經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分-多元函數(shù)微積分

多元函數(shù)微積分6.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)6.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與隱函數(shù)求導(dǎo)6.4多元函數(shù)的極值及其求法6.5二重積分的概念與性質(zhì)6.6二重積分的計(jì)算

6.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)

1.鄰域

設(shè)P0(x0,y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn),δ是某一正數(shù),與點(diǎn)P0(x0,y0)距離小于δ的點(diǎn)P(x,y)的全體,稱為點(diǎn)P0的δ鄰域,記為U(P0,δ),即

或

U(P0,δ)表示xOy平面上以點(diǎn)P0(x0,y0為中心、δ>0為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P(x,y)的全體.同樣可以定義平面上的去心鄰域,即

2.區(qū)域

設(shè)E是平面上的點(diǎn)集,如果E中的點(diǎn)滿足下面兩個(gè)條件,則稱E為開區(qū)域.

(1)對于E中的任一點(diǎn)P,都能找到它的一個(gè)鄰域,使得鄰域能夠包含在點(diǎn)集E中;

(2)如果E中點(diǎn)的任意兩點(diǎn),都能用包含在E中的折線連結(jié)起來,即折線上的點(diǎn)都在E中.開區(qū)域簡稱區(qū)域(見圖6-1-1).

設(shè)E是平面區(qū)域,P是平面上的任一點(diǎn),若P的任一鄰域內(nèi)既含有E中的點(diǎn),也含有不是E中的點(diǎn),那么P稱為E的邊界點(diǎn)(見圖6-1-2),所有邊界點(diǎn)的集合稱為E的邊界.開區(qū)域和它的邊界一起所構(gòu)成的集合,稱為閉區(qū)域.

圖6-1-1圖6-1-2

區(qū)域(或閉區(qū)域)分為有界區(qū)域和無界區(qū)域.一個(gè)區(qū)域E如果能夠包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓內(nèi),則稱為有界區(qū)域,否則就是無界區(qū)域.

例如:集合{(x,y)|1<x2+y2<9}是一區(qū)域,并且是一有界區(qū)域(見圖6-1-3(a));

集合{(x,y)|1≤x2+y2≤9}是一閉區(qū)域,并且是一有界閉區(qū)域(見圖6-1-3(b));

集合{(x,y|x+y≥0}是無界閉區(qū)域(見圖6-1-3(c)).

圖6-1-3

二、二元函數(shù)的概念

圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系

這里,當(dāng)r、h在集合{(r,h)|r>0,h>0)}內(nèi)取定一對值(r,h)時(shí),V對應(yīng)的值就隨之確定.

一定量的理想氣體的壓強(qiáng)P、體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系

其中R為常數(shù).這里,當(dāng)V、T在集合{(V,T)|V>0,T>0)}內(nèi)取定一對值(V,T)時(shí),P的對應(yīng)值就隨之確定.

定義6.1.1設(shè)D是平面上的一個(gè)非空子集,如果對于D內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y),按照某種法則f,都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng),則稱f是D上的二元函數(shù),它在(x,y)處的函數(shù)值記為f(x,y),即z=f(x,y),其中x,y稱為自變量,z稱為因變量.點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域,數(shù)集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}稱為該函數(shù)的值域.

類似地可定義三元函數(shù)u=f(x,y,z),(x,y,z)∈D以及三元以上的函數(shù).

關(guān)于多元函數(shù)的定義域,與一元函數(shù)類同,當(dāng)我們用某個(gè)解析式表達(dá)多元函數(shù)時(shí),其定義域就是使此式有意義的自變量的變化范圍.

函數(shù)z=ln(x+y)的定義域?yàn)閧(x,y)|x+y>0}(無界開區(qū)域);

函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域?yàn)閧(x,y)|x2+y2≤1}(有界閉區(qū)域).

二元函數(shù)的幾何圖形:點(diǎn)集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D}表示二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形,二元函數(shù)的圖形是一張曲面.

圖6-1-4

圖6-1-5

三、二元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似,如果在P(x,y)→P0(x0,y0)的過程中,對應(yīng)的函數(shù)值f(x,y)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A是函數(shù)f(x,y)當(dāng)P(x,y)→P0(x0,y0)時(shí)的極限.

定義6.1.2設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y))在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)P(x,y)無限接近P0(x0,y0)時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值f(x,y)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)P(x,y)趨于P0(x0,y0)時(shí)的極限.記為

也記作

四、二元函數(shù)的連續(xù)性

定義6.1.3設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,如果

則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處不連續(xù),則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處間斷,(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn).

與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似,在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)具有如下性質(zhì):

性質(zhì)6.1.1(有界性定理)有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù),在D上一定有界.

性質(zhì)6.1.2(最大最小值定理)有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù),在D上必能取得它的最大值和最小值.

性質(zhì)6.1.3(介值定理)有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù),在D上必取得介于最大值和最小值之間的任何值.

6.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分

一、偏導(dǎo)數(shù)1.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算對于二元函數(shù)z=f(x,y),如果只有自變量x變化,而自變量x固定,這時(shí)它就是x的一元函數(shù),函數(shù)z=f(x,y)對x的導(dǎo)數(shù),就稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對于x的偏導(dǎo)數(shù).

定義6.2.1設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí),相應(yīng)地函數(shù)有增量

如果極限

存在,則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù),記作

類似地,可定義函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù),記作

2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

設(shè)曲面的方程為z=f(x,y),M0(x0,y0,f(x0,y0))是該曲面上一點(diǎn),過點(diǎn)M0作平面y=y0,截此曲面得一條曲線,其方程為

則偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)表示上述曲線在點(diǎn)M0處的切線M0Tx對x軸正向的斜率(見圖6-2-1).同理,偏導(dǎo)數(shù)f'y(x0,y0)就是曲面被平面x=x0所截得的曲線在點(diǎn)M0處的切線M0Ty對y軸正向的斜率(見圖6-2-1).

圖6-2-1

3.高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏

導(dǎo)數(shù):

二、全微分

1.全微分的定義

對于一元函數(shù)y=f(x),函數(shù)的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)與微分dy=f'(x)Δx,當(dāng)|Δx|很小時(shí),有Δy≈dy,即

定義6.2.2如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全增量

可表示為

其中A,B不依賴于Δx,Δy,而僅與x,y有關(guān),則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分,而稱AΔx+BΔy為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分,記作dz,即

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,那么稱此函數(shù)在D內(nèi)可微分.

2.函數(shù)可微的條件

在學(xué)習(xí)一元函數(shù)的微分時(shí),我們得到這樣的結(jié)論:如果函數(shù)在某一點(diǎn)處可微,則在該點(diǎn)處必連續(xù),且在該點(diǎn)處可導(dǎo),有dy=f'(x)dx.

對二元函數(shù)也有類似的性質(zhì),即有:

定理6.2.2(必要條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分,則

6.3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與隱函數(shù)求導(dǎo)

一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)1.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理6.3.1如果函數(shù)u=u(t)及v=v(t)都在點(diǎn)t處可導(dǎo),函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f[u(t),v(t)]在點(diǎn)t處可導(dǎo),且有

函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖見圖6-3-1.圖6-3-1

定理6.3.1的結(jié)論可推廣到三元函數(shù)的情形.例如,設(shè)u=u(t),

v=v(t),w=w(t)都在點(diǎn)t處可導(dǎo),z=f(u,v,w)在對應(yīng)點(diǎn)處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f[u(t),v(t),w(t)]在點(diǎn)t處可導(dǎo),且有

函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖見圖6-3-2.

圖6-3-2

圖6-3-3

2.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形

定理6.3.2如果函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)都在點(diǎn)(x,y)具有對x及y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f[u(x,y),v(x,y)]在點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有

函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖見圖6-3-4.

圖6-3-4

3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù),又有多元函數(shù)的情形

定理6.3.3如果函數(shù)u=u(x,y)在點(diǎn)(x,y)處具有對x和y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)v=v(y)在點(diǎn)y處可導(dǎo),函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f[u(x,y),v(y)]在點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有

函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖見圖6-3-5.

圖6-3-5

在第三種情形中,一種常見的情形是:復(fù)合函數(shù)的某些中間變量本身又是復(fù)合函數(shù)的自變量的情形.例如,設(shè)函數(shù)z=f(x,y,u),u=u(x,y)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)z=f[x,y,u(x,y)],函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖見圖6-3-6.

圖6-3-6

二、隱函數(shù)求導(dǎo)

定理6.3.4(隱函數(shù)存在定理1)設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)處的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且

則方程F(x,y)=0在點(diǎn)P(x0,y0)處的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足條件y0=f(x0),并有

結(jié)構(gòu)圖見圖6-3-8

圖6-3-8

定理6.3.5(隱函數(shù)存在定理2)設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)處的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且

則方程F(x,y,z)=0在點(diǎn)(x0,y0,z0)處的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y),它滿足條件z0=f(x0,y0),并有

求導(dǎo)公式推導(dǎo):將z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,

得F(x,y,f(x,y))≡0,將上式兩端分別對x和y求導(dǎo),得

于是有

6.4多元函數(shù)的極值及其求法一、二元函數(shù)的極值定義6.4.1設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y),如果則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)有極大值f(x0,y0);如果則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)有極小值f(x0,y0);極大值、極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).

圖6-4-1

定理6.4.1(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值,則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零.即

類似地可推得,如果三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x0,y0,z0)處具有偏導(dǎo)數(shù),則它在點(diǎn)(x0,y0,z0)處具有極值的必要條件為

與一元函數(shù)情形類似,對于多元函數(shù),凡是能使f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0,y0)稱為函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).

從定理6.4.1可知,具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn),但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).

定理6.4.2(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0,令

(1)AC-B2>0時(shí),函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處有極值,且當(dāng)A>0時(shí)有極小值,當(dāng)A<0時(shí)有極大值;

(2)AC-B2<0時(shí),函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處沒有極值;

(3)AC-B2=0時(shí),函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可能有極值,也可能沒有極值.

根據(jù)定理6.4.1與定理6.4.2,如果函數(shù)f(x,y)具有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則求f(x,y)的極值的一般步驟如下:

第一步,解方程組f'x(x,y)=0,f'y(x,y)=0,求出函數(shù)f(x,y)的所有駐點(diǎn);

第二步,求出函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù),依次確定各駐點(diǎn)處A、B、C的值.根據(jù)AC-B2的符號,判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),求出函數(shù)的極值點(diǎn)處的極值.

二、二元函數(shù)的最大值與最小值

如果函數(shù)z=f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.函數(shù)最大值和最小值的求法與一元函數(shù)的解法類似,可以利用函數(shù)的極值來求.

求函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值的一般步驟如下:

(1)求函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值;

(2)求函數(shù)f(x,y)在D的邊界上的最大值和最小值;

(3)將前兩步得到的函數(shù)值進(jìn)行比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

由取得極值的必要條件,有

又由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,知

即

于是,求函數(shù)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為:

(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):

其中λ為某一常數(shù).

(2)由方程組

解出x,y,λ,其中x,y就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn).

即

6.5二重積分的概念與性質(zhì)

一、二重積分的概念1.曲頂柱體的體積曲面z=f(x,y)在平面閉區(qū)域D上連續(xù),且有f(x,y)≥0.過D的邊界作垂直于xOy面的柱面S,則區(qū)域D和柱面S以及曲面z=f(x,y)構(gòu)成一個(gè)封閉的立體,稱為以D為底,以z=f(x,y)為頂?shù)那斨w(見圖6-5-1).類似于曲邊梯形面積的求法,下面我們來求曲頂柱體的體積.

圖6-5-1

(1)分割:將閉區(qū)域D任意分為n個(gè)小閉區(qū)域

同時(shí)也用Δσi

表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的面積,相應(yīng)地此曲頂柱體被分為n個(gè)小曲頂柱體.

(2)近似:在每個(gè)小閉區(qū)域Δσi

上任取一點(diǎn)

記第i個(gè)小曲頂柱體的體積為ΔVi,則ΔVi

近似等于以Δσi為底,以f(ξi,ηi)為高的平頂柱體的體積(見圖6-5-2).即圖6-5-2

(3)求和:對n個(gè)小曲頂柱體的體積求和,得所求曲頂柱體體積V的近似值.

(4)取極限:讓分割越來越細(xì),取極限得所求曲頂柱體的體積的精確值.

其中λ是各小閉區(qū)域Δσi

的直徑的最大值(即該小閉區(qū)域上任意兩點(diǎn)間距離的最大值,λ→0,可理解為Δσi收縮為一點(diǎn)).

2.二重積分的概念

對二重積分定義的說明:

(1)如果二重積分?Df(x,y)dσ存在,則稱函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上是可積的.可以證明,如果函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在區(qū)域D上是可積的.今后,我們總假定被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的;

(2)根據(jù)定義6.5.1,如果函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上可積,則二重積分的值與對積分區(qū)域的分割方法無關(guān),因此,在直角坐標(biāo)系中,常用平行于x軸和y軸的兩組直線來分割積分區(qū)域D,則除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外,其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域.設(shè)矩形閉區(qū)域Δσi

的邊長為Δxi

和Δyj,于是Δσi=Δxi

Δyj故在直角坐標(biāo)系中,面積微元dσ可記為dxdy.即dσ=dxdy.(見圖6-5-3).進(jìn)而把二重積分記為?Df(x,y)dxdy.,這里我們把dxdy.稱為直角坐標(biāo)系下的面積微元.

圖6-5-3

有了二重積分的定義,前面的曲頂柱體的體積可以用二重積分來表示.曲頂柱體的體積V是函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D

上的二重積分

圖6-5-3

3.二重積分的幾何意義

(1)如果在閉區(qū)域D上f(x,y)≥0時(shí),二重積分的幾何意義就是曲頂柱體的體積,即

(2)如果在閉區(qū)域D上f(x,y)<0時(shí),上述曲頂柱體就在xOy面下方,二重積分就是曲頂柱體體積的負(fù)值,即

(3)如果在閉區(qū)域D上f(x,y)在某部分區(qū)域上是正的,而在其余的部分區(qū)域上是負(fù)的,二重積分就等于這些部分區(qū)域上曲頂柱體的體積的代數(shù)和.

二、二重積分的性質(zhì)

這個(gè)性質(zhì)稱為二重積分的中值定理.其幾何意義為:當(dāng)f(x,y)≥0時(shí),在閉區(qū)域D上以曲面f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積,等于以閉區(qū)域D內(nèi)某一點(diǎn)(ξ,η)的函數(shù)值f(ξ,η)為高的平頂柱體的體積.

圖6-5-4

6.6二重積分的計(jì)算

一、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

X-型區(qū)域:{(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}.其中函數(shù)φ1(x),φ2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).這種區(qū)域的特點(diǎn)是:穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)(見圖6-6-1).

Y-型區(qū)域:{(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}.其中函數(shù)ψ1(y),ψ2(y)在區(qū)間[c,d]上連續(xù).這種區(qū)域的特點(diǎn)是:穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)(見圖6-6-2).

圖6-6-1

圖6-6-2

許多常見的區(qū)域都可以用平行于坐標(biāo)軸的直線把D分解為有限個(gè)除邊界外無公共點(diǎn)的X-型區(qū)域或Y-型區(qū)域.如圖6-6-3表示將區(qū)域D分為3個(gè)這樣的區(qū)域,因而一般區(qū)域上的二重積分計(jì)算問題就轉(zhuǎn)化為X-型及Y-型區(qū)域上二重積分的計(jì)算問題.

圖6-6-3

假定積分區(qū)域D為如下X-型區(qū)域:

在[a,b]上任意取定一點(diǎn)x,過x作平行于yOz面的平面,此平面截曲頂柱體,得到一個(gè)以區(qū)間[φ1(x),φ2(x)]為底,曲線z=f(x,y)(當(dāng)x固定時(shí),z是y的一元函數(shù))為曲邊的曲邊梯形(見圖