數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程課件：簡(jiǎn)單優(yōu)化模型

簡(jiǎn)單優(yōu)化模型3.1森林救火模型3.2血管分支模型3.3最優(yōu)價(jià)格模型3.4存貯模型3.5生豬的出售時(shí)機(jī)模型

由于受全球氣候變暖的影響，我國(guó)北方持續(xù)干旱少雨，森林火災(zāi)時(shí)常見諸報(bào)端.那么森林失火以后，如何去救火才能最大限度地減少損失，這是森林防火部門面臨的一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.當(dāng)然在接到報(bào)警后消防部門派出隊(duì)員越多，滅火速度越快，森林損失越小，但同時(shí)救援開支會(huì)增大.所以需要綜合考慮森林損失費(fèi)和救援費(fèi)與消防隊(duì)員人數(shù)之間的關(guān)系，以總費(fèi)用最小來(lái)確定派出隊(duì)員的數(shù)目.3.1森林救火模型

１.問(wèn)題分析

森林救火問(wèn)題的總費(fèi)用主要包括兩個(gè)方面，即損失費(fèi)和救援費(fèi).森林損失費(fèi)一般與森林燒毀的面積成正比，而燒毀的面積又與失火、滅火、撲火的時(shí)間有關(guān)，滅火時(shí)間又取決于消防隊(duì)員的數(shù)目，隊(duì)員越多，滅火越快.因此救援費(fèi)用不僅與消防隊(duì)員人數(shù)有關(guān)，而且與滅火的時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān).設(shè)失火時(shí)刻為t＝0，開始救火時(shí)刻為t＝t1，火被撲滅的時(shí)刻為t＝t2，設(shè)t時(shí)刻森林燒毀面積為B(t)，則造成損失的森林燒毀面積為B(t2)；單位時(shí)間燒毀的面積為

(這也表示了火勢(shì)蔓延的程度).在消防隊(duì)員到達(dá)之前，即0≤t≤t1期間，火勢(shì)越來(lái)越大，從而

隨t的增加而增加；開始救火之后，即t1≤t≤t2期間，如果消防隊(duì)員救火能力足夠強(qiáng)，火勢(shì)會(huì)越來(lái)越小，即

應(yīng)減少，并且當(dāng)t＝t2時(shí)，

.救援費(fèi)用包括兩部分：一部分是滅火器材的消耗及消防隊(duì)員的工資，這一項(xiàng)費(fèi)用與隊(duì)員的人數(shù)和所用時(shí)間有關(guān)，另一部分是運(yùn)送隊(duì)員和器材的費(fèi)用，只與隊(duì)員人數(shù)有關(guān).

2.模型假設(shè)

(1)由于損失費(fèi)與森林燒毀面積B(t2)成正比，設(shè)比例系數(shù)為C1(C1為燒毀單位面積的損失費(fèi)，顯然C1>0).

(2)從火災(zāi)發(fā)生到開始救火期間，即0≤t≤t1，火勢(shì)蔓延速度

與時(shí)間t成正比，設(shè)比例系數(shù)為β(β稱為火勢(shì)蔓延的速度).

(3)設(shè)派出消防隊(duì)員x名，開始救火以后，即t≥t1，火勢(shì)蔓延速度變?yōu)棣拢藊，其中λ可稱為每個(gè)隊(duì)員的平均滅火速度，顯然應(yīng)有β<λx.

(4)設(shè)每個(gè)消防隊(duì)員單位時(shí)間的費(fèi)用為C2，于是每個(gè)隊(duì)員的救火總費(fèi)用為C2(t2－t1)，每個(gè)隊(duì)員的一次性支出為C3.

附注：火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，所以蔓延半徑r與時(shí)間t成正比，又因?yàn)闊龤娣eB(t)與r2成正比，故B(t)與t2成正比，從而

與t成正比.

3.模型建立和求解

根據(jù)假設(shè)條件(2)和(3)，火勢(shì)蔓延程度

在0<t<t1期間線性增加，而在t1<t<t2期間線性地減小.

隨t的變化圖像如圖3-1所示.

記t＝t1時(shí)，

，則燒毀面積

，恰為圖3-1中三角形的面積，顯然有

.又t2滿足：

圖3-1

于是有：

根據(jù)假設(shè)條件(1)和(4)，森林損失費(fèi)為C1B(t2)，救援費(fèi)為C2x(t2－t1)＋C3x，于是可得救火總費(fèi)用為：

這樣問(wèn)題歸結(jié)為求x，使C(x)達(dá)到最小.令

，可得派出隊(duì)員數(shù)為：

附注：由于隊(duì)員人數(shù)應(yīng)為整數(shù)，故還需將x取整或四舍五入.

4.模型結(jié)果評(píng)注

根據(jù)最后表達(dá)式可得以下結(jié)論：

(1)派出隊(duì)員人數(shù)由兩部分組成.其中一部分βλ是為了把火撲滅所必需的最低限度.因?yàn)棣率腔饎?shì)蔓延速度，而λ是每個(gè)隊(duì)員的平均滅火速度，所以此結(jié)果是合理的.

(2)派出隊(duì)員的另一部分是在最低限度以上的人數(shù)，與問(wèn)題的各個(gè)參數(shù)有關(guān).當(dāng)隊(duì)員滅火速度λ和救援費(fèi)用系數(shù)C3增大時(shí)，隊(duì)員數(shù)減少；當(dāng)火勢(shì)蔓延速度β、開始救火時(shí)的火勢(shì)b及損失費(fèi)用系數(shù)C1增加時(shí)，隊(duì)員數(shù)增加，這些結(jié)果與實(shí)際是吻合的.此外，當(dāng)救援費(fèi)用系數(shù)C2變大時(shí)隊(duì)員數(shù)也增大，這一結(jié)果的合理性我們可以這樣考慮：救援費(fèi)用系數(shù)C2變大時(shí)，總費(fèi)用中滅火時(shí)間引起的費(fèi)用增加，以至于以較少人數(shù)花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間滅火變得不合算，通過(guò)增加人數(shù)而縮短時(shí)間更為合算，因此，C2變大時(shí)隊(duì)員人數(shù)增加也是合理的.

(3)在實(shí)際應(yīng)用中，C1、C2、C3是已知常數(shù)，β、λ由森林類型、消防隊(duì)員素質(zhì)等因素決定，可以制成表格以備專用.較難掌握的是開始救火時(shí)的火勢(shì)b，它可以由失火到救火的時(shí)間t1，按b＝βt1算出，或據(jù)現(xiàn)場(chǎng)情況估計(jì).

(4)本模型假設(shè)條件只符合無(wú)風(fēng)的情況，在有風(fēng)的情況下，應(yīng)考慮另外的假設(shè).此外，此模型并不否認(rèn)真正發(fā)生森林火災(zāi)時(shí)，全民全力以赴撲滅大火的情況.

高級(jí)動(dòng)物的血管遍布全身，不同類型的動(dòng)物其血管系統(tǒng)自然會(huì)有差異.這里不去討論整個(gè)血管系統(tǒng)的幾何形狀，而只研究動(dòng)物血管分支處血管粗細(xì)與分岔的規(guī)律.考慮的基本依據(jù)是：動(dòng)物在長(zhǎng)期的進(jìn)化過(guò)程中，其血管結(jié)構(gòu)可達(dá)到最優(yōu)，即心臟在完成血液循環(huán)過(guò)程中所消耗的能量最少.血管的分布，應(yīng)使血液循環(huán)過(guò)程中所消耗的能量最少，同時(shí)又能滿足生理需要.3.2血管分支模型

1.基本假設(shè)

(1)在血液循環(huán)過(guò)程中能量的消耗主要用于克服血液在血管中流動(dòng)時(shí)所受到的阻力和為血管壁提供營(yíng)養(yǎng).

(2)幾何假設(shè)：較粗的血管在分支點(diǎn)只分成兩條較細(xì)的血管，它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)且分布對(duì)稱，否則會(huì)增加血管總長(zhǎng)度，使總能量消耗增加.

(3)力學(xué)假設(shè)：血管近似為剛性(實(shí)際上血管有彈性，這種近似對(duì)結(jié)果影響不大)，血液的流動(dòng)視為粘性流體在剛性管道內(nèi)流動(dòng).

(4)生理假設(shè)：血管壁所需的營(yíng)養(yǎng)隨管壁內(nèi)表面厚度增加，管壁厚度與管壁半徑成正比，或?yàn)槌?shù).

圖3-2血管結(jié)構(gòu)如圖3-2所示.設(shè)血液從粗血管A點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次分支向細(xì)血管中的B和B′點(diǎn)供血.C是血管的分岔點(diǎn)，B和B′關(guān)于AC對(duì)稱.又設(shè)H為B、C兩點(diǎn)間的垂直距離；L為A、B兩點(diǎn)的水平距離；r為分岔前的血管半徑；r1為分岔后的血管半徑；f為分岔前單位時(shí)間的血流量；為分岔后單位時(shí)間的血流量；l為A、C兩點(diǎn)間的距離，l1為B、C兩點(diǎn)間的距離.

由假設(shè)(3)，根據(jù)流體力學(xué)定律：粘性物質(zhì)在剛性管道內(nèi)流動(dòng)所受到的阻力與流量的平方成正比，與管道半徑的四次方成反比.于是血液在粗、細(xì)兩段血管內(nèi)所受到的阻力

分別為

和

，其中k為比例常數(shù).由假設(shè)(4)，在單位長(zhǎng)度的血管內(nèi)，血液為管道壁提供營(yíng)養(yǎng)所消耗的能量為bra，其中b為比例常數(shù)，1≤a≤2.

2.模型建立及求解

根據(jù)以上分析，血液從A點(diǎn)流到B和B′點(diǎn)，用于克服阻力及為管壁提供營(yíng)養(yǎng)所消耗的總能量為：

(3.2.1)

設(shè)分叉角度為θ，根據(jù)圖3-2有：

代入式(3.2.1)則有：

要使總能量C(r，r1，θ)消耗最小，應(yīng)有：

即

由上面三個(gè)表達(dá)式可求得：

這也是在能量消耗最小原則下血管分岔處幾何形狀的結(jié)果.由這個(gè)結(jié)果得：

若取a＝1和a＝2可得

和θ的大致范圍約為：

3.模型檢驗(yàn)

記動(dòng)物大動(dòng)脈和最細(xì)的毛細(xì)血管半徑分別為rmax和rmin；設(shè)從大動(dòng)脈到最細(xì)的毛細(xì)血管共有n次分岔，將

反復(fù)利用n次可得：

.

從

的實(shí)際數(shù)值可以測(cè)出分岔次數(shù)n.例如，對(duì)狗而言有

≈1000≈45.由

可知：n≈5(a＋4)，因?yàn)?≤a≤2，故按此模型，狗的血管應(yīng)有25~30次分岔.又因?yàn)楫?dāng)血管有n次分岔時(shí)血管總條數(shù)為2n條，所以估計(jì)狗應(yīng)約有225~230條血管，即3×107~3×109條血管.

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，商品和服務(wù)的價(jià)格是商家和服務(wù)部門的敏感問(wèn)題.為了獲得最大的利潤(rùn)，經(jīng)營(yíng)者總希望商品能賣好價(jià)錢，但定價(jià)太高又會(huì)影響到銷量，從而影響利潤(rùn)，為此，就需在兩者之間尋求一個(gè)平衡點(diǎn)，這就是最優(yōu)價(jià)格的問(wèn)題.3.3最優(yōu)價(jià)格模型

1.模型的建立與求解

設(shè)某種商品每件成本為q元，售價(jià)為p元，銷售量為x，則總收入與總支出為I＝px和C＝qx.在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的情況下，銷售量依賴于價(jià)格，故設(shè)x＝f(p)，f稱為需求函數(shù).一般來(lái)說(shuō)f是p的減函數(shù)(但在市場(chǎng)不健全或假貨充斥的時(shí)候，可能會(huì)出現(xiàn)不符合常識(shí)的現(xiàn)象).易知收入和支出都是價(jià)格的函數(shù).利潤(rùn)為U(p)＝I(p)－C(p).

使利潤(rùn)達(dá)到最大的最優(yōu)價(jià)格p*可以由

得到.此時(shí)，

(3.3.1)

稱

為邊際收入，

為邊際支出，前者指的是當(dāng)價(jià)格改變一個(gè)單位時(shí)收入的改變量，后者指的是當(dāng)價(jià)格改變一個(gè)單位時(shí)支出的改變量.式(3.3.1)表明最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到，這也是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一條定律.

為了得到進(jìn)一步的結(jié)果，需假設(shè)需求函數(shù)的具體形式.如果設(shè)它為線性函數(shù)，即

f(p)＝a－bp(其中a，b>0)且每件產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量無(wú)關(guān)，則利潤(rùn)為:

U(p)＝(p－q)(a－bp)

用微分法可求出使U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格p*為

(3.3.2)2.模型結(jié)果分析

式(3.3.2)中參數(shù)a可理解為產(chǎn)品免費(fèi)供應(yīng)時(shí)的需求量，稱為“絕對(duì)需求量”，

為價(jià)格上漲一個(gè)單位時(shí)，銷售量下降的幅度，同時(shí)也是價(jià)格下跌一個(gè)單位時(shí)銷售量上升的幅度，它反映市場(chǎng)需求對(duì)價(jià)格的敏感程度.實(shí)際工作中a，b可由價(jià)格p和銷售量x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合來(lái)確定.式(3.3.2)還表明最優(yōu)價(jià)格包括兩部分：一部分為成本的一半，另一部分與“絕對(duì)需求量”成正比，與市場(chǎng)需求對(duì)價(jià)格的敏感系數(shù)成反比.

為了使生產(chǎn)和銷售有條不紊地進(jìn)行，一般的工商企業(yè)總需要存貯一定數(shù)量的原料或商品，然而大量庫(kù)存不但積壓了資金，而且會(huì)使倉(cāng)庫(kù)保管的費(fèi)用增加.因此，尋求合理的庫(kù)存量乃是現(xiàn)代企業(yè)管理的一個(gè)重要課題.

需要注意的是，存貯問(wèn)題的原型可以是真正的倉(cāng)庫(kù)存貨，水庫(kù)存水，也可以是計(jì)算機(jī)的存貯器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，甚至是大腦的存貯問(wèn)題.3.4存貯模型衡量一個(gè)存貯策略優(yōu)劣的直接標(biāo)準(zhǔn)是該策略所消耗的平均費(fèi)用的多寡.這里的費(fèi)用通常主要包括：存貯費(fèi)、訂貨費(fèi)(訂購(gòu)費(fèi)和成本費(fèi))、缺貨損失費(fèi)和生產(chǎn)費(fèi)(指貨物為本單位生產(chǎn)，若是外購(gòu)，則無(wú)此費(fèi)用).由此可知，存貯問(wèn)題的一般模型為：

min［訂貨費(fèi)(或生產(chǎn)費(fèi))＋存貯費(fèi)＋缺貨損失費(fèi)］

下面我們討論幾個(gè)重要的存貯模型.3.4.1不允許缺貨的訂貨銷售模型

為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們作如下假設(shè)：

(1)由于不允許缺貨，所以規(guī)定缺貨損失費(fèi)為無(wú)窮大.

(2)當(dāng)庫(kù)存量為零時(shí)，可立即得到補(bǔ)充.

(3)需求是連續(xù)均勻的，且需求速度(單位時(shí)間的需求量)為常數(shù).

(4)每次訂貨量不變，訂貨費(fèi)不變.

(5)單位存貯費(fèi)不變.假定每隔時(shí)間t補(bǔ)充一次存貨，貨物單價(jià)為k，訂貨費(fèi)為C3，單位存儲(chǔ)費(fèi)為C1，需求速度為R.由于不允許缺貨，所以訂貨費(fèi)為Rt，從而成本費(fèi)為kRt，總的訂貨費(fèi)為C3＋kRt，平均訂貨費(fèi)為

.又因?yàn)閠時(shí)間內(nèi)的平均存貨量為

，所以平均存儲(chǔ)費(fèi)為 .于是，在時(shí)間t內(nèi)，總的平均費(fèi)用為

.這樣，問(wèn)題就變成t取何值時(shí)，費(fèi)用C(t)最小，即存貯模型為

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的無(wú)條件極值問(wèn)題，很容易求得它的最優(yōu)解為：

即每個(gè)t*時(shí)間訂貨一次，可使平均訂貨費(fèi)用C(t)最小.每次批量訂貨為：

這就是存儲(chǔ)論中著名的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量公式(EconomicOrderingQuantity)，簡(jiǎn)稱EOQ公式.

例1

某商店出售某種商品，每次采購(gòu)該種商品的訂購(gòu)費(fèi)為2040元，其存貯費(fèi)為每年170元／噸.顧客對(duì)該種商品的年需求量為1040噸，試求商店對(duì)該商品的最佳定貨批量、每年訂貨次數(shù)及全年的費(fèi)用.

解取時(shí)間單位為年，則有

R＝1040，C3＝2040，C1＝170

于是訂貨批量為：

訂貨間隔為：

全年費(fèi)用為:

于是每年的訂貨次數(shù)為:

由于訂貨的次數(shù)應(yīng)為正整數(shù)，故可以比較訂貨次數(shù)分別為6次和7次的費(fèi)用.若訂貸次數(shù)為6，可得每年的總費(fèi)用為

.若訂貨次數(shù)為7，可得每年的總費(fèi)用為

.所以，每年應(yīng)訂貨7次，每次訂貨批量為1040／7噸，每年的總費(fèi)用為22908元.3.4.2不允許缺貨的生產(chǎn)銷售模型

3.4.1小節(jié)所述模型中的貨物是通過(guò)從其他單位訂購(gòu)而獲得的，然后再進(jìn)行銷售.現(xiàn)在討論貨物不是從其它單位訂購(gòu)的，而是本單位生產(chǎn)的銷售模型.

由于生產(chǎn)需要一定時(shí)間，所以除保留前述模型的假設(shè)外，再設(shè)生產(chǎn)批量為Q，所需生產(chǎn)時(shí)間為T，故生產(chǎn)速度為

，而且需求速度R<P.

假設(shè)t＝0時(shí)Q＝0，則在時(shí)間區(qū)間［0，T］內(nèi)，存貯量以速度P－R增加；在時(shí)間區(qū)間［T，t］內(nèi)存貯量以速度R減少(如圖3-3).

圖3-3圖中T和t皆為待定數(shù).

由圖3-3可知(P－R)T＝R(t－T)，即PT＝Rt.這說(shuō)明以速度P生產(chǎn)T時(shí)間的產(chǎn)品恰好等于t時(shí)間內(nèi)的需求

.

由于t時(shí)間內(nèi)的存貯量等于圖3-3中三角形的面積，故t時(shí)間內(nèi)的存儲(chǔ)量為：

從而存貯費(fèi)用為 .如果再設(shè)t時(shí)間內(nèi)的生產(chǎn)費(fèi)用為C3，則t時(shí)間內(nèi)的平均總費(fèi)用C(t)為

于是，所求數(shù)學(xué)模型為

利用微積分方法，可得生產(chǎn)的最佳周期為

由此可求出最佳生產(chǎn)批量為Q*，最佳費(fèi)用C(t*)及最佳生產(chǎn)時(shí)間T*分別為

這里的Q*，t*與前述模型的Q*，t*相比較，即知它們只相差一個(gè)因子

.可見，當(dāng)P相當(dāng)大(即生產(chǎn)速度相當(dāng)大，從而生產(chǎn)時(shí)間就很短)時(shí)，

趨近于1，這時(shí)兩個(gè)模型就近似相同了.

例2

假設(shè)某廠每月需某種產(chǎn)品100件，生產(chǎn)率為500件/月，每生產(chǎn)一批產(chǎn)品需準(zhǔn)備費(fèi)5元，每月每件產(chǎn)品的存貯費(fèi)為0.4元，試求最佳生產(chǎn)周期、最佳生產(chǎn)批量以及最佳費(fèi)用和最佳生產(chǎn)時(shí)間.

解由題意知C1＝0.4，C3＝5，P＝500，R＝100.利用公式得:

t*≈0.56(月)，Q*≈56(件)

C(t*)≈14.8(元)，T*≈0.12(月)

3.4.3允許缺貨的訂貨銷售模型

所謂允許缺貨，就是企業(yè)可以在存貯量降到零時(shí)，還可以再等一段時(shí)間訂貨.本模型的假設(shè)條件除允許缺貨外，其余條件皆與3.4.1小節(jié)的模型相同.

記缺貨費(fèi)(即單位缺貨損失費(fèi))為C2.假設(shè)時(shí)間t＝0時(shí)存貯量為S，可以滿足t1時(shí)間的需求，則在t1這段時(shí)間內(nèi)的存貯量應(yīng)為 .在t－t1到t這段時(shí)間內(nèi)，存貯為零，缺貨量為

，如圖3-4所示.

圖3-4由于S只能滿足t1時(shí)間的需求，故S＝Rt1，即

.從而在t時(shí)間內(nèi)的存貯費(fèi)及缺貨費(fèi)分別為：

于是平均總費(fèi)用為：

所討論的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：

這是二元函數(shù)的極值問(wèn)題，用微分法可以求得最佳周期為：

最初的存儲(chǔ)量為：

最佳訂貨量為：

最佳費(fèi)用為：

如果C2很大(這意味著不允許缺貨)，此時(shí)

所以

，

.這和3.4.1小節(jié)的模型的結(jié)論相同.

1.問(wèn)題提出

飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備的開支，估計(jì)可使80公斤重的生豬體重增加2公斤.假設(shè)市場(chǎng)價(jià)格目前為每公斤8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售可以獲得最大利潤(rùn)？如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響？3.5生豬的出售時(shí)機(jī)模型

2.問(wèn)題分析

(1)目標(biāo)函數(shù)：選擇最佳的生豬出售時(shí)機(jī)的標(biāo)準(zhǔn)是使得生豬出售的利潤(rùn)最大.因此目標(biāo)函數(shù)應(yīng)當(dāng)是利潤(rùn)函數(shù)，利潤(rùn)＝收益－成本.影響收益的因素有生豬出售時(shí)的體重及生豬出售時(shí)的價(jià)格，成本完全是由生豬飼養(yǎng)的天數(shù)決定.在影響收益的兩個(gè)因素中，生豬的體重隨著飼養(yǎng)天數(shù)的增加而增加，而價(jià)格卻隨著飼養(yǎng)天數(shù)的增加而減少，這是一對(duì)矛盾體，這樣也就決定了最終存在一個(gè)最佳的出售時(shí)機(jī).

(2)決策變量：生豬飼養(yǎng)的天數(shù)t.

(3)約束條件：關(guān)于天數(shù)的約束，t≥0.

(4)求解的方法：雖然有t≥0的約束，但是總的來(lái)說(shuō)該模型最后可以看成是無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題，因此可以使用微分法解決.

3.符號(hào)說(shuō)明

r——生豬體重每天的增加量；p(t)——t天時(shí)生豬的價(jià)格；

t——生豬飼養(yǎng)的天數(shù)；i——每天的投入費(fèi)用；

w0——生豬的當(dāng)前重量；R(t)——第t天生豬賣出時(shí)的收益；

w(t)——t天時(shí)生豬的重量；C(t)——第t天生豬賣出時(shí)的成本；

g——價(jià)格每天的減少量；Q(t)——第t天生豬賣出時(shí)的利潤(rùn).

p0——生豬的當(dāng)前價(jià)格；

4.模型建立

(1)t天后豬的重量：

w(t)＝w0＋rt

(2)t天后豬的價(jià)格：

p(t)＝p0－gt

(3)第t天生豬賣出時(shí)的收益：

R(t)