數(shù)學(xué)備考之必備公式與定理

數(shù)學(xué)備考之必備公式與定理常用不等式三角不等式當(dāng)且僅當(dāng)異號(hào)時(shí)，前邊的不等式取“＝”當(dāng)且僅當(dāng)同號(hào)時(shí)，后邊的不等式取“＝”例1.1：是實(shí)數(shù)，+=（1）（2）②n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“＝”特別地，當(dāng)n＝2時(shí)，有（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“＝”，此時(shí)取得最小值，而取得最大值例1.2：已知x,y均為正整數(shù)，若它們的算術(shù)平均值為2，幾何平均值也為2，求x,y的值比的性質(zhì)是的比大原值，增長(zhǎng)率，現(xiàn)值比小原值，下降率，現(xiàn)值例2.1：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子減少25%，而分母增加25%，則新分?jǐn)?shù)比原來分?jǐn)?shù)減少的百分率是（）(A)40％ (B)45％ (C)50％ (D)60％ (E)55％例2.2：某商品在第一次降價(jià)10%的基礎(chǔ)上，第二次又降價(jià)5%，若二次降價(jià)后恢復(fù)到原來的價(jià)格，則價(jià)格上漲的百分率為（）(A)15％ (B)16％ (C)17％ (D)14％ (E)13％比例性質(zhì)（基本性質(zhì)）（反比性質(zhì)）（更比性質(zhì)）（合比性質(zhì)）（分比性質(zhì)）（合分比性質(zhì)）（等比性質(zhì)），其中例3.1：家中父親體重與兒子體重的比，恰等于母親體重與女兒體重的比，已知父親的體重和兒子體重之和為125公斤，母親體重與女兒體重之和為100公斤，兒子比女兒重10公斤，那么兒子的體重是（）(A)40公斤 (B)50公斤 (C)55公斤 (D)60公斤 (E)65公斤例3.2：乘法公式例4.1：有成立例4.2：一元二次方程當(dāng)判別式時(shí)，方程有兩個(gè)相異實(shí)根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：設(shè)方程的兩個(gè)根為，則，例5.1：實(shí)數(shù)滿足（1）關(guān)于的一元二次方程的兩根的倒數(shù)是方程的兩根（2）關(guān)于的方程有兩相等實(shí)根例5.2：若方程兩根之差為1，則的值是（）(A)9和－3 (B)9和3 (C)－9和3 (D)－9和－3 (E)9和－2二次函數(shù)圖像為拋物線，對(duì)稱軸，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程的實(shí)根當(dāng)時(shí)，開口向上，是最小值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，開口向下，是最大值點(diǎn)一元二次不等式情況不等解集式當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)（設(shè)）當(dāng)有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)當(dāng)沒有實(shí)根時(shí)（）或（）例7.1：的定義域?yàn)?A) (B) (C) (D)(E)以上都不對(duì)例7.2：自然數(shù)n滿足條件（1）自然數(shù)n加上2后是一個(gè)完全平方數(shù)（2）自然數(shù)n減去1后是一個(gè)完全平方數(shù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式＝＝當(dāng)時(shí)，特別地，當(dāng)時(shí)，，稱為與的等差中項(xiàng)④仍成等差數(shù)列例8.1：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下面正確的是：(A)是等差數(shù)列 (B) (C) (D) (E)例8.2：若兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比是，則它們的第11項(xiàng)之比是(A)4 (B)3 (C) (D) (E)例8.3：在等差數(shù)列中，若，求等比數(shù)列通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式當(dāng)時(shí)，特別地，當(dāng)時(shí)，，稱為與的等比中項(xiàng)④仍成等比數(shù)列⑤非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列例9.1：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則這個(gè)數(shù)列是：(A)等差數(shù)列 (B)等比數(shù)列 (C)既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列 (D)既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 (E)無法判定例9.2：等比數(shù)列中的，，那么等于（）(A)5 (B)－5 (C)－8 (D)8 (E)例9.3：在等比數(shù)列中，已知，，則等于（）(A)63 (B)68 (C)76 (D)89 (E)9210．加法原理與乘法原理①加法原理完成一件事，有n類方法，在第一類方法中有種不同的方法，在第二類方法中有種不同的方法，…，在第n類方法中有種不同的方法（每種方法都可直接完成這件事情），那么完成這件事共有種不同的方法②乘法原理完成一件事，有n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，…，做第n步有種不同的方法（每種方法都不能直接完成這件事情），那么完成這件事共有種不同的方法例10：某人欲從5種A股票和4種B股票中選購3種，其中至少有2種A股票的選購方法共有(A)40種 (B)50種 (C)60種 (D)65種 (E)70種11．排列組合①排列從n個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素，按照順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列（排列與順序有關(guān)）從n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的所有排列的總數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的排列數(shù)，用表示②組合從n個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合（組合與順序無關(guān)）從n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的所有組合的總數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的組合數(shù)，用表示例11．能組成18個(gè)三位數(shù)（1）從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)，組成百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的三位數(shù)（2）用0，1，2，3四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)12．古典概型（等可能概型）若隨機(jī)試驗(yàn)含有n個(gè)基本事件（樣本點(diǎn)），并且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，即每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是，則這樣的試驗(yàn)叫做古典概型。若隨機(jī)事件A包含m個(gè)基本事件，則事件A發(fā)生的概率為例12．某市電話號(hào)碼由8位數(shù)組成，每位數(shù)字可以是0，1，2，…，9十個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)，則電話號(hào)碼是由8個(gè)互不相同的數(shù)字組成的概率是（）13．事件間的關(guān)系和運(yùn)算事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件，叫做事件A與事件B的和，記作A＋B（或）事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件，叫做事件A與事件B的積，記作AB（或）①若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件A與事件B互斥（也稱互不相容），此時(shí)有和的概率等于概率的和，即②若事件A與事件B必有且僅有一個(gè)發(fā)生，即且，則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件，記作，有③若事件A發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生與否沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，此時(shí)有積的概率等于概率的積，即例13：甲乙兩人參加投籃游戲，已知甲、乙兩人投中的概率分別為0.6和0.75，則甲乙兩人各投籃1次，恰有1個(gè)人投中的概率為(A)0.4 (B)0.45 (C)0.5 (D)0.55 (E)0.6514．貝努里概型（獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為，將試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次，叫做n重貝努里概型試驗(yàn)。①在n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生次的概率為②直到第次試驗(yàn)，事件A才首次發(fā)生的概率為③直到第n次試驗(yàn)，事件A才發(fā)生次的概率為例14：一個(gè)人的血型為型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03?，F(xiàn)任選5人，至多一人血型為型的概率約為(A)0.045 (B)0.196 (C)0.201 (D)0.241 (E)0.46115．平面幾何①關(guān)于直線兩直線平行同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)②關(guān)于三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊內(nèi)角和為外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和面積＝底×高＝兩鄰邊之積×夾角正弦邊長(zhǎng)為的等邊三角形的面積為③關(guān)于直角三角形勾股定理：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方斜邊中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等一銳角為的直角三角形的三邊之比為一銳角為的直角三角形的三邊之比為④全等與相似全等三角形的對(duì)應(yīng)線段（包括對(duì)應(yīng)邊，中位線，角平分線，對(duì)應(yīng)邊上的高線、中線等等）均相等，對(duì)應(yīng)角也相等相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段成比例，面積之比＝邊長(zhǎng)之比的平方⑤關(guān)于四邊形兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形，面積＝底×高＝兩鄰邊之積×夾角正弦鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形的對(duì)角線互相垂直平分一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形鄰邊相等的矩形，或者一個(gè)角是直角的菱形是正方形只有一組對(duì)邊互相平行的四邊形是梯形，面積＝（上底＋下底）×高⑥關(guān)于圓半徑為，周長(zhǎng)＝，面積＝例15.1：或成立在中，邊在中，例15.2：如下圖，半圓ABC以C為圓心，半徑為1，且，延長(zhǎng)BD和AD，分別與以B，A為圓心，2為半徑的圓弧交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是(A) (B) (C) (D) (E)例15.3：如上圖，圓O的兩條半徑，AC與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，AC與圓O交于點(diǎn)D，可以確定CD=7.5圓O的直徑為15，（2）16．平面解析幾何基本公式①兩點(diǎn)間距離公式設(shè)點(diǎn)，則②有向線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)點(diǎn)是有向線段的定比分點(diǎn)，且定比為，即，起點(diǎn)，終點(diǎn)，則特別地，當(dāng)時(shí)，為線段AB的中點(diǎn)，則③直線斜率的計(jì)算公式i）設(shè)為直線的傾斜角，，則ii）設(shè)是直線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則iii）直線的斜率為④兩條直線的夾角公式設(shè)直線的斜率分別為，且，直線的夾角為，則⑤點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為⑥點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)公式設(shè)點(diǎn)，直線，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為例16.1：已知兩點(diǎn)，線段與x軸的交點(diǎn)P分有向線段所成比為，則有(A) (B) (C)(D) (E)A、B、C、D均不正確例16.2：已知兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為(A) (B) (C) (D) (E)例16.3：成立（1）點(diǎn)到直線的距離大于4（2）兩平行直線之間的距離小于17．直線①直線方程點(diǎn)斜式：過點(diǎn)，斜率為的直線方程為兩點(diǎn)式：過兩個(gè)點(diǎn)，的直線方程為（）斜截式：斜率為，在軸上的截距為的直線方程為截距式：在軸上的截距為，在軸上的截距為的直線方程為一般式：（A，B不全為零）②兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩條直線,或，i）與相交或特別地，或ii）或iii）與重合或例17.1：過點(diǎn)，且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為(A) (B) (C)或 (D)或 (E)或例17.2：或（1）直線互相垂直（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是18．圓①圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為，半徑為r的圓的方程為一般方程：一般方程可通過配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程：②圓心在原點(diǎn)的圓，是圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線方程為③直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線：，圓：，半徑為r，圓心到直線的距離為d，又設(shè)方程組（I）則直線與圓相交d<r（I）有兩組不同的實(shí)數(shù)解直線與圓相切d=