2024屆上海市通河中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆上海市通河中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱C．f(x+π)的一個零點(diǎn)為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減2．若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個根，則（）A．， B．，C．， D．，3．A． B． C． D．4．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是A．210B．336C．84D．3435．下列命題中為真命題的是（）A．若B．命題：若，則或的逆否命題為：若且，則C．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件D．若命題，則6．已知是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，，那么在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程（且）有個不同的根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．拋物線上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是A． B． C． D．8．隨機(jī)變量的分布列為12340.20.30.4則（）A．4.8 B．5 C．6 D．8.49．對于實(shí)數(shù)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上且在第四象限，為左頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則面積的最大值為()A． B． C． D．12．已知在處有極值0，且函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則的最大值為（）A．-6 B．-9 C．-11 D．-4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線的方程為____．14．函數(shù)（，均為正數(shù)），若在上有最小值10，則在上的最大值為__________．15．若(x-ax2)616．?dāng)?shù)列滿足，當(dāng)時，，則是否存在不小于2的正整數(shù)，使成立？若存在，則在橫線處直接填寫的值；若不存在，就填寫“不存在”_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的極值.18．（12分）為了紀(jì)念國慶70周年,學(xué)校決定舉辦班級黑板報主題設(shè)計(jì)大賽,高二某班的同學(xué)將班級長米、寬米的黑板做如圖所示的區(qū)域劃分:取中點(diǎn),連接,以為對稱軸,過兩點(diǎn)作一拋物線弧,在拋物線弧上取一點(diǎn),作垂足為,作交于點(diǎn).在四邊形內(nèi)設(shè)計(jì)主題,其余區(qū)域用于文字排版,設(shè)的長度為米.(1)求長度的表達(dá)式,并寫出定義域；(2)設(shè)四邊形面積為,求當(dāng)為何值時,取最大值,最大為多少平方米?19．（12分）已知函數(shù)f(x)=m（1）當(dāng)n-m=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-3m2x2的兩個零點(diǎn)分別為x1,x2(20．（12分）2119年2月13日《煙臺市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了211名學(xué)生每周閱讀時間(單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這211名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表)；（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該校學(xué)生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．（i）一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若令，則，且．利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．(ii)從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取21名，記表示這21名學(xué)生中每周閱讀時間超過11小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到1．1111)以及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：．若，則．21．（12分）某機(jī)構(gòu)對某市工薪階層的收入情況與超前消費(fèi)行為進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽查了200人，將他們的月收入（單位：百元）頻數(shù)分布及超前消費(fèi)的認(rèn)同人數(shù)整理得到如下表格：月收入（百元）頻數(shù)204060402020認(rèn)同超前消費(fèi)的人數(shù)81628211316（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認(rèn)為當(dāng)月收入以8000元為分界點(diǎn)時，該市的工薪階層對“超前消費(fèi)”的態(tài)度有差異；月收入不低于8000元月收入低于8000元總計(jì)認(rèn)同不認(rèn)同總計(jì)（2）若從月收入在的被調(diào)查對象中隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查，求至少有1個人不認(rèn)同“超前消費(fèi)”的概率.參考公式：（其中）.附表：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63522．（10分）2016年10月16日，在印度果阿出席金磚國家領(lǐng)導(dǎo)人第八次會議時，發(fā)表了題為《堅(jiān)定信心，共謀發(fā)展》的重要講話，引起世界各國的關(guān)注，為了了解關(guān)注程度，某機(jī)構(gòu)選取“70后”和“80后”兩個年齡段作為調(diào)查對象，進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了120名“80后”，80名“70后”，其中調(diào)查的“80后”有40名不關(guān)注，其余的全部關(guān)注；調(diào)查的“70”后有10人不關(guān)注，其余的全部關(guān)注.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：關(guān)注不關(guān)注合計(jì)“80后”“70后”合計(jì)（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“關(guān)注與年齡段有關(guān)”？請說明理由。參考公式：K2=（n=a+b+c+d）附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；f＝cos＝cos3π＝－1，為f(x)的最小值，故B正確；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正確；由于f＝cos＝cosπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選D.2、B【解題分析】

由題意可知，關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個虛根分別為和，然后利用韋達(dá)定理可求出實(shí)數(shù)與的值.【題目詳解】由題意可知，關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個虛根分別為和，由韋達(dá)定理得，解得.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用實(shí)系數(shù)方程的虛根求參數(shù)，解題時充分利用實(shí)系數(shù)方程的兩個虛根互為共軛復(fù)數(shù)這一性質(zhì)，并結(jié)合韋達(dá)定理求解，也可以將虛根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.3、D【解題分析】分析：根據(jù)公式，可直接計(jì)算得詳解：，故選D.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復(fù)數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負(fù)號導(dǎo)致出錯.4、B【解題分析】

由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人，若有一個臺階有2人另一個是1人，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【題目詳解】由題意知本題需要分組解決，∵對于7個臺階上每一個只站一人有A73種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故答案為：B．【題目點(diǎn)撥】分類要做到不重不漏，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到步驟完整﹣﹣完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．5、B【解題分析】分析：對四個命題，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．詳解：對于A，，利用基本不等式，可得，故不正確；

對于B，命題：若，則或的逆否命題為：若且，則，正確；

對于C，“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，故不正確；

對于D，命題命題，則，故不正確．

故選：B．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

由已知，函數(shù)在區(qū)間的圖象如圖所示，直線y（且）表示過定點(diǎn)的直線，為使關(guān)于的方程（且）有個不同的根，即直線與函數(shù)的圖象有4個不同的交點(diǎn).結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線介于直線和直線之間時，符合條件，故選.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、周期性，函數(shù)與方程，直線的斜率，直線方程.7、B【解題分析】

由拋物線方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為，再由焦半徑公式，可求得?！绢}目詳解】拋物線為，由焦半徑公式，得。選B.【題目點(diǎn)撥】拋物線焦半徑公式：拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。8、B【解題分析】分析：先求出a,再求,再利用公式求.詳解：由題得a=1-0.2-0.3-0.4=0.1.由題得.所以所以.故答案為：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查概率的計(jì)算和隨機(jī)變量的期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，.9、A【解題分析】

先判斷和成立的條件，然后根據(jù)充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【題目詳解】成立時，需要；成立時，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，掌握對數(shù)的真數(shù)大于零這個知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】分析：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設(shè)則，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．詳解：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根據(jù)直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）設(shè)，則，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12=故所求的最小值為故選C．點(diǎn)睛：本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的是一個單位向量，從而可用x，y表示，建立x，y與λ的關(guān)系，解決本題的第二個關(guān)鍵點(diǎn)在于由x=3λ，y=4﹣4λ發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值11、C【解題分析】

若設(shè)，其中，則，求出直線，的方程，從而可得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示的面積，設(shè)出點(diǎn)處的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消元后判別式等于零，求出點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案.【題目詳解】解：由題意得，設(shè)，其中，則，所以直線為，直線為，可得，所以，所以，設(shè)處的切線方程為由，得，，解得，此時方程組的解為，即點(diǎn)時，面積取最大值故選：C【題目點(diǎn)撥】此題考查了橢圓的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.12、C【解題分析】

利用函數(shù)在處有極值0，即則，解得，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，在區(qū)間上存在最大值可得，從而可得的最大值．【題目詳解】由函數(shù)，則，因?yàn)樵?，處有極值0，則，即，解得或，當(dāng)時，，此時，所以函數(shù)單調(diào)遞增無極值，與題意矛盾，舍去；當(dāng)時，，此時，，則是函數(shù)的極值點(diǎn)，符合題意，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在最大值，因?yàn)?，易得函?shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則極大值為，且，所以，解得，則的最大值為：.故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性以及函數(shù)單調(diào)性，求解參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解題分析】

曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，這個變換可分成兩個步驟：先是關(guān)于直線對稱，再關(guān)于軸對稱得到.【題目詳解】繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°等同于先關(guān)于直線翻折，再關(guān)于軸翻折，關(guān)于直線翻折得到，再關(guān)于軸翻折得到.【題目點(diǎn)撥】本題表面考查旋轉(zhuǎn)變換，而實(shí)質(zhì)考查的是兩次的軸對稱變換，要注意指數(shù)函數(shù)與同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)關(guān)于直線對稱.14、【解題分析】分析：將函數(shù)變形得到函數(shù)是奇函數(shù)，假設(shè)在處取得最小值，則一定在-m處取得最大值，再根據(jù)函數(shù)值的對稱性得到結(jié)果.詳解：，可知函數(shù)是奇函數(shù)，假設(shè)在處取得最小值，則一定在-m處取得最大值，故在上取得的最大值為故答案為：-4.點(diǎn)睛：這個題目考查了函數(shù)的奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，在對稱點(diǎn)處分別取得最大值和最小值；偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，在對稱點(diǎn)處的函數(shù)值相等，中經(jīng)常利用函數(shù)的這些性質(zhì)，求得最值.15、4【解題分析】試題分析：(x-ax2考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.16、70【解題分析】

構(gòu)造數(shù)列，兩式與相減可得數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，讓=0即可求出.【題目詳解】設(shè)兩式相減得又?jǐn)?shù)列從第5項(xiàng)開始為等差數(shù)列，由已知易得均不為0所以當(dāng)n=70的時候成立，故答案填70.【題目點(diǎn)撥】如果遞推式中出現(xiàn)和的形式，比如，可以嘗試退項(xiàng)相減，即讓取后，兩式作差，和的部分因?yàn)橄鄿p而抵消，剩下的就好算了。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)x＋y－2＝0；(2)當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna無極大【解題分析】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；②當(dāng)a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a，又當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－alna，無極大值．綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無極大值．18、(1)(2)當(dāng)時，四邊形面積取得最大值為【解題分析】

（1）建立平面直角坐標(biāo)系求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程，進(jìn)行求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)最值極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求最值即可.【題目詳解】⑴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系.所以,所以直線為因?yàn)閽佄锞€是以為對稱軸，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以因?yàn)?，所以，所以⑵因?yàn)?，，所以四邊形的面積設(shè)，由，解得：t1+0-↗極大值↘所以當(dāng)時，取極大值且是最大值答：當(dāng)時，四邊形面積取得最大值為【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)函數(shù)應(yīng)用的問題，涉及到的知識點(diǎn)有求函數(shù)的解析式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題目.19、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分類討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間，（2）先求導(dǎo)數(shù)得函數(shù)g(x)的圖像在x=x【題目詳解】（1）∵所以當(dāng)m≤0時，f'(x)=0?x=1，所以增區(qū)間(0,1)當(dāng)0<m<1時，f'(x)=0?x=1,x=1m>1當(dāng)m=1時，f'(x)≥0，所以增區(qū)間當(dāng)m>1時，f'(x)=0?x=1,x=1m（2）因?yàn)間(x)=f(x)-3m所以g'因此函數(shù)g(