求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析(高考)

求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、不動點法、特征根的方法。仔細辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ茄杆偾蟪鐾椆降年P(guān)鍵。一、利用公式法求通項公式例1已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：SKIPIF1<0兩邊除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首，以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，說明數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出SKIPIF1<0，進而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。二、利用累加法求通項公式例2已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0，即得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。例3已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0，即得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。例4已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：SKIPIF1<0兩邊除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0+…+SKIPIF1<0，即得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，最后再求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。三、利用累乘法求通項公式例5已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0，即得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。例6（2004年全國15題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項SKIPIF1<0解：因為SKIPIF1<0 ①所以SKIPIF1<0 ②所以②式－①式得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0 ③由SKIPIF1<0，取n=2得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，代入③得SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0（n≥2），進而求出SKIPIF1<0，從而可得當(dāng)n≥2時SKIPIF1<0的表達式，最后再求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。四、利用待定系數(shù)法求通項公式例7已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：設(shè)SKIPIF1<0 ④將SKIPIF1<0代入④式，得SKIPIF1<0，等式兩邊消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，兩邊除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則x=－1，代入④式，得SKIPIF1<0 ⑤由SKIPIF1<0≠0及⑤式，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，從而可知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，最后再求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。例8已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：設(shè)SKIPIF1<0 ⑥將SKIPIF1<0代入⑥式，得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0。令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，代入⑥式，得SKIPIF1<0 ⑦由SKIPIF1<0及⑦式，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，從而可知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，最后再求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。例9已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0 ⑧將SKIPIF1<0代入⑧式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等式兩邊消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則得方程組SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，代入⑧式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0 ⑨由SKIPIF1<0及⑨式，得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，從而可知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，最后再求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。五、利用對數(shù)變換法求通項公式例10已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。在SKIPIF1<0式兩邊取常用對數(shù)得SKIPIF1<0 ⑩設(shè)SKIPIF1<0 eq\o\ac(○,11)將⑩式代入eq\o\ac(○,11)式，得SKIPIF1<0，兩邊消去SKIPIF1<0并整理，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0代入eq\o\ac(○,11)式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0 eq\o\ac(○,12)由SKIPIF1<0及eq\o\ac(○,12)式，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，從而可知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，最后再求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。六、利用迭代法求通項公式例11已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式，即先將等式SKIPIF1<0兩邊取常用對數(shù)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，再由累乘法可推知SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0七、利用數(shù)學(xué)歸納法求通項公式例12已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可猜測SKIPIF1<0，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)n=1時，SKIPIF1<0，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可知，當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）（2）可知，等式對任何SKIPIF1<0評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、利用換元法求通項公式例13已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可化為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0+3，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將SKIPIF1<0的換元為SKIPIF1<0，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化SKIPIF1<0形式，從而可知數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，最后再求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。九、利用不動點法求通項公式例14已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個不動點。因為SKIPIF1<0。SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)SKIPIF1<0的不動點，即方程SKIPIF1<0的兩個根SKIPIF1<0，進而可推出SKIPIF1<0，從而可知數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，再求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，最后求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。例15已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則x=1是函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0的不動點。因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)SKIPIF1<0的不動點，即方程SKIPIF1<0的根SKIPIF1<0，進而可推出SKIPIF1<0，從而可知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，再求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，最后求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。十、利用特征根法求通項公式例16已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。解：SKIPIF1<0的相應(yīng)特征方程為SKIPIF1<0，解之求特征根是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。由初始值SKIPIF1<0，得方程組SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出SKIPIF1<0，從而可得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式。關(guān)于一階線性遞推數(shù)列：SKIPIF1<0其通項公式的求法一般采用如下的參數(shù)法[1]，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列：設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時可得SKIPIF1<0知數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入并整理，得SKIPIF1<0對于二階線性遞推數(shù)列，許多文章都采用特征方程法[2]：設(shè)遞推公式為SKIPIF1<0其特征方程為SKIPIF1<0，若方程有兩相異根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0若方程有兩等根SKIPIF1<0則SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可由初始條件確定。很明顯，如果將以上結(jié)論作為此類問題的統(tǒng)一解法直接呈現(xiàn)出來，學(xué)生是難以接受的，也是不負責(zé)任的。下面我們結(jié)合求一階線性遞推數(shù)列的參數(shù)法，探討上述結(jié)論的“來源”。設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0（*）若方程組（*）有兩組不同的解SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由等比數(shù)列性質(zhì)可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0由上兩式消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.特別地，若方程組（*）有一對共扼虛根SKIPIF1<0通過復(fù)數(shù)三角形式運算不難求得此時數(shù)列的通項公式為SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可由初始條件求出。若方程組（*）有兩組相等的解SKIPIF1<0，易證此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．這樣，我們通過將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法，求得二階線性遞推數(shù)列的通項，若將方程組（*）消去SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）即得SKIPIF1<0此方程的兩根即為特征方程SKIPIF1<0的兩根，讀者不難發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論是完全一致的，這正是特征方程法求遞推數(shù)列通項公式的根源所在。斐波那契數(shù)列SKIPIF1<0，求通項公式SKIPIF1<0。解此數(shù)列對應(yīng)特征方程為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)此數(shù)列的通項公式為SKIPIF1<0，由初始條件SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。已知數(shù)列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求通項公式SKIPIF1<0。解此數(shù)列對應(yīng)特征方程為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)此數(shù)列的通項公式為SKIPIF1<0，由初始條件SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。已知數(shù)列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求通項公式SKIPIF1<0。解此數(shù)列對應(yīng)特征方程為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)此數(shù)列的通項公式為SKIPIF1<0，由初始條件SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。最后我們指出，上述結(jié)論在求一類數(shù)列通項公式時固然有用，但將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（等差）數(shù)列的方法更為重要。如對于高階線性遞推數(shù)列和分式線性遞推數(shù)列，我們也可借鑒前面的參數(shù)法，求得通項公式。例4、設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0解：對等式兩端同加參數(shù)SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0相除得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0。類型一：SKIPIF1<0求解方法：方法一：SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0（2）-（1）得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是公比為k的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法二：∵SKIPIF1<0的特征方程為SKIPIF1<0，其根為SKIPIF1<0∴由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是公比為k的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0例題：（2008安徽文）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為實數(shù)，且SKIPIF1<0（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；（Ⅲ）若SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0成立，證明SKIPIF1<0解(1)方法一：SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列。SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0仍滿足上式。SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0SKIPIF1<0。方法二由題設(shè)得：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足上式。SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0SKIPIF1<0。(2)由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由（1）知SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0成立，知SKIPIF1<0。下面證SKIPIF1<0，用反證法方法一：假設(shè)SKIPIF1<0，由函數(shù)SKIPIF1<0的函數(shù)圖象知，當(dāng)SKIPIF1<0趨于無窮大時，SKIPIF1<0趨于無窮大SKIPIF1<0不能對SKIPIF1<0恒成立，導(dǎo)致矛盾。SKIPIF1<0。SKIPIF1<0方法二：假設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0恒成立（＊）SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0（＊）式對SKIPIF1<0不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，SKIPIF1<0SKIPIF1<0練習(xí)題：1．海灘上有一堆桃子是山上五只猴子的共同財產(chǎn)，它們相約一天一起到海灘平分這批財產(chǎn)，到了這一天，第一只猴子早早下了山，來到海灘，左等右等，不見其它猴子到來，于是它將這批桃子分成五等份，發(fā)現(xiàn)多了一只壞了的桃子，于是它將這只壞了的桃子拋向大海，拿走了其中的一份上山去了，拉著第二只猴子又下了山，來到海灘，左等右等，不見其它猴子到來，于是它將這批桃子分成五等份，發(fā)現(xiàn)多了一只壞了的桃子，于是它將這只壞了的桃子拋向大海，拿走了其中的一份上山去了，依此類推，第三、四、五只猴子相繼來到海灘，都將這批剩下的桃子分成五等份，發(fā)現(xiàn)多了一只壞了的桃子，于是它將這只壞了的桃子拋向大海，拿走了其中的一份上山去了。問海灘上原有桃子至少有多少個？類型二：SKIPIF1<0求解方法：方法一：由SKIPIF1<0……（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0……（2）（2）-（1）得：SKIPIF1<0記SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0，這樣就化歸類型一，按類型的方法先求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項，再用累差法即可求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項。方法二：設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將上式與SKIPIF1<0比較得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0是公比為k的等比數(shù)列?！鄶?shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例題（2006年山東卷）已知數(shù)列｛SKIPIF1<0｝中，SKIPIF1<0在直線y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令SKIPIF1<0(Ⅱ)求數(shù)列SKIPIF1<0(Ⅲ)設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前n項和,是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列？若存在，試求出SKIPIF1<0.若不存在,則說明理由.解：（=1\*ROMANI）由已知得SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列.（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（=3\*ROMANIII）解法一：存在SKIPIF1<0，使數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列的充要條件是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是常數(shù)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列.解法二：存在SKIPIF1<0，使數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.由（=1\*ROMANI）、（=2\*ROMANII）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.類型三：SKIPIF1<0求解方法：方法一：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，這樣就化歸為類型一，按類型一的方法先求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項，再用SKIPIF1<0即可求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項。方法二：設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將上式與SKIPIF1<0比較得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0是公比為k的等比數(shù)列∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注：當(dāng)k=q時，只能用方法一做。例題：用紅、黃、蘭三種顏色給一個標(biāo)號為1，2，3，…，n（SKIPIF1<0）的矩形紙帶涂色（如圖所示），要求相鄰的區(qū)域不能同色，但并不要求三種顏色都要使用。（1）求矩形紙帶不同涂色種數(shù)SKIPIF1<0。（2）如果將矩形紙帶卷成一個圓筒，即使第1個小矩形與第n個小矩形對接，并且要求圓筒側(cè)面相鄰矩形不同色，但并不要求三種顏色都要使用，如果用SKIPIF1<0表示n個矩形卷成圓筒后的不同涂色種數(shù)，求SKIPIF1<0的表達式。解：（1）由于第1個矩形有3種不同的涂色方法，以后n-1個小矩形每個都有2種不同的涂色方法，由分步計數(shù)原理得SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0，i）當(dāng)?shù)?個矩形與第n個矩形同色時，卷成圓筒后可將第1個矩形與第n個矩形合并成一個矩形，故有SKIPIF1<0種涂色方法，ii）當(dāng)?shù)?個矩形與第n個矩形不同色時，卷成圓筒后則有SKIPIF1<0種不同的涂色方法?！郤KIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列,得出：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。練習(xí)題：(2008全國Ⅰ卷文)在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）設(shè)SKIPIF1<0．證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．類型四：SKIPIF1<0求解方法：方法一：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，這樣就化歸為類型二，按類型二的方法先求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項，再用SKIPIF1<0即可求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項。例題：已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0中的最大項。（3）若SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。解：（1）∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0。（2）由SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0即數(shù)列SKIPIF1<0前5項單調(diào)遞增且SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的最大項為SKIPIF1<0，（3）由（2）知SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0……①SKIPIF1<0……②①-②得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0練習(xí)題：在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項。類型五：SKIPIF1<0求解方法：方法一：設(shè)遞推數(shù)列：SKIPIF1<0的特征方程SKIPIF1<0的根為：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，這樣就化歸為類型三，按類型三的方法即可求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項。圖2圖1例題：在一個單位圓中的n（SKIPIF1<0）條半徑將圓分成n個不同的扇形區(qū)域（如圖1所示），現(xiàn)需將這n個扇形區(qū)域用三種不同顏色涂色，要求相鄰的區(qū)域不能同色，但不要求三種顏色都要使用。如果把含有n（SKIPIF1<0）個扇形區(qū)域的涂色方法數(shù)記為SKIPIF1<0。圖2圖1（1）求：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；（2）試用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0（只要求寫出關(guān)系式），并證明數(shù)列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）是等比數(shù)列；（3）求數(shù)列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的通項公式。解析：（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（2）如果我們在含有n區(qū)域的圓中的某一區(qū)域內(nèi)再插入一個區(qū)域（如圖3所示），則共有n+2個區(qū)域，而此時插入的這個區(qū)域有2種涂色方法，故此時n+2個區(qū)域共有2SKIPIF1<0種涂色方法；圖3如果我們在含有n+1區(qū)域的圓中的某兩個相鄰的交界線上再插入一個區(qū)域（如圖4所示），則共有n+2個區(qū)域，而此時插入的這個區(qū)域只有1種涂色方法，故此時n+2個區(qū)域共有SKIPIF1<0種涂色方法；所以：圖3SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，圖4∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）是以2為公比的等比數(shù)列圖4（3）由（3）可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是公比為-1的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）練習(xí)題：(2008廣東文)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（n=3,4,…）,數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0是非零整數(shù),且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有SKIPIF1<0(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.類型六：SKIPIF1<0求解方法：方法一：設(shè)是遞推數(shù)列：SKIPIF1<0的特征方程SKIPIF1<0的根為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0。由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0……(1)由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……(2)將（1）代入（2）得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0這樣就化歸為類型一，按類型一的方法先求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項，再由SKIPIF1<0即可求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項。方法二：當(dāng)特征方程SKIPIF1<0的兩根不等時，我們還可用如下的方法求通項：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)方程SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0則有:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0……(1)SKIPIF1<0……(2)由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……(3)將(1)、（2）式代入(3)式得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴數(shù)列{SKIPIF1<0}是公比為SKIPIF1<0(易證：SKIPIF1<0)的等比數(shù)列.∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.練習(xí)題：已知數(shù)列{an}中，a1=3，SKIPIF1<0，求{an}的通項。（答案：SKIPIF1<0）說明：當(dāng)特征方程有虛根時，數(shù)列必為周期數(shù)列例如：已知數(shù)列{an}中，a1=2，SKIPIF1<0，求{an}的通項。上題用迭代法不難證明其周期為4。類型七：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0記SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列。先求出SKIPIF1<0后，再求出SKIPIF1<0。例題：設(shè)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，且SKIPIF1<0，數(shù)列{an}與{bn}滿足如下關(guān)系：a1=2，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的解析表達式；（2）證明：當(dāng)SKIPIF1<0.解（1）由f(x)是奇函數(shù)得：b=c=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01．有關(guān)概念：我們在研究數(shù)列{an}時，如果任一項an與它的前一項SKIPIF1<0（或幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，則此公式就稱為數(shù)列的遞推公式。通過遞推公式給出的數(shù)列，一般我們也稱之為遞推數(shù)列。主要有以下幾種方法：構(gòu)造法：通過構(gòu)造特殊的數(shù)列（一般為等差數(shù)列或等列），利用特殊數(shù)列的通項求遞推數(shù)列的通項.迭代法：將遞推式適當(dāng)變形后，用下標(biāo)較小的項代替某些下標(biāo)較大的項，在一般項和初始之間建立某種聯(lián)系，從而求出通項.代換法：包括代數(shù)代換、三角代換等待定系數(shù)法：先設(shè)定通項的基本形式，再根據(jù)題設(shè)條件求出待定的系數(shù)。3.思想策略：構(gòu)造新數(shù)列的思想。4.常見類型：類型Ⅰ：SKIPIF1<0（一階遞歸）類型II:分式線性遞推數(shù)列:SKIPIF1<0二、例題：例1：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求通項SKIPIF1<0分析：構(gòu)造輔助數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0求通項過程中，多次利用遞推的思想方法以及把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列去討論，從而求出了通項公式SKIPIF1<0。[一般形式]已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中p,q,a為常數(shù)，求通項SKIPIF1<0[同類變式]已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求通項SKIPIF1<0分析：（待定系數(shù)），構(gòu)造數(shù)列SKIPIF1<0使其為等比數(shù)列，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0[歸納]：類型Ⅰ：SKIPIF1<0（一階遞歸）其特例為：（1）SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0利用累加法，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0…,各式相加，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0(nSKIPIF1<02)(2)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0;利用累乘法,SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0解題方法：利用待定系數(shù)法構(gòu)造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列法1：(常數(shù)變易法)設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0亦即數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，公比為p的等比數(shù)列，從而可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0法2：SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0成等比數(shù)列求出SKIPIF1<0，再利用迭代或迭另法求出SKIPIF1<0法3：由SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0,從而又可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0兩邊同除以SKIPIF1<0例2：數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.例3：數(shù)列SKIPIF1<0中，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.[提示]SKIPIF1<0[歸納]：類型II:分式線性遞推數(shù)列:SKIPIF1<0練習(xí)：1.已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項和，并且SKIPIF1<0，⑴設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式及前SKIPIF1<0項和。分析：由于{bSKIPIF1<0}和{cSKIPIF1<0}中的項都和{aSKIPIF1<0}中的項有關(guān)，{aSKIPIF1<0}中又有SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2，可由SSKIPIF1<0-SSKIPIF1<0作切入點探索解題的途徑．解：(1)由SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0，SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2，兩式相減，得SSKIPIF1<0-SSKIPIF1<0=4(aSKIPIF1<0-aSKIPIF1<0)，即aSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0-4aSKIPIF1<0．(根據(jù)bSKIPIF1<0的構(gòu)造，如何把該式表示成bSKIPIF1<0與bSKIPIF1<0的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練)aSKIPIF1<0-2aSKIPIF1<0=2(aSKIPIF1<0-2aSKIPIF1<0)，又bSKIPIF1<0=aSKIPIF1<0-2aSKIPIF1<0，所以bSKIPIF1<0=2bSKIPIF1<0①已知SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2，aSKIPIF1<0=1，aSKIPIF1<0+aSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2，解得aSKIPIF1<0=5，bSKIPIF1<0=aSKIPIF1<0-2aSKIPIF1<0=3②由①和②得，數(shù)列{bSKIPIF1<0}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故bSKIPIF1<0=3·2SKIPIF1<0．當(dāng)n≥2時，SSKIPIF1<0=4aSKIPIF1<0+2=2SKIPIF1<0(3n-4)+2；當(dāng)n=1時，SSKIPIF1<0=aSKIPIF1<0=1也適合上式．綜上可知，所求的求和公式為SSKIPIF1<0=2SKIPIF1<0(3n-4)+2．說明：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前SKIPIF1<0項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件SKIPIF1<0得出遞推公式。2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用．練習(xí)：2.設(shè)二次方程SKIPIF1<0xSKIPIF1<0-SKIPIF1<0x+1=0(n∈N)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．(1)試用SKIPIF1<0表示aSKIPIF1<0；例9．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑴求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；⑵設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；⑶設(shè)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，是否存在最大的整數(shù)SKIPIF1<0，使得對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)SKIPIF1<0使對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項考慮一個簡單的線性遞推問題.aa1=ban+1=can+d設(shè)已知數(shù)列SKIPIF1<0的項滿足其中SKIPIF1<0求這個數(shù)列的通項公式.采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程SKIPIF1<0稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進行闡述.定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為SKIPI