2024屆上海市徐匯區(qū)位育中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆上海市徐匯區(qū)位育中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．64種2．已知，函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是()A． B． C． D．3．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．5．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，以為頂點(diǎn)的△ABC的面積記為函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為()A． B． C． D．6．設(shè)，且，則的最小值為（）A． B．9 C．10 D．07．由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中，．由右橢圓的焦點(diǎn)和左橢圓的焦點(diǎn)，確定叫做“果圓”的焦點(diǎn)三角形，若“果圓”的焦點(diǎn)為直角三角形．則右橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．針對時下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則男生至少有（）人．（K2≥k1）1．1511．111k13.8416.635A．12 B．6 C．11 D．189．的展開式中含項的系數(shù)為（）A．160 B．210 C．120 D．25210．已知，直線過點(diǎn)，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．111．從10名男生6名女生中任選3人參加競賽，要求參賽的3人中既有男生又有女生，則不同的選法有()種A．1190 B．420 C．560 D．336012．已知的分布列為：設(shè)則的值為（）A． B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，則____14．已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且（3+i）為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）則＝_____15．用一塊半徑為2分米的半圓形薄鐵皮制作一個無蓋的圓錐形容器，若銜接部分忽略不計，則該容器的容積為________立方分米.16．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實數(shù)的取值范圍．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，且前三項系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求的值；（2）若，展開式有多少有理項？寫出所有有理項.18．（12分）甲、乙兩隊進(jìn)行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率；（2）設(shè)本場比賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.(用分?jǐn)?shù)表示)19．（12分）某險種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保費(fèi)設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05（1）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（2）已知一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率.20．（12分）我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為，某機(jī)構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機(jī)采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率；（2）設(shè)表示這4名觀眾中認(rèn)為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.21．（12分）高二某班名同學(xué)期末考完試后，商量購買一些學(xué)習(xí)參考書準(zhǔn)備在高三時使用，大家約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪購買，擲出點(diǎn)數(shù)大于或等于的人去圖書批發(fā)市場購買，擲出點(diǎn)數(shù)小于的人去網(wǎng)上購買，且參加者必須從圖書批發(fā)市場和網(wǎng)上選擇一家購買.（1）求這人中至多有人去圖書批發(fā)市場購買的概率；（2）用、分別表示這人中去圖書批發(fā)市場和網(wǎng)上購買的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾；(2)全體站成一排，女生必須站在一起；(3)全體站成一排，男生互不相鄰．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，可求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可以得到；分離參數(shù)，根據(jù)所得函數(shù)的特征求出的取值范圍.【題目詳解】因為所以因為在上是單調(diào)減函數(shù)所以即所以當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，令，可知雙刀函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以即所以選C【題目點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）..3、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】z=，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

根據(jù)題意，易得正方形OABC的面積，觀察圖形可得，陰影部分由函數(shù)y=x與圍成，由定積分公式，計算可得陰影部分的面積，進(jìn)而由幾何概型公式計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，正方形OABC的面積為1×1=1，而陰影部分由函數(shù)y=x與圍成,其面積為，則正方形OABC中任取一點(diǎn)P,點(diǎn)P取自陰影部分的概率為；故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用,幾何概型求概率，屬于綜合題，難度不大，屬于簡單題.5、D【解題分析】

連結(jié)AB后，AB長為定值，由C點(diǎn)變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【題目詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長一定，在點(diǎn)C由A到B的過程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點(diǎn)附近時，三角形的面積減或增較慢，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

利用柯西不等式得出最小值．【題目詳解】（x2）（y2）≥（x）2＝1．當(dāng)且僅當(dāng)xy即xy=時取等號．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了柯西不等式的應(yīng)用，熟記不等式準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

根據(jù)“果圓”關(guān)于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關(guān)于，，之間的關(guān)系式，求出結(jié)果.【題目詳解】解：連接，，根據(jù)“果圓”關(guān)于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分別是橢圓和的半焦距，，即.，.即，.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.8、A【解題分析】

由題，設(shè)男生人數(shù)x，然后列聯(lián)表，求得觀測值，可得x的范圍，再利用人數(shù)比為整數(shù)，可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，則列聯(lián)表如下：喜歡抖音不喜歡抖音總計男生女生總計若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則即解得又因為為整數(shù)，所以男生至少有12人故選A【題目點(diǎn)撥】本題是一道關(guān)于獨(dú)立性檢驗的題目，總體方法是運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行分析求解，屬于中檔題.9、D【解題分析】

先化簡，再由二項式通項，可得項的系數(shù)．【題目詳解】，，當(dāng)時，.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項式展開式中指定項的系數(shù)，解題關(guān)鍵是先化簡再根據(jù)通項公式求系數(shù)．10、A【解題分析】

先得a+3b=1，再與相乘后，用基本不等式即可得出結(jié)果.【題目詳解】依題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，熟記基本不等式即可，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

根據(jù)分類計數(shù)原理和組合的應(yīng)用即可得解.【題目詳解】要求參賽的3人中既有男生又有女生,分為兩種情況：第一種情況：1名男生2名女生，有種選法；第二種情況：2名男生1名女生，有種選法，由分類計算原理可得.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類計數(shù)原理和組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【題目詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個變量之間的關(guān)系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

求導(dǎo)后根據(jù)是方程的兩根，由韋達(dá)定理，列出兩根的關(guān)系式，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求.【題目詳解】因為，又是函數(shù)f(x)的兩個極值點(diǎn)，則是方程的根，所以，所以解得或.故答案為-2或2.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)的問題，考查了韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

先求出的表達(dá)式，再由純虛數(shù)的定義，可求出的值，進(jìn)而可求出.【題目詳解】由題意，，，則為純虛數(shù)，故，解得.故，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

先由題意得到半圓形的弧長為，設(shè)制作的圓錐形容器的底面半徑為，求出底面半徑與圓錐的高，從而可求出結(jié)果.【題目詳解】半徑為2分米的半圓形的弧長為，設(shè)制作的圓錐形容器的底面半徑為，則，則；則圓錐形容器的高為，所以容器的容積為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求圓錐的體積，熟記圓錐的體積公式即可，屬于?？碱}型.16、（1）；（2）.【解題分析】

（1）討論范圍去掉絕對值符號，再解不等式.（2）將函數(shù)代入不等式化簡，再利用絕對值三角不等式得到不等式右邊的最小值，轉(zhuǎn)化為存在問題求得答案.【題目詳解】解：（1），∴或或，解得：或或無解，綜上，不等式的解集是（，）．（2）（當(dāng)時等號成立），因為不等式解集非空，∴，∴，∴或，即或，∴實數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，存在問題，題型比較綜合，意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2或14；（2），，.【解題分析】

先由二項式系數(shù)的性質(zhì)求，再根據(jù)二項式展開式的通項公式和等差中項公式求；（2）根據(jù)二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)為整數(shù)次求解.【題目詳解】因為奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，所以，解得，所以二項式為第一項：，系數(shù)為1，第二項：，系數(shù)為，第三項：，系數(shù)為，由前三項系數(shù)成等差數(shù)列得：，解得或.（2）若，由（1）得二項式為，通項為：，其中所以，令即，此時；令即，不符題意；令即，不符題意；令即，此時；令即，不符題意；令即，不符題意；令即，此時綜上，有3項有理項，分別是：，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項式定理的系數(shù)性質(zhì)和展開式的通項公式，等差中項公式.注意是第項.18、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場比賽的局?jǐn)?shù)為有3,4,5三種情況，分別計算概率得到分布列，最后計算得到答案.【題目詳解】解：（1）設(shè)“甲隊勝三局”為事件，“甲隊勝二局”為事件，則，，所以，前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率為（2）甲隊勝三局或乙勝三局，甲隊或乙隊前三局勝局，第局獲勝甲隊或乙隊前四局勝局，第局獲勝的分部列為：數(shù)學(xué)期望為【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和解決問題的能力.19、（1）0.55（2）【解題分析】分析：（1）將保費(fèi)高于基本保費(fèi)轉(zhuǎn)化為一年內(nèi)的出險次數(shù)，再根據(jù)表中的概率求解即可．（2）根據(jù)條件概率并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)求解可得結(jié)論．詳解：（1）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故．（2）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故．又，故，因此其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率為．點(diǎn)睛：求概率時，對于條件中含有“在……的條件下，求……發(fā)生的概率”的問題，一般為條件概率，求解時可根據(jù)條件概率的定義或利用古典概型概率求解．20、（1）（2）見解析，【解題分析】

設(shè)表示2名女性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù)，可得，.（1）設(shè)事件表示“這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多”，利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計算公式即可得出．（2）的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，，，，，，，，，，利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計算公式即可得出概率、分布列及其數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：設(shè)表示2名女性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù)，則，.（1）設(shè)事件A表示“這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多”，則.（2）的可能取值為0，1，2，3，4，，∴的分布列為：01234所以【題目點(diǎn)撥】本題考查了用頻率估計概率、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、二項分布列的性質(zhì)、互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）由題意可知，名同學(xué)中每名同學(xué)去圖書批發(fā)市場購買的概率為，然后利用互斥事件的概率加法公式和獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望