小學(xué)數(shù)學(xué)6年級(jí)培優(yōu)奧數(shù)講義 第17講 最大最小問(wèn)題含解析

第17講最大最小問(wèn)題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

①學(xué)會(huì)在題目中判斷出限制條件；

②學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用；

③從題目限制條件中分析最大最小問(wèn)題。

知識(shí)梳理

在日常生活中，人們常常會(huì)遇到“路程最近”、“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最

少”等問(wèn)題，這些尋求極端結(jié)果或討論怎樣實(shí)現(xiàn)這些極端情形的問(wèn)題，最終都可以歸結(jié)成為：

在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問(wèn)題，我們稱(chēng)這些問(wèn)題為“最大最小問(wèn)題”。

解答最大最小問(wèn)題通常要用下面的方法：

1、枚舉比較法。當(dāng)題中給定的范圍較小時(shí)，我們可以將可能出現(xiàn)的情形一一舉出再比較;

2、著眼于極端情形，即充分運(yùn)動(dòng)已有知識(shí)和生活常識(shí)，一下子從“極端”情形入手，縮

短解題過(guò)程。

人們碰到的各種優(yōu)化問(wèn)題、高效低耗問(wèn)題，最終都表現(xiàn)為數(shù)學(xué)上的極值問(wèn)題，即小學(xué)階段

的最大最小問(wèn)題。最大最小問(wèn)題設(shè)計(jì)到的知識(shí)多，靈活性強(qiáng)，解題時(shí)要善于綜合運(yùn)用所學(xué)的各

種知識(shí)。

典例分析

考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單最大最小問(wèn)題

例1、把1、2、3.........16分別填進(jìn)圖中16個(gè)三角形里，使每邊上7個(gè)小三角形

內(nèi)數(shù)的和相等。問(wèn)這個(gè)和最大值是多少？

例2、有8個(gè)西瓜，它們的重量分別是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千

克。把它們分成三堆，要使最重的一堆西瓜盡可能輕些，那么，最重的一堆應(yīng)是多少千克？

例3、一次數(shù)學(xué)考試滿(mǎn)分100分，6位同學(xué)平均分為91分，且6人分?jǐn)?shù)互不相同，其中得分最少的同學(xué)僅

得65分，那么排第三名的同學(xué)至少得多少分？（分?jǐn)?shù)取整數(shù)）

例4、一個(gè)農(nóng)場(chǎng)里收的莊稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一種莊稼需要先收割好、捆好，然后往回運(yùn)輸。

現(xiàn)由兩個(gè)小組分別承包這兩項(xiàng)工作，工時(shí)如下表（一種莊稼不割好、捆好，不準(zhǔn)運(yùn)輸），這兩組從開(kāi)工到完工

最少經(jīng)過(guò)多少小時(shí)？

大豆谷子高粱小米

割好、捆好7355

運(yùn)完5619

例5、A、B、C是三個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，從A出發(fā)經(jīng)過(guò)B到達(dá)C要走18千米，從A經(jīng)過(guò)C到B要走16千米，從

B經(jīng)過(guò)A到C要走24千米。相距最近的是哪兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)？它們之間相距多少千米？

考點(diǎn)二：數(shù)論中的極端思想

例1、1?8這八個(gè)數(shù)字各用一次，分別寫(xiě)成兩個(gè)四位數(shù)，使這兩個(gè)數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個(gè)四位數(shù)

各是多少？

例2、有一類(lèi)自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫(xiě)為止，如

257,1459等等，這類(lèi)數(shù)中最大的自然數(shù)是多少？

例3、某國(guó)家的貨幣中有1元、3元、5元、7元、9元五種，為了能支付1元、2元……100元的錢(qián)數(shù)（整數(shù)

元），那么至少需要準(zhǔn)備貨幣多少?gòu)垼?/p>

例4、a和b是小于100的兩個(gè)不同的自然數(shù)，求工的最大值。

d十D

例5、有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù),等于乙數(shù)的|。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？

例6、將前100個(gè)自然數(shù)依次無(wú)間隔地寫(xiě)成一個(gè)192位數(shù)：123456789101112……9899100從中劃去

100個(gè)數(shù)字，那么剩下的92位數(shù)最大是多少？最小是多少？

考點(diǎn)三：智巧趣題的極端思想

例1、99個(gè)蘋(píng)果要分給一群小朋友，每一個(gè)小朋友所分得的蘋(píng)果數(shù)都要不一樣，且每位小朋友至少要有一

個(gè)蘋(píng)果.問(wèn)：這群小朋友最多有幾位？

例2、某學(xué)校，星期一有15名學(xué)生遲到，星期二有12名學(xué)生遲到，星期三有9名學(xué)生遲到，如果有22名

學(xué)生在這三天中至少遲到過(guò)一次，則這三天都遲到的學(xué)生最多有多少人？

例3、如圖，司機(jī)開(kāi)車(chē)按順序到五個(gè)車(chē)站接學(xué)生到學(xué)校，每個(gè)站都有學(xué)生上車(chē).第一站上了一批學(xué)生，以后

每站上車(chē)的人數(shù)都是前一站上車(chē)人數(shù)的一半。車(chē)到學(xué)校時(shí)，車(chē)上最少有多少學(xué)生？

;卬

[11-\!

例4、若干名家長(zhǎng)（爸爸或媽媽?zhuān)麄兌疾皇抢蠋煟┖屠蠋熍阃恍┬W(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知家長(zhǎng)和老

師共有22人，家長(zhǎng)比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人

中，爸爸有多少人？

例5、三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)三位數(shù)的和是2886。求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中的最小

的三位數(shù)。

R實(shí)戰(zhàn)演練

課堂狙擊

1、兩個(gè)自然數(shù)的和是15,要使兩個(gè)整數(shù)的乘積最大，這兩個(gè)整數(shù)各是多少？

2、設(shè)自然數(shù)n有下列性質(zhì)：從1、2……n中任取50個(gè)不同的數(shù)，其中必有兩數(shù)之差等于7,這樣的n最大

不能超過(guò)多少？

34

4、有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)的布等于乙數(shù)的5。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？

5、在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1這10個(gè)數(shù)的每相鄰兩個(gè)數(shù)之間都添上一個(gè)加號(hào)或一個(gè)減號(hào)，組成

一個(gè)算式。要求：（1）算式的結(jié)果等于37；

(2)這個(gè)算式中的所有減數(shù)(前面添了減號(hào)的數(shù))的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘積

是多少？

6、149位議員中選舉一位議長(zhǎng)，每人可投一票。候選人是A,B,C三人。開(kāi)票中途，A已得45票，BE

得20票，C已得35票。如果票數(shù)最多者當(dāng)選，那么A至少再有多少票才能一定當(dāng)選？

7、某班學(xué)生50人，年齡均為整數(shù)，年齡的平均值為12.2,已知班上任意兩人的年齡差都不超過(guò)3。那么這

班學(xué)生中年齡最大的能是多少歲？如果有一個(gè)學(xué)生的年齡達(dá)到這個(gè)值，那么這個(gè)班里年齡既不是最大也不

是最小的學(xué)生最多有多少人？

8、階梯教室座位有10排，每排有16個(gè)座位，當(dāng)有150個(gè)人就座，某些排坐著的人數(shù)就一樣多。我們希望

人數(shù)一樣的排數(shù)盡可能少，這樣的排數(shù)至少有多少排？

A課后反擊

1、如果一個(gè)自然數(shù)N的各個(gè)位上的數(shù)字和是1996,那么這個(gè)自然數(shù)最小是幾?

2、有四個(gè)數(shù)，其中每三個(gè)數(shù)的和分別是45,46,49,52,那么這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)是多少？

3、有四袋糖塊，其中任意三袋的總和都超過(guò)60塊，那么這四袋糖塊的總和至少有多少塊？

4、設(shè)x和y是選自前200個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，且x>y,（D求盤(pán)；的最大值；（2）求松；的最小值。

5、甲、乙兩數(shù)都是三位數(shù)，如果甲數(shù)的看恰好等于乙數(shù)的;。這兩個(gè)兩位數(shù)的和最小是多少？

6、如果兩個(gè)四位數(shù)的差等于8921,就是說(shuō)這兩個(gè)四位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。問(wèn)：這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？

7、要砌一個(gè)面積為72米2的長(zhǎng)方形豬圈，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)以米為單位都是自然數(shù)，這個(gè)豬圈的圍墻最少長(zhǎng)多

少米？

8、某班有50名學(xué)生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有23人，參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有20人，每人

最多參加兩科，那么參加兩科的最多有多少人？

9、一個(gè)布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各10個(gè)，這些小球的大小均相同，紅色小球上標(biāo)有數(shù)字“4”，

黃色小球上標(biāo)有數(shù)字“5”，綠色小球上標(biāo)有數(shù)字“6”。小明從袋中摸出8個(gè)球，它們的數(shù)字和是39,其中最

多可能有多少個(gè)球是紅色的？

直擊賽場(chǎng)

1、（第四屆希望杯1試）一位工人要將一批貨物運(yùn)上山，假定運(yùn)了5次，每次的搬運(yùn)量相同，運(yùn)到的貨物比

這批貨物的‘3多一些，比3匕少一些。按這樣的運(yùn)法，他運(yùn)完這批貨物最少共要運(yùn)次，最多共要運(yùn)

54

次。

2、（全國(guó)第三屆“華杯賽”決賽口試試題）將1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)分成三組，分別計(jì)算各組數(shù)的

和。已知這三個(gè)和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。問(wèn)：最小的和是多少？

3、（全國(guó)第四屆“華杯賽”決賽第一試試題）一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1,最大的數(shù)是25。除1

之外、這組數(shù)中的任一個(gè)數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個(gè)數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個(gè)數(shù)之和。問(wèn)：這

組數(shù)之和的最大值是多少？當(dāng)這組數(shù)之和有最小值時(shí)，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說(shuō)明和是最小值的理由。

4、（第五屆《從小愛(ài)數(shù)學(xué)》邀請(qǐng)賽試題）把20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入口中（每個(gè)質(zhì)數(shù)只用一次）:

□+□+□+□+□+□+□

A=

□使A是整數(shù)。A最大是多少？

名師點(diǎn)撥

r

在日常生活中，人們常常會(huì)遇到“路程最近”、“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最少”等問(wèn)題,

這些尋求極端結(jié)果或討論怎樣實(shí)現(xiàn)這些極端情形的問(wèn)題，最終都可以歸結(jié)成為：在一定范圍內(nèi)求最大值或

最小值的問(wèn)題，我們稱(chēng)這些問(wèn)題為“最大最小問(wèn)題”。

解答最大最小問(wèn)題通常要用下面的方法：

I、枚舉比較法。當(dāng)題中給定的范圍較小時(shí)，我們可以將可能出現(xiàn)的情形一一舉出再比較；

2、著眼于極端情形，即充分運(yùn)動(dòng)已有知識(shí)和生活常識(shí)，一下子從“極端”情形入手，縮短解題過(guò)程。

人們碰到的各種優(yōu)化問(wèn)題、高效低耗問(wèn)題，最終都表現(xiàn)為數(shù)學(xué)上的極值問(wèn)題，即小學(xué)階段的最大最小

問(wèn)題。最大最小問(wèn)題設(shè)計(jì)到的知識(shí)多，靈活性強(qiáng)，解題時(shí)要善于綜合運(yùn)用所學(xué)的各種知識(shí)。

學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

＞本節(jié)課我學(xué)到了

＞我需要努力的地方是

第17講最大最小問(wèn)題

、蓼教學(xué)目標(biāo)

?學(xué)會(huì)在題目中判斷出限制條件;

?學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用；

?從題目限制條件中分析最大最小問(wèn)題。

VV知識(shí)梳理

在日常生活中，人們常常會(huì)遇到“路程最近”、“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最

少”等問(wèn)題，這些尋求極端結(jié)果或討論怎樣實(shí)現(xiàn)這些極端情形的問(wèn)題，最終都可以歸結(jié)成為:

在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問(wèn)題，我們稱(chēng)這些問(wèn)題為“最大最小問(wèn)題”。

解答最大最小問(wèn)題通常要用下面的方法：

1、枚舉比較法。當(dāng)題中給定的范圍較小時(shí)，我們可以將可能出現(xiàn)的情形一一舉出再比較;

2、著眼于極端情形，即充分運(yùn)動(dòng)已有知識(shí)和生活常識(shí)，一下子從“極端”情形入手，縮

短解題過(guò)程。

人們碰到的各種優(yōu)化問(wèn)題、高效低耗問(wèn)題，最終都表現(xiàn)為數(shù)學(xué)上的極值問(wèn)題，即小學(xué)階段

的最大最小問(wèn)題。最大最小問(wèn)題設(shè)計(jì)到的知識(shí)多，靈活性強(qiáng)，解題時(shí)要善于綜合運(yùn)用所學(xué)的各

種知識(shí)。

W典例分析

考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單最大最小問(wèn)題

例1、把1、2、3.........16分別填進(jìn)圖中16個(gè)三角形里，使每邊上7個(gè)小三角形內(nèi)數(shù)的和相等。問(wèn)這個(gè)和

最大值是多少？

D

【解析】為了方便描述，我們把圖中部分三角形注上字母，從圖中可以看出：中心處D中填的數(shù)和三條邊

上的和沒(méi)有關(guān)系，因此，應(yīng)填最小的數(shù)1。而三個(gè)角上的a、b、c六個(gè)三角形中的數(shù)都被用過(guò)兩次，所以要

盡可能填大數(shù)，即填11——16。然后根據(jù)“三角形三邊上7個(gè)小三角形內(nèi)數(shù)的和相等”這一條件，就可以計(jì)

算出這個(gè)和的最大值了。

(2+3+4+…+16+11+12+13+14+15+16)+3=72

例2、有8個(gè)西瓜，它們的重量分別是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千

克。把它們分成三堆，要使最重的一堆西瓜盡可能輕些，那么，最重的一堆應(yīng)是多少千克？

【解析】3堆西瓜的總重量是42.5千克，要使最重的一堆盡可能輕些，另兩堆就得盡可能重些。

根據(jù)42.5+3=14千克……0.5千克可知：

最重的一堆是14+0.5=14.5千克，

即由6千克和8.5千克組成，另外兩堆分別是14千克。

例3、一次數(shù)學(xué)考試滿(mǎn)分100分，6位同學(xué)平均分為91分，且6人分?jǐn)?shù)互不相同，其中得分最少的同學(xué)僅

得65分，那么排第三名的同學(xué)至少得多少分？(分?jǐn)?shù)取整數(shù))

【解析】除得65分的同學(xué)外，其余5位同學(xué)的總分是91X6-65=481分。

根據(jù)第三名同學(xué)得分要至少，也就說(shuō)其他四人得分要盡量高，第一、第二名分別得100分和99分，而

接近的三個(gè)不同分是93、94、95o所以，第三名至少得95分。

例4、一個(gè)農(nóng)場(chǎng)里收的莊稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一種莊稼需要先收割好、捆好，然后往回運(yùn)輸。

現(xiàn)由兩個(gè)小組分別承包這兩項(xiàng)工作，工時(shí)如下表(一種莊稼不割好、捆好，不準(zhǔn)運(yùn)輸)，這兩組從開(kāi)工到完工

最少經(jīng)過(guò)多少小時(shí)？

物

大豆谷子高粱小米

割好、捆好7355

運(yùn)完5619

【解析】先把各類(lèi)莊稼從開(kāi)工到完工所用的時(shí)間分別算出來(lái)：大豆7+5=12小時(shí)，谷子3+6=9小時(shí)，高梁

5+1=6小時(shí)，小米5+9=14小時(shí)?平均每個(gè)小組用(12+9+6+14)+2=20.5小時(shí)，但實(shí)際做不到。因此，根據(jù)各

類(lèi)莊稼所需時(shí)間相加，使其最接近20.5小時(shí)。

12+9=21小時(shí)是最少經(jīng)過(guò)的時(shí)間。

例5、A、B、C是三個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，從A出發(fā)經(jīng)過(guò)B到達(dá)C要走18千米，從A經(jīng)過(guò)C到B要走16千米，從

B經(jīng)過(guò)A到C要走24千米。相距最近的是哪兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)？它們之間相距多少千米？

【解析】根據(jù)題意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用(18+16+24)+2就能算出

AB+BC+AC=29千米。

因此,AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。

B、C兩個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的距離最近，只相距5千米。

考點(diǎn)二：數(shù)論中的極端思想

例1、1?8這八個(gè)數(shù)字各用一次，分別寫(xiě)成兩個(gè)四位數(shù)，使這兩個(gè)數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個(gè)四位數(shù)

各是多少？

【解析】8531和7642。高位數(shù)字越大，乘積越大，所以它們的千位分別是8,7,百位分別是6,5。

兩數(shù)和一定時(shí)，這兩數(shù)越接近乘積越大，所以一個(gè)數(shù)的前兩位是85,另一個(gè)數(shù)的前兩位是76。

同理可確定十位和個(gè)位數(shù)。

例2、有一類(lèi)自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫(xiě)為止，如

257,1459等等，這類(lèi)數(shù)中最大的自然數(shù)是多少？

【解析】要想使自然數(shù)盡量大，數(shù)位就要盡量多，所以數(shù)位高的數(shù)值應(yīng)盡量小，故10112358滿(mǎn)足條件.如

果最前面的兩個(gè)數(shù)字越大，則按規(guī)則構(gòu)造的數(shù)的位數(shù)較少，所以最前面兩個(gè)數(shù)字盡可能地小，取1與0。

例3、某國(guó)家的貨幣中有1元、3元、5元、7元、9元五種，為了能支付1元、2元……100元的錢(qián)數(shù)(整數(shù)

元)，那么至少需要準(zhǔn)備貨幣多少?gòu)垼?/p>

【解析】為了使貨幣越少越好，那么9元的貨幣應(yīng)該盡量多才行。當(dāng)有10張9元時(shí)，容易看出1、1、3、5

這四張加上后就可以滿(mǎn)足條件。當(dāng)9元的貨幣超過(guò)11張時(shí)，找不到比14張更少的方案。當(dāng)9元的貨幣少

于10張時(shí)，至少有19元需要由5元以下的貨幣構(gòu)成，且1元的貨幣至少2張，這樣也找不到比14張更少

的方案。綜上分析可以知道，最少需要10張9元的、2張1元的、1張3元的、1張5元的，共14張貨幣。

例4、a和b是小于100的兩個(gè)不同的自然數(shù)，求HR的最大值。

【解析】根據(jù)題意，應(yīng)使分子盡可能大，使分母盡可能小。所以b=l；由b=l可知，分母比分子大2,也就

是說(shuō)，所有的分?jǐn)?shù)再添兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位就等于1,可見(jiàn)應(yīng)使所求分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位盡可能小，因此a=99

a—b99-]49

司的取大值是函了爭(zhēng)

答：Ta—TbT的最大值是4第9

d十DDU

例5、有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)]等于乙數(shù)的|o這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？

【解析】甲數(shù)：乙數(shù)。：彳=7：3,甲數(shù)的7份，乙數(shù)的3份。由甲是兩位數(shù)可知，每份的數(shù)量最大是14,

甲數(shù)與乙數(shù)相差4份，所以，甲、乙兩數(shù)的差是14X（74）=56。

例6、將前100個(gè)自然數(shù)依次無(wú)間隔地寫(xiě)成一個(gè)192位數(shù)：123456789101112.......9899100從中劃去

100個(gè)數(shù)字，那么剩下的92位數(shù)最大是多少？最小是多少？

【解析】要得到最大的數(shù)，左邊應(yīng)盡量多地保留9。因?yàn)??59中有109個(gè)數(shù)碼，其中有6個(gè)9,要想左邊

保留6個(gè)9,必須劃掉1?59中的109-6=103（個(gè)）數(shù)碼，剩下的數(shù)碼只有192—103=89（個(gè)），不合題意，所

以左邊只能保留5個(gè)9,即保留1?49中的5個(gè)9,劃掉1?49中其余的84個(gè)數(shù)碼。然后，在后面再劃掉

16個(gè)數(shù)碼，盡量保留大數(shù)（見(jiàn)下圖）：$'一①丐1525354555657&85960…

所求最大數(shù)是9999978596061...99100。

同理，要得到最小的數(shù)，左邊第一個(gè)數(shù)是1,之后應(yīng)盡量保留0。2?50中有90個(gè)數(shù)碼，其中有5個(gè)0,劃

掉其余90-5=85（個(gè)）數(shù)碼，然后在后面再劃掉15個(gè)數(shù)碼，盡量保留小數(shù)（見(jiàn)下圖）：

匕1$253$4555G6758596061—；所求最小數(shù)是100000123406162…99100。

考點(diǎn)三：智巧趣題的極端思想

例1、99個(gè)蘋(píng)果要分給一群小朋友，每一個(gè)小朋友所分得的蘋(píng)果數(shù)都要不一樣，且每位小朋友至少要有一

個(gè)蘋(píng)果.問(wèn)：這群小朋友最多有幾位？

【解析】1+2+3+...+13=91<99,1+2+3+...+14=105>99,說(shuō)明若13位各分得1,2,3,…，13個(gè)蘋(píng)果，未

分完99個(gè)，若14位各分得1,2,3,....14個(gè)蘋(píng)果，則超出99個(gè).因91+8=99,在13位上述分法中若把

剩下的8個(gè)蘋(píng)果分別加到后8位人上，就可得合題意的一個(gè)分法：13人依次分1,2,3,4,5,1,8,9,

10,11,12,13,14個(gè)。所以最多有13位小朋友。（注：13人的分法不唯一）

例2、某學(xué)校，星期一有15名學(xué)生遲到，星期二有12名學(xué)生遲到，星期三有9名學(xué)生遲到，如果有22名

學(xué)生在這三天中至少遲到過(guò)一次，則這三天都遲到的學(xué)生最多有多少人？

【解析】三天都遲到的要盡量多，則將遲到的22人次分為僅遲到一次和三天都遲到的?？汕蟪鋈於歼t到

的學(xué)生最多有：

(15+12+9-22)+2=7(人)。

例3、如圖，司機(jī)開(kāi)車(chē)按順序到五個(gè)車(chē)站接學(xué)生到學(xué)校，每個(gè)站都有學(xué)生上車(chē)。第一站上了一批學(xué)生，以后

每站上車(chē)的人數(shù)都是前一站上車(chē)人數(shù)的一半。車(chē)到學(xué)校時(shí)，車(chē)上最少有多少學(xué)生？

一今也、

【解析】因?yàn)槊總€(gè)站都有學(xué)生上車(chē)，所以第五站至少有1個(gè)學(xué)生上車(chē).假如第五站只卬

有一個(gè)學(xué)生上車(chē)，那么第四、三、二、一站上車(chē)的人數(shù)分別是2,4,8,16個(gè).因此

■{3-1

五個(gè)站上車(chē)的人數(shù)共有1+2+4+8+16=31(人)，很明顯，如果第五站有不止一個(gè)學(xué)生上

車(chē)，那么上車(chē)的總?cè)藬?shù)一定多于31個(gè)。所以，最少有31個(gè)學(xué)生。

例4、若干名家長(zhǎng)(爸爸或媽媽?zhuān)麄兌疾皇抢蠋?和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知家長(zhǎng)和老

師共有22人，家長(zhǎng)比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人

中，爸爸有多少人？

【解析】家長(zhǎng)比老師多，所以老師少于22+2=11人，即不超過(guò)10人；相應(yīng)的，家長(zhǎng)就不少于12人。在至

少12個(gè)家長(zhǎng)中，媽媽比爸爸多，所以媽媽要多于12+2=6人，即不少于7人。因?yàn)榕蠋煴葖寢尪?人，

所以女老師不少于9人。但老師最多就10個(gè)，并且還至少有1個(gè)男老師，所以老師必定是9個(gè)女老師和1

個(gè)男老師，共10個(gè)。那么，在12個(gè)家長(zhǎng)中，就有7個(gè)是媽媽。所以，爸爸有12-7=5人。

例5、三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)三位數(shù)的和是2886。求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中的最小

的三位數(shù)。

【解析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字分別在百位、十位、個(gè)位各出現(xiàn)了2次。所以，2886?222能得到三個(gè)數(shù)字的和。

設(shè)三個(gè)數(shù)字為a、b、c,那么6個(gè)不同的三位數(shù)的和為

abc+acb+bac+bca+cab+cba

=(a+b+c)X100X2+(a+b+c)X100X2+(a+b+c)X100X2

=(a+b+c)X222

=2886

即a+b+c=2886+222=13

答：所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中，最小的三位數(shù)是139。

實(shí)戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、兩個(gè)自然數(shù)的和是15,要使兩個(gè)整數(shù)的乘積最大，這兩個(gè)整數(shù)各是多少？

【解析】將兩個(gè)自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來(lái)，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況:

15=1+14,1x14=14；

15=2+13,2x13=26；

15=3+12,3x12=36；

15=4+11,4x11=44；

15=5+10,5x10=50；

15=6+9,6x9=54；

15=7+8,7x8=56,

由此可知把15分成7與8之和，這兩數(shù)的乘積最大。

結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)的和一定，那么這兩個(gè)整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí),

他們的乘積最大。

2、設(shè)自然數(shù)n有下列性質(zhì)：從1、2……n中任取50個(gè)不同的數(shù)，其中必有兩數(shù)之差等于7,這樣的n最大

不能超過(guò)多少？

【解析】當(dāng)n=98時(shí),將峰2……98按每組中兩數(shù)的差為7的規(guī)則分組：｛1,8｝、｛2、9｝、……｛7,14｝、

｛15,22）……｛90,97｝、｛9598｝。一共有49組，所以當(dāng)任取50個(gè)數(shù)時(shí)，必有兩個(gè)數(shù)在同一組，他們的差

等于7。當(dāng)n=99時(shí)，取上面每組中的前一個(gè)數(shù)，即1、2...7、15....21、29...35、43....49、57....63、

71……77、85……91和99一共是50個(gè)數(shù)，而它們中任2個(gè)的差不為7。因此n最大不能超過(guò)98。

3、設(shè)x和y是選自前100個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，求會(huì)的最大值。

【解析】需

34

4、有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)的布等于乙數(shù)的5。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？

【解析】甲、乙麗敢的叨鹿8：3,中故星上遙96,層器;大震60。

5、在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1這10個(gè)數(shù)的每相鄰兩個(gè)數(shù)之間都添上一個(gè)加號(hào)或一個(gè)減號(hào)，組成

一個(gè)算式。要求：（1）算式的結(jié)果等于37；

（2）這個(gè)算式中的所有減數(shù)（前面添了減號(hào)的數(shù)）的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘

積是多少？

【解析】把10個(gè)數(shù)都添上加號(hào)，它們的和是55,如果把其中一個(gè)數(shù)的前面的加號(hào)換成減號(hào)，使這個(gè)數(shù)成為

減數(shù)，那么和數(shù)將要減少這個(gè)數(shù)的2倍。因?yàn)?5-37=18,所以我們變成減數(shù)的這些數(shù)之和是18+2=9。對(duì)

于大于2的數(shù)來(lái)說(shuō)，兩數(shù)之和總是比兩數(shù)乘積小，為了使這些減數(shù)的乘積盡可能大，減數(shù)越多越好（不包括

Do9最多可拆成三數(shù)之和2+3+4=9,因此這些減數(shù)的最大乘積是2x3x4=24,添上加、減號(hào)的算式是：

10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。

6、149位議員中選舉一位議長(zhǎng)，每人可投一票。候選人是A,B,C三人。開(kāi)票中途，A已得45票，BE

得20票，C已得35票。如果票數(shù)最多者當(dāng)選，那么A至少再有多少票才能一定當(dāng)選？

【解析】由題意得：45+20+35=100,還有149-100=49（票）。

45-35=10,如果49票中有10票都給C,49-10=39；

那么A至少還要有20票才能當(dāng)選。

7、某班學(xué)生50人，年齡均為整數(shù)，年齡的平均值為12.2,已知班上任意兩人的年齡差都不超過(guò)3。那么這

班學(xué)生中年齡最大的能是多少歲？如果有一個(gè)學(xué)生的年齡達(dá)到這個(gè)值，那么這個(gè)班里年齡既不是最大也不

是最小的學(xué)生最多有多少人？

【解析】因?yàn)槿?0人的年齡總和比平均12歲的年齡總和多（12.2-12）x50=10（歲），

所以年齡最大的能是12+3=15（歲）。

如果有人年齡達(dá)到15歲，那么剩下的49人的年齡和比平均12歲的年齡和多10—3=7（歲）；

所以最多有7人的年齡大于12歲，小于15歲。

8、階梯教室座位有10排，每排有16個(gè)座位，當(dāng)有150個(gè)人就座，某些排坐著的人數(shù)就一樣多。我們希望

人數(shù)一樣的排數(shù)盡可能少，這樣的排數(shù)至少有多少排？

【解析】至少有4排。如果10排人數(shù)各不相同,那么最多坐：16+15+14+果+12+11+10+9+8+7=115（人）;

如果最多有2排人數(shù)一樣，那么最多坐：（16+15+14+13+12）x2=140（人）；

如果最多有3排人數(shù)一樣,那么最多坐：（16+15+14）x3+13=148（人）;

如果最多有4排人數(shù)一樣,那么至多坐：（16+15）x4+14x2=152（人）。148<150<152,

所以，至少有4排。

>課后反擊

1、如果一個(gè)自然數(shù)N的各個(gè)位上的數(shù)字和是1996,那么這個(gè)自然數(shù)最小是幾？

【解析】1996-9=221...7,N=799...9。

221個(gè)9

2、有四個(gè)數(shù)，其中每三個(gè)數(shù)的和分別是45,46,49,52,那么這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)是多少？

【解析】把4個(gè)數(shù)全加起來(lái)就是每個(gè)數(shù)都加了3遍，所以，這四個(gè)數(shù)的和等于（45+46+49+52）+3=64。用總

數(shù)減去最大的三數(shù)之和，就是這四個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，即：64-52=12?

3、有四袋糖塊，其中任意三袋的總和都超過(guò)60塊，那么這四袋糖塊的總和至少有多少塊？

【解析】最多的一袋糖數(shù)不小于另三袋糖的平均數(shù)，故不小于61+3=20］，即它不小于21。從而四袋糖總

3

和不小于21十61=82（塊）。比如四袋糖數(shù)量分別為21,21,20,20即可。

4、設(shè)x和y是選自前200個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，且x>y,（1）求言的最大值；（2）求高的最小值。

【解析】⑴399（2）晉

5、甲、乙兩數(shù)都是三位數(shù)，如果甲數(shù)的,恰好等于乙數(shù)的;o這兩個(gè)兩位數(shù)的和最小是多少？

o4

【解析】甲、乙兩數(shù)的比是3：10,甲數(shù)最小是102,和最小是442。

6、如果兩個(gè)四位數(shù)的差等于8921,就是說(shuō)這兩個(gè)四位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。問(wèn)：這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？

【解析】在這些數(shù)對(duì)中，被減數(shù)最大是9999,此時(shí)減數(shù)是9999—8921=1078,被減數(shù)和劍術(shù)同時(shí)減去1后，

又得到一個(gè)滿(mǎn)足題意條件的四位數(shù)對(duì)。為了保證減數(shù)是四位數(shù)，最多可以減去78,因此：

這樣的數(shù)對(duì)共有78+1=79個(gè)。

7、要砌一個(gè)面積為72米2的長(zhǎng)方形豬圈，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)以米為單位都是自然數(shù)，這個(gè)豬圈的圍墻最少長(zhǎng)多

少米？

【解析】將72分解成兩個(gè)自然數(shù)的乘積，這兩個(gè)自然數(shù)的差最小的是9-8=1,豬圈圍墻長(zhǎng)9米、寬8米時(shí),

圍墻總長(zhǎng)最少，為(8+9)x2=34(米)。

8、某班有50名學(xué)生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有23人，參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有20人，每人

最多參加兩科，那么參加兩科的最多有多少人？

【解析】因?yàn)閰⒓痈?jìng)賽的有28+23+20=71(人)。讓這71人盡可能多地重復(fù)，71-2=35...1；

所以至多有35人參加兩科。

9、一個(gè)布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各10個(gè)，這些小球的大小均相同，紅色小球上標(biāo)有數(shù)字“4”，

黃色小球上標(biāo)有數(shù)字“5”，綠色小球上標(biāo)有數(shù)字“6”。小明從袋中摸出8個(gè)球，它們的數(shù)字和是39,其中最

多可能有多少個(gè)球是紅色的？

【解析】假設(shè)摸出的8個(gè)球全是紅球，則數(shù)字之和為(4x8=)32,與實(shí)際的和39相差7,這是因?yàn)閷⒚龅?/p>

黃球、綠球都當(dāng)成是紅球的緣故。用一個(gè)綠球換一個(gè)紅球，數(shù)字和可增加(6—4=)2,用一個(gè)黃球換一個(gè)紅球,

數(shù)字和可增加(5-4=)1。為了使紅球盡可能地多，應(yīng)該多用綠球換紅球，現(xiàn)在7+2=3……1,因此可用3個(gè)綠

球換紅球，再用一個(gè)黃球換紅球，這樣8個(gè)球的數(shù)字之和正好等于39。所以要使8個(gè)球的數(shù)字之和為39,

其中最多可能有(8-3-1=)4個(gè)是紅球。

直擊賽場(chǎng)

1、（第四屆希望杯1試）一位工人要將一批貨物運(yùn)上山，假定運(yùn)了5次，每次的搬運(yùn)量相同，運(yùn)到的貨物比

這批貨物的士多一些，比1少一些。按這樣的運(yùn)法，他運(yùn)完這批貨物最少共要運(yùn)次，最多共要運(yùn)

54

次。

【解析】這道題目用到了極值判斷法，體會(huì)極值判斷法：

假定5次運(yùn)的恰好等于士3，則每一次最少運(yùn)±3+5=上3~,所以最多運(yùn)1+33=81上=9次；

5525253

假定5次運(yùn)的恰好等于士