高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-3-1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.3雙曲線2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘1．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5，0)和F2(5，0)，動點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動點(diǎn)P的軌跡方程是()．A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≤－4)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≤－3)C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4)D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)解析根據(jù)雙曲線的定義可得．答案D2．雙曲線eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距為()．A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，則2c＝4eq\r(3).故選D.答案D3．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()．A.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1B.eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1C.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1D.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝0或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝0解析因?yàn)閎2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦點(diǎn)位置不確定，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1.答案C4．若雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)，則實(shí)數(shù)k的值為________．解析因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,－\f(8,k))－eq\f(x2,－\f(1,k))＝1，所以k<0，又(0，3)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則c＝3，于是有－eq\f(8,k)－eq\f(1,k)＝32＝9，解得k＝－1.答案－15．已知P是雙曲線eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|＝17，則|PF2|的值為________．解析由雙曲線方程eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1知，a＝8，b＝6，則c＝eq\r(a2＋b2)＝10.∵P是雙曲線上一點(diǎn)，∴||PF1|－|PF2||＝2a又|PF1|＝17，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.答案336．(1)求經(jīng)過點(diǎn)P(－3，2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線的方程．解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為nx2＋my2＝1(m·n<0)，又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(－3，2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(28m＋9n＝1，,49m＋72n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,25)，,n＝－\f(1,75)，))所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.(2)因?yàn)闄E圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦點(diǎn)為(0，－3)，(0，3)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(±eq\r(15)，4)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5，))所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.綜合提高（限時(shí)25分鐘）7．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍為()．A．－1<k<1B．k>1C．k<－1D．k>1或k<－1解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋k>0，,1－k>0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>－1，,k<1，))即－1<k<1.答案A8．已知雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為C右支上的一點(diǎn)，且|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于()．A．24B．36C．48D．96解析依題意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×16×eq\r(102－（\f(16,2)）2)＝48.故選C.答案C9．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m－5)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)到中心的距離為3，那么m＝________.解析(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，有m>5，則c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，有m<0，則c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2；綜上述，m＝7或m＝－2.答案7或－210．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1與雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析由雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1可知a>0，且焦點(diǎn)在x軸上．根據(jù)題意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故實(shí)數(shù)a＝1.答案111．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，試就k的不同取值討論方程所表示的曲線類型．解(1)當(dāng)k＝0時(shí)，方程變?yōu)閥＝±2，表示兩條與x軸平行的直線；(2)當(dāng)k＝1時(shí)，方程變?yōu)閤2＋y2＝4表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；(3)當(dāng)k<0時(shí)，方程變?yōu)閑q\f(y2,4)－eq\f(x2,－\f(4,k))＝1，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．(4)當(dāng)0<k<1時(shí)，方程變?yōu)閑q\f(x2,\f(4,k))＋eq\f(y2,4)＝1，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；(5)當(dāng)k>1時(shí)，方程變?yōu)閑q\f(x2,\f(4,k))＋eq\f(y2,4)＝1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．12．(創(chuàng)新拓展)已知雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－eq\r(5)，0)，B是圓x2＋(y－eq\r(5))2＝1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(eq\r(5)，0)，則點(diǎn)A，D是雙曲線的焦點(diǎn)，由雙曲線的定義，得|MA|－|MD|＝2a∴|MA|＋|MB|