高等數(shù)學(xué)電子教案

(中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用)第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用這一章提供了各種各樣的方法來研究函數(shù)。這其中又提供了兩種求極限的方法---洛必達法則與泰勒式；另外利用微分中值定理,函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，泰勒公式又可解決一大類不等式及等式的證明，結(jié)合上面連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),又可討論方程根的分布。函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點的變化性質(zhì)—變化率，它是函數(shù)在該點的一個局部性質(zhì)。有時候，我們要研究函數(shù)在整個定義域上的變化形態(tài)，這就是要了解函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)。而函數(shù)的局部性質(zhì)與整體性質(zhì)是通過中值定理表達的。這些中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)，它聯(lián)系著導(dǎo)數(shù)的許多應(yīng)用。第一節(jié)微分中值定理一.羅爾(Rolle)定理首先，我們看圖,其中連續(xù)曲線弧AB是函數(shù)y=f(x)，(x∈[a,b])的圖形。此圖形的兩個端點的縱坐標(biāo)相等，即f(a)=f(b)，且除了端點外處處有不垂直于x軸的切線。x可發(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點或最低點C處，曲線有水平的切線.如果記C點的橫坐標(biāo)為ξ，那么有=0。我f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么=0.們用數(shù)學(xué)語言來描述這個情況,先介紹費馬定理。引理(費馬定理)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)有定義并且在x0處可導(dǎo),如果對任意的x∈U(x0)，有當(dāng)△x<0時bxyoξaABC證明:設(shè)x∈U(x0)時,f(x)≤f(x0)[對f(x)≥f(x0)可以同樣證明]對于x0+△x∈U(x0),有f(x0+△x)—f(x0)≤0,當(dāng)△x>0時根據(jù)函數(shù)f(x)在x0點可導(dǎo)的條件,再由極限的保號性，便得到=0證明完畢。通常稱導(dǎo)數(shù)為0的點為函數(shù)的駐點，(或稱為穩(wěn)定點,臨界點)所以羅爾定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得函數(shù)f(x)在該點的導(dǎo)數(shù)等于0,即有(a<ξ<b)(1)證明:由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么它在該區(qū)間上必定存在最大值M和最小值m,下面我們分兩種情況來證明定理1axyf(x)=kbo即f(x)在[a,b]上是常數(shù);所以在(a,b)內(nèi)的任意一點C有f’(C)=0(1)設(shè)M=m由知道在(a,b)內(nèi)取得M或m值的點ξ,有xyf(x)=kaboMmξ1ξ2(2)設(shè)M≠m,必有m<M,由于f(a)=f(b),所以在區(qū)間的兩端,函數(shù)f(x)不可能同時取到最大值和最小值,M和m中至少有一個是在(a,b)內(nèi)達到,由費馬定理我們定理1的幾何意義是:對于滿足條件的f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(即中間值),使f(x)在x=ξ時有水平切線,即f’(ξ)=0.

羅爾中值定理:若函數(shù)y=f(x)滿足條件(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)(3)在區(qū)間的端點的函數(shù)值相等f(a)=f(b)結(jié)論是在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b)使f’(ξ)=0例如函數(shù)f(x)=|x|,x∈[-1,1],

(1)在[-1,1]上連續(xù),(2)f(-1)=f(1)=1,但在x=0處不可導(dǎo)(不滿足第二個條件),所以在[-1,1]內(nèi)找不到一點ξ使f’(ξ)=0.同學(xué)們注意:必須要滿足這3個條件,如果少一個就沒有這個結(jié)論.例1設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在任一點處的導(dǎo)數(shù)都不為零.又f(a)·f(b)<0.試證明:方程f(x)=0在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有僅有一個實根.證明:由于函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)·f(b)<0.即f(a)與f(b)異號,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),至少存在一點x0∈(a,b),使f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個實根x0.再證明只有一個實根,用反證法.假設(shè)還有x1∈(a,b),x1∈(a,b),x1≠x0,使f(x1)=0.那么由羅爾定理知道,必定存在一點ξ∈(a,b),使f‘(ξ)=0,則與題設(shè)導(dǎo)數(shù)恒不為零相矛盾.因此方程f(x)=0只有一個實根x0.二拉格朗日(Lagrange)定理定理2設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得分析:看圖(2)式的右邊是連續(xù)曲線上兩點A(a,f(a)),B(b,f(b))的弦的斜率,定理的結(jié)論是至少存在一內(nèi)點ξ,使得曲線上的點C(ξ,f(ξ))的切線平行于AB弦.當(dāng)f(a)=f(b)時拉格朗日定理就是羅爾定理.

xyf(x)=kaboξ1ξ2f(ξ)f(a)f(b)AB這里采用構(gòu)造一個函數(shù)的方法是高等數(shù)學(xué)中常用的方法.請同學(xué)注意,要學(xué)會它.證明：因為弦AB的方程是設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則函數(shù)φ(x)也在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),由φ(a)=φ(b)根據(jù)定理1知道至少存在一點ξ,使得它可以寫成下列幾個常用的公式我們知道x+θ△x在x和x+△x之間,它是個中值.下面我們介紹一個推論如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為0則此函數(shù)在區(qū)間上是一個常數(shù).證明:任意取x1,x2∈I,由中值定理:f(x2)-f(x1)=f’(C)(x2-x1)其中c位于x1,x2之間,由題設(shè)可知f(x2)=f(x1)由x1,x2的任意性,知道f(x)=C(常數(shù),x∈I,)例2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)f’(x)有界,證明存在常數(shù)L使得對于I上任意兩點x1和x2,都有不等式|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|成立這時稱為函數(shù)在區(qū)間I上滿足李普希茨(Lipschitz)條件證明:由中值定理:f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)其中ξ在x1,x2之間由題可知存在L>0,使得|f’(ξ)|<L所以

|f(x1)-f(x2)|=|f’(ξ)||(x2-x1)|

≤L|x1-x2|例3:證明等式:證明：將左式設(shè)為f(x),當(dāng)|x|<1/2時由中值定理可知f(x)=C(常數(shù),|x|<1/2)在(-1/2,1/2)中選一點計算函數(shù)值,例如取x=0,得到f(0)=3arccos0-arccos0=3π/2-π/2=π所以f(x)=π(|x|<1/2)當(dāng)x=1/2時,有3arccos1/2-arccos(3/2-1/2)=3π/3-0=π3arccos(-1/2)-arccos(-3/2+1/2)=3×2π/3-π=π例4若f(x),g(x)在[0,+∞]上連續(xù),在(0,+∞)內(nèi)可微,且f(0)=g(0),當(dāng)x>0時,f’(x)>g’(x).，則當(dāng)x>0時,f(x)>g(x).例5證明不等式:證明:設(shè)F(x)=f(x)-g(x)(x>0)由于F(0)=f(0)-g(0)=0,且F’(x)=f’(x)-g’(x)>0(x>0)所以F(x)-F(0)=F’(x)·(x0)>0→F(x)=f(x)-g(x)>0即f(x)>g(x).分析:上面的不等式包含兩個不等式關(guān)系:對于每一個不等式,問題是比較兩個函數(shù)的大小.我們直接利用例3設(shè)三柯西(Cauchy)定理定理3設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且g’(x)≠0,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得下式成立將(4)式寫成下列形式,且構(gòu)造輔助函數(shù)(輔助函數(shù)一般的構(gòu)成方法是把結(jié)果的右邊移到左邊,使它變成零.)證明：先證明(4)式中分母g(b)-g(a)≠0,因為g’(x)≠0,根據(jù)中值定理將輔助函數(shù)求導(dǎo),應(yīng)用(Lagrange)定理可以得到.構(gòu)造函數(shù)它在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),柯西(Cauchy)定理得到證明.根據(jù)(Rolle)定理可以得到:至少存在一點ξ,使羅爾(Rolle)定理，拉格朗日定理，柯西(Cauchy)定理之間的關(guān)系定理及關(guān)系條件結(jié)論羅爾(Rolle)定理f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(a)=f(b),(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,f’(ξ)=0(a<ξ<b)

f(a)=f(b),拉格朗日定理(Lagrange)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,柯西(Cauchy)定理f(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),g’(x)≠0,(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,g’(x)=xf(a)=f(b)例6當(dāng)x>1時,試證明不等式ex>ex.證明:用拉格朗日定理證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造一個

輔助函數(shù),并定出一個適當(dāng)?shù)膮^(qū)間,使該輔助函數(shù)在區(qū)間上滿足定理的條件,然后由中值ξ所在的位置,放大或縮小f’(ξ),推出要證的不等式.設(shè)f(x)=ex