人教版初中數(shù)學(xué)中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題-知識(shí)講解（提高）

中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題一知識(shí)講解（提高）

【中考展望】

所謂開放探索型問題指的是有些數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目

的特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案（一個(gè)、多個(gè)或所有答案）或探索出解決問題的多種

方法.

由于開放探究型問題對(duì)考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年中考命題的一個(gè)熱

點(diǎn).通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方

案設(shè)計(jì)、命題組合型、問題開放型等.

【方法點(diǎn)撥】

由于開放探究型試題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎,

構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并

力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題

途徑完成最后的解答.由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式

或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：

1.利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，

從而得出規(guī)律.

2.反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與己知條

件一致.

3.分類討論法.當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做

到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果.

4.類比猜想法.即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，

并加以嚴(yán)密的論證.

以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時(shí)，應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)

用.

【典型例題】

類型一、探索規(guī)律

C1.（?武漢校級(jí)二模）如圖，△ABC面積為1,第一次操作：分別延長(zhǎng)AB,BC,CA至點(diǎn)Ai,Bi,

Ci,使AiB=AB,CiB=CB,CiA=CA,順次連接Ai,Bi,Ci,得到△A1B1C1.第二次操作：分別延長(zhǎng)

AiBi,BiCi,CiAi至點(diǎn)A2,B2,C2,使A2B尸AIBI,B2CI=BICI,C2AI=CIAI,順次連接A2,B2,C2,

得到AA2B2c2,...按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過，最少經(jīng)過（）次操作.

C,

A.7B.6C.5D.4

【思路點(diǎn)撥】

先根據(jù)已知條件求出△ABG及△&B￡2的面積，再根據(jù)兩三角形的倍數(shù)關(guān)系求解即可.

【答案】1).

【解析】解：AABC與AA1BB1底相等(AB=AiB),高為1：2(BBi=2BC),故面積比為1：2,

???△ABC面積為1,

SAAIBIB=2.

同理可得，SACIBIC=2,SAAAIC=2,

SAAIBICI=SACIBIC+SAAAIC+SAAIBIB+SAABC=2+2+2+1=7；

同理可證4A2B2c2的面積=7XAAIBICI的面積=49,

第三次操作后的面積為7x49=343,

第四次操作后的面積為7x343=2401.

故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過，最少經(jīng)過4次操作.

故選D.

【總結(jié)升華】

考查了三角形的面積，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的

關(guān)系，再根據(jù)此規(guī)律求解即可.

舉一反三：

【變式】(2016?撫順)如圖,△AAA3,AAiAsAs,4A人品，…，△A3?-2A3?-IA3?(n為正整數(shù))均為等邊三

角形，它們的邊長(zhǎng)依次為2,4,6,…，2n,頂點(diǎn)A?A6,Ag,…，A”,均在y軸上，點(diǎn)0是所有等邊三角

形的中心，則點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為.

【答案與解析】

解：?.?△AAA3為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)A3,A6IAg,…，A3”均在y軸上，點(diǎn)0是所有等邊三角形的

中心，

.?人的坐標(biāo)為(o,2百)，

3

???2016+3=672,

??.Azole是第672個(gè)等邊三角形的第3個(gè)頂點(diǎn)，

...點(diǎn)A20I6的坐標(biāo)為(0,—x四G),

32

即點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為(0,44873)；

故答案為：(0,448石).

類型二、條件開放型、結(jié)論開放型

C2.在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2).

(1)若底邊BC在x軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)：；

(2)若底邊BC的兩端點(diǎn)分別在x軸、y軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)：.

【思路點(diǎn)撥】

(1)首先由BC在x軸上，在等腰AABC中，即可過頂點(diǎn)A作ADLBC交BC于D,根據(jù)三線合一的性質(zhì)，

可得BD=CD,即B,C關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，則可求得滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連接0A,由等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),易證得aAOB絲ZsAOC,則可知OB=OC,繼

而可得滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案與解析】

解：(1)；BC在x軸上，在等腰AABC中，過頂點(diǎn)A作ADLBC交BC于D,

?.?頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),

AD的坐標(biāo)為(2,0),

在等腰△ABC中，有BD=CD,

；.B,C關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，

???一組滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)為：B(0,0),C(4,0)；

七#

(2)連接0A,

???等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),

.\ZA0C=ZA0B=45°,

.?.當(dāng)OB=OC時(shí)，

OB=OC

在AAOB與AAOC中，＜ZAOB=ZAOC

OA=OA

.".△AOB^AAOC,

.*.AB=AC,

即aABC是等腰三角形，

???一組滿足條件的點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)：(0,1),(1,0).

【總結(jié)升華】

此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法.

舉一反三：

【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2).

(1)若底邊BC在x軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)：；設(shè)點(diǎn)B,

點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(m,0),(n,0),你認(rèn)為m,n應(yīng)滿足怎樣的條件？

(2)若底邊BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸，y軸上，請(qǐng)寫出一組滿足條件的點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo):

;設(shè)點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(m,0),(0,n),你認(rèn)為m,n應(yīng)滿足怎樣的條件？

【答案】

解：可以通過等腰三角形的作法來探求符合題意的條件：由于AB=AC,故點(diǎn)B和點(diǎn)C在以A為圓心的同

一個(gè)圓上.

⑴如圖(a)，作AE±x軸于E,以大于AE的長(zhǎng)度為半徑畫弧,與x軸的交點(diǎn)即為符合題意的點(diǎn)B和點(diǎn)C.易

知E(2,0)為線段BC的中點(diǎn)，故CE=EB,即n-2=2—m；如：點(diǎn)B(0,0),點(diǎn)C(4,0)；m+n=4且m

Wn.

(2)類似于(1)作0A,與兩條坐標(biāo)軸分別交于B”B2,G,Cz,顯然當(dāng)A,B,C三點(diǎn)不共線時(shí)這樣確定的

點(diǎn)B,C均符合題意.如：點(diǎn)B(l,0),點(diǎn)C(0,1),或點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)C(0,1)；m=n,且m,n不為0

和4；或m+n=4.

類型三、條件和結(jié)論都開放的問題

C3.如圖(1),四邊形ABCD中，AD與BC不平行，現(xiàn)給出三個(gè)條件：①NCAB=/DBA,②AC=BD,

③AD=BC.請(qǐng)你從上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件，使得加上這兩個(gè)條件后能夠推出ABCD是等腰梯形,

并加以證明(只需證明一種情況).

圖⑴

【思路點(diǎn)撥】

有兩種方法，第一種是：①NCAB=/DBA,②AC=BD；第二種是：②AC=BD,③AD=BC,均可利用等腰梯形

的判定方法進(jìn)行驗(yàn)證.

【答案與解析】

解：第一種選擇：

①NCAB=/DBA,②AC=BD.

證明：由AACB也Z\BDA,

可得AD=BC,ZABC=ZBAD.

如圖⑵作DE〃BC交AB于點(diǎn)E,則ZDEA=ZCBA.

.\ZDAE=ZDEA,AD=ED=BC.

由ED=BC及DE〃BC知,

四邊形DEBC是平行四邊形，所以AB〃CD.

AD與.BC不平行，

四邊形ABCD是等腰梯形.

E

圖（2）

第二種選擇：②AC=BD,③AD=BC.

證明：如圖（3）,延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E.

由△DABgACBA,可得/DAB=NCBA,

.*.EA=EB.

由AD=BC,可得DE=CE,ZEDC=ZECD.

再由三角形內(nèi)角和定理可得NEDC=NEAB,

.,.DC#AB.

：AD與BC不平行,

四邊形ABCD是等腰梯形.

【總結(jié)升華】此題一道開放性的題目，主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的判定的掌握情況.

舉一反三：

【變式】如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M,在CD上取

一點(diǎn)N,將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K,得到

I)I)BN

(1)若N1=70°，求NMNK的度數(shù).

(2)ZXMNK的面積能否小于,？若能，求出此時(shí)/I的度數(shù)；若不能，試說明理由.

2

(3)如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值.

(備用圖)

【答案】

解：⑴：ABCD是矩形,

；.AM〃DN.

.\ZKNM=Z1.

VZ1=7O°,

AZKNM=ZKMN=70°.

過M點(diǎn)作ME_LDN,垂足為E,則ME=AD=1.

VZKNM=ZKMN,

；.MK=NK,

又MK》ME,

ANK>l.

11

AMNK的面積=2NK?ME>2.

1

/.AMNK的面積不可能小于2.

(3)分兩種情況：

情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合.

MK=MD=x,則AM=5-x.

由勾股定理得12+(5-x)2=x?,

解得x=2.6.

AMD=ND=2.6.

1x2.6

=

SAMKK=SAMND=:41.3.

情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕即為AC.

MK=AK=CK=x,則DK=5-x.

同理可得MK=NK=2.6.

VMD=1

1x2.6

=

SAMNK=SAMNI>=41.3.

△MNK的面積最大值為1.3.

類型四、動(dòng)態(tài)探究型

Cd.如圖1,將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合,

三角板的一邊交CD于點(diǎn)F.另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：EF=EG；

(2)如圖2,移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論

是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立.請(qǐng)說明理由：

(3)如圖3,將(2)中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B,其他條件

EF

不變，若AB=a、BC=b,求---的值.

EG

【思路點(diǎn)撥】

(1)由/GEB+/BEF=90°,ZDEF+ZBEF=90°,可得NDEF=/GEB,又由正方形的性質(zhì)，可利用SAS證

得Rt^FEDgRtZ\GEB,則問題得證；

(2)首先點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I,然后利用SAS證得Rt^FEI絲Rt^GEH,則問

題得證：

(3)首先過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N,易證EM〃AB,EN〃AD,則可證得ACENsA

CAD,ACEM-ACAB,又由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得△GMES/\FNE,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)

邊成比例，即可求得答案.

【答案與解析】

解：(1)證明：VZGEB+ZBEF=90°,ZDEF+ZBEF=90°,

：.ZDEF=ZGEB,

又：ED=BE,

；.EF=EG；

(2)成立.

證明：如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I,

則E//=EI,N"EI=90°,

■:NGEH+/HEF=90°,NIEF+4HE打90°,

.,.ZIEF=ZGEH,

ARtAFEI^RtAGEH,

，EF=EG；

(3)解：如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N,

則NMEN=90°,

/.EM/7AB,EN/7AD.

.,.△CEN^ACAD,ACEM^ACAB,

.NE_CEEM_CE

''~AD~~CA'~AB~~CA'

.NEEMNEADb

??---=-------，Un|Jn--------=-------=一,

ADABEMABa

VZIEF+ZFEM=ZGEM+ZFEM=90°,

???ZGEM=ZFEN,

VZGME=ZFNE=90°,

AAGME^AFNE,

.EF_EN

^~EG~~EMf

.EF_b

EGa

【總結(jié)升華】此題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì).此題綜合

性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

舉一反三:

【變式1】已知：如圖(a),在RtaACB中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向

點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ.若

設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<2),解答下列問題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ〃BC?

(2)設(shè)△AQP的面積為y(cn<2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把RtAACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t

的值.若不存在，說明理由；

(4)如圖(b),連接PC,并把△POC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時(shí)刻t,使

四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

【答案】

解：⑴在R3ABC中，AB=5.

由題意知AP=5-t,AQ=2t.

若PQ〃BC,則△APQs/XABC.

.AQ_AP_

.It5-t

?.—=----.

45

(2)過點(diǎn)P作PH_LAC于H,如圖(c).

VAAPH^AABC,

.PHAP

.?.這=三.解得PH=3-匕.

355

???3

y=-xAQxPH^-x2tx(3--t)=--t2+3t.

(3)若PQ把a(bǔ)ABC周長(zhǎng)平分，

則AP+AQ=BP+BC+CQ.

/.(5-t)+2t=t+3+(4-2t).

解得t=l.

若PQ把4ABC面積平分，

13,

則=/SaABC，即-m廠+3/=3.

：t=l代入上述方程不成立，

不存在這一時(shí)刻t,使線段PQ把RtAACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分.

(4)過點(diǎn)P作PM_LAC于M,PNJ_BC于N,如圖(d).

若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC.

VPM1ACTM,，QM=CM.

：PN_LBC于N,易知△PBNsAABC.

.PNBP.PNt

??__——___，?_?___—_?

ACAB45

4r

解得PN=一.

5

4t

???QM=CM=—.

5

44

**?一tH—，+2/=4.

55

解得/=竺.

9

.?.當(dāng)7=3時(shí)，四邊形PQP'C是菱形.

9

48

37-/-

此時(shí)PM=3—2f=」,CA75-9-

53

在RtZXPMC中，PC=dPM?+CM2=5+|^=小三

菱形PQP'C的邊長(zhǎng)為^—.

9

舉一反三：

【變式2】如圖，點(diǎn)D,E在AABC的邊BC上，連接AD,AE.①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE.以此三個(gè)

等式中的兩個(gè)作為命題的題設(shè)，另一個(gè)作為命題的結(jié)論，構(gòu)成三個(gè)命題：①②=>③；①③n②；

②③=>①.

(1)以上三個(gè)命題是真命題的為(直接作答)；

(2)請(qǐng)選擇一個(gè)真命題進(jìn)行證明(先寫出所選命題，然后證明).

A

【答案】

解：(1)三個(gè)都是真命題；

(2)解法一①②二③

如圖,過點(diǎn)A作4a理于點(diǎn)F.

■:AB=AC,

：.BF=CF.

*：AD=AEi

：.DF=EF.

：.BD=CE.

解法二①③=②

?:AB=AC,

:.ZABD=乙ACE.

*：BD=CE,

:?△ABD^XACElSAS.

：.AD=AE,

解法三②③=①

?:AD=AE,

：.ZADE=Z.AED,

即N/1如

,:BD=CE,

:.叢AB噲叢ACE(SAS).

：,AB=AC

類型五、創(chuàng)新型

Cs.先閱讀下列材料，然后解答問題：從AB,C三張卡片中選兩張，有三種不同選法，抽象成

3x2

數(shù)學(xué)問題就是從3個(gè)元素中選取2個(gè)元素組合，記作C；=^—=3.一般地，從加個(gè)元素中選取〃個(gè)

32x1

元素組合，記作:

C=-------------------------------

〃（〃一1）…x3x2xl

7x6xSx4x3

例從7個(gè)元素中選5個(gè)元素，共有C；=----------=21種不同的選法.

5x4x3x2xl

問題：從某學(xué)習(xí)小組10人中選取3人參加活動(dòng)，不同的選法共有種.

【思路點(diǎn)撥】

本題需要學(xué)生讀懂加個(gè)元素中選取〃個(gè)元素的計(jì)算規(guī)則，然后針對(duì)具體的從10人中選取3人參加

的計(jì)算.

【答案與解析】

10x9xX

由給出的公式可知從10個(gè)人中取3個(gè)人參加活動(dòng)，有C：o=,=120種不同的選法.

3x2x1

【總結(jié)升華】

本題構(gòu)思精妙、情境新穎.從試題的情境來看，本題以初中數(shù)學(xué)中的整數(shù)的乘除運(yùn)算等基本運(yùn)算為素

材，以高中數(shù)學(xué)中組合數(shù)的定義及其計(jì)算公式為背景，展示給學(xué)生的是一個(gè)全新的問題，試題具有較大

的自由度和思維空間，考查了閱讀理解、知識(shí)遷移等多種數(shù)學(xué)能力，體現(xiàn)了主動(dòng)探究精神，呈現(xiàn)出研究

性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，從而進(jìn)一步考查了學(xué)生自學(xué)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.從試題的解答來看，直接以組合數(shù)的

定義及其計(jì)算公式為背景的試題在各種復(fù)習(xí)資料和模擬試題中從未見過，解決這個(gè)問題沒有現(xiàn)成的“套

路”和“招式”，需要學(xué)生自主學(xué)習(xí)組合數(shù)的定義及其計(jì)算公式的定義，綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，

才能解決問題.

中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題一鞏固練習(xí)（提高）

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2016?重慶校級(jí)二模）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一

共有1個(gè)空心小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有6個(gè)空心小圓圈，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)空心小圓圈，…,

按此規(guī)律排列，則第⑦個(gè)圖形中空心圓圈的個(gè)數(shù)為（）

?OO?

?O?OOOO

OOOOOOOO

OOOOO

①②③

A.61B.63C.76D.78

2.如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3,AC=4,D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D

重合，折痕與AD交與點(diǎn)R；設(shè)RD的中點(diǎn)為D”第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Di重合，折痕與AD交

于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D”第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)灰重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pa；?設(shè)

P—Di的中點(diǎn)為D…，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D一重合，折痕與AD交于點(diǎn)P.（n>2）,貝ijAPe

的長(zhǎng)為（）

B

BB

第1次折疊第2次析善第3次折香

365x3637

B.-----C.

25x292145x2"

3.下面兩個(gè)多位數(shù)1248624…、6248624-,都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2,若積為

一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個(gè)位數(shù)字寫在第2位.對(duì)第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操

作得到第3位數(shù)字……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的.當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3

時(shí)，仍按如上操作得到一個(gè)多位數(shù)，則這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是（）

A.495B.497C.501D.503

二、填空題

4.（?合肥校級(jí)三模）如圖，一個(gè)3x2的矩形（即長(zhǎng)為3,寬為2）可以用兩種不同方式分割成3或6個(gè)

H?

（1）一個(gè)5x2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個(gè)數(shù)可以是個(gè)，最少是個(gè)；

（2）一個(gè)7x2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個(gè)數(shù)最多是個(gè)，最少是個(gè)；

（3）一個(gè)（2n+l）x2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個(gè)數(shù)最多是個(gè)；最少是個(gè).（n

是正整數(shù)）

5.一園林設(shè)計(jì)師要使用長(zhǎng)度為4L的材料建造如圖1所示的花圃，該花圃是由四個(gè)形狀、大小完全一樣

的扇環(huán)面組成，每個(gè)扇環(huán)面如圖2所示，它是以點(diǎn)0為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過。點(diǎn)的兩條直

（D使圖①花圃面積為最大時(shí)R-r的值為,以及此時(shí)花圃面積為,其中R、r

分別為大圓和小圓的半徑；

（2）若L=160m,r=10m,使圖面積為最大時(shí)的。值為.

6.如圖所示，已知AABC的面積So8c=l，

在圖(a)中，若叢=毀=歿=2.,則5“病=工；

ABBCCA2△4

在圖(b)中，若"=①=烏=].,則S八ABC=1

ABBCCA3-223

在圖(c),若亂=照="=’7

則=記

ABBCCA4

按此規(guī)律,

三、解答題

7.(2016?丹東模擬)已知，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合)，ZBAC=90°,AB=AC,

ZDAE=90°,AD=AE,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BDLCE,②CE=BC-CD；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出CE、BC、CD三條線段之間的

關(guān)系；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)0在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、E分別在直線BC的兩側(cè)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),

連接AF、CF,其他條件不變，請(qǐng)判斷4ACF的形狀，并說明理由.

8.如圖(a)、(b)、(c),在AABC中，分別以AB,AC為邊,向AABC外作正三角形、正四邊形、正五邊

形，BE,CD相交于點(diǎn)0.

(1)①如圖(a),求證：ZiADC^4ABE；

②探究:

圖(a)中，NBOC=—

圖(b)中，NBOC=

圖(c)中，ZBOC=

⑵如圖(d),已知：AB,AD是以AB為邊向AABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC,AE是以AC為邊

向AABC外所作正n邊形的一組鄰邊.BE,CD的延長(zhǎng)相交于點(diǎn)0.

①猜想：圖(d)中，ZB0C-；(用含n的式子表示)

②根據(jù)圖(d)證明你的猜想.

9.如圖(a),梯形ABCD中，AD/7BC,ZABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在線段BC上任取一點(diǎn)P(P

不與B,C重合)，連接DP,作射線.PE1DP,PE與直線AB交于點(diǎn)E.

(1)試確定CP=3時(shí)，點(diǎn)E的位置；

(2)若設(shè)CP=x(x>0),BE=y(y>0),試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P“P?,使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)

a的取值范圍.

圖(a)圖(b)

10.點(diǎn)A,B分別是兩條平行線m,n上任意兩點(diǎn)，在直線n上找一點(diǎn)C,使BC=k?AB.連接AC,在直

線AC上任取一點(diǎn)E,作NBEF=/ABC,EF交直線m于點(diǎn)F.

(1)如圖(a),當(dāng)k=l時(shí)，探究線段EF與EB的關(guān)系，并加以說明；

說明：

①如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，請(qǐng)寫出探索過程(要求至少寫三步)；

②在完成①之后，可以自己添加條件(添加的條件限定為NABC為特殊角)，在圖⑹中補(bǔ)全圖形，完

成證明.

(2)如圖(c),若NABC=90°,k#l,探究線段EF與EB的關(guān)系，并說明理由.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】A；

【解析】???第①個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4X1-3+lX0=l個(gè)；

第②個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4X2-4+2X1=6個(gè)：

第③個(gè)圖形中空心小圓圈個(gè)數(shù)為：4X3-5+3X2=13個(gè)；

第⑦個(gè)圖形中空心圓圈的個(gè)數(shù)為：4X7-9+7X6=61個(gè)：

2.【答案】A；

1s155X325X335xV

【解析】由題意得，AD=-BC=-,ADFAD-DDF—,AD2=笠AD3二二二，ADF一

228252722M

.5155x325X3"T

故API=-，AP?=—?APs=---…APn=-，

4162622"

5x35

故可得APe=-—?

故選A.

3.【答案】A；

【解析】根據(jù)題意，當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時(shí)，按操作要求得到的數(shù)字是3624862486248…，從第2位數(shù)

字起每隔四位數(shù)重復(fù)一次6248,因?yàn)?100-1)被4整除得24余3,所以這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字

之間和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)*24=495,答案選A.

二、填空題

4.【答案】(1)4：10；(2)5；14：(3)4n+2；n+2.

【解析】(1)一個(gè)5x2的矩形最少可分成4個(gè)正方形，最多可分成10個(gè)正方形；

(2)一個(gè)7x2的矩形最少可分成5個(gè)正方形，最多可分成14個(gè)正方形；

(3)第一個(gè)圖形：是一個(gè)3x2的矩形，最少可分成1+2個(gè)正方形，最多可分成1x4+2個(gè)正方形；

第二個(gè)圖形：是一個(gè)5x2的矩形，最少可分成2+2個(gè)正方形，最多可分成2x4+2個(gè)正方形；

第三個(gè)圖形：是一個(gè)7x2的矩形，最少可分成3+2個(gè)正方形，最多可分成3x4+2個(gè)正方形;

第n個(gè)圖形：是一個(gè)(2n+l)x2的矩形，最多可分成nx4+2=4n+2個(gè)正方形，最少可分成n+2個(gè)正方形.

故答案為：(1)4；10；(2)5；14；(3)4n+2；n+2.

iE240

5.【答案】(1)R—r的值為一，以及此時(shí)花圃面積為一；(2)0值為例.

4471

【解析】要使花圃面積最大，則必定要求扇環(huán)面積最大.

設(shè)扇環(huán)的圓心角為6,面積為S,根據(jù)題意得：

,OTIROnr?、

L=----+——+2(/n?-r)

180180

6二180口一2(/?—，)]

萬(R+-)

，5=皿一絲=里2一產(chǎn)

360360360

=2口185-2(』)]

360兀(R+r)

,1

^-(R-r)2+-L(R-r)

「LTI3

=-(R-r)~—+—.

4J16

'：Q<R-r<-,

2

L1}

S在R-r=—時(shí)取最大值為—.

416

LITI；

...花圃面積最大時(shí)R-r的值為士，最大面積為二x4=‘.

4164

(2):?當(dāng)/?一r=工時(shí)，S取大值，

4

R—r=—==40(m),

44

T?=40+r=40+10=50(m),

c180[L-2(/?-r)]180(160-2x40)240

/.u=----------=----------=--.

60萬兀

19

6.【答案】—.

27

【解析】

111

^Cq=l-i3ox-x-=-

c「211

5=1

AA2B2C2'3X-X-=-

317

5

W3-1-3X-X-=—

。，0815719

S人=]-3X-x-=—二—

998127

S-二⑶三匕]一廠總

〃+1〃+1(〃+1)

三、解答題

7.【答案與解析】

(1)證明：如圖1中，VZBAC=ZDAE=90°,

AZBAD=ZCAE,

在aABD和4ACE中，

'AB二AC

</BAD=NCAE，

AD=AE

AAABD^AACE,

AZABD=ZACE=45°,BD=CE,

圖1

???ZACB+ZACE=90°

AZECB=90°,

ABDICE,CE=BC-CD.

(2)如圖2中，結(jié)論：CE=BC+CD,理由如下:

VZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在4ABD和4ACE中,

'AB=AC

<NBAD=/CAE，

圖2

AD=AE

AAABD^AACE,

，BD=CE,

.,.CE=BC+CD.

(3)如圖3中，結(jié)論：4ACF是等腰三角形.理由如下:

VZBAC=ZDAE=90°,

二ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中,

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE

,AD=AE

AAABD^AACE,

ZABD=ZACE,

VZABC=ZACB=45",

AZACE=ZABD=135°,

.*.ZDCE=90o,

又???點(diǎn)F是DE中點(diǎn)，

，AF=CFJDE,

2

...△ACF是等腰三角形.

8.【答案與解析】

(1)證法一：

VAABD與4ACE均為等邊三角形，

；.AD=AB,AC=AE,且NBAD=NCAE=60°.

ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即/DAC=/BAE.

.".△ADC^AABE,

證法二：:△ABD與4ACE均為等邊三角形，

；.AD=AB,AC=AE,

且/BAD=/CAE=60°.

AAADC可由4ABE繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到.

.".△ABE^AADC.

②120°,90°,72°.

360°

⑵①

n

②證法一：依題意，知NBAD和NCAE都是正n邊形的內(nèi)角，AB=AD,AE=AC,

...NBAD=NCAE=("2)180。

n

：.ZBAD-ZDAE=ZCAE-ZDAE,

即NBAE=NDAC.

AAABE^AADC.

AZABE=ZADC.

VZADC+Z0DA=180°,

/.ZAB0+Z0DA=180°.

AZAB0+Z0DA+ZDAB+ZB0C=360o.

.\ZB0C+ZDAB=180°.

.../B0C=18。。-ZDAB=180°-^^=^.

nn

證法二：延長(zhǎng)BA交CO于F,證NB0C=/DAF=180°-ZBAD.

證法三：連接CE.證/B0C=180°-ZCAE.

9.【答案與解析】

解：⑴作DF_LBC,F為垂足.

當(dāng)CP=3時(shí)，四邊形ADFB是矩形，則CF=3.

，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合.

XVBF1FD,

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合.

⑵⑴當(dāng)點(diǎn)P在BF上(不與B,F重合)時(shí)，(見圖(a))

VZEPB+ZDPF=90°,ZEPB+ZPEB=90°,

r.ZDPF=ZPEB.

.".RtAPEB^AARtADPF.

.BEFP〃

??----=------①

BPFD

x3

又：BE=y,BP=12-x,FP=x-3,FD=a,代入①式，得=上一

12-xa

)=工(12—x)(x—3),整理，

a

1i

得y=—(x2-15x+36)(3<x<12)②

a

BEFP

(ii)當(dāng)點(diǎn)P在CF上(不與C,F重合)時(shí)，(見上圖(b))同理可求得——=——.