人教版初中數(shù)學第二十八章第2節(jié)《解直角三角形及其應用》提升訓練 (一)(含答案解析)

第二十八章第2節(jié)《解直角三角形及其應用》提升訓練（1）

一、單選題

1.如圖，矩形A3CO的邊長A6=l,BC=2.把BC繞B逆時針旋轉，使C恰好落在上的

點E處,線段8C掃過部分為扇形8CE.若扇形8CE正好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐

的底面圓的半徑是（）

2

C.一DT

2.如圖,在RtAABC中,ZC=90°,AB=10,若以點C為圓心，CB長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的

c.5V2D.6

3.如圖，C是線段48上一點，AC=^CB=2,以CB為直徑作半圓。，P是半圓。上一動點，

2

以AP為斜邊向上作R3APQ,使得NPQA=90。，N以。=30。.若點P從點C沿半圓弧運動到點

8,則點Q在運動中經(jīng)過的路徑長是（）

C.2兀D.也it

二、填空題

4.如圖，在△ABC中，AB=BC^6,點O為BC中點，點P是射線AO上的一個動點，且

NAOC=60°.要使得ABCP為直角三角形，CP的長為.

c

o

5.如圖，直角坐標系中，RtAABC的A8邊在x軸上，ZCAB=90°,sinZACB=-.將RsABC沿

3

直線BC翻折得RtAOBC,再將RtAOBC繞點8逆時針旋轉，正好點C與坐標原點。重合，點。

的對應點E落在反比例函數(shù)"延0>0）的圖象上，此時線段AC交雙曲線于點凡則點尸的坐

X

標為.

6.如圖，在菱形A8CD中，NA=45°,AB=O,以點C為圓心，CO為半徑畫弧。B，則

陰影部分的面積是

7.如圖，已知等邊AABC內(nèi)接于。0,AB=2,則AABC的外接圓半徑為cm.

8.新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.如圖，已知在對余四邊形A8CD中,

3

AB=10,BC=12,CD=5,tan8=—,那么邊A。的長為.

4

A

9.一段公路的坡度為1：3,某人沿這段公路路面前進100米，他上升的最大高度為

三、解答題

10.如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，ZABC=2ZD,連結OA、OB、OC、AC,OB與

AC相交于點E.

(1)求NAOC的度數(shù)；

(2)若NAOB=3/COB,OC=46,求陰影部分的面積.

11.在矩形ABC。中，E為邊。。上一點，把AADE沿AE翻折，使點D恰好落在邊BC上的點

F處.

?

(1)求證：△AB/s2\FCE.

(2)若AO=10,CD=6,則tanNE4尸的值為

(3)若AD=6,DE=3,則AB的長為.

12.如圖，在等腰AABC中，NA=30°，。和。為線段4。的三等分點，以。為圓心，線段0C

的長為半徑畫圓.

(1)求證：A8是圓。的切線；

(2)若圓。的半徑為1,求陰影部分面積是多少？

13.如圖，在AABC中，NC=90°，NABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交A3

于點F，。。是砂的外接圓.

(1)求證：AC是。。的切線.

(2)過點￡作由_LAB，垂足為“，求證：CD=HF.

(3)若C￡>=1,EH=3,求8尸及AE長.

14.5月27日，2020珠峰高程測量登山隊成功登頂珠穆朗瑪峰完成峰頂測量任務，受此消息鼓舞，

某數(shù)學小組開展了一次測量小山高度的活動，如圖，該數(shù)學小組從地面A處出發(fā)，沿坡角為53。的

山坡A8直線上行一段距離到達B處，再沿著坡角為22°的山坡BC直線上行600米到達C處，通

過測量數(shù)據(jù)計算出小山高CD=500機.求該數(shù)學小組行進的水平距離(結果精確到加).(參

考數(shù)據(jù)：sin22°?0.37,cos22°?0.92,tan22°*0.32,sin53°?0.8,cos53°?0.6,

tan530?1.3)

15.目前世界上最高的電視塔是廣州新電視塔.如圖所示，新電視塔高AB為600米，遠處有一棟

大樓，某人在樓底C處測得塔頂B的仰角為45。，在樓頂D處測得塔頂B的仰角為39°.(參考數(shù)

據(jù)：tan39°?0.8098,sin39°?0.6293,cos390?0.7771)

(1)求大樓與電視塔之間的距離AC：

(2)求大樓的高度CD(精確到1米).

16.如圖，為了測量某建筑物CE的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是45°,

然后在水平地面上向建筑物前進了20m,此時自3處測得建筑物頂部的仰角是60°,已知測角儀

的高度是1m，請你計算出該建筑物的高度.(取6°1.732,結果精確到1m)

17.如圖，在AA6C中，AG1BC,垂足為點G,點E為邊4C上一點，BE=CE,點。為邊

BC上一點，GD=GB,連接AO交BE于點b.

(1)求證：/ARE=/EAF：

(2)求證：AE2=EFEC;

(3)若CG=2AG,AD=2AF,BC=5,求AE的長.

18.如圖，一艘輪船以18海里/小時的速度由南向北航行，在A處測得小島P在北偏西15°的方向

上，2小時后，輪船在3處測得小島P在北偏西30。方向上，在小島P周圍20海里內(nèi)有暗礁，若

輪船繼續(xù)向前航行，有無觸礁的危險？

北

B

19.如圖，四邊形ABC。是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接QE交AB于點尸，

ZAED=2NCED,點G是。產(chǎn)的中點.

(1)求證：NCED=ZDAG.

⑵若BE=1，AG=4,求sinNAEB的值.

20.如圖，以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的直徑A。交小圓于M,N兩點，大圓的弦A3切小

圓于點C,過點C作直線CEJ_AD,垂足為E,交大圓于RH兩點.

H

(1)試判斷線段4c與8c的大小關系，并說明理由：

(2)求證：FCCH^AEAO；

(3)若FC,C77是方程/一26x+4=0的兩根(C"〉b)，求圖中陰影部分圖形的周長.

21.美麗的金水湖是我們陽谷縣的最美麗景點之一，金水湖大橋更是金水湖上一道美麗的風景線,

小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的金水湖大橋8C,并測得B,C兩點的俯角分別為45°,

35°.已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100m,請求出熱氣球離地面的高度.(結果

保留整數(shù))

757

（參考數(shù)據(jù):sin35°?—,cos35°?-,tan35°?—）

12610

22.如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC三個頂點的坐標分別是A(2,2),6(4,0),C(4,-4).

J小

(1)請在圖中，畫出向左平移6個單位長度后得到的△A4G；并寫出各對應點坐標；

(2)以點O為位似中心，將AABC縮小為原來的;，得到2c2,請在圖中y軸右側，畫出

,并寫出各對應點坐標；

(3)求出N&C?4的正弦值.

23.如圖，在吊AABC中，NACB=90°,點。為AC中點，作AE〃3C,交80的延長線于點E.

(1)求證：四邊形ABCE為平行四邊形；

(2)若/胡C=30°,AD=2,求四邊形ABCE的面積.

24.如圖1,拋物線丁=/一2》一3與x軸交于A,B,與直線y=2x-3交于C,D兩點，點P

是拋物線上一動點.

(2)過點P作軸交直線CD于點F.若以O,C,P,F為頂點的四邊形是平行四邊形，求

點P的橫坐標；

(3)如圖2,若點P在直線CD的下方，且NPCD=45°,請直接寫出點P的坐標.

25.已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-(x-w)2+4與y軸交于點B,與x軸交于點C、

。(點C在點。左側)，頂點A在第一象限，異于頂點4的點P(l,〃)在該拋物線上.

(1)如果點尸與點C重合，求線段AP的長；

(2)如果拋物線經(jīng)過原點，點。是拋物線上一點，tanNOPQ=3,求點。的坐標;

(3)如果直線依與x軸的負半軸相交，求，”的取值范圍.

26.為測量某大樓的高度A8，在M點測量大樓頂點A的仰角為30°,在距離M點30米的點N處

測量大樓頂點A的仰角為60。，則大樓高AB為多少米？(031.41，結果保留整數(shù))

27.如圖△A5C，AB=AC=2,ZBAC=30°,將AABC繞點A逆時針旋轉一定的角度(1(0。<

心180。)得至1]44即，點B、C的對應點分別是E、F.連結BE、CF相交于點D.

(1)當CF恰好垂直AE時，求NCFE的大小;

(2)當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長.

28.濟南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”.某校數(shù)學社團的同學對超然樓的高度進行了測

量.如圖，他們在A處仰望塔頂，測得仰角為30。，再往樓的方向前進60米至B處，測得仰角為

60°,若學生的身高忽略不計.

(1)求N4D8的度數(shù);

(2)求該樓的高度CD為多少米？(結果保留根號)

29.如圖1,以△ABC的邊A8為直徑的。。交邊8c于點E,過點E作。。的切線交AC于點￡>,

且EDLAC.

(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由;

(2)如圖2,若線段AB、DE的延長線交于點尸，ZC=75°,CD=2-73-求。。的半徑和BF

的長.

30.（操作發(fā)現(xiàn)）

（1）如圖（1）,在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=40。，連接AC,

BD交于點M.

①AC與BD之間的數(shù)量關系為；

②/AMB的度數(shù)為；

（類比探究）

（2）如圖（2）,在△OAB和△OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,tanZ0BA=tanZ0DC=2,連接

AC,交BD的延長線于點M.

①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；

②求NAMB的度數(shù)；

（拓展應用）

（3）在圖（2）的條件下，將圖（2）中的4。。。繞著點O在平面內(nèi)旋轉，若OD=1,OB=6,

當C、D、B在同一直線上時，求點A、C之間的距離.

D

B'B

圖（1）圖（2）

【答案與解析】

1.A

【解析】

由旋轉的性質可求得BE=2,根據(jù)矩形的性質和直角三角形的邊角關系可求得NAEB=30。，進而可

得/EBC=30。，利用弧長公式和圓的周長公式即可解答.

解：???四邊形ABC。是矩形，

Z8A￡=90°,AD!IBC

???線段3E由線段BC旋轉而成，BC=2,

BE=BC-2.

=ZBAE=90°，

ZAE3=30°,

-AD//BC,

:./EBC=ZAEB=30°,

30x2%x2n

：.CE=-------------=—,

3603

jr

設圍成的圓錐的底面半徑為r,則2萬7=一，

3

解得：r=J.

6

故選：A.

本題考查旋轉的性質、直角三角形的性質、矩形的性質、弧長公式、圓的周長公式，熟記公式，熟

練掌握直角三角形的邊角關系是解答的關鍵.

2.A

【解析】

此題根據(jù)題意連接CD,根據(jù)圓的性質和直角三角形的斜邊上中線與斜邊的關系可得△CDB為等邊

三角形，再由銳角三角函數(shù)計算即可.

如圖，連接CD,

VZC=90°,D為AB的中點,

???CD=DA=DB.

而CD=CB,

.\CD=CB=DB,即ACDB為等邊三角形.

???ZB=60°.

VAB=10,

.\AC=AB-sinZB=10x—=5^.

2

故選A.

此題考查圓的有關知識和直角三角形中線的問題，涉及到銳角三角函數(shù)，難度一般，理解題意是關

鍵.

3.B

【解析】

如圖，過點A作。0的切線AR,R為切點，連接CR,OR,OQ,QR,OP.利用相似三角形的性

質求解=可得：點Q的運動軌跡是以R為圓心，、/^為半徑的半圓，從而可得答案.

解：如圖，過點A。作。0的切線AR,R為切點，連接CR,OR,OQ,QR,OP.

AAR±OR,

???ZARO=90°,

???AC=-BC,

2

.?.AC=OC=OR,

/.AO=2OR,

.\ZOAR=30°,

ZQAP=30°=ZOAR,ZAQP=ZARO=90°,

/.△OAR^APAQ,

.OA_AR

-=cosZOAR=cos30°=—，

AOAP2

?；NOAR=N9Q=30。，

/OAP=/RAQ,

/.△OAP^ARAQ,

QRAR6

,OP-AO-V

?.?AC=，CB=2,

2

:.OP^-BC^2,

2

；?QR=y/3,

???點Q的運動軌跡是以R為圓心，出為半徑的半圓，

Q在運動中經(jīng)過的路徑長是,x2乃x6=省萬，

2

故選:B.

本題考查軌跡，解直角三角形，切線的性質，弧長的計算，相似三角形的判定和性質等知識，解題

的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

4.36或3或3".

【解析】

利用分類討論，①當/BPC=90。時，情況一：如圖1,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半

得出PO=BO,易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)可得CP的長；情況二：如圖2,利用

直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結論.②當/CBP=90。時，如圖3,由對頂角的性質可

得NAOC=/BOP=60。，易得/BPO=30。，易得BP的長，利用勾股定理可得CP的長.

解：①當NCPB=90。時，

情況一：（如圖1）,

B

圖1

???點。為BC中點，

/.AO=BO,

/.PO=BO,

ZAOC=60°,

???ZBOP=60°,

.,.△BOP為等邊三角形，

\'AB=BC=6,

???CP=CB-sin60°=6x與=3c；

情況二：如圖2,

??,點0為BC中點，

.*.AO=BO,

VZCPB=90°,

/.PO=BO=CO,

ZAOC=60°,

???△COP為等邊三角形，

ACP=CO=3,

②當NCBP=90。時，如圖3,

p

o

AB

圖3

VZAOC=ZBOP=60°,

JZBPO=30°,

4=2=36

；.BP=tan30。V3，

T

在直角三角形CBP中，

CP=JBC2+BP2=?2+（3我2=3不

故答案為：3G或3或3

本題主要考查了勾股定理，含30。直角三角形的性質和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結

合是解答此題的關鍵.

5.（3,警）

【解析】

過點E作EHLOB于點H,由全等變換可得NEOB=NACB,由sinNEOB=，，點E在反比例函數(shù)

3

圖象上可求出點E的坐標，易證△OHEsaEHB,從而可求出HB、EB（即AB）、進而可求出AH,

OE（即AC）、OB、OAE|1可解決問題.

解：過點E作于點H,如圖：

則有AEHO=/BHE=90°.

由題可得：7CAB三kCDB三kOEB，

ZACB=ZDCB=ZEOB，ZCAB=ZCDB=ZOEB=90°，

AC^CD^OE,AB=DB=EB.

QsinZACB=-,

.…八EH1

/.sin/EOB=----=-.

OE3

設EH=a,則OE=3a,

.??點E的坐標為RJ5

???點E在反比例函數(shù)y=&g(x＞0)的圖象上,

A2y/2a2=472＞。＞()，

6r=2，

a=V2，

：.OH=4,EH=也，

-,-ZOEB=90°,

ZOEH=90°-ZHEB=/EBH,

:NOHE7EHB,

OHHE

：.BH=-,

2

3

AB=BE=~,

2

:.OA=OB-BA=3,

J?

3,

4V2

故答案為°，-

本題主要考查了全等變換、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標

特征、勾股定理等知識，對運算能力要求較高.

【解析】

作DH上BC于H，利用菱形的性質和直角三角形的邊角關系求出DH,根據(jù)

5陰=S菱形ABCD一S扇形C0B即可求解.

解：如圖，作DH工BC于H,

???四邊形ABCO是菱形，

；?NC=ZA=45°,CD=AB=6

：.在RtACDH中，DH=CDsin45°=1,

故答案為：＞/2-----.

本題考查菱形的性質、解直角三角形、扇形的面積公式，解答的關鍵是添加常用輔助線，構造直角

三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

2>/3

"V

【解析】

作直徑AD,連接BD,根據(jù)等邊三角形性質求出NC=60。，根據(jù)圓周角定理求出ND=NC=60。，解

直角三角形求出AD即可.

解：如圖，作直徑AD,連接BD,

?..等邊△ABC內(nèi)接于。O,AD為直徑,

AZC=60°=ZD,ZABD=90°,

AB_y/3

sinD

AD-V

224\/3

AD=—=AB=-7=X2=--(cm)，

V3V33

???O。的半徑是2叵cm,

3

故答案為：空.

3

本題考查的是三角形的外接圓與外心，涉及到等邊三角形的性質，圓周角定理，解直角三角形的應

用，關鍵是能正確作出輔助線.

8.9

【解析】

3

連接AC,作AEL5c交BC于E點，由tanB=-，AB=1O,可得AE=6,BE=8,并求出AC

4

的長，作CELAD交AD于F點，可證N5=NOCF,最后求得AF和DF的長，可解出最終結

果.

解：如圖，連接AC,作A￡_LBC交BC于E點，

3

tanB=-,AB=10,

4

3

tanB=---=—，設AE=3x,BE=4x,

BE4

222

AE+BE=AB，則（3x）2+?力2=25%2=100；

解得x=2,則AE=6,BE=8,

又BC=12,CE=BC-BE=4,

?1-AC=yjAE2+CE2=2V13，

作CFJ.AQ交AD于F點，

???ZB+ZD=90。，Z￡>+ZDCF=90°，

3DF

Z_B=/DCF，tanB=-=tanZDCF=---,

4CF

又?：CD=5,?,?同理可得DF=3,CF=4,

AF=y]AC2-CF2=6>

AD=AF+DF=9.

故答案為：9.

A

F

本題考查四邊形綜合問題，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定難度，熟練掌握直角三角形和勾

股定理知識點，根據(jù)題意做出正確的輔助線是解決本題的關鍵.

9.10癡米.

【解析】

已知了坡面長為100米，可根據(jù)坡度比設出兩條直角邊的長度，根據(jù)勾股定理可列方程求出坡面的

鉛直高度，即此人上升的最大高度.

解：如圖.

RsABC中，tanA=—，AB=100米.

3

設BC二x米，則AC=3x米，根據(jù)勾股定理，得：

x2+(3x)2=1002,

解得x=ioJ16(負值舍去).

故答案為：10麗米.

此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函數(shù)的運用能力.

10.(1)ZAOC=120°;(2)與彩=12乃-8季.

【解析】

(1)根據(jù)四邊形488是。。的內(nèi)接四邊形得到NA3C+NO=18()°,根據(jù)NA3C=2NO得

到N￡>+2NO=180°,從而求得N￡>=60°,進而得出答案；

(2)首先根據(jù)Z4O8=3NCOB得到NCO3=30°,從而得到NAO8為直角，然后利用

S陰影=S扇形0ftt-20公求解.

解：(1)?.?四邊形A8CD是。。的內(nèi)接四邊形,

ZABC+ZD=180°,

-,?ZABC=2ZD,

...NO+2ZT>=180°,

ZD=60°，

ZAOC=2ZD=120°；

(2)?;ZAOB=3NCOB,

ZAOC=/COB+34coB=120°,

...408=30°,

ZAOB=ZAOC-ZCOB=90°,

在RtAOAE中，OC=Q4=4g,

OE=OA.tanZOAE=4G.tan300=4>/3x—=4,

3

?雙曲=；OE.O4=；*4X4X/5=8G,

,q_90萬(4府

萬,

..J扇形054—36()=12

=12兀一80.

S陰影=S扇形OBA_SAO￡4

【點評】

本題考查了扇形面積的計算，圓內(nèi)接四邊形的性質，解直角三角形的知識，在求不規(guī)則的陰影部分

的面積時常常轉化為幾個規(guī)則幾何圖形的面積的和或差.

124

11.(1)見解析；(2)—：(3)—

35

【解析】

(1)根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似證明即可；

(2)由折疊的性質得出AD=AF=10,DE=EF,ZEAF=ZDAE,由勾股定理求出BF=8,設

4/7BF

DE=x,則EF=x,CE=6-x,由相似三角的性質得出——=——，可求出DE的長，則可得出答

EFCE

案；

(3)設CE=y,則CD=AB=y+3,由折疊知，AD=AF=6,DE=EF=3,由相似三角形的性質

v+3

得出BF=2y,CF=」y-,則可得出方程求出CE的長，則可得出答案.

解：(1)證明：???四邊形ABCD是矩形,

/.ZB=ZC=ZD=90°,

由翻折可知，ZD=ZAFE=90°,

???NAFB+NEFC=90。，ZEFC+ZCEF=90°,

???NAFB=NFEC,

/.△ABF^AFCE；

(2)???把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在邊BC上的點F處,

???AD=AF=10,DE=EF,ZEAF=ZDAE,

???四邊形ABCD是矩形，

AB=CD=6,

；.BF=《一AB?=7102-62=8，

設DE=x,則EF=x,CE=6-x,

VAABF^AFCE,

.AFBF

??一,

EFCE

.108

??—=---，

x6-x

解得x=—,

3

10

???DE=—,

3

DE—1

tanZEAF=tanZDAE==3=—,

A。W3

故答案為：—;

3

(3)設CE=y,則CD=AB=y+3,

由折疊知，AD=AF=6,DE=EF=3,

VAFCE^AABF,

.EF_CE_CF_3_l

y+3

???BF=2y,CF=-^—,

y+3

/.2yH-------=6,

9

解得y=—，

924

???AB=CD=DE+CE=3+—=—，

55

故答案為：一

5

本題是四邊形綜合題，考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解直

角三角形等知識；熟練掌握折疊的性質和相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

12.(1)見解析；(2)B—三.

26

【解析】

(1)連接0B,如圖，利用等腰三角形的性質得/C=30。，NOBC=/C=30。，再利用三角形外角性

質得到NAOB=60。，則可計算出NOBA=90。，然后根據(jù)切線的判定定理得到結論；

(2)先計算出AB=G，然后根據(jù)扇形面積公式，利用陰影部分面積MSAAOB-SS^OBD進行計算.

工(1)證明：連接OB,如圖，

BA

???等腰AABC中，ZA=30°,

ZC=30°,

VOB=OC,

.-.ZOBC=ZC=30°,

???ZAOB=ZC+ZOBC=60°,

ZOBA=180o-60°-30o=90°,

AOB±AB,

JAB是圓。的切線；

(2)在RSOBA中，ZA=30°,OB=1

tan30°V3

3

**?陰影部分面積二SaAOB-S埒形OBD=1"x]xG_60NXF=@一工

236026

本題考查了切線的判定與性質：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂

直于經(jīng)過切點的半徑.判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點''或"過圓心作這條直線的垂線”；有

切線時.，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑也考查了等腰三角形的性質和扇形面積公式.

13.(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)BF=10,AF=-.

4

【解析】

(1)連接OE,由于BE是角平分線，則有/CBE=NOBE；而OB=OE,就有/OBE=/OEB,等

量代換有NOEB=NCBE,那么利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得OE〃BC；又/C=90。，所以

ZAEO=90°,即AC是的切線；

(2)連結DE,先根據(jù)AAS證明△CDE^AHFE,再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF.

(3)先證得△EHFs^BEF,根據(jù)相似三角形的性質求得BF=10,進而根據(jù)直角三角形斜邊中線

的性質求得0E=5,進一步求得OH,然后解直角三角形即可求得0A,得出AF.

解：(1)證明：如圖，連接0E.

BE工EF，

/BEF=90°,

8尸是圓0的直徑.

:8E平分乙43C,

/.ZCBE=ZOBE,

,/OB=OE,

：.NOBE=NOEB,

/./OEB=/CBE,

：.OE//BC,

ZAEO=NC=90。，

???AC是。。的切線.

(2)如圖，連結￡>E.

VZCBE=ZOBE,EC上BC于C,EHLAB于H,

EC=EH.

,/ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,

；?/CDE=/HFE.

在△CDE與WFE中,

ZCDE=ZHFE

<NC=NEHF=9。。,

EC=EH

；?MDE=AHFE,

：.CD=HF.

(3)由(2)得CD=HF,又8=1,

；?HF=1,

在RtJiFE中,EF=732+12=V10-

?/EF±BE，

NBEF=90°,

/.AEHF=/BEF=9Q0,

■:ZEFH=/BFE，

/.八EHF?八REF,

空二”即巫=上,

BFEFBFV10

/.防=10,

：.OE=-BF=5O/f=5-1=4,

29

4

:?RtLOHE中,cosZEOA=-,

OE4

RtAEOA中，cosZEOA=——=-,

OA5

.54

..=—,

OA5

本題主要考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質，三角形相似的判定和性質以及解直角三角

形等.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可.

14.該數(shù)學小組行進的水平距離為766m

【解析】

通過添加輔助線構造出矩形8七￡歸、Rt/XACE、RsABH,再解RNBCE求得CE、3E的長,

再由線段的和差、矩形的性質可得8“、的長，再解可求得AH的長，最后由線段

的和差即可求得答案.

解：過3作8E_LC￡>于E，過8作8〃J_AP于H，如圖：

四邊形6石。//是矩形

:?DE=BH，BE=DH

?:在RNBCE中,BC=6(X),NCBE=2T

；?CE=BCsin22°=600x0.37=222m,BE=BCcos22°=600x0.92=552加

DH=BE=552m

,/CD=500m

=DE=8—CE=500—222=278m

???在后△ABH中，/B4H=53°

Atan53°=—

AH

…278…

AH=----?214/n

1.3

/.AD=AH+DH=214+552^766m.

答：該數(shù)學小組行進的水平距離AD為766帆.

本題考查了解直角三角形的應用、矩形的判定和性質、線段的和差等，添加輔助線構造出直角三角

形和矩形是解題的關鍵.

15.(1)600米;(2)114米

【解析】

(1)判斷出△BAC為等腰直角三角形，即可求出AC的長；

BE

(2)在RsDEB中，根據(jù)tan39°=——即可求出BE,進一步即可求出CD的長.

DE

解：(1)在RSB4C中，NBC4=45°,

/.ACAB=0)0(米)

答：大樓與電視塔之間的距離AC為600米.

(2)由題意可知，CD=AE,￡>E=AC=600米.

在RtzXBED中，NBZ）E=39°,

Rp

'：—=tan4BDE，

DE

BE=DE-tanZfiDE?6（）0x0.8098-485.88（米），

AC￡>=AE=AB-J3E=600-485.88?114（米）.

答：大樓的高度CD約為114米.

本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，熟悉等腰三角形的性質和三角函數(shù)的定義是解題

的關鍵.

16.約為48m.

【解析】

設CD為xm,根據(jù)正切的概念用x表示出AD、BD,根據(jù)題意列出方程，解方程即可求出CD,結

合圖形計算即可.

解：設CD為xm,

在RSADC中，ZCAD=45°,

/.AD=CD=xm,

在RtABDC中，ZCBD=60°,

BD=———=—

tanZCBD3'）

由題意得，x--x=2Q.

3

解得x=10g+30，

則該建筑物的高度為1M+30+1v48（/n）,

答：該建筑物的高度約為48m.

本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，理解仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的概

念是解題的關鍵.

17.(1)見解析；(2)見解析；(3)AE=-.

8

【解析】

⑴首先證明/EBC=/C,ZABD=ZADB,再根據(jù)/ABD=NABE+/EBC,ZADB=ZDAC+ZC,

可得結論；

(2)證明△AEF-ABEA可得結論；

(3)設BE交AG于J,連接DJ,DE.證明四邊形AJDE是平行四邊形，推出DELBC,AE=DJ,

求出DJ即可解決問題.

(1)證明：?;EB=EC,

:.NEBC=/C,

-AG1BD,BG=GD,

:.AB=AD，

:.ZABD=ZADB，

ZABD=ZABE+ZEBC,ZADB=ZDAC+ZC,

:.ZABE=NDAC,

即

(2)證明：?.,ZAEF=NBEA,ZEAF=ZABE，

^AEF^^BEA，

.AE_EF

~BE~~AE'

：.AE2=EFEB-

:EB=EC,

AE2=EFEC;

(3)解：設3E交AG于J,連接D/,DE.

?.?AG垂直平分線段8。，

JB=JD,

：.ZJBD=ZJDG,

-.-ZJBD=ZC,

:.ZJDB=/C,

:.DJ//AC，

:.ZAEF=ZDJF,

AD=2AF,

:.AF=DF,

在AAfE和ADE/中

NAEF=NDJF

<NAFE=NDFJ,

AF=DF

：.^AFE=\DFJ{AAS),

：.AE=DJ,

?：AFIIDF,

四邊形A/OE是平行四邊形，

:.DE//AG，

vAG±BC.

:.ED±BC,

?；EB=EC,

：.BD=DC=-,

2

DG=-

?：tanZ.JDG=tanZC=---=—=——，

CG2DG

8

vZ/GD=90c

+心=符+(|)2=半,

DJ=』GJ2

575

AE=DJ=

~1T'

A

A

BGD

本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定

理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中

考?？碱}型.

18.有危險，理由見解析

【解析】

有危險，理由為：過P作PD垂直與AB,交AB延長線于點D,如圖所示，由NPBD為三角形PAB

的外角，利用外角的性質得到NPBD=NA+NAPB,由NPBD及NA的度數(shù)求出NBPA的度數(shù),

得到NBPA=/A,利用等角對等邊得到PB=AB,由2小時走的路程為15海里/時x2,得到PB為

30海里，在直角三角形PBD中，利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得到PB=2PD,由PB

的長求出PD的長，由PD的長與20比較大小，即可對輪船不改變方向仍繼續(xù)向前航行，有無觸礁

的危險作出判斷.

解：有危險，

理由如下：

過P點作PD_LA5,交A8延長線與點。，如圖所示：

P\

VljD

\^°

\'B

2

r

A

由題意可知：ZA=15°,NPBD=3O。,

ZBPA=ZPBD-ZA=15°,

即.?."7%=NA

/.PB—AB=18x2=36（海里）

在RASP。中，

-.?ZPBD=3O°,PB=36（海里）

，PO=，PB=18海里<20海里，

2

則輪船不改變方向仍繼續(xù)向前航行，有觸礁的危險.

此題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形的外角性質，以及含30。直角三角形的性質，其中輪

船有沒有危險由PD的長與20比較大小決定.

19.(1)證明見解析；(2)sinZAEB=-—

4

【解析】

(1)根據(jù)矩形的對邊平行可得AD〃BC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NCED=NADE,根

據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG=DG,然后根據(jù)等邊對等角求出

ZDAG=ZADE,從而得證；

(2)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出

ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG,然后求出NAED=NAGE,根據(jù)等角對等邊可得AE=AG,再利

用勾股定理列式求出AB,然后根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解.

(1)證明：：矩形ABCD,

；.AD〃BC,

.,.ZCED=ZADE,

又：點G是DF的中點，

；.AG=DG,

NDAG=/ADE,

，ZCED=ZDAG；

(2)在4ADG中，ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG,

又：/AED=2/CED,

NAED=NAGE,

，AE=AG,

VAG=4,

；.AE=4,

在RSAEB中，由勾股定理可求AB=[AE?_BE2=J42—F=J石,

.,.sinZAEB=—=2^.

AE4

本題考查了矩形的性質，平行線的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等角對

等邊的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質，以及銳角三角函數(shù)的定義,

熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵.

20.(1)AC=BCi理由見解析；(2)證明見解析；(3)陰影部分周長=2+28+逑萬.

【解析】

（1）連結OC,AB切小圓于點C,可得COLAB,再利用垂徑定理可得結論;

（2）連接心,A”，證明八4S52\/708,可得4。-。8=/。-677,再證明/。.。"=4。2,

再證明八4?！?八40。，可得AC2=AE-AO,從而可得結論：

（3）先解方程求解?！?石+1,CF=M1,再求解CE=逐一（、后—1）=1,

4。2=尸。.。“=4,可得4。=2,求解ZA=30°,ZAOC=60°,ZCON=120°,

CO=ACtanZCAE=-y/3,4。=上色_=迪，可得AV=RI,CN的長度，

3sin60033

AN=AM+20c=2g,從而可得陰影部分周長.

解：（1）相等，理由如下：

連結。C,48切小圓于點C,

CO±AB,

AC=BC.

(2)連接

-.-AF^AF,

:.ZAHC=ZFBC,

ZACH=ZFCB,

.ACCH

"~FC~~CB，

ACCB=FCCH,

?.?AC=BC,

/.FC?CH=AC2,

CE±AD,AB切小圓于點C,

,-.ZAEC=90°=ZACO,

ZCAE=ZOAC,

AACE^AAOC,

.ACAE

"'AO~'AC,

AC2=AEAO^

：.FCCH=AEAO.

⑶?“-2后+4=0，

-2行『-4x1x4=4,

.X=2逐±2二6±],

2

?;CH>CF,

CH=75+1)CF=^—\,

\FH±AD,

：.EF=EH=5口=；心—1+布+1)=布,

CE=y/5-(^5-l)=l,AC2=FC-CH=(75+1)=4,

；?AC=2(負根舍去),

CE1

在Rt/\ACE中，sinNC4E=------,

AC2

：.NA=30°,

/.ZAOC=60°,NCON=120°,

在△ACO中，

「八.732/-.cAC4百

CO=ACtanNCAE=2x—=—，3，AO=--------=------，

33sin6003

AM=AO-QM=AO-OC=迪-紐=空

333

10n26

12()?1x-------Anz

CN=--------------。心兀

1809

AN=AM+2OC=^-+2x^-=2y/3,

33

，陰影部分周長=AC+AN+CN=2+2j5+竽乃.

本題考查了切線的性質，垂徑定理的應用，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，一元二次方程

的解法，銳角三角函數(shù)的應用，弧長的計算，掌握以上知識是解題的關鍵.

21.熱氣球離地面的高度是233m.

【解析】

作A。，8c交CB的延長線于。，設AD為X,表示出DB,DC,根據(jù)正切值得概念求出x的值即

可.

如圖：作ADJ_3c交C8的延長線于￡>,設AO為x,

由題意得，NABD=45。,NACE>=35°,

在中，ZABD=45°,

DB-x,

在mdADC中，NACD=35°,

An

：.tanZACD=—,

CD

?-=7

x+100-10'

解得，x?233m.

所以熱氣球離地面的高度是233m.

本題考查的是解直角三角形的實際應用，理解仰角和俯角的概念，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題

關鍵，解答時注意正確作出輔助線構造直角三角形.

22.(1)圖見解析；4(—4,2),4(—2,0),q(—2,-4)；(2)圖見解析；B2(2,0),C2(2,-2)；

(3)sinZAC2B2

【解析】

(1)利用點平移的坐標變換規(guī)律寫出Ai,BI,G點的坐標，然后描點即可；

(2)把點A、B、C的橫縱坐標分別乘以3得到點A2,B2,C2的坐標，然后描點即可,

(3)利用正切的定義確定/A2c2B2的正切值.

(1)如圖所示："46，即為所求；

4(-4,2),即―2,0),C,(-2,-4).

(2)如圖所示：即為所求,

4(1,1),員(2,0),C2(2,-2).

(3)由圖形可知，ZA,C2B2=ZACB,過點A作交BC的延長線于點

由A(2,2),C(4,-4),6(4,0),則。(4,2),

故AD=2>CD—6,AC=V22+62=2-\/10，

AD