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文檔簡介
第二十八章第2節(jié)《解直角三角形及其應用》提升訓練(1)
一、單選題
1.如圖,矩形A3CO的邊長A6=l,BC=2.把BC繞B逆時針旋轉,使C恰好落在上的
點E處,線段8C掃過部分為扇形8CE.若扇形8CE正好是一個圓錐的側面展開圖,則該圓錐
的底面圓的半徑是()
2
C.一DT
2.如圖,在RtAABC中,ZC=90°,AB=10,若以點C為圓心,CB長為半徑的圓恰好經過AB的
c.5V2D.6
3.如圖,C是線段48上一點,AC=^CB=2,以CB為直徑作半圓。,P是半圓。上一動點,
2
以AP為斜邊向上作R3APQ,使得NPQA=90。,N以。=30。.若點P從點C沿半圓弧運動到點
8,則點Q在運動中經過的路徑長是()
C.2兀D.也it
二、填空題
4.如圖,在△ABC中,AB=BC^6,點O為BC中點,點P是射線AO上的一個動點,且
NAOC=60°.要使得ABCP為直角三角形,CP的長為.
c
o
5.如圖,直角坐標系中,RtAABC的A8邊在x軸上,ZCAB=90°,sinZACB=-.將RsABC沿
3
直線BC翻折得RtAOBC,再將RtAOBC繞點8逆時針旋轉,正好點C與坐標原點。重合,點。
的對應點E落在反比例函數"延0>0)的圖象上,此時線段AC交雙曲線于點凡則點尸的坐
X
標為.
6.如圖,在菱形A8CD中,NA=45°,AB=O,以點C為圓心,CO為半徑畫弧。B,則
陰影部分的面積是
7.如圖,已知等邊AABC內接于。0,AB=2,則AABC的外接圓半徑為cm.
8.新定義:有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.如圖,已知在對余四邊形A8CD中,
3
AB=10,BC=12,CD=5,tan8=—,那么邊A。的長為.
4
A
9.一段公路的坡度為1:3,某人沿這段公路路面前進100米,他上升的最大高度為
三、解答題
10.如圖,四邊形ABCD是。O的內接四邊形,ZABC=2ZD,連結OA、OB、OC、AC,OB與
AC相交于點E.
(1)求NAOC的度數;
(2)若NAOB=3/COB,OC=46,求陰影部分的面積.
11.在矩形ABC。中,E為邊。。上一點,把AADE沿AE翻折,使點D恰好落在邊BC上的點
F處.
?
(1)求證:△AB/s2\FCE.
(2)若AO=10,CD=6,則tanNE4尸的值為
(3)若AD=6,DE=3,則AB的長為.
12.如圖,在等腰AABC中,NA=30°,。和。為線段4。的三等分點,以。為圓心,線段0C
的長為半徑畫圓.
(1)求證:A8是圓。的切線;
(2)若圓。的半徑為1,求陰影部分面積是多少?
13.如圖,在AABC中,NC=90°,NABC的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂線交A3
于點F,。。是砂的外接圓.
(1)求證:AC是。。的切線.
(2)過點£作由_LAB,垂足為“,求證:CD=HF.
(3)若C£>=1,EH=3,求8尸及AE長.
14.5月27日,2020珠峰高程測量登山隊成功登頂珠穆朗瑪峰完成峰頂測量任務,受此消息鼓舞,
某數學小組開展了一次測量小山高度的活動,如圖,該數學小組從地面A處出發(fā),沿坡角為53。的
山坡A8直線上行一段距離到達B處,再沿著坡角為22°的山坡BC直線上行600米到達C處,通
過測量數據計算出小山高CD=500機.求該數學小組行進的水平距離(結果精確到加).(參
考數據:sin22°?0.37,cos22°?0.92,tan22°*0.32,sin53°?0.8,cos53°?0.6,
tan530?1.3)
15.目前世界上最高的電視塔是廣州新電視塔.如圖所示,新電視塔高AB為600米,遠處有一棟
大樓,某人在樓底C處測得塔頂B的仰角為45。,在樓頂D處測得塔頂B的仰角為39°.(參考數
據:tan39°?0.8098,sin39°?0.6293,cos390?0.7771)
(1)求大樓與電視塔之間的距離AC:
(2)求大樓的高度CD(精確到1米).
16.如圖,為了測量某建筑物CE的高度,先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是45°,
然后在水平地面上向建筑物前進了20m,此時自3處測得建筑物頂部的仰角是60°,已知測角儀
的高度是1m,請你計算出該建筑物的高度.(取6°1.732,結果精確到1m)
17.如圖,在AA6C中,AG1BC,垂足為點G,點E為邊4C上一點,BE=CE,點。為邊
BC上一點,GD=GB,連接AO交BE于點b.
(1)求證:/ARE=/EAF:
(2)求證:AE2=EFEC;
(3)若CG=2AG,AD=2AF,BC=5,求AE的長.
18.如圖,一艘輪船以18海里/小時的速度由南向北航行,在A處測得小島P在北偏西15°的方向
上,2小時后,輪船在3處測得小島P在北偏西30。方向上,在小島P周圍20海里內有暗礁,若
輪船繼續(xù)向前航行,有無觸礁的危險?
北
B
19.如圖,四邊形ABC。是矩形,點E在線段CB的延長線上,連接QE交AB于點尸,
ZAED=2NCED,點G是。產的中點.
(1)求證:NCED=ZDAG.
⑵若BE=1,AG=4,求sinNAEB的值.
20.如圖,以。為圓心的兩個同心圓中,大圓的直徑A。交小圓于M,N兩點,大圓的弦A3切小
圓于點C,過點C作直線CEJ_AD,垂足為E,交大圓于RH兩點.
H
(1)試判斷線段4c與8c的大小關系,并說明理由:
(2)求證:FCCH^AEAO;
(3)若FC,C77是方程/一26x+4=0的兩根(C"〉b),求圖中陰影部分圖形的周長.
21.美麗的金水湖是我們陽谷縣的最美麗景點之一,金水湖大橋更是金水湖上一道美麗的風景線,
小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的金水湖大橋8C,并測得B,C兩點的俯角分別為45°,
35°.已知大橋BC與地面在同一水平面上,其長度為100m,請求出熱氣球離地面的高度.(結果
保留整數)
757
(參考數據:sin35°?—,cos35°?-,tan35°?—)
12610
22.如圖,在平面直角坐標系中,已知AABC三個頂點的坐標分別是A(2,2),6(4,0),C(4,-4).
J小
(1)請在圖中,畫出向左平移6個單位長度后得到的△A4G;并寫出各對應點坐標;
(2)以點O為位似中心,將AABC縮小為原來的;,得到2c2,請在圖中y軸右側,畫出
,并寫出各對應點坐標;
(3)求出N&C?4的正弦值.
23.如圖,在吊AABC中,NACB=90°,點。為AC中點,作AE〃3C,交80的延長線于點E.
(1)求證:四邊形ABCE為平行四邊形;
(2)若/胡C=30°,AD=2,求四邊形ABCE的面積.
24.如圖1,拋物線丁=/一2》一3與x軸交于A,B,與直線y=2x-3交于C,D兩點,點P
是拋物線上一動點.
(2)過點P作軸交直線CD于點F.若以O,C,P,F為頂點的四邊形是平行四邊形,求
點P的橫坐標;
(3)如圖2,若點P在直線CD的下方,且NPCD=45°,請直接寫出點P的坐標.
25.已知在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=-(x-w)2+4與y軸交于點B,與x軸交于點C、
。(點C在點。左側),頂點A在第一象限,異于頂點4的點P(l,〃)在該拋物線上.
(1)如果點尸與點C重合,求線段AP的長;
(2)如果拋物線經過原點,點。是拋物線上一點,tanNOPQ=3,求點。的坐標;
(3)如果直線依與x軸的負半軸相交,求,”的取值范圍.
26.為測量某大樓的高度A8,在M點測量大樓頂點A的仰角為30°,在距離M點30米的點N處
測量大樓頂點A的仰角為60。,則大樓高AB為多少米?(031.41,結果保留整數)
27.如圖△A5C,AB=AC=2,ZBAC=30°,將AABC繞點A逆時針旋轉一定的角度(1(0。<
心180。)得至1]44即,點B、C的對應點分別是E、F.連結BE、CF相交于點D.
(1)當CF恰好垂直AE時,求NCFE的大小;
(2)當四邊形ABDF為菱形時,求CD的長.
28.濟南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”.某校數學社團的同學對超然樓的高度進行了測
量.如圖,他們在A處仰望塔頂,測得仰角為30。,再往樓的方向前進60米至B處,測得仰角為
60°,若學生的身高忽略不計.
(1)求N4D8的度數;
(2)求該樓的高度CD為多少米?(結果保留根號)
29.如圖1,以△ABC的邊A8為直徑的。。交邊8c于點E,過點E作。。的切線交AC于點£>,
且EDLAC.
(1)試判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)如圖2,若線段AB、DE的延長線交于點尸,ZC=75°,CD=2-73-求。。的半徑和BF
的長.
30.(操作發(fā)現(xiàn))
(1)如圖(1),在AOAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=40。,連接AC,
BD交于點M.
①AC與BD之間的數量關系為;
②/AMB的度數為;
(類比探究)
(2)如圖(2),在△OAB和△OCD中,ZAOB=ZCOD=90°,tanZ0BA=tanZ0DC=2,連接
AC,交BD的延長線于點M.
①判斷AC與BD之間存在怎樣的數量關系?并說明理由;
②求NAMB的度數;
(拓展應用)
(3)在圖(2)的條件下,將圖(2)中的4。。。繞著點O在平面內旋轉,若OD=1,OB=6,
當C、D、B在同一直線上時,求點A、C之間的距離.
D
B'B
圖(1)圖(2)
【答案與解析】
1.A
【解析】
由旋轉的性質可求得BE=2,根據矩形的性質和直角三角形的邊角關系可求得NAEB=30。,進而可
得/EBC=30。,利用弧長公式和圓的周長公式即可解答.
解:???四邊形ABC。是矩形,
Z8A£=90°,AD!IBC
???線段3E由線段BC旋轉而成,BC=2,
BE=BC-2.
=ZBAE=90°,
ZAE3=30°,
-AD//BC,
:./EBC=ZAEB=30°,
30x2%x2n
:.CE=-------------=—,
3603
jr
設圍成的圓錐的底面半徑為r,則2萬7=一,
3
解得:r=J.
6
故選:A.
本題考查旋轉的性質、直角三角形的性質、矩形的性質、弧長公式、圓的周長公式,熟記公式,熟
練掌握直角三角形的邊角關系是解答的關鍵.
2.A
【解析】
此題根據題意連接CD,根據圓的性質和直角三角形的斜邊上中線與斜邊的關系可得△CDB為等邊
三角形,再由銳角三角函數計算即可.
如圖,連接CD,
VZC=90°,D為AB的中點,
???CD=DA=DB.
而CD=CB,
.\CD=CB=DB,即ACDB為等邊三角形.
???ZB=60°.
VAB=10,
.\AC=AB-sinZB=10x—=5^.
2
故選A.
此題考查圓的有關知識和直角三角形中線的問題,涉及到銳角三角函數,難度一般,理解題意是關
鍵.
3.B
【解析】
如圖,過點A作。0的切線AR,R為切點,連接CR,OR,OQ,QR,OP.利用相似三角形的性
質求解=可得:點Q的運動軌跡是以R為圓心,、/^為半徑的半圓,從而可得答案.
解:如圖,過點A。作。0的切線AR,R為切點,連接CR,OR,OQ,QR,OP.
AAR±OR,
???ZARO=90°,
???AC=-BC,
2
.?.AC=OC=OR,
/.AO=2OR,
.\ZOAR=30°,
ZQAP=30°=ZOAR,ZAQP=ZARO=90°,
/.△OAR^APAQ,
.OA_AR
-=cosZOAR=cos30°=—,
AOAP2
?;NOAR=N9Q=30。,
/OAP=/RAQ,
/.△OAP^ARAQ,
QRAR6
,OP-AO-V
?.?AC=,CB=2,
2
:.OP^-BC^2,
2
;?QR=y/3,
???點Q的運動軌跡是以R為圓心,出為半徑的半圓,
Q在運動中經過的路徑長是,x2乃x6=省萬,
2
故選:B.
本題考查軌跡,解直角三角形,切線的性質,弧長的計算,相似三角形的判定和性質等知識,解題
的關鍵是學會添加常用輔助線,構造相似三角形解決問題,屬于中考選擇題中的壓軸題.
4.36或3或3".
【解析】
利用分類討論,①當/BPC=90。時,情況一:如圖1,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半
得出PO=BO,易得△BOP為等邊三角形,利用銳角三角函數可得CP的長;情況二:如圖2,利用
直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結論.②當/CBP=90。時,如圖3,由對頂角的性質可
得NAOC=/BOP=60。,易得/BPO=30。,易得BP的長,利用勾股定理可得CP的長.
解:①當NCPB=90。時,
情況一:(如圖1),
B
圖1
???點。為BC中點,
/.AO=BO,
/.PO=BO,
ZAOC=60°,
???ZBOP=60°,
.,.△BOP為等邊三角形,
\'AB=BC=6,
???CP=CB-sin60°=6x與=3c;
情況二:如圖2,
??,點0為BC中點,
.*.AO=BO,
VZCPB=90°,
/.PO=BO=CO,
ZAOC=60°,
???△COP為等邊三角形,
ACP=CO=3,
②當NCBP=90。時,如圖3,
p
o
AB
圖3
VZAOC=ZBOP=60°,
JZBPO=30°,
4=2=36
;.BP=tan30。V3,
T
在直角三角形CBP中,
CP=JBC2+BP2=?2+(3我2=3不
故答案為:3G或3或3
本題主要考查了勾股定理,含30。直角三角形的性質和直角三角形斜邊的中線,分類討論,數形結
合是解答此題的關鍵.
5.(3,警)
【解析】
過點E作EHLOB于點H,由全等變換可得NEOB=NACB,由sinNEOB=,,點E在反比例函數
3
圖象上可求出點E的坐標,易證△OHEsaEHB,從而可求出HB、EB(即AB)、進而可求出AH,
OE(即AC)、OB、OAE|1可解決問題.
解:過點E作于點H,如圖:
則有AEHO=/BHE=90°.
由題可得:7CAB三kCDB三kOEB,
ZACB=ZDCB=ZEOB,ZCAB=ZCDB=ZOEB=90°,
AC^CD^OE,AB=DB=EB.
QsinZACB=-,
.…八EH1
/.sin/EOB=----=-.
OE3
設EH=a,則OE=3a,
.??點E的坐標為RJ5
???點E在反比例函數y=&g(x>0)的圖象上,
A2y/2a2=472>。>(),
6r=2,
a=V2,
:.OH=4,EH=也,
-,-ZOEB=90°,
ZOEH=90°-ZHEB=/EBH,
:NOHE7EHB,
OHHE
:.BH=-,
2
3
AB=BE=~,
2
:.OA=OB-BA=3,
J?
3,
4V2
故答案為°,-
本題主要考查了全等變換、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數、反比例函數圖象上點的坐標
特征、勾股定理等知識,對運算能力要求較高.
【解析】
作DH上BC于H,利用菱形的性質和直角三角形的邊角關系求出DH,根據
5陰=S菱形ABCD一S扇形C0B即可求解.
解:如圖,作DH工BC于H,
???四邊形ABCO是菱形,
;?NC=ZA=45°,CD=AB=6
:.在RtACDH中,DH=CDsin45°=1,
故答案為:>/2-----.
本題考查菱形的性質、解直角三角形、扇形的面積公式,解答的關鍵是添加常用輔助線,構造直角
三角形解決問題,屬于中考??碱}型.
2>/3
"V
【解析】
作直徑AD,連接BD,根據等邊三角形性質求出NC=60。,根據圓周角定理求出ND=NC=60。,解
直角三角形求出AD即可.
解:如圖,作直徑AD,連接BD,
?..等邊△ABC內接于。O,AD為直徑,
AZC=60°=ZD,ZABD=90°,
AB_y/3
sinD
AD-V
224\/3
AD=—=AB=-7=X2=--(cm),
V3V33
???O。的半徑是2叵cm,
3
故答案為:空.
3
本題考查的是三角形的外接圓與外心,涉及到等邊三角形的性質,圓周角定理,解直角三角形的應
用,關鍵是能正確作出輔助線.
8.9
【解析】
3
連接AC,作AEL5c交BC于E點,由tanB=-,AB=1O,可得AE=6,BE=8,并求出AC
4
的長,作CELAD交AD于F點,可證N5=NOCF,最后求得AF和DF的長,可解出最終結
果.
解:如圖,連接AC,作A£_LBC交BC于E點,
3
tanB=-,AB=10,
4
3
tanB=---=—,設AE=3x,BE=4x,
BE4
222
AE+BE=AB,則(3x)2+?力2=25%2=100;
解得x=2,則AE=6,BE=8,
又BC=12,CE=BC-BE=4,
?1-AC=yjAE2+CE2=2V13,
作CFJ.AQ交AD于F點,
???ZB+ZD=90。,Z£>+ZDCF=90°,
3DF
Z_B=/DCF,tanB=-=tanZDCF=---,
4CF
又?:CD=5,?,?同理可得DF=3,CF=4,
AF=y]AC2-CF2=6>
AD=AF+DF=9.
故答案為:9.
A
F
本題考查四邊形綜合問題,涉及解直角三角形,勾股定理,有一定難度,熟練掌握直角三角形和勾
股定理知識點,根據題意做出正確的輔助線是解決本題的關鍵.
9.10癡米.
【解析】
已知了坡面長為100米,可根據坡度比設出兩條直角邊的長度,根據勾股定理可列方程求出坡面的
鉛直高度,即此人上升的最大高度.
解:如圖.
RsABC中,tanA=—,AB=100米.
3
設BC二x米,則AC=3x米,根據勾股定理,得:
x2+(3x)2=1002,
解得x=ioJ16(負值舍去).
故答案為:10麗米.
此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函數的運用能力.
10.(1)ZAOC=120°;(2)與彩=12乃-8季.
【解析】
(1)根據四邊形488是。。的內接四邊形得到NA3C+NO=18()°,根據NA3C=2NO得
到N£>+2NO=180°,從而求得N£>=60°,進而得出答案;
(2)首先根據Z4O8=3NCOB得到NCO3=30°,從而得到NAO8為直角,然后利用
S陰影=S扇形0ftt-20公求解.
解:(1)?.?四邊形A8CD是。。的內接四邊形,
ZABC+ZD=180°,
-,?ZABC=2ZD,
...NO+2ZT>=180°,
ZD=60°,
ZAOC=2ZD=120°;
(2)?;ZAOB=3NCOB,
ZAOC=/COB+34coB=120°,
...408=30°,
ZAOB=ZAOC-ZCOB=90°,
在RtAOAE中,OC=Q4=4g,
OE=OA.tanZOAE=4G.tan300=4>/3x—=4,
3
?雙曲=;OE.O4=;*4X4X/5=8G,
,q_90萬(4府
萬,
..J扇形054—36()=12
=12兀一80.
S陰影=S扇形OBA_SAO£4
【點評】
本題考查了扇形面積的計算,圓內接四邊形的性質,解直角三角形的知識,在求不規(guī)則的陰影部分
的面積時常常轉化為幾個規(guī)則幾何圖形的面積的和或差.
124
11.(1)見解析;(2)—:(3)—
35
【解析】
(1)根據兩角對應相等的兩個三角形相似證明即可;
(2)由折疊的性質得出AD=AF=10,DE=EF,ZEAF=ZDAE,由勾股定理求出BF=8,設
4/7BF
DE=x,則EF=x,CE=6-x,由相似三角的性質得出——=——,可求出DE的長,則可得出答
EFCE
案;
(3)設CE=y,則CD=AB=y+3,由折疊知,AD=AF=6,DE=EF=3,由相似三角形的性質
v+3
得出BF=2y,CF=」y-,則可得出方程求出CE的長,則可得出答案.
解:(1)證明:???四邊形ABCD是矩形,
/.ZB=ZC=ZD=90°,
由翻折可知,ZD=ZAFE=90°,
???NAFB+NEFC=90。,ZEFC+ZCEF=90°,
???NAFB=NFEC,
/.△ABF^AFCE;
(2)???把△ADE沿AE翻折,使點D恰好落在邊BC上的點F處,
???AD=AF=10,DE=EF,ZEAF=ZDAE,
???四邊形ABCD是矩形,
AB=CD=6,
;.BF=《一AB?=7102-62=8,
設DE=x,則EF=x,CE=6-x,
VAABF^AFCE,
.AFBF
??一,
EFCE
.108
??—=---,
x6-x
解得x=—,
3
10
???DE=—,
3
DE—1
tanZEAF=tanZDAE==3=—,
A。W3
故答案為:—;
3
(3)設CE=y,則CD=AB=y+3,
由折疊知,AD=AF=6,DE=EF=3,
VAFCE^AABF,
.EF_CE_CF_3_l
y+3
???BF=2y,CF=-^—,
y+3
/.2yH-------=6,
9
解得y=—,
924
???AB=CD=DE+CE=3+—=—,
55
故答案為:一
5
本題是四邊形綜合題,考查了翻折變換,矩形的性質,勾股定理,相似三角形的判定和性質,解直
角三角形等知識;熟練掌握折疊的性質和相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.
12.(1)見解析;(2)B—三.
26
【解析】
(1)連接0B,如圖,利用等腰三角形的性質得/C=30。,NOBC=/C=30。,再利用三角形外角性
質得到NAOB=60。,則可計算出NOBA=90。,然后根據切線的判定定理得到結論;
(2)先計算出AB=G,然后根據扇形面積公式,利用陰影部分面積MSAAOB-SS^OBD進行計算.
工(1)證明:連接OB,如圖,
BA
???等腰AABC中,ZA=30°,
ZC=30°,
VOB=OC,
.-.ZOBC=ZC=30°,
???ZAOB=ZC+ZOBC=60°,
ZOBA=180o-60°-30o=90°,
AOB±AB,
JAB是圓。的切線;
(2)在RSOBA中,ZA=30°,OB=1
tan30°V3
3
**?陰影部分面積二SaAOB-S埒形OBD=1"x]xG_60NXF=@一工
236026
本題考查了切線的判定與性質:經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;圓的切線垂
直于經過切點的半徑.判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點''或"過圓心作這條直線的垂線”;有
切線時.,常?!坝龅角悬c連圓心得半徑也考查了等腰三角形的性質和扇形面積公式.
13.(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)BF=10,AF=-.
4
【解析】
(1)連接OE,由于BE是角平分線,則有/CBE=NOBE;而OB=OE,就有/OBE=/OEB,等
量代換有NOEB=NCBE,那么利用內錯角相等,兩直線平行,可得OE〃BC;又/C=90。,所以
ZAEO=90°,即AC是的切線;
(2)連結DE,先根據AAS證明△CDE^AHFE,再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF.
(3)先證得△EHFs^BEF,根據相似三角形的性質求得BF=10,進而根據直角三角形斜邊中線
的性質求得0E=5,進一步求得OH,然后解直角三角形即可求得0A,得出AF.
解:(1)證明:如圖,連接0E.
BE工EF,
/BEF=90°,
8尸是圓0的直徑.
:8E平分乙43C,
/.ZCBE=ZOBE,
,/OB=OE,
:.NOBE=NOEB,
/./OEB=/CBE,
:.OE//BC,
ZAEO=NC=90。,
???AC是。。的切線.
(2)如圖,連結£>E.
VZCBE=ZOBE,EC上BC于C,EHLAB于H,
EC=EH.
,/ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,
;?/CDE=/HFE.
在△CDE與WFE中,
ZCDE=ZHFE
<NC=NEHF=9。。,
EC=EH
;?MDE=AHFE,
:.CD=HF.
(3)由(2)得CD=HF,又8=1,
;?HF=1,
在RtJiFE中,EF=732+12=V10-
?/EF±BE,
NBEF=90°,
/.AEHF=/BEF=9Q0,
■:ZEFH=/BFE,
/.八EHF?八REF,
空二”即巫=上,
BFEFBFV10
/.防=10,
:.OE=-BF=5O/f=5-1=4,
29
4
:?RtLOHE中,cosZEOA=-,
OE4
RtAEOA中,cosZEOA=——=-,
OA5
.54
..=—,
OA5
本題主要考查了切線的判定,全等三角形的判定與性質,三角形相似的判定和性質以及解直角三角
形等.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.
14.該數學小組行進的水平距離為766m
【解析】
通過添加輔助線構造出矩形8七£歸、Rt/XACE、RsABH,再解RNBCE求得CE、3E的長,
再由線段的和差、矩形的性質可得8“、的長,再解可求得AH的長,最后由線段
的和差即可求得答案.
解:過3作8E_LC£>于E,過8作8〃J_AP于H,如圖:
四邊形6石。//是矩形
:?DE=BH,BE=DH
?:在RNBCE中,BC=6(X),NCBE=2T
;?CE=BCsin22°=600x0.37=222m,BE=BCcos22°=600x0.92=552加
DH=BE=552m
,/CD=500m
=DE=8—CE=500—222=278m
???在后△ABH中,/B4H=53°
Atan53°=—
AH
…278…
AH=----?214/n
1.3
/.AD=AH+DH=214+552^766m.
答:該數學小組行進的水平距離AD為766帆.
本題考查了解直角三角形的應用、矩形的判定和性質、線段的和差等,添加輔助線構造出直角三角
形和矩形是解題的關鍵.
15.(1)600米;(2)114米
【解析】
(1)判斷出△BAC為等腰直角三角形,即可求出AC的長;
BE
(2)在RsDEB中,根據tan39°=——即可求出BE,進一步即可求出CD的長.
DE
解:(1)在RSB4C中,NBC4=45°,
/.ACAB=0)0(米)
答:大樓與電視塔之間的距離AC為600米.
(2)由題意可知,CD=AE,£>E=AC=600米.
在RtzXBED中,NBZ)E=39°,
Rp
':—=tan4BDE,
DE
BE=DE-tanZfiDE?6()0x0.8098-485.88(米),
AC£>=AE=AB-J3E=600-485.88?114(米).
答:大樓的高度CD約為114米.
本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題,熟悉等腰三角形的性質和三角函數的定義是解題
的關鍵.
16.約為48m.
【解析】
設CD為xm,根據正切的概念用x表示出AD、BD,根據題意列出方程,解方程即可求出CD,結
合圖形計算即可.
解:設CD為xm,
在RSADC中,ZCAD=45°,
/.AD=CD=xm,
在RtABDC中,ZCBD=60°,
BD=———=—
tanZCBD3')
由題意得,x--x=2Q.
3
解得x=10g+30,
則該建筑物的高度為1M+30+1v48(/n),
答:該建筑物的高度約為48m.
本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題,理解仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的概
念是解題的關鍵.
17.(1)見解析;(2)見解析;(3)AE=-.
8
【解析】
⑴首先證明/EBC=/C,ZABD=ZADB,再根據/ABD=NABE+/EBC,ZADB=ZDAC+ZC,
可得結論;
(2)證明△AEF-ABEA可得結論;
(3)設BE交AG于J,連接DJ,DE.證明四邊形AJDE是平行四邊形,推出DELBC,AE=DJ,
求出DJ即可解決問題.
(1)證明:?;EB=EC,
:.NEBC=/C,
-AG1BD,BG=GD,
:.AB=AD,
:.ZABD=ZADB,
ZABD=ZABE+ZEBC,ZADB=ZDAC+ZC,
:.ZABE=NDAC,
即
(2)證明:?.,ZAEF=NBEA,ZEAF=ZABE,
^AEF^^BEA,
.AE_EF
~BE~~AE'
:.AE2=EFEB-
:EB=EC,
AE2=EFEC;
(3)解:設3E交AG于J,連接D/,DE.
?.?AG垂直平分線段8。,
JB=JD,
:.ZJBD=ZJDG,
-.-ZJBD=ZC,
:.ZJDB=/C,
:.DJ//AC,
:.ZAEF=ZDJF,
AD=2AF,
:.AF=DF,
在AAfE和ADE/中
NAEF=NDJF
<NAFE=NDFJ,
AF=DF
:.^AFE=\DFJ{AAS),
:.AE=DJ,
?:AFIIDF,
四邊形A/OE是平行四邊形,
:.DE//AG,
vAG±BC.
:.ED±BC,
?;EB=EC,
:.BD=DC=-,
2
DG=-
?:tanZ.JDG=tanZC=---=—=——,
CG2DG
8
vZ/GD=90c
+心=符+(|)2=半,
DJ=』GJ2
575
AE=DJ=
~1T'
A
A
BGD
本題考查相似三角形的判定和性質,全等三角形的判定和性質,平行四邊形的判定與性質,勾股定
理,解直角三角形等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造特殊四邊形解決問題,屬于中
考??碱}型.
18.有危險,理由見解析
【解析】
有危險,理由為:過P作PD垂直與AB,交AB延長線于點D,如圖所示,由NPBD為三角形PAB
的外角,利用外角的性質得到NPBD=NA+NAPB,由NPBD及NA的度數求出NBPA的度數,
得到NBPA=/A,利用等角對等邊得到PB=AB,由2小時走的路程為15海里/時x2,得到PB為
30海里,在直角三角形PBD中,利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得到PB=2PD,由PB
的長求出PD的長,由PD的長與20比較大小,即可對輪船不改變方向仍繼續(xù)向前航行,有無觸礁
的危險作出判斷.
解:有危險,
理由如下:
過P點作PD_LA5,交A8延長線與點。,如圖所示:
P\
VljD
\^°
\'B
2
r
A
由題意可知:ZA=15°,NPBD=3O。,
ZBPA=ZPBD-ZA=15°,
即.?."7%=NA
/.PB—AB=18x2=36(海里)
在RASP。中,
-.?ZPBD=3O°,PB=36(海里)
,PO=,PB=18海里<20海里,
2
則輪船不改變方向仍繼續(xù)向前航行,有觸礁的危險.
此題考查了等腰三角形的判定與性質,三角形的外角性質,以及含30。直角三角形的性質,其中輪
船有沒有危險由PD的長與20比較大小決定.
19.(1)證明見解析;(2)sinZAEB=-—
4
【解析】
(1)根據矩形的對邊平行可得AD〃BC,再根據兩直線平行,內錯角相等可得NCED=NADE,根
據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG=DG,然后根據等邊對等角求出
ZDAG=ZADE,從而得證;
(2)根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式求出
ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG,然后求出NAED=NAGE,根據等角對等邊可得AE=AG,再利
用勾股定理列式求出AB,然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解.
(1)證明::矩形ABCD,
;.AD〃BC,
.,.ZCED=ZADE,
又:點G是DF的中點,
;.AG=DG,
NDAG=/ADE,
,ZCED=ZDAG;
(2)在4ADG中,ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG,
又:/AED=2/CED,
NAED=NAGE,
,AE=AG,
VAG=4,
;.AE=4,
在RSAEB中,由勾股定理可求AB=[AE?_BE2=J42—F=J石,
.,.sinZAEB=—=2^.
AE4
本題考查了矩形的性質,平行線的性質,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質,等角對
等邊的性質,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質,以及銳角三角函數的定義,
熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵.
20.(1)AC=BCi理由見解析;(2)證明見解析;(3)陰影部分周長=2+28+逑萬.
【解析】
(1)連結OC,AB切小圓于點C,可得COLAB,再利用垂徑定理可得結論;
(2)連接心,A”,證明八4S52\/708,可得4。-。8=/。-677,再證明/。.。"=4。2,
再證明八4?!?八40。,可得AC2=AE-AO,從而可得結論:
(3)先解方程求解?!?石+1,CF=M1,再求解CE=逐一(、后—1)=1,
4。2=尸。.?!?4,可得4。=2,求解ZA=30°,ZAOC=60°,ZCON=120°,
CO=ACtanZCAE=-y/3,4。=上色_=迪,可得AV=RI,CN的長度,
3sin60033
AN=AM+20c=2g,從而可得陰影部分周長.
解:(1)相等,理由如下:
連結。C,48切小圓于點C,
CO±AB,
AC=BC.
(2)連接
-.-AF^AF,
:.ZAHC=ZFBC,
ZACH=ZFCB,
.ACCH
"~FC~~CB,
ACCB=FCCH,
?.?AC=BC,
/.FC?CH=AC2,
CE±AD,AB切小圓于點C,
,-.ZAEC=90°=ZACO,
ZCAE=ZOAC,
AACE^AAOC,
.ACAE
"'AO~'AC,
AC2=AEAO^
:.FCCH=AEAO.
⑶?“-2后+4=0,
-2行『-4x1x4=4,
.X=2逐±2二6±],
2
?;CH>CF,
CH=75+1)CF=^—\,
\FH±AD,
:.EF=EH=5口=;心—1+布+1)=布,
CE=y/5-(^5-l)=l,AC2=FC-CH=(75+1)=4,
;?AC=2(負根舍去),
CE1
在Rt/\ACE中,sinNC4E=------,
AC2
:.NA=30°,
/.ZAOC=60°,NCON=120°,
在△ACO中,
「八.732/-.cAC4百
CO=ACtanNCAE=2x—=—,3,AO=--------=------,
33sin6003
AM=AO-QM=AO-OC=迪-紐=空
333
10n26
12()?1x-------Anz
CN=--------------。心兀
1809
AN=AM+2OC=^-+2x^-=2y/3,
33
,陰影部分周長=AC+AN+CN=2+2j5+竽乃.
本題考查了切線的性質,垂徑定理的應用,圓周角定理,相似三角形的判定與性質,一元二次方程
的解法,銳角三角函數的應用,弧長的計算,掌握以上知識是解題的關鍵.
21.熱氣球離地面的高度是233m.
【解析】
作A。,8c交CB的延長線于。,設AD為X,表示出DB,DC,根據正切值得概念求出x的值即
可.
如圖:作ADJ_3c交C8的延長線于£>,設AO為x,
由題意得,NABD=45。,NACE>=35°,
在中,ZABD=45°,
DB-x,
在mdADC中,NACD=35°,
An
:.tanZACD=—,
CD
?-=7
x+100-10'
解得,x?233m.
所以熱氣球離地面的高度是233m.
本題考查的是解直角三角形的實際應用,理解仰角和俯角的概念,掌握銳角三角函數的概念是解題
關鍵,解答時注意正確作出輔助線構造直角三角形.
22.(1)圖見解析;4(—4,2),4(—2,0),q(—2,-4);(2)圖見解析;B2(2,0),C2(2,-2);
(3)sinZAC2B2
【解析】
(1)利用點平移的坐標變換規(guī)律寫出Ai,BI,G點的坐標,然后描點即可;
(2)把點A、B、C的橫縱坐標分別乘以3得到點A2,B2,C2的坐標,然后描點即可,
(3)利用正切的定義確定/A2c2B2的正切值.
(1)如圖所示:"46,即為所求;
4(-4,2),即―2,0),C,(-2,-4).
(2)如圖所示:即為所求,
4(1,1),員(2,0),C2(2,-2).
(3)由圖形可知,ZA,C2B2=ZACB,過點A作交BC的延長線于點
由A(2,2),C(4,-4),6(4,0),則。(4,2),
故AD=2>CD—6,AC=V22+62=2-\/10,
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