2024屆天津市薊州等部分區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

2024屆天津市薊州等部分區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，且m，n，，則（）A． B． C． D．2．的展開式中的系數(shù)為（）A．1 B．9 C．10 D．113．在正方體中，過對角線的一個平面交于，交于得四邊形，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形一定為菱形B．四邊形在底面內(nèi)的投影不一定是正方形C．四邊形所在平面不可能垂直于平面D．四邊形不可能為梯形4．函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點，則實數(shù)aA．(-3,-2)∪(-1,0) B．(-3,-2) C．(-5．在一組數(shù)據(jù)為，，…，（，不全相等）的散點圖中，若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為，則所有的樣本點滿足的方程可以是（）A． B．C． D．6．給出下列三個命題：(1)如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行；(2)一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面不相交，則這兩個平面平行；(3)一個平面內(nèi)有不共線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行；其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．37．使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C．或 D．8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為（）A． B．C． D．9．已知隨機(jī)變量滿足，，則下列說法正確的是（）A．， B．，C．， D．，10．函數(shù)f(x)=|x|-ln|x|，若[f(x)]2-mf(x)+3=0有A．(23,4) B．(2,4) C．(2,211．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A． B． C． D．12．若雙曲線的一條漸近線為，則實數(shù)（）A． B．2 C．4 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個豎直平面內(nèi)的多邊形，用斜二測畫法得到的水平放置的直觀圖是一個邊長為的正方形，該正方形有一組對邊是水平的，則原多邊形的面積是______．14．某等腰直角三角形的一條直角邊長為4，若將該三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積是，則_____．15．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．16．設(shè)，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)全體空間向量組成的集合為，為中的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函數(shù)”.（1）設(shè)，，若，求向量；（2）對于中的任意兩個向量，，證明：；（3）對于中的任意單位向量，求的最大值.18．（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了111名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時間不低于41分鐘的觀眾稱為“體育迷”．（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為"體育迷"與性別有關(guān)．性別非體育迷體育迷總計男女1144總計下面的臨界值表供參考：1．141．111．141．241．1111．1141．111k2．1622．6153．8414．1245．5346．86911．828(參考公式：，其中)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列?期望和方差．19．（12分）已知點在橢圓C:上，A，B是長軸的兩個端點，且．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線CD的斜率為2，以E(1，0)為圓心的圓與直線CD相切，且切點為線段CD的中點，求該圓的方程.20．（12分）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第二象限，求.21．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知（1）求及的值；（2）求證：（），并求的值.（3）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)已知條件，運用組合數(shù)的階乘可得：，再由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得所要求的和.【題目詳解】則故選：D【題目點撥】本題考查了組合數(shù)的計算以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題.2、D【解題分析】

根據(jù)組合的知識可求展開式的含和的項，分別乘以的常數(shù)項和一次項，合并同類項即可求解.【題目詳解】因為展開式中含項的系數(shù)為,含項的系數(shù)為,乘以后含項的系數(shù)為，故選D.【題目點撥】本題主要考查了用組合知識研究二項展開式的特定項的系數(shù)，屬于中檔題.3、D【解題分析】對于A，當(dāng)與兩條棱上的交點都是中點時，四邊形為菱形，故A錯誤；對于B,四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形,故B錯誤；對于C,當(dāng)兩條棱上的交點是中點時，四邊形垂直于平面,故C錯誤；對于D，四邊形一定為平行四邊形，故D正確.故選：D4、A【解題分析】

求得f'(x)=x(2+x)ex，函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)【題目詳解】f'(x)=2xe∵函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點令f'(x)=0，解得x=0或-2．∴a<0<a+1，或a<-2<a+1，解得：-1<a<0，或-3<a<-2，∴實數(shù)a的取值范圍為(-3,-2)∪(-1,0)．故選【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了推理能力與計算能力，意在考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用以及綜合所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題．5、A【解題分析】

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念即可作出判斷.【題目詳解】∵這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為，∴這一組數(shù)據(jù)，，…線性相關(guān)，且是負(fù)相關(guān)，∴可排除D，B，C，故選A【題目點撥】本題考查了相關(guān)系數(shù)，考查了正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，考查了一組數(shù)據(jù)的完全相關(guān)性，是基礎(chǔ)的概念題．6、B【解題分析】

根據(jù)面面平行的位置關(guān)系的判定依次判斷各個命題的正誤，從而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）若一個平面內(nèi)有無數(shù)條互相平行的直線平行于另一個平面，兩個平面可能相交，則（1）錯誤；（2）平面內(nèi)任意一條直線與另一個平面不相交，即任意一條直線均與另一個平面平行，則兩個平面平行，（2）正確；（3）若不共線的三點中的兩點和另一個點分別位于平面的兩側(cè)，此時雖然三點到平面距離相等，但兩平面相交，（3）錯誤.本題正確選項：【題目點撥】本題考查面面平行相關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

首先解出不等式，因為是不等式成立的一個充分不必要條件，所以滿足是不等式的真子集即可．【題目詳解】因為，所以或，需要是不等式成立的一個充分不必要條件，則需要滿足是的真子集的只有A,所以選擇A【題目點撥】本題主要考查了解不等式以及命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對稱中心坐標(biāo)為.考點：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.三角函數(shù)圖像的性質(zhì).【方法點睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1．首先確定振幅和周期，從而得到與；2．求的值時最好選用最值點求，峰點：，；谷點：，，也可用零點求，但要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點，升零點(圖象上升時與軸的交點)：，；降零點(圖象下降時與軸的交點)：，．9、D【解題分析】分析：利用期望與方差的性質(zhì)與公式求解即可.詳解：隨機(jī)變量滿足，所以，解得，故選D.點睛：已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解.若隨機(jī)變量的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，則數(shù)的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.10、A【解題分析】

方程有8個不相等的實數(shù)根指存在8個不同x的值；根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象，可知方程[f(x)]2-mf(x)+3=0必存在2個大于1【題目詳解】∵f(x)=∵f(-x)=f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可畫出其函數(shù)圖象（如圖所示），若[f(x)]2-mf(x)+3=0有8個不相等的實數(shù)根?關(guān)于∴Δ=【題目點撥】與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的函數(shù)或方程問題，要會運用整體思想看問題；本題就是把所求方程看成是關(guān)于f(x)的一元二次方程，再利用二次函數(shù)根的分布求m的范圍.11、C【解題分析】試題分析：對恒成立，故，即恒成立，即對恒成立，構(gòu)造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得．故選C．【考點】三角變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點睛】本題把導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有所創(chuàng)新,求解的關(guān)鍵是把函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關(guān)的問題,即注意正、余弦函數(shù)的有界性.12、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出漸近線方程，根據(jù)雙曲線的一條漸近線求得m的值．【題目詳解】雙曲線中，，令，得，所以；又雙曲線的一條漸近線為，則，解得，所以實數(shù)．故選：C．【題目點撥】本題考查了利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求漸近線方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)斜二測畫法可知，原圖形中的高在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼模庇^圖中的高變?yōu)樵叩?，原來的平面圖形與直觀圖的面積比是：1，計算即可．【題目詳解】該多邊形的直觀圖是一個邊長為的正方形，正方形的面積為，原多邊形的面積是．故答案為．【題目點撥】本題主要考查了斜二測畫法，原圖形與直觀圖面積的關(guān)系，屬于中檔題．14、【解題分析】分析：幾何體為圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式求解詳解：由題意可知三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓錐，體積是點睛：三角形旋轉(zhuǎn)為圓錐，體積公式為。15、【解題分析】

設(shè)橢圓的方程為，由面積公式以及離心率公式，求出，，即可得到答案?！绢}目詳解】設(shè)橢圓C的方程為，橢圓C的面積為，則,又，解得，.則C的方程為【題目點撥】本題考查橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，注意運用離心率公式和，，的關(guān)系，考查學(xué)生基本的運算能力，屬于基礎(chǔ)題。16、1.【解題分析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其模即可.詳解：由復(fù)數(shù)的運算法則有：，則：.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，復(fù)數(shù)模的計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）見解析；（3）最大值為.【解題分析】分析：（1），設(shè)，代入運算得：，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，，，則利用“向量函數(shù)”的解析式化簡，從而可得結(jié)果；（3）設(shè)與的夾角為，則，則，即最大值為.詳解：（1）依題意得：，設(shè)，代入運算得：或；（2）設(shè)，，，則從而得證；（3）設(shè)與的夾角為，則，則，故最大值為.點睛：新定義問題一般先考察對定義的理解，這時只需一一驗證定義中各個條件即可.二是考查滿足新定義的函數(shù)的簡單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時需結(jié)合新函數(shù)的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).三是考查綜合分析能力，主要將新性質(zhì)有機(jī)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)，創(chuàng)造性證明更新的性質(zhì).18、（1）2×2列聯(lián)表答案見解析，在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．（2）分布列見解析，，．【解題分析】

（1）先根據(jù)頻率分布直方圖計算出“體育迷”的人數(shù)，結(jié)合2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得表中其他數(shù)據(jù)，最后根據(jù)公式計算出的觀測值，再依據(jù)臨界值表給出判斷.（2）利用二項分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的111人中“體育迷”有(人)．由獨立性檢驗的知識得2×2列聯(lián)表如下：性別非體育迷體育迷總計男311444女441144總計6424111將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得的觀測值．所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為．由題意知，∴，從而X的分布列為：1123由二項分布的期望與方差公式得，.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用、獨立性檢驗，還考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差，在計算離散型隨機(jī)變量的分布列時，要借助于常見分布如二項分布、超幾何分布等來簡化計算，本題屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）聯(lián)立方程解出ab（2）根據(jù)題意設(shè)出直線CD,聯(lián)立方程得到兩根之和與兩根之積，再利用中點加垂直，解出參數(shù)．【題目詳解】（1）依題意有：∴，∴（2）設(shè)CD：由得設(shè)，，CD中點則，∴，∴Q（，）又EQ⊥CD∴∴∴∴∴該圓的方程為.【題目點撥】本題綜合考查橢圓、圓、直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．20、【解題分析】

設(shè)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組求解，再結(jié)合所對應(yīng)的點在第二象限，即可求出【題目詳解】設(shè)，則，∴又，.∴，聯(lián)立，解得又在第二象限，∴，即∴故答案為【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)定義，設(shè)出復(fù)數(shù)的表示形式，根據(jù)題意列出方程組即可，本題較為基礎(chǔ)，注意計算。21、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點，連接DM,通過線面垂直證明平面，可推出，又，可證(2)通過作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過幾何法求出長度，分別表示出線