五年級上冊奧數(shù)講義

優(yōu)才家教優(yōu)等生同步奧數(shù)提高五年級(下)

第一講整數(shù)問題

第1課數(shù)的整除

-、知識要點

1.整除一一因數(shù)，倍數(shù)

2,相關(guān)基礎(chǔ)薪費簧鮑頁

(1)0是軸需整教的倍能個數(shù)是整數(shù)

(2)1是催荷翻的因數(shù)。

3.數(shù)整除的箱^a+b=c

即：假如mIa,nIa,那么[m,n]Ia。

例如：假如6I36,9I36,那么[6,9]I36。

性質(zhì)3：假如m,n都能整除a,且m和n互質(zhì)，那么m及n的

積能整除a0

即：假如mIa,nIa,且(m,n)=1,那么(mXn)|

ao

例如：假如2|72,9|72,且(2,7)=1,那么18I72。

性質(zhì)4：假如a能整除b,b能整除m,那么a能整除m。

即：假如aIb,bIm,那么aIm0

例：假如7I14,14I28,那么7I28o

4.數(shù)的整除特征

（1）能被2整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)（即個位數(shù)

是2,4,6,8,0）,那么它必能被2整除。

（2）能被5整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5,那么它

必能被5整除。

（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被

3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。

（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4

（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。

例：1864能否被4整除？

解：1864=1800+64,因為4|64,4是1864的因數(shù)，1864是4的倍數(shù),

所以4I1864o

（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8

（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。

例:29375能否被125整除?

解：29375=29000+375,因為125I375,125是375的因數(shù)，375是125

的倍數(shù)，所以125I29375o

（6）能被11整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和及偶數(shù)位

數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被H整除。（奇數(shù)位指:

這個數(shù)的個位，百位，萬位……；偶數(shù)位指：這個數(shù)的十位，千位，十

萬位……)

例：推斷13574是否是11的倍數(shù)？

解：這個數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和及偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：(4+5+1)

-(7+3)=0。因為0是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11I0o因此13574是11的

倍數(shù)。

例：推斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？

解：這個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25,偶數(shù)位上的數(shù)

字之和是8+6+4+2=20.因為25—20=5,又因為115,所以11

123456789c

(7)能被7(H或13)整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)及末三位

以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差(以大減小)能被7(U或13)整除。

例：推斷1059282是否是7的倍數(shù)？

解：把1059282分為1059和282兩個數(shù)。因為1059-282=777,又因

為7|777,所以7門059282。因此1059282是7的倍數(shù)。

例：推斷3546725能否被13整除?

解:把3546725分為3546和725兩個數(shù).因為3546-725=2821.再把

2821分為2和821兩個數(shù)，因為821—2=819,又13I819,所以13I2821,

進(jìn)而13I3546725c

二、典型例題詳解

猜猜會是什么數(shù)？

【例1】：一個856五位數(shù)，能被3,4,5整除，這樣的五位數(shù)中,

最小的一個是多少？

解：先將856,看做856ab。

V3I856ab,貝I」3I8+5+6+a+b,3I19+a+b,，a+b=2或a+b=5或

a+b=8o

V4I856ab,則4Iab,...ab=偶數(shù)

V5I856ab,則b=0或b=5,又■ab為偶數(shù),Ab=0

a+b=2或a+b=5或a+b=8,且b=0,a=2或a=5或a=8

當(dāng)a=2,b=0時,這個數(shù)為85620；當(dāng)a=5,b=0時，這個數(shù)為85650；

當(dāng)a=8,b=0時,這個數(shù)為85680。

答：五位數(shù)中最小的一個是85620o

【例2】：一本老賬本上記著：72只桶，共67.9元，其中口處是被

蟲蛀掉的數(shù)字，請把這筆賬補上。

解：先將67.9,看做整數(shù)a679b。

772=8X9,且(8,9)=1,A8Ia679b,且9Ia679bo

若8Ia679b,則8I79b,所以b=2。

若9Ia679b,b=2,貝ij9Ia6792,9Ia+6+7+9+2,9Ia+24,所以

a應(yīng)是3。

所以這個數(shù)應(yīng)是_________________

答：這筆賬應(yīng)是元。

［例3］：173是一個四位數(shù)，在其中的方框中先后填入三個數(shù)字，所

得到的三個四位數(shù)，依次可以被9,11,6整除。先后填入的三個數(shù)字的

和是多少？

［方法一］試商法［方法二］倍數(shù)特征

解：解：

三、課后作業(yè)

1.在中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使所組成2.71450至少加上多少后就能被4

的數(shù)能夠被整除？

4整除。

7847653863

4.假如兩個數(shù)的和是64,這兩個

數(shù)的積可以整除4875,那么這兩

個數(shù)的差是多少？

3.一個六位數(shù)2356是22的倍數(shù)，

那么這樣

的六位數(shù)中，最大的一個是多少？5.一位選購員買了同樣的72只

熱水杯，可是發(fā)票不慎弄濕，單價

無法分辨，總價數(shù)字也不全，只能

看出：173.元。你能算出

熱水杯的單價嗎？

第一講整數(shù)問題

第2課倍數(shù)及因數(shù)（一）

-、知識要點

1.質(zhì)數(shù)及合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的因數(shù)，這個數(shù)叫

做質(zhì)數(shù)。（素數(shù)）

合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身，還有別的因數(shù)，這個數(shù)叫做

合數(shù)。

iI

1不是質(zhì)數(shù)，也不是合

數(shù)。

iI

2.質(zhì)因數(shù)及分解質(zhì)因數(shù)

質(zhì)因數(shù)：假如一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的因數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個

數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解

質(zhì)因數(shù)。

例：30分解質(zhì)因數(shù)。

解：30=2X3X5答：2,3,5是30的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)的方法，可以用短除式來乘話因數(shù)

2118l\30

3I93115

35

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（要會背的）：

2,3,5,7,

11,13,17,19,

23,29,

31,37,

41,43,47,

53,59,

61,67,

71,73,79,

83,89,

97.

3.公因數(shù)及公倍數(shù)

公因數(shù)：幾個自然數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公因數(shù)。

公倍數(shù)：幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。

一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是（）的，倍數(shù)的個數(shù)是

:（）的。I

II

幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是（）的，公倍數(shù)的個數(shù)是

II

I（）的。I

4.最大公因數(shù)及最小公倍數(shù)

最大公因數(shù)：在幾個自然數(shù)的公因數(shù)中，最大的一個稱為這幾個數(shù)

的最大公因數(shù)。

a,b的最大公因數(shù)=（a,b）

最小公倍數(shù)：

在幾個自然數(shù)的公倍數(shù)中，除零外最小的一個稱為這幾個數(shù)的

最小公倍數(shù)。

a,b的最小公倍數(shù)=[a,b]

2|1R——用公有的質(zhì)慶I

39------用公有的質(zhì)慶I

’35------除到兩個商是互質(zhì)

（18,30）=2X3=6:18,30]=2X3X3X5=90

二、典型例題詳解

【例1】五年級三個班分別有30,24,42人參與課外科技活動，現(xiàn)在要把

參與的人分成人數(shù)相等的小級，并且各『

用短除法計算:

人？一共可以分成多少個小組？

解：30=2X3X5

24=2X3X2X2

42=2X3X7

（30,24,42）=2X3=6（人）

304-6=5（個）

244-6=4（個）

424-6=7（個）

5+4+7=16（個）

答：每組最多可以分6人，一共可以分16個組。

[例2]有一種長16厘米，寬12厘米的塑料扣板，假如用這種扣板拼成一

個正方形，最少須要多少塊？

解：16=2X2X2X2用短除法計算:

12=2X2X3

[16,121=2X2X2X2X3

=48（厘米）

484-16=3（塊）

48+12=4（塊）

3X4=12（塊）

答：最少須要12塊扣板。

【例3】甲對乙說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若

干年就分別是你的5倍，4倍，3倍，2倍。”求出甲，乙現(xiàn)在的年齡。

解：???甲現(xiàn)在的年齡是乙的7倍，則甲的年齡比乙大6倍；

?.?當(dāng)甲的年齡是乙的6倍時，則甲的年齡比乙大5倍；

當(dāng)甲的年齡是乙的5倍時，則甲的年齡比乙大4倍；

?.?當(dāng)甲的年齡是乙的4倍時，則甲的年齡比乙大3倍；

當(dāng)甲的年齡是乙的3倍時，則甲的年齡比乙大2倍；

?.?當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時，則甲的年齡比乙大1倍；

甲，乙的年齡差是6,5,4,3,2的公倍數(shù)。

[6,5,4,3,21=6X5X4X3X2=60（歲）

604-（7-1）=10（歲）

10+60=70（歲）

答：甲的年齡是70歲，乙的年齡是10歲。

【例4】寫出三個小于20的自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)為1,但兩兩均不互

質(zhì)，共有幾組

解：假設(shè)這三個數(shù)分別是a,b,c

Va,b,c兩兩不互質(zhì)，且a<20,b<20,c<20,

則兩兩間的質(zhì)因數(shù)互不相同且乘積小于20

(a,b)=2或(a,b)=3或(a,b)=5；

(a,c)=2或(a,c)=3或(a,c)=5；

(b,c)=2或(b,c)=3或(b,c)=5；

Aa,b,c三數(shù)有可能是2X3=6,2X5=10,3X5=15,2X6=12,3

X6=18o

又(a,b,c)=1；

(6,10,15)=1；(10,15,12)=11；(10,15,18)二

答：共有三組，分別是(6,10,15),(10,12,15),(10,15,18)o

三、課后習(xí)題

1.求56,36,284的最小公倍數(shù)。2.有336個蘋果，252個梨子，

210個桔子，用這三種水果最多可以

分成多少份相同的禮物？每份禮物

中，三種水果各占多少？

3.三個人繞環(huán)行跑道練習(xí)騎自行車，

他們騎一圈的時間分別為半分鐘，

45秒鐘，I分15秒。三人同時從起

點動身，最少須要多長時間才能再次

在起點會面?

4.有一個表，每走9分鐘亮一次燈，

每到整點時響一次鈴。中午12點時既

亮燈又響鈴。下次既亮燈又響鈴在幾

點？

5.把一張長120cm,寬80cm的長方

形紙裁成同樣大小的正方形（紙不能

有剩余），至少能裁成多少張這樣的正

方形紙，每張裁成的紙是多大？6.用一個數(shù)去除31,61,76都余1,

這個數(shù)最大是多少？

第3課倍數(shù)及因數(shù)（二）

-、知識要點

1.最小公倍數(shù)及最大公因數(shù)之間的關(guān)系

定理一：兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商互質(zhì)。

即：假如（a,b）=d,那么（a-i-d,b+d）=1

定理二：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)及最大公因數(shù)之積等于這兩個數(shù)的

乘積。

即：[a,b]X（a,b）=aXb

定理三：兩個數(shù)的公因數(shù)肯定是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)

二、典型例題詳解

【例11甲數(shù)是36,甲，乙兩數(shù)的最【練一練】甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因

大公因數(shù)是4,最小公倍數(shù)是288,求數(shù)是6,最小公倍數(shù)是90,且小數(shù)

乙數(shù)。不能整除大數(shù)，求這兩個數(shù)。

解：設(shè)乙數(shù)是a

36Xa=4X288

a=4X288?36

a—32

答：乙數(shù)是32。

【例2】已知兩數(shù)的最大公因數(shù)是21,【練一練】兩個自然數(shù)的和是56,

最小公倍數(shù)是126,求這兩個數(shù)的和是它們的最大公因數(shù)是7,求這兩個

多少？數(shù)。

解：設(shè)這兩個數(shù)分別為a,b

1264-21=6

6=3X2或6=1X

6

a=3X21=63a=lX

21=21

b=2X21=42b=6X

21=126

63+21=84

21+126=147

答：這兩個數(shù)的和是84或147。

【例3]兩個自然數(shù)的和是50,它們【練一練】已知兩個自然數(shù)的積是

的最大公因數(shù)是5,求這兩個數(shù)的差。5766,它們的最大公因數(shù)是31,求

解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別是5a,5b這兩個數(shù)。

V5a+5b=50，a+b=10

V(a,b)=l且a+b=10

?(a=l或(a=3

1

*?9=尸b=l

當(dāng)｛時，，

b=y5a=55b=45

5b-5a=40

當(dāng)｛時，5a=15，5b=35

b=7

5b-5a=20

答：這兩個數(shù)的差是40或20.

【例4]兩個自然數(shù)的和是54,它們(接【例4】)

的最小公倍數(shù)及最大公因數(shù)的差是假如m=3,則3X(a+b)=54,

114,求這兩個自然數(shù)。a+b=18

解：設(shè)這兩個數(shù)是A,B。且A=am；3X(ab—

B=bm1)=114,ab=39

VA+B=54,則am+bm=54V(a,b)=L

m(a+b)=54則是39=1X39或58=3

V(A,B)=m；X13

a,b為A,B兩數(shù)的非有公因??T+39W18且3+13W16

數(shù)，(a,b)=l

二.[A,B]=mXaXb答：這兩個自然數(shù)是24和30。

V[A,B]-(A,B)=114,則m【練一練】兩個數(shù)的差是4,最大公

XaXb—m=114因數(shù)及最小公倍數(shù)的積是252,求這

.\m(ab—1)=114兩個數(shù)。

Vm(a+b)=54且m(ab—1)=114

則m是54和114的公因數(shù)

又丁(54,114)=6,6=1X6=2

X3

二.m=l或m=6或m-2或m=3

假如m=l,則1X(a+b)=54,

a+b=54；

1X(ab—

1)=114,ab=115

?.,115=1X115或115=5X23

V115+17^54且5+23W54

.,.mWl

假如m=6,則6X(a+b)=54,

a+b=9；

6X(ab—

1)=114,ab=20

V(a,b)=l,則20=1X20

或20=4X5

V1+20^9,4+5=9

貝ljm=6,a=4,b=5；

.\A=4X6=24,B=5X6=30

假如m=2,則2X(a+b)=54,

a+b=27

2X(ab—

1)=114,ab=58

V(a,b)=l,則58=1X58

或58=2X29

,.T+58W27且2+29W27

.「mW2

三、課后作業(yè)

(1)某數(shù)及24的最大公因數(shù)是4,(2)已知兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)

最小公倍數(shù)是168,這個數(shù)是多少？為4,最小公倍數(shù)為120,求這兩個

數(shù)。

(3)兩個數(shù)的和是70,它們的最大(4)已知兩個自然數(shù)的差為48,它

公因數(shù)是7,求這兩個數(shù)的差是多少?們的最小公倍數(shù)為60,求這兩個數(shù)。

(5)兩個數(shù)的最大公因數(shù)是18,最

(6)已知兩個自然數(shù)的差為30,它

小公倍數(shù)是180,兩個數(shù)的差是54,

們的最小公倍數(shù)及最大公約數(shù)的差

求兩個數(shù)的和。

為450,求這兩個自然數(shù)。

(7)兩個數(shù)的最大公因數(shù)是12,最

小公倍數(shù)是72,這兩個數(shù)的和是多

少？

復(fù)習(xí)練習(xí)第2課

(1)有一種地磚，長20厘米，寬

(8)兩個自然數(shù)的差是3,它們的最15厘米，至少須要多少塊這樣的地

大公因數(shù)及最小公倍數(shù)的積是180,石專才能拼成一個實心的正方形?

求這兩個數(shù)。

(2)一箱雞蛋，四個四個數(shù)多3個,

五個五個數(shù)多4個，七個七個數(shù)多6

個，這箱雞蛋至少有多少個？

(10)已知a及b,a及c的最大公

因數(shù)分別是12和15,a,b,c的最

小公倍數(shù)是120,求a,b,Co

(3)有一個班的同學(xué)包車旅游，假

如增加一輛車，正好每輛車坐10人,

假如減少一輛車，正好每輛車坐15

人，這個班共有多少人？

(4)一條路長96米，從一端起，每隔4米栽一棵樹(路兩旁都栽)?，F(xiàn)要

再每隔6米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，這條路上共需新栽多少棵樹？

第二講圖形的面積

第1課巧求圖形面積

-、知識要點

1.基本平面圖形特征及面積公式

特征面積公式

①四條邊都相等。

正方形②四個角都是直角。S=a2

③有四條對稱軸。

①對邊相等。

長方形②四個角都是直角。S=ab

③有二條對稱軸。

①兩組對邊平行且相等。

平行四邊②對角相等，相鄰的兩個角之和

形為180°

③平行四邊形簡單變形。S=ah

①兩邊之和大于第三條邊。

②兩邊之差小于第三條邊。

三角形③三個角的內(nèi)角和是180°°S=ah+2

④有三條邊和二個角，具有穩(wěn)定

性。

①只有一組對邊平行。S=(a+b)h-i-

形

②中位線等于上下底和的一半。2

2.基本解題方法:

由兩個或多個簡單的基本幾何圖形組合成的組合圖形，要計算這樣

的組合圖形面積，先依據(jù)圖形的基本關(guān)系，再運用分解，組合，平移,

割補，添協(xié)助線等幾種方法將圖形變成基本圖形分別計算。

二、典型例題詳解

［例1］已知平行四邊表的面積是28【練一練】假如用鐵絲圍成如下圖

平方厘米，求陰影部分的面積。一樣的平行四邊形，須要用多少厘

H——5厘米

米鐵絲？（單位：厘米）

【例2】下圖中甲和乙都是正方形，求【練一練】求圖中陰影部分的面積。

陰影部分的面積。（單位：厘米）（單位：厘米）

【例3】如圖所示，甲三角形的面積比［緋_，絳呼cnriH/TizADrn的二力憶

J“直角三角形BCE

乙三角形的面積大6平方厘米，求CE

［例4］兩條對角線把梯形ABCD分割【練一練】下面的梯形ABCD中，下

成四個三角形。已知兩個三角形的面底是上底的2倍，E是AB的中點，

積（如圖所示），求另兩個三角形的面求梯形ABCD的面積是三角形EDB面

積各是多少？（單位：厘米）積的多少倍？

【練一練】4

一個長方形

的草坪，中間

2C

三、課后作業(yè)

3.

求圖中

陰影部

分的面

積。

單位：厘米

2正方形4.梯形ABCD的面積是45平方厘米,

ABCD的邊長

是12厘米，圖6厘米。三角形AED的面積是

已知DE是EC

長度的2倍，

耒：5平方厘米,BC=10

（1）三角

TTZnr?廠AA777F厘米，求陰影部分

的面積。

5.缸方形ABCD的

面積是100平方厘

6.求圖形中梯形ABCD的面積。（單

位：厘米）

.5?

3\E4

B8C

第2課等積變形求面積

-、知識要點

三渺

等底等高的平行四邊形面積相等

假如兩個三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的2倍，大三角形

高是小三角形高的O

假如兩個三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的3倍，大三角形

高是小三角形高的O

假如兩個三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的4倍，大三角形

高是小三角形高的O

假如兩個三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的n倍，大三角形

高是小三角形高的O

假如兩個平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積

的2倍，大平行四邊形高是小平行四邊形高的o

假如兩個平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積

的3倍，大平行四邊形高是小平行四邊形高的o

假如兩個平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積

的4倍，大平行四邊形高是小平行四邊形高的o

假如兩個平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積

的n倍，大平行四邊形高是小平行四邊形高的o

二、典型例題分析

【例1】四邊形ABCD中，M為【練一練】如圖，六

AB的中點，N為CD的中點,邊形ABCDEF的面積

假如四邊形ABCD的面積是是16平方厘米，M,

80平方厘米，求陰影部分N,P,Q分別是AB,

BNDM的面積是多少？CD,DE,AF的中點。

求圖中陰影部分的面積。

【例2】如圖，平行四邊【練一練】如圖，在一個等邊三角

形ABCD中，AE=EF=形中隨意取一點P,連接PA,PB,

FB,AG=2CG,三PC,過P點作三角形的垂線，

角形GEF的面積E,F,G分別為垂足。三角形

是6平方厘米，平行四邊形的面積是ABC被分成6個三角形。已

多少平方厘米？知三角形ABC的面積為40

平方厘米，求圖中陰影

部分的面積。

［例3］下圖中正方【練一練】兩個相同的直角三角形

形ABCD的邊長是4疊放在一起，求陰影

厘米，長方形DEFG部分的面積。（單位：

的長DG=5厘米，問分米）

長方形的寬DE為多

少厘米?

【例4】兩個正方形【練一練】如圖，AE=ED,

拼成一個圖形，其AF=FC,已知

中小正方形的邊長ABC的面

是4厘米，求陰影部分的面積。積為100平

方

厘米，求陰影

部分的面

積。

三、課后作業(yè)

.4ED

1.平行四邊形的面積為502.長方形ABCD,

平方厘米，P是其中隨意三角形ABG的面積

一點，求陰影部分的面積。為20平方厘米，三角形CDQ的面積

為35平方厘米,求陰影部分的面積。

3.ABCD是直角梯4.如圖，AD=2AB,CF=3AC,BE=4BC,

形，其中AD=12厘已知ABC的面積為5平方厘米，

米，AB=8厘米，求DEF的面積。

BC=15厘米，且三角形ADE,四邊形

DEBF及三角形CDF的面積相等，三角

形EBF（陰影部分）的面積是多少？

5.如圖，AB=4厘米，BC=6厘米，6.圖中BD=2DC,AE=BE,

AC=2CD,BE=BD,求已知三角形ABC的面積

三角形ADE的面積。是18平方厘米，求四邊

形AEDC的面積是多少？

第三講分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

第1課分?jǐn)?shù)的相識

-、知識要點

1.分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的意義：

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù),

叫做分?jǐn)?shù)。

（分母表示把一個物體平均分成幾份,分子是表示這樣幾份的

數(shù)。把1平均分成分母份，表示這樣的分子份。）

分?jǐn)?shù)單位：

把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，叫做分

數(shù)單位。

☆分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

分子及分母同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)

的大小不變。

2.分?jǐn)?shù)的分類

‘真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)，叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)大于1。

Y

假分?jǐn)?shù)：分子大于或者等于分母的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于1或等

于lo

帶分?jǐn)?shù)：帶分?jǐn)?shù)就是將一個分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)部分+一個真分?jǐn)?shù)。

★帶分?jǐn)?shù)及假分?jǐn)?shù)的互換：

帶分工—假分?jǐn)?shù)：分母不變,分子為整數(shù)部分乘以分母的積再加

上原分子的和。

例：35=3^2±5=26

777

假分?jǐn)?shù)”帶分?jǐn)?shù)：分母不變,整數(shù)部分為原分子除以分母的商,

分子則為原分子除以分母的余數(shù)。

例：14=1413^2

333

帶分Q真分?jǐn)?shù)

3.計算方法：

★分?jǐn)?shù)加減法★

⑴同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，即分?jǐn)?shù)單位不變，分子相加減,

最終要化成最簡分?jǐn)?shù)。

例：5J3=5+1-3=3

77777

⑵異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，即運用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將異分母分

數(shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，改變其分?jǐn)?shù)單位而大小不變，再按同分母分?jǐn)?shù)

相加減法去計算，最終要化成最簡分?jǐn)?shù)。

例.1=25|2415=25+24-15=34

6523030303030

★分?jǐn)?shù)乘除法★

(1)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，分母不變，分子乘整數(shù)，最終要化成最簡分?jǐn)?shù)。

5x6=10

例：-x6=

993

(2)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子乘分子，用分母乘分母，最終要化成最簡分

數(shù)。

26_2x6_4

例:—x——

979x721

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分母不變，假如分子是整數(shù)的倍數(shù)，則用分子除

以整數(shù)，最終要化成最簡分?jǐn)?shù)。

例：號+4=8+4=2

999

⑷分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分母不變，假如分子不是整數(shù)的倍數(shù)，則用這個

分?jǐn)?shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)，最終要化成最簡分?jǐn)?shù)。

例:

⑸分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)，最終不是最簡分?jǐn)?shù)要

化成最簡分?jǐn)?shù)。

例：

二、典型例題分析

【例1】分母是91的真分?jǐn)?shù)有多少【練一練1］分子，分母的乘積是

個？最簡真分?jǐn)?shù)有多少個?420的最簡真分?jǐn)?shù)共有多少個?

【例2J把一個最簡分?jǐn)?shù)的分子加上【練一練2］一個分?jǐn)?shù)約分成最簡分

1,這個分?jǐn)?shù)就等于1。數(shù)是｝原分子，分母的和是90,原

(1)假如把這個分?jǐn)?shù)的分母加上1,分?jǐn)?shù)是多少？

這個分?jǐn)?shù)就等于，，原分?jǐn)?shù)是多少？

(2)假如把這個分?jǐn)?shù)的分母加上2,

這個分?jǐn)?shù)就等于原分?jǐn)?shù)是多少？

9

［例3］分?jǐn)?shù)§的分子和分母都減去【練一練3］一個真分?jǐn)?shù)的分子，分

136

同一個整數(shù)，所得的分?jǐn)?shù)約分后是|,母是兩個連續(xù)的自然數(shù)，假如分母加

求那個整數(shù)是多少？上4,這個分?jǐn)?shù)約分后是j原來這個

分?jǐn)?shù)是多少？

【例4】分?jǐn)?shù)星的分子減去某數(shù)，而【練一練4]一個分?jǐn)?shù)，分子加上1

64

分母同時加上這個數(shù)后，所得的新分可約分為L分子減去1可約分為L

35

數(shù)化簡后為百，求某數(shù)。求這個分?jǐn)?shù)。

13

1

【練一練5】分?jǐn)?shù)工的分子，分母同【練一練6】巴班是最簡真分?jǐn)?shù)，〃可

1248

時加一個自然數(shù)，新分?jǐn)?shù)化簡得一個取的整數(shù)共有多少個？

分?jǐn)?shù)9求這個自然數(shù)。

三、課后作業(yè)

[1]分母是51的真分?jǐn)?shù)有多少個？[2]一個最簡分?jǐn)?shù)的分子縮小5倍，

最簡真分?jǐn)?shù)有多少個？分母擴大9倍后是高，原分?jǐn)?shù)是多

27

少？

[3]之的分子，分母同時加上多少[4]一個分?jǐn)?shù)，假如分子加上16,

13

后可以約分為;？分母減去166,那么約分后弓假如

分子加上124,分母加上340,那么約

分后是L求原分?jǐn)?shù)是多少？

2

【5】填空題：(列式，計算，填空)

(3)一個最簡真分?jǐn)?shù)，把它的分母擴大

(1)一個最簡真分?jǐn)?shù)的分子，分母之

5倍，而分子縮小4倍，化簡后是:，

積是30,這個最簡真分?jǐn)?shù)

求這個最簡真分?jǐn)?shù)是______。

是___________O

(4)一個最簡真分?jǐn)?shù)，分子，分母

⑵分母是85的真分?jǐn)?shù)共有

之和是15,這個最簡真分?jǐn)?shù)

個，分母是85的最簡真分?jǐn)?shù)共有

是O

個。

[6]一個真分?jǐn)?shù)的分子，分母是兩[7]分?jǐn)?shù)g的分子，分母同時加同

12

個相鄰的奇數(shù)，假如分母加上3后，一個自然數(shù)，新分?jǐn)?shù)化簡后得】求

2

這個分?jǐn)?shù)約分為二求原分?jǐn)?shù)是多這個自然數(shù)。

4

少？

第2課比較分?jǐn)?shù)大小

-、知識要點

i.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

☆分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

分子及分母同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)

的大小不變。

2.比較分?jǐn)?shù)大小的基本方法

①分母相同：分母相同的分?jǐn)?shù)，比較分子，分子大的分?jǐn)?shù)大。

②分子相同：分子相同的分?jǐn)?shù)，比較分母，分母小的分?jǐn)?shù)大。

③假分?jǐn)?shù)及真分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)大于真分?jǐn)?shù)。

3.分子，分母都不同的兩個分?jǐn)?shù)：

先通分，使它們的分母相同，化為第一種狀況，再比較大小。

4.比較分?jǐn)?shù)大小的巧算：

①“通分子”

當(dāng)兩個已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最

小公倍數(shù)比較小時，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大

小，這種方法比通分的方法簡便。

例如’號與H，分母的最小公倍數(shù)是三位數(shù)，分子的最小公倍數(shù)是60,把

”化為絲工化為竺因為史〉絲所以12〉”。

17化為85'22化為88'口為8588,冊為1722

②化為小數(shù)。

這種方法對隨意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在

比較大小時是否簡便，就要看詳細(xì)狀況了。

例如I與茅一看就知道，066…，1=065,所以|>宗

③先約分，后比較。

有時已知分?jǐn)?shù)不是最簡分?jǐn)?shù)，可以先約分。

例如，黑與篇段，約分后兩個分?jǐn)?shù)都等于北，所以它們是相等的。

OJOJOJOJOJOJ

(4)倒數(shù)比較大小。

分?jǐn)?shù)m和n,假如那么m>n。

mn

加g19匕20RA211.12020、19

例如’而與正因為獷睡<1歷二西’所以五〉而。

⑤大分?jǐn)?shù)比較大小

若兩個真分?jǐn)?shù)的分母及分子的差相等，則分母及分子相

加得到的和較大的分?jǐn)?shù)比較大；

若兩個假分?jǐn)?shù)的分子及分母的差相等，則分母及分子相加

得到的和較小的分?jǐn)?shù)比較大。

⑥借助第三個數(shù)比較大小

對于分?jǐn)?shù)m和n,若m-k>n-k,則m>n。

例如’m=黑，n=^￡,兩個分?jǐn)?shù)都比?略大，于是可以借助

于3。

184184

m——----------n——----------

365432r3456789

對于分?jǐn)?shù)m和n,若m>k,k>n,則m>n。

例如，亮與1因為焉<<，所以】這里借助于白

DM23-22中/23、2323、2223.11

又如，而與于因為藥〉亓五〉五，所fiCp以l而〉藥。

對于分?jǐn)?shù)m和n,若k-mVk-n,則m>n。

例如竺與W因為1一竺=3i-li=A—>—所以竺〉3。

例如，19Pl7'四為11919'11717'19"17'叨"19"170

這里借助于1。

5.典型8例題

【例1］把下面每組中的分?jǐn)?shù)按從大【練一練1］把下面的分?jǐn)?shù)按從小到

大的順序排列：1|,129W

到小的順序排列。（1年，A，23*17'13

37

60

[8,12,20,60]=120

5_5x15_757_7x10-70

88x151201212x10120

11_11x6_6637_37x2_74

2020x61206060x2120

.>里

75〉74>22

120120120120

5>37>2>H分?jǐn)?shù)5,61030竺中，哪

1

860122019339746

152012一個最大?

(2)迎，，,

271317TT

[30,15,，20,12]=60

30_30x2_6015_15x4

2727x2541313x4

20_20x3,6012_12x5

1717x3511111x5

60>60>60>60

5?525455

型〉”

>17

1713

【例2】比較也和遜邑的大小【練一練2】比較史坦和星空的大小

77775888874444555559

]_77771_4

7777577775

88883二4

8888788887

..4>4.77771<

?7777588887''77775【練一練3］下列分?jǐn)?shù)中最大的是

88883

()

88887

998g98c9998

【例3】已知a=4,b=@（m,n都

mm+199999,9999

8

9-

是非零自然數(shù)，且1n>n),a,b的大D.

小關(guān)系是（）

A.可能a=bB.a肯定大

于b

C.有時a>bD.a肯定小

于b

假如a=Lb=W=2,1>L,b>a

22+1332

8

/+1>7b>

=---a

88+u98

【例4］比,大，比;小，分子是17【練一練4］在下面的中填入適當(dāng)

的分?jǐn)?shù)共有多少個？的整數(shù)，使不等式成立。Z<JL<1O

［2,1,17］=34

2=2x17=341=1x34=34

77x17H933x34W2

17X2=341194-2=59........1

1024-2=51

答：分母可以是：51,52,