拉普拉斯變換-1

Laplace變換§2Laplace

逆變換§1Laplace變換的概念主要內(nèi)容本章介紹Laplace變換的概念、性質(zhì)以及Laplace逆變換.最后給出Laplace變換一些應(yīng)用的例子.

Fourier變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用,但是在通常意義下，F(xiàn)ourier變換存在的條件需要實(shí)函數(shù)f(t)在(-,+)上絕對(duì)可積.很多常見的初等函數(shù)(例如，常數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、正弦與余弦函數(shù)等)都不滿足這個(gè)要求.另外，很多以時(shí)間t為為自變量的函數(shù)，當(dāng)t<0時(shí)，往往沒有定義，或者不需要知道t<0的情況.因此,Fourier變換在實(shí)際應(yīng)用中受到一些限制.當(dāng)函數(shù)f(t)在t<0時(shí)沒有定義或者不需要知道時(shí),可以認(rèn)為當(dāng)t<0時(shí),f(t)0.這時(shí),Fourier變換的表達(dá)式為但是仍然需要f(t)在上絕對(duì)可積的條件，這個(gè)要求限制了它的應(yīng)用.對(duì)定義在上的函數(shù)f(t),如果考慮那么容易滿足在上絕對(duì)可積的要求.例如，為常數(shù)、多項(xiàng)式、正弦與余弦函數(shù)時(shí),都在上絕對(duì)可積.這是因?yàn)闀r(shí),是衰減速度很快的函數(shù)，稱它為指數(shù)衰減函數(shù).如果取得適當(dāng)大，那么的Fourier變換可能有意義.的Fourier變換可表示為將記為s,可寫成這就是本章要討論的Laplace變換,它放寬了對(duì)函數(shù)的限制并使之更適合工程實(shí)際,定義設(shè)在上有定義,并且積分(s是復(fù)參變量)關(guān)于某一范圍s收斂，則由這個(gè)積分確定的函數(shù)稱為函數(shù)的Laplace變換,

并記做即Laplace變換的定義的像函數(shù)，

稱為稱為的像原函數(shù).

已知是的Laplace變換，則記

并稱為的Laplace逆變換.內(nèi)分段連續(xù),并且當(dāng)時(shí),

的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)實(shí)數(shù)使得在

上，

在定理

設(shè)函數(shù)的任何有限區(qū)間則在半平面上，

存在,且

是s的解析函數(shù),其中稱為的增長指數(shù).

Laplace變換存在定理

解

?

例

求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換

因?yàn)樵贚aplace變換中不必考慮時(shí)的情況，所以經(jīng)常記作

例1求單位階躍函數(shù)的Laplace變換.根據(jù)Laplace變換的定義，當(dāng)時(shí)，

例2求指數(shù)函數(shù)(其中a是實(shí)數(shù))的Laplace變換.

所以根據(jù)Laplace變換的定義這個(gè)積分當(dāng)時(shí)收斂，且例3

求正弦函數(shù)

的拉氏變換

?

解

即同理可得?

?

如則例

求單位斜坡函數(shù)的拉氏變換

解:

?

設(shè)是以T為周期的函數(shù),即且在一個(gè)周期內(nèi)分段連續(xù)，則周期函數(shù)的Laplace變換

于是這就是周期函數(shù)的Laplace變換公式.

例

求全波整流函數(shù)的Laplace變換.

所以由的周期tf(t)o根據(jù)拉普拉斯變換的定義

Laplace逆變換其中是的增長指數(shù).積分路徑是在右半平面上的任意一條直線

這就是Laplace逆變換的一般公式,稱為的反演積分.這是復(fù)變函數(shù)的積分,在一定條件下,可利用留數(shù)來計(jì)算.Laplace變換定理設(shè)是的所有孤立奇點(diǎn)(有限個(gè))，除這些點(diǎn)外,處處解析,且在當(dāng)時(shí),

選取使所有孤立奇點(diǎn)都在內(nèi),則當(dāng)時(shí)，

利用留數(shù)求Laplace逆變換的公式特別當(dāng)是有理函數(shù)，且為分母次數(shù)高于

分子次數(shù)的有理真分式，則Laplace逆變換存在，例求的Laplace