高等數(shù)學(第三版)課件二元函數(shù)微積分

高等數(shù)學(第三版)課件二元函數(shù)微積分匯報人：AA2024-01-25目錄contents二元函數(shù)基本概念與性質(zhì)二重積分及其計算方法曲線積分與曲面積分初步微分方程在二元函數(shù)中的應(yīng)用無窮級數(shù)在二元函數(shù)中的應(yīng)用總結(jié)回顧與拓展延伸二元函數(shù)基本概念與性質(zhì)01二元函數(shù)定義域是指使得函數(shù)有意義的自變量取值范圍，通常表示為D。定義域二元函數(shù)值域是指函數(shù)在定義域內(nèi)所有可能取到的函數(shù)值的集合。值域二元函數(shù)定義域與值域二元函數(shù)極限與連續(xù)性極限二元函數(shù)的極限描述了當自變量趨近于某一點或無窮時，函數(shù)值的變化趨勢。連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性是指函數(shù)在定義域內(nèi)任意一點處的極限值等于該點的函數(shù)值。偏導數(shù)描述了二元函數(shù)在某一點處沿某一坐標軸方向的變化率。全微分描述了二元函數(shù)在某一點處的全增量與自變量增量之間的線性關(guān)系。偏導數(shù)與全微分概念全微分偏導數(shù)條件極值條件極值是指在滿足一定約束條件下，使得二元函數(shù)取得最大或最小值的點。拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法是求解條件極值問題的一種常用方法，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)并求解其駐點來找到可能的極值點。無條件極值無條件極值是指在定義域內(nèi)，使得二元函數(shù)取得最大或最小值的點。多元函數(shù)極值問題二重積分及其計算方法02二重積分的定義設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在閉區(qū)域$D$上有界，將閉區(qū)域$D$任意劃分成$n$個小閉區(qū)域$Deltasigma_1,Deltasigma_2,ldots,Deltasigma_n$，每個小區(qū)域的面積記作$Deltasigma_i(i=1,2,ldots,n)$，取點$(xi_i,eta_i)inDeltasigma_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i)Deltasigma_i$。若該和式在$Deltasigma_i$的直徑最大值趨于0時極限存在，則稱該極限為函數(shù)$f(x,y)$在區(qū)域$D$上的二重積分，記作$iint_{D}f(x,y)dsigma$。要點一要點二二重積分的性質(zhì)二重積分具有線性性、可加性、保號性、絕對值不等式等性質(zhì)。二重積分定義與性質(zhì)直角坐標系下二重積分的計算步驟首先確定被積函數(shù)和積分區(qū)域，然后將積分區(qū)域用平行于坐標軸的直線網(wǎng)劃分成若干個小矩形區(qū)域，對每個小矩形區(qū)域進行積分并求和，最后取極限得到二重積分的值。直角坐標系下二重積分的計算技巧在計算過程中，可以根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點，選擇合適的積分次序和積分方法，如變量替換、分部積分等。直角坐標系下二重積分計算極坐標系下二重積分的計算步驟首先確定被積函數(shù)和積分區(qū)域，然后將積分區(qū)域用極坐標網(wǎng)劃分成若干個小扇形區(qū)域，對每個小扇形區(qū)域進行積分并求和，最后取極限得到二重積分的值。極坐標系下二重積分的計算技巧在計算過程中，可以根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點，選擇合適的極坐標方程和積分次序，如利用極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)換公式進行變量替換等。極坐標系下二重積分計算二重積分在幾何中的應(yīng)用可以用來計算平面圖形的面積、立體圖形的體積等。例如，計算由曲線$y=f(x)$和直線$x=a,x=b(a<b)$所圍成的平面圖形的面積，可以通過二重積分$int_{a}^int_{0}^{f(x)}dydx$來實現(xiàn)。二重積分在物理中的應(yīng)用可以用來計算物體的質(zhì)量、質(zhì)心坐標、轉(zhuǎn)動慣量等。例如，計算均勻薄片的質(zhì)量，可以通過二重積分$iint_{D}rho(x,y)dsigma$來實現(xiàn)，其中$rho(x,y)$為薄片的密度函數(shù)。二重積分應(yīng)用舉例曲線積分與曲面積分初步03VS設(shè)$L$為平面上可求長度的曲線段，$f(x,y)$是定義在$L$上的函數(shù)。對曲線$L$作分割$T$，它把$L$分割為$n$個可求長度的小曲線段$L_i(i=1,2,...,n)$，$L_i$的弧長記為$Deltas_i$，分割$T$的細度為$|T|=max_{1leqileqn}{Deltas_i}$，在$L_i$上任取一點$(xi_i,eta_i)(i=1,2,...,n)$，若有極限$lim_{|T|to0}sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i)Deltas_i$存在，且其值與分割$T$和點$(xi_i,eta_i)$的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)$f(x,y)$在曲線$L$上的第一類曲線積分，記為$int_{L}f(x,y)ds$。計算對于給定的函數(shù)和曲線，可以通過將曲線參數(shù)化，然后利用定積分的計算方法進行計算。定義第一類曲線積分定義及計算設(shè)函數(shù)$P(x,y)$及$Q(x,y)$定義在平面有向可求長度曲線$L$上，對曲線$L$的任意分割$T$，它把$L$分割為$n$個小弧段$overset{longrightarrow}{M_{i-1}M_i}(i=1,2,...,n)$，各弧段$overset{longrightarrow}{M_{i-1}M_i}$的長度為$Deltas_i$，又設(shè)$T$的分割細度$|T|=max_{1leqileqn}{Deltas_i}$，在弧段$overset{longrightarrow}{M_{i-1}M_i}$上任取一點$(xi_i,eta_i)(i=1,2,...,n)$，若有極限$lim_{|T|to0}sum_{i=1}^{n}P(xi_i,eta_i)Deltax_i+Q(xi_i,eta_i)Deltay_i$存在，且此極限值與分割$T$和點$(xi_i,eta_i)$的取法無關(guān)，其中$Deltax_i=xi_i-xi_{i-1}$，$Deltay_i=eta_i-eta_{i-1}(i=1,2,...,n)$，則稱此極限為函數(shù)在曲線上的第二類曲線積分。定義對于給定的函數(shù)和曲線，可以通過將曲線參數(shù)化，然后利用定積分的計算方法進行計算。計算第二類曲線積分定義及計算定義設(shè)空間曲面$Sigma$是分片光滑的，函數(shù)$f(x,y,z)$在$Sigma$上有界。把$Sigma$任意地分成$n$個小曲面$DeltaS_1,DeltaS_2,...,DeltaS_n$，每個小曲面的面積記為$DeltaS_i(i=1,2,...,n)$。在每個小曲面$DeltaS_i$上任取一點$(x_i,y_i,z_i)$作和式$sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)DeltaS_i$。如果當各小曲面的直徑中的最大值趨于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在曲面上的第一類曲面積分。計算對于給定的函數(shù)和曲面，可以通過將曲面參數(shù)化，然后利用二重積分的計算方法進行計算。第一類曲面積分定義及計算定義：設(shè)空間曲面$\Sigma$的分片光滑的有向曲面，函數(shù)$P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$在$\Sigma$上有界。把$\Sigma$任意地分成$n$個小曲面$\DeltaS_1,\DeltaS_2,...,\DeltaS_n$，每個小曲面的面積記為$\DeltaS_i(i=1,2,...,n)$。規(guī)定曲面$\Sigma$的一側(cè)為正側(cè)（前側(cè)或上側(cè)），另一側(cè)為負側(cè)（后側(cè)或下側(cè)）。如果指定了曲面$\Sigma$的正側(cè)與負側(cè)，則稱曲面$\Sigma$為有向曲面。對于每個小曲面$\DeltaS_i$，也指定其正側(cè)與負側(cè)第二類曲面積分定義及計算微分方程在二元函數(shù)中的應(yīng)用04含有未知函數(shù)及其導數(shù)的方程微分方程定義根據(jù)方程中未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)進行分類，如一階、二階等微分方程分類根據(jù)方程中未知函數(shù)及其各階導數(shù)是否為線性組合進行分類線性與非線性微分方程微分方程基本概念和分類03一階線性方程法適用于形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的方程，通過常數(shù)變易法或公式法進行求解01可分離變量法適用于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，通過變量分離得到積分式進行求解02齊次方程法適用于形如dy/dx=(ay+b)/(cx+d)的方程，通過變量替換轉(zhuǎn)化為可分離變量方程進行求解一階常微分方程求解方法降階法通過變量替換或引入新變量將高階方程降為一階或低階方程進行求解常數(shù)變易法適用于形如y''+py'+qy=f(x)的方程，通過假設(shè)解的形式并代入原方程進行求解特征根法適用于形如ay''+by'+cy=0的方程，通過求解特征方程得到通解形式進行求解高階常微分方程求解方法曲線切線斜率問題極值問題條件極值問題曲線積分問題微分方程在二元函數(shù)中的應(yīng)用舉例通過求解二元函數(shù)的偏導數(shù)得到切線斜率表達式，進而求解切線方程在給定約束條件下求二元函數(shù)的極值，可通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)化為無條件極值問題進行求解通過求解二元函數(shù)的偏導數(shù)并令其為零得到駐點，進而判斷駐點的性質(zhì)求得極值在二元函數(shù)定義的平面上對曲線進行積分，可通過參數(shù)化曲線并代入被積函數(shù)進行計算無窮級數(shù)在二元函數(shù)中的應(yīng)用05無窮級數(shù)定義01無窮級數(shù)是由無窮多個數(shù)相加而成的，即$sum_{n=1}^{infty}u_n=u_1+u_2+u_3+cdots$，其中$u_n$是級數(shù)的通項。收斂與發(fā)散02如果無窮級數(shù)的部分和數(shù)列${S_n}$有極限$S$，則稱無窮級數(shù)收斂，且和為$S$；否則稱無窮級數(shù)發(fā)散。絕對收斂與條件收斂03如果$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂；如果原級數(shù)收斂但$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$發(fā)散，則稱原級數(shù)條件收斂。無窮級數(shù)基本概念和性質(zhì)冪級數(shù)定義形如$sum_{n=0}^{infty}a_n(x-x_0)^n$的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中$a_n$是常數(shù)，$x_0$是給定的數(shù)。收斂半徑與收斂域?qū)τ趦缂墧?shù)$sum_{n=0}^{infty}a_n(x-x_0)^n$，如果存在正數(shù)$R$，使得當$|x-x_0|<R$時級數(shù)收斂，當$|x-x_0|>R$時級數(shù)發(fā)散，則稱$R$為冪級數(shù)的收斂半徑，稱$(x_0-R,x_0+R)$為冪級數(shù)的收斂區(qū)間。如果冪級數(shù)在$x=x_0-R$或$x=x_0+R$處也收斂，則稱$(x_0-R,x_0+R]$或$[x_0-R,x_0+R)$為冪級數(shù)的收斂域。冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)具有連續(xù)性、可導性和可積性。冪級數(shù)展開式及其收斂性判斷傅里葉級數(shù)展開式及其收斂性判斷形如$frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncosnx+b_nsinnx)$的級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)，其中$a_n,b_n$是常數(shù)。收斂性判斷對于周期為$2pi$的函數(shù)$f(x)$，如果它滿足狄利克雷條件，則其傅里葉級數(shù)在$[-pi,pi]$上收斂于$frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$。傅里葉級數(shù)的性質(zhì)傅里葉級數(shù)具有正交性、周期性、收斂性等性質(zhì)。傅里葉級數(shù)定義二元函數(shù)的冪級數(shù)展開對于二元函數(shù)$f(x,y)$，如果在某點$(x_0,y_0)$處可展成關(guān)于$(x-x_0),(y-y_0)$的冪級數(shù)，則可以利用冪級數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)進行近似計算或分析。二元函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開對于二元周期函數(shù)$f(x,y)$，可以將其展成傅里葉級數(shù)形式，進而利用傅里葉級數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)進行分析和處理。無窮級數(shù)在求解偏微分方程中的應(yīng)用無窮級數(shù)可以作為求解某些偏微分方程的解的一種方法。通過將偏微分方程的解表示為無窮級數(shù)的形式，可以簡化求解過程并得到解析解或近似解。無窮級數(shù)在二元函數(shù)中的應(yīng)用舉例總結(jié)回顧與拓展延伸06二元函數(shù)的極限與連續(xù)性包括二元函數(shù)的定義、極限的求法、連續(xù)性的判斷等。偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)的定義與計算，全微分的概念及其與偏導數(shù)的關(guān)系。多元函數(shù)的極值包括無條件極值和條件極值的求法，以及極值在實際問題中的應(yīng)用。二重積分的計算與應(yīng)用二重積分的定義、性質(zhì)、計算方法及其在幾何與物理中的應(yīng)用。關(guān)鍵知識點總結(jié)回顧易錯點二在計算二重積分時，沒有正確地確定積分區(qū)域或被積函數(shù)。二重積分的計算需要準確地確定積分區(qū)域和被積函數(shù)，否則可能導致錯誤的計算結(jié)果。誤區(qū)一認為二元函數(shù)的極限存在與否可以通過取路徑來判斷。實際上，二元函數(shù)的極限存在與否需要滿足嚴格的定義，不能簡單地通過取路徑來判斷。誤區(qū)二在計算偏導數(shù)時，忽略了其他變量的影響。偏導數(shù)是在一個變量變化而其他變量保持不變的情況下求導數(shù)，需要注意其他變量的取值。易錯點一在求解多元函數(shù)的極值時，沒有考慮所有可能的駐點。多元函數(shù)的極值點可能出現(xiàn)在駐點、不可導點或邊界上，需要全面考慮。常見誤區(qū)和易錯點提示經(jīng)濟學中的應(yīng)用在經(jīng)濟學中，多元函數(shù)微積分被廣