專(zhuān)題09三角恒等變換（8大考點(diǎn)知識(shí)串講熱考題型專(zhuān)題訓(xùn)練）

專(zhuān)題09三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1、兩角和與差的正弦：::2、兩角和與差的余弦：::3、兩角和與差的正切：:.:.注意：①公式的適用范圍是使公式兩邊有意義的角的取值范圍；②公式的變形：；知識(shí)點(diǎn)2二倍角公式與升（降）冪公式1、二倍角公式（1）二倍角的正弦（）：；變形（2）二倍角的余弦（）：.（3）二倍角的正切（）：2、升降冪公式（1）升冪公式：，（2）降冪公式：，知識(shí)點(diǎn)3給角求值與給值求值問(wèn)題“給角求值”、“給值求值”問(wèn)題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.1、給值求值問(wèn)題處理（1）關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．（2）常見(jiàn)的配角技巧：，，，等．2、給值求角問(wèn)題處理實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；（2）已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好.知識(shí)點(diǎn)4三角恒等變換綜合應(yīng)用1、輔助角公式：對(duì)于形如的式子，可變形如下：=由于上式中和的平方和為1，故令，則==其中角所在象限由的符號(hào)確定，角的值由確定，或由和共同確定．2、三角函數(shù)化簡(jiǎn)“三看”原則3、三角恒等變換綜合應(yīng)用的解題思路（1）將化為的形式；（2）構(gòu)造（3）和角公式逆用，得(其中φ為輔助角)；（4）利用研究三角函數(shù)的性質(zhì)；（5）反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．考點(diǎn)1兩角和與差的正（余）弦公式【例1】（2023·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習(xí)）（）A．0B．C．D．1【答案】C【解析】，故選：C【變式11】（2023·海南?？凇じ叨？茧A段練習(xí)）計(jì)算：（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故選：A【變式12】（2023·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由.故選：A.【變式13】（2023·廣東佛山·高一三水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，平方相加可得，求得，即．故選：C．【變式14】（2023·四川遂寧·高一蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）.【答案】【解析】.考點(diǎn)2兩角和與差的正切公式【例2】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）的值為（）A．B．0C．1D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，變形得，所?故選：D．【變式21】（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故選：C【變式22】（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B【變式23】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的值為（）A．B．1C．D．2【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故選：D【變式24】（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）計(jì)算：．【答案】【解析】因?yàn)椋淼?，則，所以，即.考點(diǎn)3二倍角公式及其應(yīng)用【例3】（2023·河北邯鄲·高一?？计谀┤簦瑒t等于（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】因?yàn)?，則，所以．故選：D．【變式31】（2023·江西·高一統(tǒng)考期中）已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故，所?故選：B【變式32】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)：．【答案】【解析】由二倍角公式可得：.【變式33】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）求下列各式的值:（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【變式34】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，求的值．【答案】【解析】，則.考點(diǎn)4給角求值問(wèn)題【例4】（2023·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校?？计谥校ǎ〢．B．C．D．【答案】D【解析】原式.故選：D.【變式41】（2022·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？计谥校┗?jiǎn)：（）A．B．C．D．【答案】A【解析】故選：A【變式42】（2023·湖北武漢·高一武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋栽焦蔬x：C【變式43】（2022·貴州六盤(pán)水·高二?？茧A段練習(xí)）的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原式.故選：A【變式44】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式.故選：B.考點(diǎn)5給值求值問(wèn)題【例5】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，故選：B．【變式51】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，，兩式相加得，得，故選：C【變式52】（2023·吉林·高一吉林一中?？计谀┮阎?，則（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】令，則，，則.故選：D．【變式53】（2023·浙江溫州·高一溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則．【答案】【解析】因?yàn)?，令，則，，又，所以，則，所以，故，.【變式54】（2023·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，A為三角形內(nèi)角，所以A為銳角，可得，可得，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以．考點(diǎn)6給值求角問(wèn)題【例6】（2022·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因且，可知為銳角，為鈍角，故，，，，，所以．故選：B【變式61】（2023·吉林·高一吉林一中?？计谀┮阎獮殁g角，為鈍角滿(mǎn)足，則．【答案】【解析】由于為鈍角，為鈍角，，所以，所以．又因?yàn)闉殁g角，為鈍角，所以，所以．【變式62】（2023·福建泉州·高一德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩個(gè)根，且，則的值是．【答案】【解析】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，所以又因，所以，所以，則，所以.【變式63】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，則．【答案】【解析】依題意，，，所以，所以，所以，由于，所以.【變式64】（2023·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，且，．（1）求的值；（2）試比較與的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，又，所以，從而，有，所以；（2）由（1）知，得，而，，所以，易知，又在上單調(diào)遞減，所以．考點(diǎn)7三角形中的三角恒等變換【例7】（2023·廣東佛山·高一九江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，若，則是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都有可能【答案】C【解析】由題意，得．即所以．又，故為鈍角三角形．故選：C【變式71】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則此三角形為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由三角恒等變換得，又，則，即，所以，，所以，則為等腰三角形.故選：B【變式72】（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校╆P(guān)于x的方程有一根為1，則一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形【答案】A【解析】因?yàn)?是的根，所以，又，所以有，，整理可得，，即.因?yàn)?，，，所?則由可得，，所以.所以一定是等腰三角形.故選：A.【變式73】（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在△中，，則△一定是（）A．等腰三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形【答案】A【解析】由已知得,,,，，∵,∴,即，故選：.【變式74】（2023·河南鄭州·高一鄭州一中?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．則△ABC的形狀為()A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【答案】C【解析】由知，，∴＝，，，，∴，∵在△ABC中，，∴，∵，∴，即△ABC為直角三角形．故選：C．考點(diǎn)8三角恒等變換綜合應(yīng)用【例8】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值的和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可得：，所以的最小正周期.（2）因?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)，取到最小值；當(dāng)，即時(shí)，取到最大值；所以的最大值與最小值的和為.【變式81】（2023·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1），因?yàn)閳D象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，所以，所以，因?yàn)椋?，所?（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，所以，?【變式82】（2023·北京·高三北京四中?？计谥校┮阎瘮?shù).（1）求的值；（2）求的對(duì)稱(chēng)軸；（3）若方程在區(qū)間上恰有一個(gè)解，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因?yàn)?，則.（2）.由可得，所以，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為.（3）由，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上恰有一個(gè)解，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式83】（2023·天津和平·高三匯文中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間：（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）原函數(shù)式可化為，則其最小正周期為，令，即單調(diào)遞減區(qū)間為：；（2）由上可知，又，所以，則，故.1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故選：D3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，，又，，，.故選：A.4．（2023·河北保定·高一校聯(lián)考期中）記為的內(nèi)角，若是方程的兩根，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題知有且,，.故選：D.5．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，故選：C6．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考二模）已知，則（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】，故選：C7．（2023·江西撫州·高二黎川縣第二中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知銳角滿(mǎn)足，則等于（）A．B．或C．D．【答案】C【解析】因?yàn)闈M(mǎn)足，所以，.由此可得.又因?yàn)椋?，故選：C.8．（2023·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，得，其中，因?yàn)楹愠闪?，即，?dāng)取最大值時(shí)，，所以，故.故選：D.9．（2023·吉林·高一吉林一中?？计谀ǘ噙x）下列各式中，值為的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.