；(3)集合中有2019個(gè)元素，求的最小值，并說(shuō)明理由。22．（10分）某玻璃工廠(chǎng)生產(chǎn)一種玻璃保護(hù)膜，為了調(diào)查一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，隨機(jī)抽取了10件樣品檢測(cè)質(zhì)量指標(biāo)（單位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70.經(jīng)計(jì)算得，,生產(chǎn)合同中規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)在62分以上的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，一批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率不得低于15%.（Ⅰ）以這10件樣品中優(yōu)質(zhì)品的頻率估計(jì)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率，從這批產(chǎn)品中任意抽取3件，求有2件為優(yōu)質(zhì)品的概率；（Ⅱ）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布，是否有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率滿(mǎn)足生產(chǎn)合同的要求？附：若，則，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先利用，構(gòu)造新數(shù)列，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)公式的特點(diǎn)求解最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)樗?；，以上各式相乘可得，所以，由于有最小值，所以的最小值?故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用累乘法求出通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、C【解題分析】

求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出M的坐標(biāo)，然后求解，得到答案．【題目詳解】由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，如圖所示，可知的橫坐標(biāo)為1，則的縱坐標(biāo)為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫(xiě)出第項(xiàng)，求出常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，列方程即可求解.【題目詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為，即，所以.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解題分析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.詳解：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率分布為，故得，故E（X）=,又，而,故=，選B點(diǎn)睛：考查分布列的性質(zhì)和期望、方差的計(jì)算，熟悉公式即可，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】試題分析：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，故選B．考點(diǎn)：直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的平行關(guān)系．6、B【解題分析】

可求出，根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x．【題目詳解】；∵；∴；解得．故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直的充要條件，向量坐標(biāo)的減法和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

通過(guò)分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【題目詳解】對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查乘法分步原理，難度不大.8、B【解題分析】

先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，確定其圓心的直角坐標(biāo)再化成極坐標(biāo)即可．【題目詳解】圓化為,，配方為，因此圓心直角坐標(biāo)為，可得圓心的極坐標(biāo)為故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，比較基礎(chǔ)．9、B【解題分析】分析：首先求得A,B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可.詳解：求解函數(shù)的定義域可得：，由函數(shù)的定義域可得：，結(jié)合交集的定義可知：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)定義域的求解，交集的運(yùn)算法則及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為，由可解得切點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的值?！绢}目詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則由題意知即解得或者故選B【題目點(diǎn)撥】高考對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：（1）已知切點(diǎn)求切線(xiàn)方程；（2）已知切線(xiàn)方程(或斜率)求切點(diǎn)或曲線(xiàn)方程；（3）已知曲線(xiàn)求切線(xiàn)傾斜角的取值范圍．11、B【解題分析】試題分析：A．不能得出，所以本題條件是的不充分條件；B．，當(dāng)時(shí)，不一定有故本命題正確；C．不能得出，故不滿(mǎn)足充分條件；D．不能得出，故不滿(mǎn)足充分條件；故選B.考點(diǎn)：平面與平面垂直的方法.12、C【解題分析】

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.363【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，得到的值，即可求解.【題目詳解】由題意，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?，根?jù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，合理計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿(mǎn)足條件T=1+3+5+7時(shí)i的值．詳解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加T=1+3+5+7，并輸出滿(mǎn)足條件時(shí)i值．∵T=1+3+5+7=16≥10，故輸出的i值為7+2=1．故答案為1．點(diǎn)睛：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫(xiě)程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類(lèi)型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．15、2或3【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得解.【題目詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)得x=2或x+2=5，所以x=2或x=3.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由題意可知最后一次取到的是紅球，前3次有1次取到紅球，由古典概型求得概率。【題目詳解】由題意可知最后一次取到的是紅球，前3次有1次取到紅球，所以，填?！绢}目點(diǎn)撥】求古典概型的概率，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí)，計(jì)數(shù)時(shí)要正確分類(lèi)，做到不重不漏.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)出短軸端點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)過(guò)右焦點(diǎn)與短軸端點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為，可以求出斜率，這樣就可以求出，再根據(jù)右焦點(diǎn)，可求出，最后利用求出，最后寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，其中，由，可得出等式，求出線(xiàn)段長(zhǎng)度的表達(dá)式，結(jié)合求出的等式和基本不等式，可以求出線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值.【題目詳解】（I）設(shè)橢圓的短軸端點(diǎn)為（若為上端點(diǎn)則傾斜角為鈍角），則過(guò)右焦點(diǎn)與短軸端點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，其中,即就是，解得.又，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以長(zhǎng)度的最小值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用基本不等式求線(xiàn)段長(zhǎng)最小值問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）時(shí)奇函數(shù)，時(shí)非奇非偶函數(shù)；（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）討論兩種情況，分別利用奇偶性的定義判斷即可；（2）設(shè)，再作差，通分合并，最后根據(jù)自變量范圍確定各因子符號(hào)，得差的符號(hào)，結(jié)合單調(diào)性定義作出判斷即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，顯然是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，，且，所以此時(shí)是非奇非偶函數(shù).（2）設(shè)，則因?yàn)?，所以，，，所以，，所以，所以，即，故函?shù)在上單調(diào)遞增.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任??；（2）作差；（3）判斷的符號(hào)（往往先分解因式，再判斷各因式的符號(hào)），可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)，可得在已知區(qū)間上是減函數(shù)19、（1）見(jiàn)解析；（2）2【解題分析】分析：（1）設(shè)，，根據(jù)，推出，代入到，消去參數(shù)即可求得曲線(xiàn)的方程及其表示的軌跡；（2）法1：先求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)的普通方程，再根據(jù)題設(shè)條件設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合面積的最大值為，即可求得的值；法2：將，代入，即可求得，再根據(jù)三角形面積公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合面積的最大值為，即可求得的值.詳解：（1）設(shè)，，由得.∴∵在上∴即（為參數(shù)），消去參數(shù)得.∴曲線(xiàn)是以為圓心，以為半徑的圓.（2）法1：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.∴直線(xiàn)的普通方程為，即.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.∴當(dāng)時(shí)，∴的最大值為∴.法2：將，代入并整理得：，令得.∴∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，依題意，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，在引進(jìn)參數(shù)和消去參數(shù)的過(guò)程中，要注意保持范圍的一致性；在參數(shù)方求最值問(wèn)題中，將動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件列出三角函數(shù)式，借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求最值，注意求最值時(shí)，取得的條件能否成立.20、（I）（II）結(jié)論為（且不同時(shí)為零），證明見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）將三個(gè)式子化簡(jiǎn)答案都為.（II）觀(guān)察結(jié)構(gòu)歸納結(jié)論為，再利用復(fù)數(shù)的計(jì)算證明結(jié)論.【題目詳解】（I）（II）根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及（I）的計(jì)算結(jié)果，可以得到：（且不同時(shí)為零）下面進(jìn)行證明：要證明只需證只需證因?yàn)樯鲜匠闪?，所以成?（或直接利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算得出結(jié)果）【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算和證明，意在考查學(xué)生的歸納能力.21、(1)＝5，＝10(2)見(jiàn)解析；(3)最小值是4035【解題分析】

（1）根據(jù)題意進(jìn)行元素相加即可得出和的值；(2)因?yàn)楣灿许?xiàng)，所以．由集合，任取，由此能出的值；（3）不妨設(shè)，可得，故中至少有4035個(gè)不同的數(shù)，即．由此能出的最小值．【題目詳解】（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得＝5，由1+2=3,1+4=5,1+8=9,1+16=17，2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得＝10．（2）證明：因?yàn)楣灿许?xiàng)，所以．又集合，不妨設(shè)，m＝1，2，…，n．，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即所有的值兩兩不同，因此．（3）不妨設(shè)，可得，故中至少有4035個(gè)不同的數(shù)，即．事實(shí)上，設(shè)成等差數(shù)列，考慮，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此每個(gè)和等于中的一個(gè)，或者等于中的一個(gè)．所以最小值是4035。【題目點(diǎn)撥】本題考查，，，的最小值的求法，是中檔題，解題