相似多邊形（鞏固篇）（專項練習(xí)）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（北師大版）

專題4.12相似多邊形（鞏固篇）（專項練習(xí)）

一、單選題

知識點(diǎn)一、相似圖形

1.下列圖形中，一定相似的是（）

A.兩個正方形B.兩個菱形C.兩個直角三角形D.兩個等腰三角形

2.如圖，兩個菱形，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，各成一組，每組中的一個

圖形在另一個圖形的內(nèi)部，對應(yīng)邊平行，且對應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個圖形不相似

的一組是（）

3.如圖，把菱形ABCQ沿著對角線AC的方向移動到菱形ABC力的位置，它們的重疊部分

（圖中陰影部分）的面積是菱形ABCZ）的面積的;.若AC=6,菱形移動的距離初是（）

A.-B.3C.1D.73-1

33

4.將等腰直角三角形紙片沿它的對稱軸折疊，得到的三角形還是等腰直角三角形，按上述

方法把一個等腰直角三角形折疊四次，則所得三角形的周長是原三角形周長的（）

A.!B.-C.-D.—

24816

知識點(diǎn)二、相似多邊形

5.寬與長的比是叵口（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值，

2

給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCZ）,分別

取A。、8C的中點(diǎn)E、F,連接EE以點(diǎn)尸為圓心，以產(chǎn)。為半徑畫弧，交8c的延長線于

點(diǎn)G；作GHL4。，交的延長線于點(diǎn)”，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形EFCQC.矩形EFG”D.矩形。CGH

6.在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：

甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距

為1,則新三角形與原三角形相似.

乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為

1,則新矩形與原矩形相似.

對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.甲對，乙不對B,甲不對，乙對

C.兩人都對D.兩人都不對

7.如圖，一張矩形紙片ABCD的長AB=xcm,寬BC=ycm,把這張紙片沿一組對邊AB和

D的中點(diǎn)連線EF對折，對折后所得矩形AEFD與原矩形ADCB相似,則x：y的值為()

8.取一張長為a,寬為b的長方形紙片，將它進(jìn)行如圖所示的兩次對折后得到一張小長方

形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則2的值為()

a

A.變B.-C.—D.-

2244

知識點(diǎn)三、相似多邊形的性質(zhì)

9.如圖，已知矩形ABC。中，AB=2,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將AABE向上折疊，使8

點(diǎn)落在AQ上的尸點(diǎn)處，若四邊形EFDC與矩形458相似，則AO=()

A.75B,有+1C.4D.2c

10.如圖，將菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH,若FD：BF=1：3,菱形ABCD

與菱形EFGH的重疊部分面積記為E,菱形ABCD的面積記為S?,則&：S,的值為()

A.1：3B.1：4C.1：9D.I：16

11.彼此相似的矩形A山iCQ,按如圖所示的方式放置.點(diǎn)Ai,

A2,A3，…，和點(diǎn)Ci,C2,C3,…，分別在直線y=kx+b(k>0)和x軸上，已知點(diǎn)Bi、

B2的坐標(biāo)分別為(1,2),(3,4),則Bn的坐標(biāo)是()

A.(2n-1,2n)B.(2n--,2n)

2

C.⑵r--，2n-1)D.⑵-…，2"-1)

2

12.有一塊邊長為2的等邊三角形紙板，如圖1,經(jīng)過底邊的中點(diǎn)剪去第一個正三角形;如圖

2,過剩余底邊的中點(diǎn)再剪去第二個正三角形，然后依次過剩余底邊的中點(diǎn)再剪去更小的第

三個第四…正三角形，則剪掉的第2020個正三角形的面積是()

AGR上「6n上

?42019?42020?44038'44O4O

二、填空題

知識點(diǎn)一、相似圖形

13.一個等腰直角三角形和一個正方形如圖擺放，被分割成了5個部分.①，②，③這三塊

的面積比依次為1：4：41,那么④，⑤這兩塊的面積比是

14.若用一個2倍放大鏡去看△ABC,則/A的大小()；面積大小為()

15.如圖，在菱形ABCD中，AB=\,ZADC=120°,以AC為邊作菱形ACCQi,且NADiG

=120。；再以AC\為邊作菱形4cle2。2,且N4C2c2=120。...；按此規(guī)律，菱形AC2020C2021D2021

的面積為.

16.四邊形A8C￡>和四邊形AECO是相似圖形，點(diǎn)A、B、C、。分別與A、B\C\。,對

應(yīng)，已知BC=3,CD=2.4,B'C'=2,那么C77的長是.

知識點(diǎn)二、相似多邊形

17.一個矩形的長為a,寬為b(a>b),如果把這個矩形截去一個正方形后所余下的矩形與

原矩形相似，那么：=________

b

18.如圖，在矩形488中，AD>AB,AB=2.點(diǎn)E在矩形ABC。的邊8C上，連結(jié)4E,

將矩形ABCD沿4E翻折，翻折后的點(diǎn)8落在邊4。上的點(diǎn)F處，得到矩形CDFE.若矩形

CCFE與原矩形ABCD相似，則A。的長為

19.如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,點(diǎn)E在AB上，EFJ_DC于點(diǎn)F,在邊AD,DF

,EF,AE上分別存在點(diǎn)M,N,P,Q,這四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形與矩形BCFE全等，則DM的

長度為.

20.下列圖形都相似嗎？為什么？

(1)所有的正方形都相似嗎？

(2)所有的矩形都相似嗎？

(3)所有的菱形都相似嗎？

(4)所有的等邊三角形都相似嗎？

(5)所有的等腰三角形都相似嗎？

(6)所有的等腰梯形都相似嗎？

(7)所有的等腰直角三角形都相似嗎？

(8)所有的正五邊形都相似嗎？

相似，不一定相似.

知識點(diǎn)三、相似多邊形的性質(zhì)

21.如圖，已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將△ABE向上折疊，使

B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn).若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=

2

22.如圖，點(diǎn)A,8,C在同一直線上，且AB=§AC,點(diǎn)ZXE分別是的中點(diǎn)，分別以

AB,DE,BC為邊,在AC同側(cè)作三個正方形，得到三個平行四邊形（陰影部分）的面積分別

記作￡,52，邑，若岳=石，則S2+$3=.

23.有.3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為5，&，則岳：$2=.

24.如圖，菱形ABC。的面積為/,對角線AC,BO交于點(diǎn)。，點(diǎn)4，B”C,,功分別是

OA,OB,OC,。。的中點(diǎn)，連接4片，B,C,,C,D,,。出得到菱形為烏G。；點(diǎn)&,約，

G，。2分別是。4，OB,,0C,,。。的中點(diǎn)，連接Azg,B2C2,C2D2,D2A2,得到菱形

A2B2C2D2.,依此類推，則菱形400982009c2009A期的面積為.

三、解答題

知識點(diǎn)一、相似圖形

25.閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周

長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形.如圖，矩形A4GR是矩形ABCD

的“減半”矩形.請你解決下列問題：

（1）當(dāng)矩形的長和寬分別為9,1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，如果不存在，

請說明理由；如果存在，請求出“減半”矩形的長寬.

（2）邊長為a的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果

不存在，請說明理由.

26.如圖，古塔直立地面上，塔的中心線0P與地面上的射線Q4成直角，為了測塔的大致

高度，在地面上選取與點(diǎn)。相距50奸的點(diǎn)A,測得NQ4P,用law代表10〃？（即1:1000的比

例尺），畫線段A。，再畫射線AP、OP,使NPAO=30。，ZPOA=90,AP、OP相交于P,

量出P。的長（精確到1%"）,再按比例尺換算出古塔的高.

知識點(diǎn)二、相似多邊形

27.如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)P是對角線8。上的一點(diǎn)，連結(jié)CP.

（1）求證：△4）修△CQP；

（2）如圖2,延長口交線段。C于點(diǎn)Q,交BC的延長線于點(diǎn)G,點(diǎn)〃是G。的中點(diǎn)，連

結(jié)CM.求證：PCLMC：

（3）如圖3,延長AP交射線。。于點(diǎn)。，交3c于點(diǎn)G,點(diǎn)M是GQ的中點(diǎn)，連結(jié)CM.若

PM=2,/fi4P=30。.求A3的長.

28.若矩形的一個短邊與長邊的比值為1二1,(黃金分割數(shù))，我們把這樣的矩形叫做黃金

2

矩形

(1)操作：請你在如圖所示的黃金矩形ABCD(AB>AD)中，以短邊AD為一邊作正方

形AEFD.

(2)探究：在(1)中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是，請說

明理由.

(3)歸納：通過上述操作及探究，請概括出具體有一般性的結(jié)論(不需證明)

知識點(diǎn)三、相似多邊形的性質(zhì)

29.一個矩形ABCD的較短邊長為2.

(1)如圖①，若沿長邊對折后得到的矩形與原矩形相似，求它的另一邊長；

(2)如圖②，已知矩形ABCD的另一邊長為4,剪去一個矩形ABEF后，余下的矩形EFDC

與原矩形相似，求余下矩形EFDC的面積.

30.如圖，點(diǎn)E是菱形A8CZ)對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個菱形

AEFG,且菱形AEFGs菱形A8C￡>,連接EB,GD.

(I)求證：EB=GD；

(2)若N￡>AB=60。，AB=2,AG=+,求GO的長.

參考答案

1.A

【分析】

根據(jù)相似形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，結(jié)合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的

性質(zhì)與特點(diǎn)對各選項分析判斷后利用排除法.

【詳解】

A、兩個正方形角都是直角一定相等，四條邊都相等一定成比例，所以一定相似，故本選項

正確；

8、兩個菱形的對應(yīng)邊成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項錯誤；

C、兩個直角三角形的邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項錯誤；

兩個等腰三角形的邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項錯誤.

故選人

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似圖形的定義，比較簡單，要從邊與角兩方面考慮.

2.C

【分析】

根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可得答案.

【詳解】

由題意得，

A.菱形四條邊均相等，所以對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)邊平行，所以角也相等，所以兩個菱形相似，

B.等邊三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，所以兩個等邊三角形相似；

C.矩形四個角相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，所以B中矩形不是相似多邊形

D.正方形四條邊均相等，所以對應(yīng)邊成比例，四個角也相等，所以兩個正方形相似；

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查相似多邊形的判定，其對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.兩個條件缺一不可.

3.D

【分析】

根據(jù)題意和觀察圖形可知，重疊部分與菱形相似，根據(jù)重疊部分（圖中陰影部分）的面積是

菱形ABCD的面枳的g,可得CA，與CA的比，從而可求CA，的長，即可求出菱形移動的距

離AAI

【詳解】

解：???菱形與重疊部分相似，且它們面積比為3：1,

.?.CALCA=1：石，且AC=>^,

；.CA，=1,

則菱形移動的距離AA，是6-1

故選：D

【點(diǎn)撥】主要考查了平移的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的關(guān)系.需要注意的是:平移前后圖形的大小、

形狀都不改變.

4.B

【詳解】

解：由于折疊一次后得到的等腰直角三角形與原等腰直角三角形是相似三角形，

得到的相似比=現(xiàn)在的斜邊:原來的斜邊=走，

2

折疊四次，所得小等腰直角三角形的周長是原等腰直角三角形周長的=;倍，

故選B.

5.D

【分析】

先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF的長，再根據(jù)DF=GF求得CG的長，最后根

據(jù)CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形.

【詳解】

解：設(shè)正方形的邊長為2,則CD=2,CF=1

在直角三角形DCF中，3F=爐方=石

，矩形DCGH為黃金矩形

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了黃金分割，解決問題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念.解題時注意,

寬與長的比是叵口的矩形叫做黃金矩形，圖中的矩形ABGH也為黃金矩形.

2

6.A

【詳解】

試題分析：根據(jù)題意得：AB〃A，B，，AC〃A，C,BC//B'C,

.,.ZA=ZA\ZB=ZB\

/.△ABC^AA,B,C,,

.,?甲說法正確；

乙：：根據(jù)題意得：AB=CD=3,AD=BC=5,則AB=CD=3+2=5,AD=BC=5+2=7,

?.?-AB--C--D--~~3,AD―-B-C-■-5,

AWCD'5AD'ffC7

.ABAD

行而

新矩形與原矩形不相似.

，乙說法不正確.

故選A.

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用.

7.B

【分析】

根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，可得到一個方程，解方程即可求得.

【詳解】

解：：四邊形ABCD是矩形，寬BC=ycm,

AD=BC=ycm,

由折疊的性質(zhì)得：AE=；AB=；x,

?.?矩形AEFD與原矩形ADCB相似，

.AEAD

..—=——，即2y，

ADAB一=-

yx

x2=2y2,

x=0y,

??.

y

故選:B.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)；根據(jù)相似多邊形對

應(yīng)邊的比相等得出方程是解決本題的關(guān)鍵.

8.B

【解析】

分析：根據(jù)對折表示出小長方形的長和寬，再根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例列式計算即可

得解.

詳解：對折兩次后的小長方形的長為從寬為J”.；小長方形與原長方形相似，，

￡=_Lbi

h~1,；.a=2尻即一的值是彳.

4aa2

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查了相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，準(zhǔn)確表示出小長方形的長和寬是

解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】

可設(shè)AD=x,根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可.

【詳解】

解：???沿AE將4ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，

???四邊形ABEF是正方形，

VAB=2,

設(shè)AD二x,則FD=x-2,FE=2,

"/四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

.EFAD

?.----=-----，

FDAB

2_x

2'

解得X|=l+石，X2=l-石（負(fù)值舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)X|=l+括是原方程的解.

故選B.

【點(diǎn)撥】考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC

與矩形ABCD相似得到比例式.

10.D

【分析】

利用相似多邊形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】

解：如圖設(shè)交E尸于M,CD交FG于N.

由題意，重疊部分四邊形MDN尸是菱形，

菱形MFNDs菱形ABCD,

7=（空

S2BD'

???DF：BF=\：3,

DF：BD=1：4,

.X=（空）2=_L

，

'S2BD16

故選D

【點(diǎn)撥】考查菱形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

11.A

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)4、兒的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出山b,

從而得到一次函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A的坐標(biāo)，然后求出

的坐標(biāo)，…，最后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征的變化規(guī)律寫出8“的坐標(biāo)即可.

【詳解】

???耳（1,2）,

相似矩形的長是寬的2倍，

?點(diǎn)片、B2的坐標(biāo)分別為（1,2）,（3,4）,

4（0,2）,4（1,4）,

:點(diǎn)4、&在直線y=H+b上,

b=2

k+b=4

y=2x+2,

,點(diǎn)A）在直線y=2x+2上，

y=2x3+2=8,

二點(diǎn)4的坐標(biāo)為（3,8）,

，點(diǎn)鳥的橫坐標(biāo)為3+；X8=7,

點(diǎn)鳥（7,8）,

B”的坐標(biāo)為（2"—1,2"）.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)點(diǎn)A的系列坐

標(biāo)判斷出相應(yīng)矩形的長，再求出寬，然后得到點(diǎn)8的系列坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，三角形的邊長分別為J,?！?，…即相鄰三角形相似比為：1:2,

進(jìn)而求出即相鄰三角形面積比，從而得出規(guī)律.

【詳解】

解：依次剪去一塊更小的正三角形紙板，即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的子

三角形的邊長分別為1，,;

即相鄰三角形相似比為：1:2,

即相鄰三角形面積比為：1:4,

???剪去一塊的正三角形紙板面積分別為:==@

22422416

...第n個紙板的面積為：￡=B

22n4n

...第2020個紙板的面積為：-A

42020

故選：B

【點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與數(shù)據(jù)的規(guī)律性知識，此題得出相鄰三角形面積

比，從而表示出各三角形面積是解決問題的關(guān)鍵.

13.9：14.

【詳解】

試題解析：由題意得，①、②、④都是等腰直角三角形，

???①，②這兩塊的面積比依次為1：4,

設(shè)①的直角邊為X,

②的直角邊為2x,

???①，③這兩塊的面積比依次為1：41,

①:(①+③)=1：42,

即gx?：3xy=1：42,，y=7x,

，④的面積為6XX6X+2=18X2,⑤的面積為4xx7x=28x2,

④，⑤這兩塊的面積比是18x2：28x2=9：14.

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì).

14.不變，4倍

【詳解】

?.?放大后的三角形與原三角形相似

，ZA的度數(shù)不變

???放大前后，兩相似三角形的相似比為1:2

???它們的面積比為1：4,即放大后面積為原來的4倍.故答案為：（1）.不變，（2）.4倍.

15（6嚴(yán)

2

【分析】

根據(jù)題意，可以求得菱形ABC。的面積，再根據(jù)題意，可以知所有的菱形都相似，即可得

到菱形AC2020C2021D2021的面積.

【詳解】

解：作CE_LAB交A8的延長線于點(diǎn)E,如右圖所示，

由已知可得，

NABC=120。，8c=1,ZCAB=30°,

：.ZCBE=60°,

：.ZBCE=30°,

：.CE=正，

2

:.AC=6

...菱形相CD的面積是屋且=且，

22

=—.圖中的菱形都是相似的，

AB1

爰形AC2020C202Q202I的面積為：3x［（走）2嚴(yán)21=（岔）4042=班巴，

2122

/信4043

故答案為：及2—.

2

【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的相似、菱形的性質(zhì)、圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)

現(xiàn)圖形的變化特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

16.1.6.

【分析】

相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】

解：,/四邊形ABCDs四邊形A'B'C'D',

.,.CD：CD=BC：BC,

VBC=3,CD=2.4,BC=2,

???CD=1.6,

故答案為：16

【點(diǎn)撥】本題考查了相似圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì).

17.-^1

2

【解析】

【分析】

根據(jù)截去的最大的正方形的邊長應(yīng)該是b,把這個矩形截去一個最大的正方形后余下的矩形

與原矩形相似，根據(jù)對應(yīng)邊的比相等列出算式，計算即可.

【詳解】

由題意得：7=-^-.即儲-〃。一/=0,解得a=生叵從

ba-h2

則q=l+6

b2

故答案為：上叵.

2

【點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似多邊形的性

質(zhì).

18.1+5/5

【分析】

根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【詳解】

?.?矩形CDFEs矩形ADCB,

.CDDF2AD-2

?.——=——,即an——=------,

ADCDAD2

整理得，AD2-2AD-4=0,

解得，AD]=1-（舍去），ADi=1+\[s,

故答案為：1+爪.

【點(diǎn)撥】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

19.幣

【解析】

試題分析：如圖所示

設(shè)DM=x,DM=y,則AM=4-x,

根據(jù)題意得：四邊形MNPQ4矩形BCFE,

???△AMQ四△FPN,PN=FC,MN=BO4,ZMNO=ZPFN=ZD=90°,

JAM=FP=4-x,ZDMN=ZPNF,

AADMN^AFNP,

.DMDNMN

,U1FN~~PF~~PN'

x(4-x)4(4-x)

.'.FN=———PN=———

yy

x2+y2=16

根據(jù)題意得：｛x(4-x)4(4-x)幺，

yy

解得：｛'=￥,或(舍去)，

y=3[y=0

:.DM=y/i；

故答案為五.

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、方程組的解法等

20.(1)(4)(7)(8)(2)(3)(5)(6)

【分析】

根據(jù)正方形、矩形、菱形、等邊三角形、等腰三角形、等腰梯形、等腰直角三角形及正五邊

形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：(1)正方形的四條邊相等，四個角都等于90。，所以對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角都相等，所

以所有的正方形都相似；

(2)矩形的四個角都等于90。，但對應(yīng)邊不一定成比例，所以所有的矩形不一定相似；

(3)菱形的四條邊相等，對應(yīng)邊成比例，但對應(yīng)角不一定相等，所以所有的菱形不一定相

似：

(4)等邊三角形的三條邊相等，三個角都等于60。，所以所有的等邊三角形的對應(yīng)邊都成

比例，對■應(yīng)角都相等，所以所有的等邊三角形都相似；

(5)等腰三角形的兩條邊相等，兩個底角相等，但所有等腰三角形的對應(yīng)邊不一定成比例，

對應(yīng)角也不一定相等，所以所有的等腰三角形不一定相似；

(6)等腰梯形的兩條腰相等，兩對底角相等，但所有等腰梯形的對應(yīng)邊不一定成比例，對

應(yīng)角也不一定相等，所以所有的等腰梯形不一定相似；

(7)所有的等腰直角三角形都有兩個45。角和一個90。角，所以所有等腰直角三角形的對應(yīng)

角都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似；

(8)正五邊形的五條邊相等，五個角相等，所以所有對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角都相等，所以

所有的正五邊形都相似.

所以(1)(4)(7)(8)一定相似；

(2)(3)(5)(6)不一定相似.

故答案為：(1)(4)(7)(8)；(2)(3)(5)(6).

【點(diǎn)撥】本題考查了相似圖形的知識，熟練掌握各特殊圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度一般.

21.

2

【分析】

可設(shè)AD=x,根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可.

【詳解】

?.?沿人后將^ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，

四邊形4BE/7是正方形，

a：AB=\,

設(shè)Jill]FD=x-\fFE=l,

四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

.EFAD

…萬一花’

1x

0_丁，

解得片=11且2=12叵(負(fù)值舍去)，

22

經(jīng)檢驗(yàn)幻=11更是原方程的解.

2

【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)及相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

22.速.

4

【分析】

根據(jù)題意利用正方形的性質(zhì)求出是等腰直角三角形，設(shè)=則EC=x,

AD=BD=2x,根據(jù)題意列出方程即可解答

【詳解】

設(shè)=則EC=x,AD=BD=2x,

???四邊形A8GP是正方形，

ZABF=45°,

是等腰直角三角形，

，BD=DH=2x,

:.S\=DHAD=y5,即2六2天=百，

275

X=—，

4

VBD=2x,BE=x,

2

：.S2=MHBD=(3X-2X\2X=2X,

2

S3=ENBE=XX=X,

222

S2+S3=2x+x=3x=,

故答案為他.

4

【點(diǎn)撥】此題考查正方形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于求出AB。”是等腰直

角三角形

23.4:9

【分析】

設(shè)小正方形的邊長為x,再根據(jù)相似的性質(zhì)求出Si、S2與正方形面積的關(guān)系，然后進(jìn)行計算

即可得出答案.

【詳解】

解：設(shè)小正方形的邊長為x,根據(jù)圖形可得：

..EF_]

?AC~3'

.__1

.一」

S正方形43co18

??、1一工?、正方形ABCD，

-*?Si

..S］」

S“8c4

S正方形八BCD8

._1

c=-c

?-02S正方形ABCD，

1

8-

11

22

5一X-9

SI2-8

18

故答案是：4:9.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握正方形的性質(zhì).

24.(J)?09(或了1)

【分析】

根據(jù)面積的比等于相似比的平方進(jìn)行計算，菱形ABGD的面積等于菱形ABCD的面積的

V，即為：；菱形A2B2c02的面積等于菱形ABGDi的面積的?，即占，依此類推，則

4444-

菱形A2009B2009C2009D2009的面積為《zoos?

【詳解】

解：1?點(diǎn)Ai,Bi,Ci,解分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),

.反，

AB2,

易知：菱形ABGDis菱形ABCD,

?.?菱形ABCD的面積為1,

...菱形ABGD的面積等于：，

4

菱形A2B2C2D2的面積等于菱形ABGD的面積的9，即占，

44'

依此類推，菱形A2009B2009C2009D2009的面積為.

門儼1

故答案為（或可）.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的相似和性質(zhì)，注意：相似形的面積的比等于相似比的平方.

91

25.（1）存在，長為寬為3；（2）不存在，見解析

【分析】

（1）設(shè)“減半”矩形的長為x,則寬為5-x,根據(jù)“減半”矩形的定義列出方程求解即可.

（2）根據(jù)兩個正方形是相似圖形，面積比是相似比的平方可知不存在“減半”正方形.

【詳解】

解：（1）存在“減半”矩形；

設(shè)“減半”矩形的長為X,則寬為5-x,

9

由題意得：X（5-X）=5，

解得：Xl=g，X2=g；

9I

???"減半”矩形的長為］,寬為《；

（2）不存在.

因?yàn)閮蓚€正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長比為;時，面積比必定是

24

所以正方形不存在“減半”正方形.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，相似圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是要知道相似圖形的面積

比與周長比的關(guān)系.

26.29m.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意畫出圖形即可，量出P0大約的長度，根據(jù)比例尺計算出古塔的實(shí)際高度即

可.

【詳解】

⑴據(jù)題意畫出圖形如圖所示，其中

AO=5cm,々AO=30',4OA=9（T;

（2）量出PO約為2.9cm；

innoQ

(3)設(shè)塔的實(shí)際高度為xm,據(jù)題意，得焉=上吆，

JUvUX

X=29,

，古塔的實(shí)際高度為29m.

【點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)比例尺計算實(shí)際高度，比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，熟練掌握比例

尺公式是解題關(guān)鍵.

27.(1)見解析；(2)見解析；(3)過二叵

2

【分析】

(I)利用正方形的對角線的性質(zhì)和S4S定理即可證明；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出NA￡>P=NCOP、AD=CD,結(jié)合。P=DP即可證出

AAOP=ACDP(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出ZDCP=ZDAG,由AD//BG可得

出ZD4G=NG,進(jìn)而得出NDCP=NG,山直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半可得出

ZMCQ=ZMQC,再結(jié)合NG、NMQC互余，即可證出ZDCP+NMCQ=90。，即PC1MC；

(3)首先證明出△CGM為等邊三角形，再由題意算出CG=1,再根據(jù)NBAP=30。，利

用直角三角形三邊關(guān)系，建立方程求解即可.

【詳解】

(1)證明：??,80為正方形AB8的對角線，

ZADP=NCDP,AD=CD.

AD=CD

在AADP和KDP中■/AOP=ZCDP,,

DP=DP

(2)AADPgKDP,ZDCP=ZDAG..

又?.?四邊形438為正方形，

AD//BG,

/.^DAG=ZG.

「?ZDCP=ZG.

又???NQCG=90。，〃為GQ中點(diǎn)，

/.CM=QM,

/.ZMCQ=/MQC.

又?.?ZG+ZMQC=90°,

ZDCP+ZMCQ=90°,

PCLMC.

(3)???M為2G的中點(diǎn)，ZQCG=90。，：.GM=CM=QM,

■：AB//CQ,，ZB4P=NQ=30。，△CGM為等邊三角形，

由(2)得，/PCM=90°,PG=GM=\,，CG=1,

設(shè)AB=x，則8G=x—l,由題意得：73(X-1)=X,解得x=AB=^叵.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角

形內(nèi)角和定理，等邊三角形，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的知識點(diǎn)，零用運(yùn)用，

需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線.

28.(1)見解析；(2)矩形EBCF不是黃金矩形，理由見解析；(3)若以黃金矩形的短邊為

邊在矩形內(nèi)作(截割)正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.

【分析】

(1)如圖，分兩種情況：正方形中，AD的對邊在矩形的內(nèi)部或外部；

(2)矩形EBCF不是黃金矩形，設(shè)AB=a,AD=b(a>b),則BE=BA+AE=a+b,

BE，=BA-E，A=a-b,由已知得2=在二1,所以空=々=2+("2)=避二1小("避二L)

=三亞/往二1,對應(yīng)邊不成比例，故矩形EBCF不是黃金矩形；矩形EBCP是黃金矩形，

22

理由：鬻=F=(1-2)--=(1-正二1)+叵口=避二1,即對應(yīng)邊成比例，故兩個

矩形相似.

(3)由(1)、(2)可發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內(nèi)作(截割)正方形，則

剩余矩形必為黃金矩形.

【詳解】

解：(I)以AD為邊可作出兩個正方形AEFD與AEFD，(AB>AD),如圖所示

(2)矩形EBCF不是黃金矩形，理由如下：

設(shè)AB=a,AD=b(