2024屆北京市北京第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆北京市北京第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B． C． D．2．是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點(diǎn)，若，則的離心率是（）A． B． C． D．3．已知向量滿足，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則的最小值為（）A． B． C． D．24．若函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則的值（）A． B．C． D．5．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．6．已知雙曲線E：上的四點(diǎn)A，B，C，D滿足，若直線AD的斜率與直線AB的斜率之積為2，則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．7．某大學(xué)中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年級的學(xué)生比為5:4:3:1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本，則應(yīng)抽二年級的學(xué)生A．100人 B．60人 C．80人 D．20人8．設(shè)則=（）A． B． C． D．9．已知A={|}，B={|}，則A∪B=A．{|或} B．{|} C．{|} D．{|}10．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．11．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時間段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如下表：時間周一周二周三周四周五車流量（萬輛）100102108114116濃度（微克）7880848890根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出與的線性回歸方程是（）參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，；A． B． C． D．12．設(shè)全集U＝R，集合，，則集合()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．連續(xù)3次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，在至少有一次出現(xiàn)正面向上的條件下，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為．14．觀察等式：，，.照此規(guī)律，對于一般的角，有等式.15．已知a=log0.35,?b=2316．在一個如圖所示的6個區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一塊區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊區(qū)域中種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則不同的栽種方案的總數(shù)為____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質(zhì)”列入新課程的培養(yǎng)目標(biāo)．為加強(qiáng)心理健康教育工作的開展，不斷提高學(xué)生的心理素質(zhì)，九江市某校高二年級開設(shè)了《心理健康》選修課，學(xué)分為2分．學(xué)校根據(jù)學(xué)生平時上課表現(xiàn)給出“合格”與“不合格”兩種評價(jià)，獲得“合格”評價(jià)的學(xué)生給予41分的平時分，獲得“不合格”評價(jià)的學(xué)生給予31分的平時分，另外還將進(jìn)行一次測驗(yàn)．學(xué)生將以“平時分×41%+測驗(yàn)分×81%”作為“最終得分”，“最終得分”不少于51分者獲得學(xué)分．該校高二(1)班選修《心理健康》課的學(xué)生的平時分及測驗(yàn)分結(jié)果如下：測驗(yàn)分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平時分41分人數(shù)1113442平時分31分人數(shù)1111111（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表，并分析是否有94%的把握認(rèn)為這些學(xué)生“測驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)？選修人數(shù)測驗(yàn)分達(dá)到51分測驗(yàn)分未達(dá)到51分合計(jì)平時分41分平時分31分合計(jì)（2）用樣本估計(jì)總體，若從所有選修《心理健康》課的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)獲得學(xué)分人數(shù)為，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82818．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．求點(diǎn)的坐標(biāo)：若點(diǎn)在軸上，且直線與直線垂直，求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（12分）已知數(shù)列滿足，.（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù)在處取得極大值為9.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.21．（12分）已知曲線C的參數(shù)方程為（a參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l極坐標(biāo)方程為，求曲線C上的點(diǎn)到直線l最大距離.22．（10分）已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx（2）當(dāng)n∈N*時，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布求對應(yīng)概率【題目詳解】，所以選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】試題分析：由題意得，因此，選A.考點(diǎn)：雙曲線離心率【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率（取值范圍）的策略求雙曲線離心率是一個熱點(diǎn)問題．若求離心率的值，需根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的方程求解，若求離心率的取值范圍，需轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等式求解，正確把握c2＝a2＋b2的應(yīng)用及e＞1是求解的關(guān)鍵．3、D【解題分析】

依據(jù)題目條件，首先可以判斷出點(diǎn)的位置，然后，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，求出的代數(shù)式，由函數(shù)知識即可求出最值．【題目詳解】由于，說明點(diǎn)在的垂直平分線上，當(dāng)是的中點(diǎn)時，取最小值，最小值為，此時與的夾角為，與的夾角為，∴與的夾角為，的最小值是4，即的最小值是2.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量有關(guān)知識，重點(diǎn)是利用數(shù)量積求向量的模．4、A【解題分析】

根據(jù)周期求，根據(jù)最值點(diǎn)坐標(biāo)求【題目詳解】因?yàn)?因?yàn)闀r，所以因?yàn)?，所以，選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查由圖像求三角函數(shù)解析式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列寫出兩點(diǎn)分步的隨機(jī)變量的概率要滿足的條件，一是兩個概率都不小于0，二是兩個概率之和是1，解出符合題意的c的值．【題目詳解】由隨機(jī)變量的分布列知，，，，∴，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分布列的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】很明顯，A，B，C，D四點(diǎn)組成平行四邊形ABDC，如圖所示，設(shè)，則：，點(diǎn)A在雙曲線上，則：，據(jù)此可得：，結(jié)合可得雙曲線的離心率為.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關(guān)系式，將b用a，e表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式，進(jìn)而求解．7、C【解題分析】

要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本,

則應(yīng)抽二年級的學(xué)生人數(shù)為:

(人).

故答案為80.8、D【解題分析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則求，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義得詳解：因?yàn)樗赃xD.點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為9、D【解題分析】

根據(jù)二次不等式的解法得到B={|}=，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算得到結(jié)果.【題目詳解】B={|}=,A={|},則A∪B={|}.故答案為:D.【題目點(diǎn)撥】高考對集合知識的考查要求較低，均是以小題的形式進(jìn)行考查，一般難度不大，要求考生熟練掌握與集合有關(guān)的基礎(chǔ)知識．縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下兩個方面：一是考查具體集合的關(guān)系判斷和集合的運(yùn)算．解決這類問題的關(guān)鍵在于正確理解集合中元素所具有屬性的含義，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的關(guān)系判斷以及運(yùn)算．10、C【解題分析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集運(yùn)算可得到解。詳解：解絕對值不等式，得；由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得根據(jù)集合的運(yùn)算得所以選C點(diǎn)睛：本題考查了解絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域，集合的基本運(yùn)算，是基礎(chǔ)題。11、B【解題分析】

利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.12、A【解題分析】

求出，然后求解即可.【題目詳解】全集，集合，則集合，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：至少有一次正面向上的概率為，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為，那么滿足題意的概率為．考點(diǎn)：古典概型與排列組合．14、【解題分析】試題分析：，，，所以.考點(diǎn)：歸納推理.15、a<c<b【解題分析】

將a,b,c分別判斷與0,1的大小關(guān)系得到答案.【題目詳解】a=b=0<c=故答案為a<c<b【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)值的大小比較，0，1分界是一個常用的方法.16、【解題分析】

先種B、E兩塊，再種A、D,而種C、F與種A、D情況一樣，根據(jù)分類與分步計(jì)數(shù)原理可求．【題目詳解】先種B、E兩塊，共種方法，再種A、D,分A、E相同與不同，共種方法，同理種C、F共有7種方法，總共方法數(shù)為【題目點(diǎn)撥】利用排列組合計(jì)數(shù)時，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時要注意不重不漏.本題先種B、E兩塊，讓問題變得更簡單．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有94%的把握認(rèn)為學(xué)生“測驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)；（2）4【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)填表，然后計(jì)算，可得結(jié)果.（2）根據(jù)計(jì)算，可得未獲得分?jǐn)?shù)的人數(shù)，然后可知獲得分?jǐn)?shù)的概率，依據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，可得2x2列聯(lián)表選修人數(shù)測驗(yàn)分合計(jì)達(dá)到51分未達(dá)到51分平時分41分13214平時分31分234合計(jì)14421，∴有94%的把握認(rèn)為學(xué)生“測驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)（2）分析學(xué)生得分，，，平時分41分的學(xué)生中測驗(yàn)分只需達(dá)到41分，而平時分31分的學(xué)生中測驗(yàn)分必須達(dá)到51分，才能獲得學(xué)分平時分41分的學(xué)生測驗(yàn)分未達(dá)到41分的只有1人，平時分31分的學(xué)生測驗(yàn)分未達(dá)到51分的有3人∴從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該生獲得學(xué)分的概率為，．【題目點(diǎn)撥】本題考查統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算以及二項(xiàng)分布，第（2）問中在于理解，理解題意，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）由題意利用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【題目詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，又，所以，解得，從而．設(shè)，所以，由已知直線與直線垂直，所以則，解得，所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了推理與運(yùn)算能力．19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）利用定義得證.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分組求和法的到前項(xiàng)和.【題目詳解】解：（Ⅰ）由，可得，即，又，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的證明，分組求和法求前項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式和方法的靈活運(yùn)用.20、(1).(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.【解題分析】分析：（I）首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合，可得.（II）由（I）得，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值可知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.詳解：（I）依題意得，即，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，上述結(jié)果滿足題意.（II）由（I）得，令，得；令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.點(diǎn)睛：(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．21、（1）（2）【解題分析】

（1）利用平方和為1消去參數(shù)得到曲線C的直角坐標(biāo)方程，再利用，整理即可得到答案；（2）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，加上半徑即可得到最大距離.【題目詳解】（1）由，得，兩式兩邊平方并相加，得，所以曲線表示以為圓心，2為半徑的圓.將代入得，化簡得所以曲線的極坐標(biāo)方程為（2）由，得，即，得所以直線的直角坐標(biāo)方程為因?yàn)閳A心到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）答案不唯一，具體見解析（2）見解析【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的套路，確定定