上海八年級期中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)2

上海八年級期中復(fù)習(xí)2

選擇題（共2小題）

1.如圖，NACB=NDFE,BC=EF,欲證aABC也△￡>￡￡則須補(bǔ)充一個(gè)條件是（）

A.AB=DEB.ZACE=ZDFBC.BF=ECD.ZABC=ZDEF.

2.下列各式計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A-彩后=a-bb-q（g&）2=2版F

D.V6（V3+V2）=372-2V3

二.填空題（共4小題）

3.如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形例如,

在△ABC中，如果N4=50°,ZB=100°,那么△ABC就是一個(gè)“倍角三角形”.如果

一個(gè)倍角三角形是一個(gè)等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是.

4.函數(shù)打得x的圖象經(jīng)過第象限.

5.已知方程2/-％-〃=0有一根為上叵，貝ij“=

2

6.如圖，在直角三角形ABC中，/C=90°,AC=6厘米，BC=8厘米，點(diǎn)P、Q同時(shí)由

A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AC、CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度都是每秒1厘米，尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

秒時(shí)，△PCQ面積為4平方厘米.

7.如圖，已知ACLAE,AD=AB,NC=NE,DC交AB于點(diǎn)0,交BE于點(diǎn)P,

AC交BE于點(diǎn)F.

c,已知〃=2,b、c是關(guān)于x的方程/-10x+〃?

=0的兩個(gè)根，求，”的值.

9.解方程：(4x-l)2-10(4x7)-24=0.

10.已知，點(diǎn)O到AABC的兩邊AB、AC所在的直線的距離相等，且OB=OC.

(1)如圖(1)所示，若點(diǎn)。在邊8c上，求證：4B=AC；

(2)如圖(2)所示，若點(diǎn)。在△A8C的內(nèi)部，求證：AB=AC.

(3)若點(diǎn)。在△ABC的外部，結(jié)論“AB=4C”還成立嗎？(只要填“成立”

或“不成立”，不需證明過程.)

11.如圖，在△ABC中，4E平分NBAC,交BC于點(diǎn)E,。是8c邊上點(diǎn)，且。E=CE,點(diǎn)

產(chǎn)在AE上，聯(lián)結(jié)。凡滿足。尸=4C,

求證：DF//AB.

2

(2)已知x=—、==,求工Y時(shí)Z的值.

3+2V2x-3

13.已知：如圖，AB=AC,AO=AE,NBAE=NCAD,8。與CE相于點(diǎn)F.

求證：(1)NB=NC；(2)FB=FC.

14.已知：CP是等邊△ABC的外角NACE的平分線，點(diǎn)。在射線BC上，以。為頂點(diǎn)，

D4為一條邊作NAQF=60°,另一邊交射線CP于F.

（1）如圖，若點(diǎn)。在線段BC上，求證：①NBAO=NCDF,@AD=FD-,

（2）若點(diǎn)。在線段BC的延長線上，（1）中的兩個(gè)結(jié)論還一定成立嗎？若成立，請證明.

15.將一條長為20。”的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形.

（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于170層，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是

多少？

（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cs2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度：若不能，

請說明理由.

2

16.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2?-3xy-3-.

17.用20米長的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的長方形倉庫（如圖所示），若要求圍成的長方形面

積為60米2,并且這堵墻長10米，在與墻平行的一邊，開一扇寬2米的門（門不占用籬

笆材料），問：該長方形相鄰兩邊長要取多少米？

/////////

18.如圖，已知CB_LA8,點(diǎn)E在A8上，且CE平分N8CZ),OE平分NAZJC,ZEDC+Z

￡>CE=90°,求證：DALAB.

19.已知：在AABC中，AC=BC,NACB=90°，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是A8邊上一

點(diǎn).

(1)直線8尸垂直于直線CE于點(diǎn)凡交C￡>于點(diǎn)G(如圖1),求證：AE^CG,

(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)”，交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖2),找出圖

中與BE相等的線段，并證明.

20.如圖，點(diǎn)。是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，NAOB=UO°,NBOC=a.將△BOC繞點(diǎn)C按順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△AOC,連接?！?gt;.

(1)求證：△C03是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△AO。的形狀，并說明理由；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△40。是等腰三角形？

21.如圖，在等邊△ABC中，AM為BC邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)。在直線AM上時(shí)，以CQ為邊

在CD的下方作等邊△€1￡>￡,聯(lián)結(jié)8E.

(1)NCAM=度；

(2)當(dāng)點(diǎn)O在線段4W上時(shí)，求證：△ADC四△BEC；

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。在直線AM上時(shí)，設(shè)直線8E與直線AM的交點(diǎn)為0,試判斷NAOB的度

數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？請說明理由.

22.已知m———n———求m2-nm+n2的值.

2+V523

23.小惠到眼鏡店調(diào)查了近視眼鏡的度數(shù)和鏡片焦距的關(guān)系如表:

鏡片焦距x(cm)502512.5108…

眼鏡度數(shù)y(度)20040080010001250…

(1)根據(jù)上表體現(xiàn)出來的規(guī)律，請寫出眼鏡度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(cm)之間的函

數(shù)關(guān)系式;

(2)若小惠所戴眼鏡度數(shù)為500度，求該鏡片的焦距.

24.如圖，直線y=“x(a>0)與雙曲線丫=上>(4>0)交于A、8兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,

x

2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(〃，-2).

(1)求〃，n的值；

(2)若雙曲線y=y=K(k>0)的上點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求△AOC的面積.

x

25.解不等式：y/Sx+\>2x+43

26.先化簡，再求值：.一魚其中

a+2a2_aV5+2

27.已知：如圖點(diǎn)4(6,8)在正比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)8坐標(biāo)為(12,0),聯(lián)結(jié)AB,AO=

AB=10,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BO上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)8向點(diǎn)

。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段AO上由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)停止，運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為f秒

(1)求該正比例函數(shù)的解析式：

(2)當(dāng)f=l秒，且SAOPQ=6時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(3)聯(lián)結(jié)CP,在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，△OPQ與aBPC是否全等？如果全等，請求出

點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度；如果不全等，請說明理由

29.已知，如圖，在△A8C中，NA8c=90°,BO是斜邊AC上的中線，求證：BD=^AC.

2

30.如圖，在△ABC中，NABC=45°,在高A。上截取QH=￡>C,連結(jié)BH并延長交AC

于點(diǎn)E,求證：BHA.AC.

A

31.解不等式：V2X-3<A/3X.

32.解下列關(guān)于x的方程

(1)4(x-1)2=(x+2)2

(2)(%-5)2+4(x-5)=0

(3)/+8x-2=0

(4)2J?-3x-4=0.

33.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將關(guān)于x的二次三項(xiàng)式因式分解：2?-3xy-7y2.

34.已知：如圖，在aABC中，若A8=AC,點(diǎn)。是BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在AC、

AB上，且C￡>=BRBD=CE,則NE￡)F與乙4在數(shù)量上有什么關(guān)系？請證明你的猜想.

A

BC

D

上海八年級期中復(fù)習(xí)2

參考答案與試題解析

選擇題（共2小題）

1.如圖，NACB=NDFE,BC=EF,欲證aABC段△￡>￡；下,則須補(bǔ)充一個(gè)條件是（）

A.AB=DEB.NACE=NDFBC.BF=ECD.NABC=/DEF.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：

■:NACB=NDFE,BC=EF,

.?.當(dāng)AB=OE時(shí)，滿足的是SSA,不能判定△ABC也△。砂，故A不可以；

當(dāng)NACE=NDFB時(shí)，仍然得到的是NAC8=/OFE,只有兩組量對應(yīng)相等，不能判定

△ABC且ADEF,故B不可以；

當(dāng)BF=EC時(shí)，可求得BC=EF,同上也只有兩組量相等，無判定△A8C鄉(xiāng)△QEF,故C

不可以；

當(dāng)N4BC=NDE尸時(shí)，滿足AS4,可以判定△ABCg△￡>￡「，故?？梢?，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)

鍵，即SSS、SAS.ASA.AAS和HL.

2.下列各式計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A.層后=jB.近近-2近）2=2a71

C.D.而子（炳+&）=W^-2點(diǎn)

【分析】利用二次根式的性質(zhì)對4、B、C進(jìn)行判斷；利用分母有理化對。進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、原式=|〃|-|旬，所以A選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

B、原式=|遙-2&=2&-泥，所以B選項(xiàng)的計(jì)算正確；

C、原式=J,所以c選項(xiàng)的計(jì)算正確；

D、原式=雁「二娓（V3-V2）=3&-2、e，所以。選項(xiàng)的計(jì)算正確.

V3+V2

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并

同類二次根式即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式

的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

二.填空題（共4小題）

3.如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形例如,

在△ABC中，如果N4=50°,ZB=100°,那么△ABC就是一個(gè)“倍角三角形”.如果

一個(gè)倍角三角形是一個(gè)等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是90°或36°?

【分析】分頂角是底角的2倍、底角是頂角的2倍兩種情況，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列

方程計(jì)算即可.

【解答】解：當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)，

設(shè)頂角為尤，則底角為

2

由題意得，jc+—x=180°，

22

解得，x=90°,

當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，

設(shè)頂角為x，則底角為2x,

由題意得，x+2x+2x=180”,

解得，x=36°,

故答案為：90°或36°.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵,

解答時(shí)，注意分情況討論思想的應(yīng)用.

4.函數(shù)尸_Zx的圖象經(jīng)過第二、四象限.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)中/=-2進(jìn)行判斷即可.

5

【解答】解：?.?函數(shù)行上K中*=-2<°，

55

...此函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限.

故答案為：二、四.

【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，即正比例函數(shù))，=履中，當(dāng)4<0時(shí)，函數(shù)圖

象經(jīng)過二、四象限.

5.已知方程27-X-4=0有一根為12^1,則〃=.

2―2-

【分析】將、=上叵代入方程2/-x-a=0可得關(guān)于。的方程，解之即可.

2

【解答】解：根據(jù)題意，將》=上近代入方程2，-》-。=0,

2

得：2X4-2^-lZ^--a=0,

42

解得：〃=三叵

2

故答案為：殳返.

2

【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值.

6.如圖，在直角三角形A8C中，ZC=90°,AC=6厘米，BC=8厘米，點(diǎn)P、。同時(shí)由

A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AC、CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度都是每秒1厘米，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

2或4秒時(shí),△PCQ面積為4平方厘米.

【分析】設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，△PCQ面積為4平方厘米，則AP=xa〃，PC=(6-x)cm,

CQ^xcm,根據(jù)△PCQ的面積為4平方厘米列出方程，求出符合題意的值即可.

【解答】解：設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，△PC。面積為4平方厘米.

由題意得：—X(6-x)*x=4,

2

x2-6x+8=0,

解得xi=2,X2=4.

所以，尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2或4秒時(shí)，△PC。面積為4平方厘米.

故答案為2或4.

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于表示出三角形面積進(jìn)而得出等

量關(guān)系求解.

三.解答題(共28小題)

7.如圖，已知AO_LA2,ACLAE,AD=AB,NC=NE,DC交AB于點(diǎn)O,交BE于點(diǎn)尸,

AC交BE于點(diǎn)F.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定證明即可.

【解答】證明：?.?ADLAB,ACLAE,

：.ZDAB=ZEAC,

，ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,

即ND4C=NE48,

在△D4C與△E4B中，

'/C=NE

"AD=AC，

ZDAC=ZEAB

.?.△D4C絲△EAB(ASA),

:.ND=NB,

VZD+ZAOD=90°,ZAOD=ZBOP,

NB+/BOP=90°,

：.DC1.BE.

【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰

當(dāng)?shù)呐卸l件.

8.設(shè)等腰三角形的三條邊長分別為a、b、c,已知a=2,仄c是關(guān)于x的方程7-10x+m

=0的兩個(gè)根，求〃?的值.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)知①方程/-10x+m=0有一個(gè)根為2,將x=2代入可

得m的值，再解方程，由三角形三邊關(guān)系判斷是否符合題意;②若h=c,則方程x2-\Qx+m

=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由根的判別式可得，"的值，檢驗(yàn)此時(shí)方程的根是否符合題意.

【解答】解：根據(jù)題意知①若》=2或c=2,則方程x2-10x+〃?=0有一個(gè)根為2,

將x=2代入得4-20+/?=0,

解得：，〃=16,

此時(shí)方程為7-10x+16=0,即(x-2)(x-8)=0,

解得：x=2或x=8,

V2+2<8,不能構(gòu)成三角形舍去；

若b=c,則方程10x+〃?=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

(-10)2-4m=0,

解得：機(jī)=25,

此時(shí)方程為10x+25=0,即(x-5)2=0,

解得：x=5,

V2+5>5,

可以構(gòu)成三角形，

故m—25.

【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系、根的判別式及解方程的

能力，根據(jù)題意分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

9.解方程：(4x7)2-10(4x7)-24=0.

【分析】先令4x-l=y,得V-lOy-24=0,求得y再得出x即可.

【解答】解：令4x-l=y,得10),-24=0,

(y-12)(y+2)=0,

12=0或)，+2=0,

—y2—-2,

當(dāng)y=12時(shí)，4x-l=^2,x=坦；

4

當(dāng)y--2時(shí)，4x-1=-2,x--—,

4

方程的解為xi=1員，

44

【點(diǎn)評】本題考查了用換元法解一元二次方程，找到整體是解題的關(guān)鍵.

10.己知，點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在的直線的距離相等，且O8=OC.

(1)如圖(1)所示，若點(diǎn)。在邊8c上，求證：AB=AC；

(2)如圖(2)所示，若點(diǎn)。在△4BC的內(nèi)部，求證：AB=AC.

(3)若點(diǎn)。在△ABC的外部，結(jié)論“AB=AC”還成立嗎？成立(只要填“成立”

或“不成立”，不需證明過程.)

【分析】(1)如圖1中，作OE_LAB于E,OF_LAC于F,連接A0.只要證明RtZ\OEB

絲RtZXOFC,推出8E=CF,RtAAOE^RtAAOF,推出AE=4E即可證明.

(2)結(jié)論仍然成立.作。E_LAB于E,OF_L4C于F,連接A0.方法類似(1).

(3)結(jié)論仍然成立.作0ELA8于E,OFLAC于F,連接A0.方法類似(1).

【解答】(1)證明：如圖1中，作OE_LAB于E,OF1ACTF,連接A0.

VOEA.AB,OF1AC,OE=OF,

：.ZOEB=ZOFC=9Qa,

在RtAOEB和RtAOFC中，

[0E=0F,

IBO=OC'

.,.RtAOFB^RtAOFC(HL),

：.BE=CF,

在RtAAOE和RtAAOF中，

[0A=0A,

idE=0F'

.?.RtAAOE^RtAAOF(HL),

：.AE=AF,

：.BE+AE=CF+AF,即AB=AC.

(2)證明：如圖2中，作OE_LAB于E,OF_LAC于F,連接A0.

圖2

VOELAB,0F1AC,OE=OF,

.?./OE8=NOFC=90°,

在RtAOEB和RtAOFC中，

[OE=OF,

1BO=OC'

ARtAOEB^RtAOFC(HL),

：.BE=CF,

在RtAAOE和RtAAOF中，

[0A=0A,

idE=OF'

ARtAAOE^RtA/lOF(HL),

：.AE=AF,

：.BE+AE=CF+AF,BPAB=AC.

(3)解：結(jié)論不一定成立.如圖3中.AB^AC'

【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是利

用於判定兩個(gè)三角形全等，屬于中考?？碱}型.

11.如圖，在△ABC中，4E平分NBAC,交BC于點(diǎn)E,。是8c邊上點(diǎn)，且。E=CE,點(diǎn)

F在AE上，聯(lián)結(jié)。F,滿足。F=AC,

求證：DF//AB.

【分析】延長FE到G,使EG=EF.連接CG,由于已知條件通過SAS證得△DE/g4

CEG得至IJ。尸=6(7,NDFE=NG,由。尸=4C得到NG=NC4E,繼而由角平分線的性

質(zhì)可求得NBAEn/DEF,可證明OF〃A8.

【解答】證明：

如圖，延長尸E到G,使EG=EF,連接CG.

在△￡>￡：尸和ACEG中

'DE=EC

'NDEF=NCEG，

.FE=EG

/.△DEF^ACEG(SAS).

：.DF=GC,ZDFE=ZG.

"：DF=AC,

，NG=/C4E,

平分/B4C

:.NBAE=NCAE.

J.ZG^ZBAE,

:.NBAE=NDFE,

：.DF//AB.

【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行

求解是正確解決本題的關(guān)鍵.

12.(1)計(jì)算：(岳_4陌1)+邑

V2V2W3V3

2

(2)已知x=—1；=,求三一62+2的值.

3+2&x-3

【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后把括號

內(nèi)合并后進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算：

（2）先分母用理化得到x=3-2a,則x-3=-2近，兩邊平方可得/-6x=-1,然

后利用整體代入的方法計(jì)算原式的值.

【解答】解：⑴原式=Ga-2&-加-?）??

--V3-73

=-3；

(2)?.”=—

3+2加

；.x=3-2&,

??x-3=-2y1"2.

(x-3)2=8,即f-6x=-l,

.,.原式=-1+2-一返

-2V24

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次

根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特

點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

13.已知：如圖，AB=AC,AD-AE,NBAE=NCAD,8。與CE相于點(diǎn)尺

求證：(1)NB=NC；(2)FB=FC.

【分析】（1）由已知條件證得絲Z\ACE,從而證得.

（2）連接BC,要證/8=FC,可利用等式性質(zhì)來證得.

【解答】證明：（1）,：ZBAE^ZCAD（已知），

.?.NBAE+/EAD=NCA￡?+NZME（等式性質(zhì)），即N8A￡>=NCAE.（1分）

'AB=AC（已知）

在AAB。和△ACE中，，ZBAD=ZCAE（已證）

AD二AE（已知）

...△A8。之△ACE（SAS）.（1分）

...NA8O=/4CE（全等三角形對應(yīng)角相等）.（1分）

（2）連接BC.（1分）

'：AB=AC（已知），

.../48C=N4C8（等邊對等角）.（1分）

NAB￡）=ZACE（已證），

；.NABC-N4BO=NACB-NACE（等式性質(zhì)），即/PBCn/FCB.（1分）

:.FB=FC（等角對等邊）.（1分）

【點(diǎn)評】本題主要考查了兩個(gè)三角形的判定和性質(zhì)，（1）從證得△ABO絲Z\ACE而得到

所證.（2）由等式性質(zhì)來求證.難度一般.

14.已知：CP是等邊△ABC的外角N4CE的平分線，點(diǎn)。在射線BC上，以。為頂點(diǎn)，

D4為一條邊作NAQF=60°,另一邊交射線CP于F.

（1）如圖，若點(diǎn)。在線段8c上，求證：?ZBAD=ZCDF,@AD=FD；

（2）若點(diǎn)。在線段BC的延長線上，（1）中的兩個(gè)結(jié)論還一定成立嗎？若成立，請證明.

p

AOE=NB+NBAD,并由/4OE在圖形中分成的兩角和得出NCDF；

②利用外角平分線得：/ACP=NPCE=60°,證明A、D、C、尸四點(diǎn)共圓，從而得出

△AOF是等邊三角形，所以A￡>=F￡>；

(2)第一個(gè)結(jié)論不一定正確，第二個(gè)結(jié)論一定正確，理由是：如圖2,同理連接AF,根

據(jù)角的和差得：NBA￡)=60°+ZCAD,NCDF=60°+ZADC,而且而。是射線BC上

任意一點(diǎn)；CO與AC不一定相等，只有相等時(shí)兩角才相等；第二個(gè)結(jié)論與②同理得：A、

C、。、尸四點(diǎn)共圓，則△4。尸是等邊三角形，所以AQ=FQ.

【解答】證明：(1)如圖1,①;△ABC是等邊三角形，

：./B=NACB=NBAC=60°,

"：ZADE=ZB+ZBAD,ZADE=ZCDF+ZADF,

：.NB+NBAD=ZCDF+ZADF,

\"ZADF=6QQ,

:.NB=NADF,

:.NBAD=NCDF；

②連接AF,

\'ZACB=60°,

：.ZACE=\20°,

平分/4CE,

AZACP=ZPCE=60°,

/ACP=60°,

.?.4、D、C、尸四點(diǎn)共圓，

：.ZAFD=ZACB=60°,

AZADF=ZAFD=60°,

.,.ZDAF=60°,

???ZVI。尸是等邊三角形，

：.AD=FD；

（2）若點(diǎn)。在線段8C的延長線上，（1）中的第一個(gè)結(jié)論不一定正確，第二個(gè)結(jié)論一定

正確，理由是：

如圖2,連接AF,

VZBAD=ZBAC+ZCAD,ZBAC=60°,

：.ZBAD=60°+NC4。，

ZCDF=ZADC+ZADF,ZADF=60°,

：.ZCDF=60°+ZADC,

只有當(dāng)NC4O=NADC時(shí)，第一個(gè)結(jié)論正確，即/班O=NCDF,而只有CO=AC時(shí)兩

角才相等；而。是射線8c上任意一點(diǎn)；

同（1）得：ZADF=ZACF=60°,

，A、C、D、F四點(diǎn)共圓，

：.ZFAD=ZFCD=60°,

ZAFD=60°,

**.AA￡）F是等邊三角形，

：.AD=FD.

B

D

圖2

圖1

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定及三角形的外角定理，知道等邊三角形的

三邊相等，且各角為60°；本題多次運(yùn)用了外角定理和角的和差關(guān)系得出角的大小關(guān)系;

同時(shí)本題利用了四點(diǎn)共圓，若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，則四點(diǎn)共圓；

本題也可以過。作OG〃AC,得出結(jié)論.

I5.將一條長為2051的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形.

(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于We*/,那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是

多少？

(2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12c/嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，

請說明理由.

【分析】(1)這段鐵絲被分成兩段后，圍成正方形.其中一個(gè)正方形的邊長為xcm,則

另一個(gè)正方形的邊長為絲絲=(5-x),根據(jù)“兩個(gè)正方形的面積之和等于17cH2”作

4

為相等關(guān)系列方程，解方程即可求解；

(2)設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為》可得二次函數(shù))=/+(5-x)2=2(x-旦)2+空，

22

利用二次函數(shù)的最值的求法可求得y的最小值是12.5,所以可判斷兩個(gè)正方形的面積之

和不可能等于12C/?2.

【解答】解：(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為XC”則另一個(gè)正方形的邊長為(5-X)C/M,

依題意列方程得了+(5-%)2=17,

整理得：?-5x+4=0,

(x-4)(x-1)=0,

解方程得冗1=1,X2=4,

1X4=4C〃7,20-4=16cm；

或4X4=1657,20-16=4cwz.

因此這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm、16cm；

（2）兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于12C,"2.

理由：

設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為y,則

y=/+（5-x）2=2（x-—）2+^-,

22

：。=2>0,

.?.當(dāng)欠=”時(shí)，y的最小值=12.5>12,

2'

兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于12c〃P；

（另解：由（1）可知7+（5-x）2=12,

化簡后得2?-10_r+13=0,

:△=（-10）2-4X2X13=-4<0,

...方程無實(shí)數(shù)解；

所以兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于12c）

【點(diǎn)評】此題等量關(guān)系是：兩個(gè)正方形的面積之和=17或12.讀懂題意，找到等量關(guān)系

準(zhǔn)確的列出方程是解題的關(guān)鍵.

16.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2?-3--y2.

【分析】將原式配方成2（x-Wy）2_烏2,再利用平方差公式分解即可得.

4-8

【解答】解：原式=2（/-2。+旦/_且2）2

2'16'16'

=2（X-Wy）2-IL/

4-8

=（揚(yáng)+叵溫）（小一叵曲“.

44

【點(diǎn)評】本題主要考查因式分解的能力，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的

關(guān)鍵.

17.用20米長的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的長方形倉庫（如圖所示），若要求圍成的長方形面

積為60米2,并且這堵墻長10米，在與墻平行的一邊，開一扇寬2米的門（門不占用籬

笆材料），問：該長方形相鄰兩邊長要取多少米？

【分析】設(shè)倉庫的垂直于墻的一邊長為X米，而與墻平行的一邊開一道2米寬的門，現(xiàn)

有能圍成20米長的籬笆，那么平行于墻的一邊長為(20-2X+2)米，而倉庫的面積為

60米2,由此即可列出方程，解方程就可以解決問題.

【解答】解：設(shè)倉庫的垂直于墻的一邊長為x米，

依題意得(20-2x+2)x=60,

x2-llx+30=0,

(x-6)(x-5)=0,

.".xi=6或X2=5,

當(dāng)XI=6時(shí)，20-2%+2=10；

當(dāng)X2=5時(shí)，20-2%+2=12>10,不合題意舍去.

答：該長方形相鄰兩邊長要取10米，6米.

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄懂題意，找出題目中的等量關(guān)

系，要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

18.如圖，已知CB_L43,點(diǎn)E在上，且CE平分N8CD,QE平分NAOC,ZEDC+Z

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得/AOC=2/EZ)C,ZBCD=2ZDCE,然后求出/AOC+

ZBCD=180°,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得AO〃BC,再根據(jù)兩直線平行，同

旁內(nèi)角互補(bǔ)證明即可.

【解答】證明：CE分別平分NAOC、/BCD,

：.ZADC^2ZEDC,NBCD=2NDCE,

VZEDC+ZDCE=90°,

AZADC+ZBCD=2X90°=180°,

J.AD//BC,

又

；.NB=90°,

.*.ZA=180°-90°=90°,

：.AB±DA.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)，以及垂直的定義，熟記性

質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

19.已知：在△ABC中，AC=BC,NACB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一

點(diǎn).

(1)直線B尸垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)、G(如圖1),求證：AE=CG；

(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交C￡＞的延長線于點(diǎn)M(如圖2),找出圖

中與BE相等的線段，并證明.

【分析】(1)首先根據(jù)點(diǎn)。是AB中點(diǎn)，ZACB=90Q,可得出/4C￡>=N8CZ)=45°,

判斷出△AECg^CGB,即可得出AE=CG,

(2)根據(jù)垂直的定義得出NCM4+NMCH=90°,ZBEC+ZMCH=90c，,再根據(jù)AC

=BC,ZACM=ZCBE=45°,得出△BCE絲ZkCAM,進(jìn)而證明出BE=CM.

【解答】(1)證明：：點(diǎn)。是AB中點(diǎn)，AC=BC,

N4C8=90°,

J.CDLAB,NACO=NBC￡)=45°,

：.ZCAD=ZCBD=45°,

：.ZCAE^ZBCG,

XVBF1CE,

：.ZCBG+ZBCF=90°,

XVZACE+ZBCF=90°,

NACE=ZCBG,

在△AEC和ACGB中,

'/CAE=/BCG

<AC=BC

,ZACE=ZCBG

:.4AEC必CGBCASA),

：.AE=CG,

(2)解：BE=CM.

證明：'JCHLHM,CDLED,

：.ZCMA+ZMCH=90°,NBEC+NMCH=90°,

：.ZCMA=ZBEC,

又：NACM=NCBE=45°,

fZBEC=ZCMA

在ABCE和△CAM中，，ZACM=ZCBE?

,BC=AC

：./\BCE^ACAM(44S),

：.BE=CM.

【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，難

度適中.

20.如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，/AOB=UO°,NBOC=a.將△BOC繞點(diǎn)C按順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△4OC,連接OD

(1)求證：△CO。是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△A。。的形狀，并說明理由；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOO是等腰三角形？

A

D

B匕--------------------

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出oc=。。，結(jié)合題意即可證得結(jié)論；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可作出判斷；

（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答.

【解答】（1）證明：???將△80C繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得AADC,

：.CO=CD,ZOCD=60°,

.?.△COZ）是等邊三角形.

(2)解：當(dāng)a=150°時(shí)，△A。。是直角三角形.

理由是：?.?將△80C繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△AQC,

.,.△BOC^AADC,

.?.NAZ)C=N2OC=150°,

又???△COD是等邊三角形，

：.ZODC=60°,

ZADO=ZADC-NOZ)C=90°,

；/a=150°/AOB=UO°,/COZ)=60°,

...NAOO=360°-/a-/AO8-NCO￡)=360°-150°-110°-60°=40°,

.?.△AOO不是等腰直角三角形，即△A。。是直角三角形.

(3)解：①要使AO=A￡>,需/AO￡)=NA。。，

VZAOD=360°-110°-60°-a=190°-a,ZAD(?=a-60°,

.?.190°-a=a-60°,

/.a=125°；

②要使OA=OD,需NO4O=NA。。.

?.?/OA￡>=180°-(ZAOD+/AOO)=180°-(190°-a+a-60°)=50°,

；.a-60°=50°,

.,.a=110°；

③要使。。=4。，需NOA￡>=/A。。.

VZAOD=36QQ-1100-60°-a=190°-a,

NOAD=]40。_（口―60。）=]20。,

22

A1900-a=120。,

2

解得a=140°.

綜上所述：當(dāng)a的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△A。。是等腰三角形.

【點(diǎn)評】本題以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性

質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn).試

題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法（如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類

討論、方程思想等），能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問題的能力.

21.如圖，在等邊△ABC中，AM為8C邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)。在直線AM上時(shí)，以CO為邊

在CD的下方作等邊△€1￡>￡,聯(lián)結(jié)8E.

（1）/C4M=30度;

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段4M上時(shí)，求證：AADC注ABEC；

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。在直線AM上時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為。，試判斷/4OB的度

數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？請說明理由.

E

備用圖備用圖

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論.

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC,DC=EC,NACB=/OCE=60°,

由等式的性質(zhì)就可以NBCE=NACD,根據(jù)SAS就可以得出

（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)。在線段AM上時(shí)，如圖1,由（2）可知△ACQgZkBCE,就

可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)。在線段AM的延長線上時(shí)，如圖2,可以得出△ACD四△B"而

有NC8E=NC4O=30°而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)。在線段M4的延長線上時(shí)，如圖3,通過

得出△ACO烏ABCE同樣可以得出結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖1中，???△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=60°.

:線段AM為8c邊上的中線

ZCAM^^-ZBAC,

2

.../C4M=30°.

故答案為：30；

(2):△ABC與△QEC都是等邊三角形

：.AC=BC,CD=CE,ZACB^ZDCE=60Q

：.ZACD+ZDCB^ZDCB+ZBCE

：.ZACD=/BCE.

在△AOC和△BEC中

'AC=BC

■ZACD=ZBCE

,CD=CE

AAACD^ABCE(SAS).

(3)/AO8是定值，ZAOB=60°,

理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)。在線段4M上時(shí)，如圖1,由(2)可知△ACQ絲△BCE,則/CBE=/C4Z)=

30°,

又NA8C=60°

：.ZCBE+ZABC=60°+30°=90°,

「△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線

平分NBAC,即NBAM=L/8AC=LX60°=30°

22

:.NBOA=90°-30°=60°.

②當(dāng)點(diǎn)。在線段AM的延長線上時(shí)，如圖2中，

缸ABC與△OEC都是等邊三角形

；.4C=BC,CD=CE,NAC8=/DCE=60°

ZACB+ZDCB=ZDCB+ZDCE

：.ZACD^ZBCE

在△ACQ和△BCE中，

'AC=BC

'NACD=/BCE，

,CD=CE

AAACD^AfiCE(SAS)

：.ZCBE=ZCAD=30°,

同理可得：NZMM=30°,

AZBOA=90°-30°=60°.

③當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長線上時(shí)，

,/XABC與△￡>EC都是等邊三角形

：.AC=BC,CD=CE,/ACB=/OCE=60°

ZACD+ZACE=ZBCE+ZACE=60a

：.ZACD=ABCE

在△ACQ和△BCE中，

'AC=BC

-ZACD=ZBCE)

,CD=CE

AAACD^ABCE(SAS)

：.ZCBE=ZCAD

同理可得：NCAM=30°

ZCBE=ZC4D=150°

...NCBO=30°,NB4M=30°,

AZBOA=90°-30°=60°.

綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。在直線AM上時(shí)，/AOB是定值，/4OB=60°.

圖3

圖1

【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)

的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等

是關(guān)鍵.

22.己知機(jī)=—n——求的值.

2+遍2^5

【分析】先將機(jī)2-變形為2+mn,然后將〃?和〃的值代入求解即可.

【解答】解：?.“

2+V5

n=—-2-辰,

2y

?\m-mn+n

=(m-n)2+mn

=(-2+V5+2+V5)2+(-2+V5)(-2-V5)

=20-1

=19.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵在于先將由2〃+〃2變形為

(m-n)2+mn,然后將相和"的值代入求解.

23.小惠到眼鏡店調(diào)查了近視眼鏡的度數(shù)和鏡片焦距的關(guān)系如表：

鏡片焦距x(cw)502512.5108…

眼鏡度數(shù)y(度)20040080010001250…

(1)根據(jù)上表體現(xiàn)出來的規(guī)律，請寫出眼鏡度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(cm)之間的函

數(shù)關(guān)系式；

(2)若小惠所戴眼鏡度數(shù)為500度，求該鏡片的焦距.

【分析】(1)觀察表格中的數(shù)據(jù)可知肛=10000,由此即可解決問題.

(2)把)，=200代入，函數(shù)關(guān)系式中求出x的值即可.

【解答】解：(1)由題意可知：孫=10000,

.?*10000(x>0).

X

(2)當(dāng)y=500時(shí),x=20.

答：若小惠所戴眼鏡度數(shù)為500度，則該鏡片的焦距為20°〃?.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決

問題.

24.如圖，直線y=or(a>0)與雙曲線y=k(&>0)交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,

x

2),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(小-2).

(I)求a,〃的值；

(2)若雙曲線y=y=k(k>0)的上點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求△AOC的面積.

x

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a的值，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可

求得〃；

(2)由條件(1)知I,k=8,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求出C的坐標(biāo)為(1,8),然后根據(jù)S

MOC=S^COD+S^.mACDE-SMOE=S棒形ACDE即可求得.

【解答】解：(1)?.?直線y=ar(a>0)與雙曲線)，=K(k>0)交于A、8兩點(diǎn)，

X

.平a=2,

lan=-2

解得a=—,n=-4；

2

(2)?.?雙曲線y=k(%>0)經(jīng)過A點(diǎn)，

x

.?#=4X2=8,

?雙曲線y=y=K(k>0)的上點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,

x