2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊 5-3用頻率估計(jì)概率 學(xué)案

5．3用頻率估計(jì)概率最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)結(jié)合實(shí)例，會用頻率估計(jì)概率．1.了解頻率與概率的區(qū)別，會用頻率估計(jì)概率．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析)2．會用頻率的穩(wěn)定性解釋生活中的實(shí)際問題．(數(shù)據(jù)分析，邏輯推理)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一頻率1．設(shè)Ω是某個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，A是Ω的事件，在相同的條件下將該試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次，則稱Fn(A)＝________________是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率．2．事件A發(fā)生的可能性愈大，頻率Fn(A)也________；如果Fn(A)愈大，那么事件A發(fā)生的可能性也________．要點(diǎn)二頻率與概率的關(guān)系1．在相同的條件下，將一試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次，F(xiàn)n(A)表示事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，則當(dāng)n增加時(shí)，F(xiàn)n(A)將向一個(gè)________的數(shù)值p靠近，這個(gè)數(shù)值p就可以看作事件A發(fā)生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估計(jì)．2．頻率與概率是兩個(gè)不同的概念．頻率與概率都是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的定量刻畫；但頻率與試驗(yàn)次數(shù)及具體的試驗(yàn)有關(guān)，因此頻率具有穩(wěn)定性；而概率是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，是一個(gè)固定的量，不具有隨機(jī)性．狀元隨筆頻率具有隨機(jī)性，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率可能不相同；概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)某事件發(fā)生的概率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．()(2)某事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．()(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．()(4)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率．()2．已知某廠的產(chǎn)品合格率為90%，現(xiàn)抽出10件產(chǎn)品檢查，則下列說法正確的是()A．合格產(chǎn)品少于9件B．合格產(chǎn)品多于9件C．合格產(chǎn)品正好是9件D．合格產(chǎn)品可能是9件3．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A的()A．概率為45B．頻率為C．頻率為8D．概率接近于84．在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的及格率是80%，這里所說的“80%”是指________．(填“頻率”或“概率”)題型1頻率與概率的關(guān)系例1下列說法正確的是()A．由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩個(gè)小孩，則一定為一男一女B．一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng)C．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大D．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1方法歸納理解概率與頻率應(yīng)關(guān)注的三個(gè)方面(1)概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值．(2)由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．(3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件．跟蹤訓(xùn)練1某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%，這說明()A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件C．合格率是99.99%，很高，說明該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有不合格產(chǎn)品D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%題型2利用頻率估計(jì)概率例2李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來的考試成績分布：成績?nèi)藬?shù)90分以上4380分～89分18270分～79分26060分～69分9050分～59分6250分以下8經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級的學(xué)生王小慧下學(xué)期將選修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)她得以下分?jǐn)?shù)的概率(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)．(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．方法歸納1．根據(jù)頻率求隨機(jī)事件概率的步驟(1)利用頻率的計(jì)算公式Fn(A)＝n次試驗(yàn)中(2)根據(jù)概率的定義確定頻率的穩(wěn)定值即為概率．2．求頻率的穩(wěn)定值的方法根據(jù)頻數(shù)和重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)計(jì)算頻率，可直接觀察頻率穩(wěn)定在哪個(gè)常數(shù)附近，用它來估計(jì)概率值，也可在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)(橫坐標(biāo)為次數(shù)，縱坐標(biāo)為頻率)，觀察頻率值在哪個(gè)常數(shù)附近波動(dòng)，則這個(gè)常數(shù)就可作為概率的近似值．跟蹤訓(xùn)練2某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率m(1)填寫表中擊中靶心的頻率；(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？題型3利用頻率代替概率例3為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如200只，給每只天鵝作上記號且不影響其存活，然后放回保護(hù)區(qū)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓它們和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再從保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如150只．查看其中有記號的天鵝，設(shè)有20只，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量．方法歸納在用頻率估計(jì)概率時(shí)，要注意試驗(yàn)次數(shù)n不能太小，只有當(dāng)n很大時(shí)，頻率才會呈現(xiàn)出規(guī)律性，即在某個(gè)常數(shù)附近波動(dòng)，且這個(gè)常數(shù)就是概率．跟蹤訓(xùn)練3為了估計(jì)水庫中的魚的尾數(shù)，先從水庫中捕出2000尾魚，給每尾魚做上記號(不影響其存活)，然后放回水庫．經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出500尾魚，其中有記號的魚有40尾，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)這個(gè)水庫里魚的尾數(shù)．易錯(cuò)辨析混淆頻率與概率的關(guān)系出錯(cuò)例4把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則擲一次硬幣正面朝上的概率為________．解析：擲一次硬幣正面朝上的概率是0.5.答案：0.5易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得解本題時(shí)，很容易由fn(A)＝nAn＝隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并且趨于穩(wěn)定，而概率是一個(gè)確定的常數(shù)，與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān)．課堂十分鐘1．總數(shù)為10萬張的彩票，中獎(jiǎng)率是11000A．買1張一定不中獎(jiǎng)B．買1000張一定中獎(jiǎng)C．買2000張一定中獎(jiǎng)D．買2000張不一定中獎(jiǎng)2．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為50%，下列說法正確的是()A．如果第1位病人沒有治愈，那么第2位病人一定能治愈B．2位病人中一定有1位能治愈C．每位病人治愈的可能性是50%D．所有病人中一定有一半的人能治愈3．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為()A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.44．在一次擲硬幣試驗(yàn)中，擲100次，其中有48次正面朝上，設(shè)反面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的頻率為________．5．某質(zhì)檢員從一大批種子中抽取若干批，在同一條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：種子粒數(shù)100200500100030005000發(fā)芽種子粒數(shù)7915640579024004100發(fā)芽頻率(1)計(jì)算各批種子的發(fā)芽頻率，填入上表；(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計(jì)種子發(fā)芽的概率．5．3用頻率估計(jì)概率新知初探·課前預(yù)習(xí)1.n2．愈大愈大要點(diǎn)二1．固定[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：根據(jù)概率意義知選D.答案：D3．解析：做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的頻率為mn.如果多次進(jìn)行試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，那么這個(gè)常數(shù)才是事件A的概率．故810＝45答案：B4．解析：在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的及格率是80%，這里所說的“80%”是指“頻率”．只有經(jīng)過很多次考試得到的及格率都是80%，才能說是概率．答案：頻率題型探究·課堂解透例1解析：一對夫婦生兩個(gè)小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎(jiǎng)概率為0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確．答案：D跟蹤訓(xùn)練1解析：合格率是99.99%，是指該工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品合格的可能性大小，即合格的概率．答案：D例2解析：總?cè)藬?shù)為43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根據(jù)公式可計(jì)算出選修李老師的高等數(shù)學(xué)課的人的考試成績在各個(gè)段上的頻率依次為：43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，(1)將“90分以上”記為事件A，則P(A)≈0.067；(2)將“60分～69分”記為事件B，則P(B)≈0.140；(3)將“60分以上”記為事件C，則P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.89附近，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.89.例3解析：設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n，假設(shè)每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A＝{捕到帶有記號的天鵝}，則P(A)＝200n.從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號，由概率的定義可知P(A)≈20150.由200n≈20跟蹤訓(xùn)練3解析：設(shè)水庫里有x尾魚，則2000x＝40解得x＝25000.因此，可以估計(jì)這個(gè)水庫里約有25000尾魚．[課堂十分鐘]1．解析：中獎(jiǎng)率是11000答案：D2．解析：某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為50%，如果第1位病人沒有治愈，那么第2位病人治愈的概率為50%，故A錯(cuò)誤；2位病人中每個(gè)人治愈的可能性都是50%，或兩人都能治愈，或有1位能治愈，或都不能治愈，故B