2.5.2向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及簡單應(yīng)用教案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及簡單應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1、掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2、掌握兩點(diǎn)間的距離公式及向量夾角的坐標(biāo)表示；3、理解點(diǎn)到直線的距離的向量表示。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量夾角的坐標(biāo)表示難點(diǎn)：向量坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用三、教學(xué)設(shè)計(jì)1、情景導(dǎo)入：數(shù)量積公式：a向量的夾角：cos平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法，向量的表示形式不同，對(duì)其運(yùn)算的表示方式也會(huì)改變。向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來了極大的方便，上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標(biāo)表示對(duì)平面向量的數(shù)量積的表示方式又會(huì)帶來哪些變化呢？2、新知概念2、1向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示坐標(biāo)形式：已知向量a=x1坐標(biāo)形式的推導(dǎo)：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i,j分別是x軸和y軸方向上的單位向量，若a=所以：a?因?yàn)椋篿2=j2注意：公式a?b=a2、2向量的模與夾角的坐標(biāo)表示平面向量的模：設(shè)a=x,y或a=兩點(diǎn)間的距離公式：如果表示向量a的有向線段AB的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為Axa非零向量a方向上的單位向量的坐標(biāo)表示:設(shè)a方向上的單位向量為e，則e（4）兩個(gè)向量的夾角計(jì)算公式：設(shè)向量a=x1,y1則a所以cos（5）兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示：（區(qū)分垂直與平行的坐標(biāo)表示）已知向量a=x已知向量a=x對(duì)點(diǎn)練習(xí)已知向量a=?4,7,【解析】直接考察數(shù)量積的坐標(biāo)公式：a已知向量a=3,?1,【解析】直接考察向量夾角的坐標(biāo)公式：cosa所以夾角為π已知向量a=3,2,【解析】直接考察向量夾角的坐標(biāo)公式：cos已知向量a=3,1,b=【解析】直接考察向量垂直的坐標(biāo)表示：a已知向量a=1,?1,【解析】向量數(shù)量積的運(yùn)算率和坐標(biāo)運(yùn)算：2已知向量a=1,1,b=【解析】8a?7、已知平面向量a=?2,1,b=【解析】考察數(shù)量積的取值范圍與向量夾角之間的關(guān)系。a,b的夾角為鈍角，所以即?2+x<0,x<22、3知識(shí)點(diǎn)拓展：點(diǎn)到直線的距離的向量表示已知一條直線l和直線外一點(diǎn)P。過點(diǎn)P向直線l作垂線，垂足為點(diǎn)B，則點(diǎn)P到直線l的距離為線段PB的長。在直線l上取不同于B的一點(diǎn)A，如圖：BP就是點(diǎn)P到直線l的距離。求解過程：如圖，作AD=BP，作n//AD//BP則點(diǎn)P到直線l的距離就是向量AP在向量n上的投影向量直線的方向向量：AB可以作為直線l的一個(gè)方向向量。向量n是任意一條和直線l的方向向量AB垂直的向量，可以通過互相垂直向量的數(shù)量積為0來求解n。對(duì)點(diǎn)練習(xí)8、已知點(diǎn)A(2,1)，向量m=1,1，過點(diǎn)A作以向量m為方向向量的直線l，求點(diǎn)P(1,2)到直線求解步驟：設(shè)A是直線l上一點(diǎn)，m是l的方向向量，求直線外一點(diǎn)P到直線l的距離（1）設(shè)一個(gè)向量n=x,y與直線l垂直，即n⊥m，利用（2）利用公式d=AP【解析】設(shè)向量n=x,y與直線l垂直，A(2,1)，P(1,2)因?yàn)椋合蛄縨=1,1是直線l的方向向量，所以：n即：x+y=0，?。簒=1,y=?1，所以：與直線l垂直的一個(gè)向量是n所以：nn=2典例剖析例1、如圖1，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB?AF【解析】主要考察坐標(biāo)系的建立以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB作為x軸，以AD作為y軸因?yàn)椋涸诰匦蜛BCD中，AB=2,BC=2，點(diǎn)E為所以：A0,0,B所以：AB因?yàn)椋篈B?AF=2，即：2所以：AE例2、如圖2，在邊長為1的等邊?ABC中，AD為BC邊上的高，P為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，求AP?如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC作為x軸因?yàn)椋篈D為BC邊上的高，所以以AD作為y軸所以：在邊長為1的等邊?ABC中：A0,32所以：AP所以：AP所以取值范圍是：AP課堂小結(jié)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；數(shù)量掌握向量數(shù)量積公式求解向量的夾角；熟練掌握常見的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用。分層作業(yè)A組：對(duì)點(diǎn)練習(xí)1，2，3，4，5，6，7，8B組：課本113頁，A組1，3，4，5板書設(shè)計(jì)八、課后反思第四課時(shí)：向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示習(xí)題課一、教學(xué)目標(biāo)1、理解向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示；2、掌握數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握常見的數(shù)量積的公式變形及簡單應(yīng)用難點(diǎn)：掌握數(shù)量積公式的綜合應(yīng)用三、教學(xué)設(shè)計(jì)1、復(fù)習(xí)回顧：設(shè)向量a=x1,y1則a則cos若a2、例題講解例3、向量長度的計(jì)算（1）已知向量m=2λ,?1,（2）已知a=2,1,b=（3）用向量方法證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和；【解析】主要考察向量的模長及數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示。因?yàn)橄蛄縨所以：m因?yàn)椋簃所以：2解得：λ因?yàn)閍=2,1,b=1,2，所以：a設(shè)平行四邊形的兩臨邊分別是向量a與b，則兩對(duì)角線分別是a+b和所以：a+例4、向量夾角與垂直問題的計(jì)算（1）已知向量a=1,2,b=?2,?4,（2）已知向量a=1,2,b=（3）已知單位向量e1,e2的夾角為60o【解析】主要考察向量夾角的坐標(biāo)公式因?yàn)閍=1,2,b所以：c因?yàn)椋篴?c=x+2y=?5因?yàn)椋篴=1,2,若a?λb⊥（3）cosa例5、已知向量OA（1）若點(diǎn)A,B,C能夠構(gòu)成三角形，求m的取值范圍；（2）若?ABC為直角三角形，且∠A是直角，求m的值?！窘馕觥浚?）從對(duì)立的角度處理（考慮是否可以從三邊之間的關(guān)系入手）若A,B,C三點(diǎn)共線，則需要滿足：AB=λ因?yàn)椋篛A所以：AB所以：31?m?綜上：m若?ABC為直角三角形，且∠A是直角，則AB⊥AC即：AB?AC例6、已知三點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D（1）求證：AB⊥AD;（2）要使四邊形ABCD為矩形，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出矩形ABCD兩條對(duì)角線所成銳角的余弦值?！窘馕觥恐饕疾煜蛄康臄?shù)量積等運(yùn)算的坐標(biāo)表示，以及向量之間的夾角因?yàn)椋篈(2,1),B(3,2),D(?1,4)所以：AB?AD若四邊形ABCD是矩形，則AB=DC，設(shè)C所以：x+1=1,y?4=1,x=0,y=5，所以：C所以：AC=所以：cos例7、已知在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)。（1）求證：EC?AD為定值；（2）求例8、已知向量a（1）若α=3π4,求證：a⊥b例9、【多選題】引入平面向量之間的一種新的運(yùn)算“?”如下：對(duì)任意的向量m=(x1,y1A、a?b=bC、a?(b例10、如圖，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點(diǎn)，|OA|=4,|OB|=2，且OA與（1）若BP=PA，求（2）若OP=OB+kOA，且