曹培英講座《數(shù)學課程標準解讀》

跨越斷層走出誤區(qū)數(shù)學課程標準解讀：“十個核心詞”的實踐研究曹培英引言義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）最大的改變：

1.“雙基”→“四基”四基：數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗意味著：我國數(shù)學教育優(yōu)良傳統(tǒng)得到肯定回歸“結(jié)果”與“過程”并重的理念引言義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）最大的改變：

2.“六個核心詞”→“十個核心詞”小學算術(shù)(清末)：熟習日用計算(兩個核心詞)小學數(shù)學(1978)：計算能力，初步的邏輯思維與空間觀念，解決簡單實際問題(四個核心詞)義務教育數(shù)學(2001)：數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念、應用意識、推理能力義務教育數(shù)學(2011)：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創(chuàng)新意識一、數(shù)感

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。已有研究認為數(shù)感是“直覺”、“敏感”、“能力”……

其實，如同球員的球感，歌手的樂感類似……

簡單、通俗地說，數(shù)感就是對于數(shù)的感覺和理解。教學數(shù)數(shù)、數(shù)的基數(shù)意義與序數(shù)意義、數(shù)序與數(shù)的大小比較……都有助于形成數(shù)感?？床坏叫赂拍畋澈蟮膶嵲谥铮腿菀住ǜ盍褮v史）一、數(shù)感認知偏差：全新概念，從頭摸索

……實踐誤區(qū)：先估再數(shù)，看誰估的準……

問題所在：數(shù)感、量感不分以特殊的量為載體有效案例：首先，數(shù)感是數(shù)出來的！一、數(shù)感簡單、通俗地說，數(shù)感就是對于數(shù)的感覺與理解。有沒有不依賴量的數(shù)感？請看讀數(shù)的例子：30600，30060，30006三萬零六百三萬零六十三萬零六3000006000

三十億零六千6789由()個千，()個百，()個十和()個一組成.6789=()×1000＋()×100＋()×10＋()96789讀作()千()百()十()

；87699887766其次，讀數(shù)可以也應該讀出數(shù)感！分數(shù)也能讀出數(shù)感，如“2/3什么意思？”“2/3的意思就是三分之二”32一、數(shù)感回溯以往相關(guān)教學策略：1.在數(shù)概念教學中培養(yǎng)數(shù)感個十百千如:借助幾何直觀引入計數(shù)單位一、數(shù)感…水深60米20米水深20米海平面0米甲湖

乙湖(1)看圖寫數(shù)。(數(shù)概念直觀化的練習)()()()(2)你知道全校做早操，操場上有多少人嗎?大約1000人,

想一想,()個這樣學校的學生集中在一起,約一萬人.

（數(shù)概念生活化的練習）(3)讀一讀，填一填.（數(shù)概念形式化的練習）

如前面的填空練習

甲湖水面高度記作0米，甲湖水底高度記作()米；乙湖是堰塞湖，水底高度記作()米，水面高度記作()米。-20+20+80“多樣化”旨在“各取所需”，適應不同學生！2332332332.在計算教學中發(fā)展數(shù)感如小數(shù)乘法計算法則推導：0.15×3＝？

0.15×34511一、數(shù)感小時行6公里，1小時行？

1小時行2/3小時行6km即3份中的2份是6先求1份是多少分數(shù)除法計算法則推導：數(shù)感可以算出來、估出來。小學數(shù)學歷來重視數(shù)感培養(yǎng)，從“自發(fā)”走向了“自覺”3份是9→再求3份是多少

0.一、數(shù)感3.在解決實際問題中激活數(shù)感一個典型案例：72×15＝1080（米）●●1080稍大于1000；1080超過2000的一半，都是真正的數(shù)感，與量無關(guān)一、數(shù)感總而言之數(shù)感：最樸實的數(shù)學素養(yǎng)，就是關(guān)于數(shù)的感覺與理解。數(shù)感可以：數(shù)出來讀出來算出來估出來用出來……符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。

符號：指具有某種代表意義的記號、標識；

它是意義的載體，精神的外化呈現(xiàn)。

數(shù)學的符號：“標識”的內(nèi)容是特殊的；它的“作用”更具特殊性。二、符號意識培養(yǎng)符號意識的誤區(qū)主要表現(xiàn)：生活中的符號混同數(shù)學符號；規(guī)律的表征混同符號意識；一概讓學生自創(chuàng)符號。對于小學數(shù)學來說：

首先是讓學生親近符號，接受、理解符號！二、符號意識紅綠紅綠紅綠……121212……○△○△○△…………只是記號……怎樣讓學生親近符號，接受、理解符號呢？二、符號意識首先是數(shù)字符號，如：1怎樣讓學生親近符號，接受、理解符號呢？二、符號意識首先是數(shù)字符號，然后是運算符號，如：數(shù)學符號：被感知的直觀形式與內(nèi)在思想，高度和諧、統(tǒng)一。

“再也沒有比平行而又等長的短線段更確切的相等符號了”——列科爾德諸如此類，舉不勝舉。可見：數(shù)學符號如同“象形文字”，簡潔、生動、形象、傳神。符號本身就具有促進理解，幫助記憶的教學功能。任何教學藝術(shù)、任何語言描繪，都相形見絀！怎樣讓學生親近符號，接受、理解符號呢？二、符號意識關(guān)系符號，如：首先是數(shù)字符號，然后是運算符號，

對于小學數(shù)學來說：

首先是讓學生親近符號，接受、理解符號！其次是讓學生感悟符號表達的優(yōu)勢與作用?！皟?yōu)勢”在于簡潔嗎？二、符號意識

(a+b)c=ac+bc

c

a

b

“優(yōu)勢”不僅在于“簡潔”、還在于“準確”、“無歧義”更在于由特殊到一般……

對于小學數(shù)學來說：

首先是讓學生親近符號，接受、理解符號！其次是讓學生感悟符號表達的優(yōu)勢與作用。“使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性”你想一個整數(shù)，把它乘2加7，再把結(jié)果乘3減21。告訴我計算結(jié)果，我立即能判斷出你想的整數(shù)是多少？

設(shè)：所想的數(shù)為x，則2x＋7二、符號意識

則（

)×3－21

＝6x＋21－21

＝6x不引進符號與字母，就沒有今天的數(shù)學！如：原來的描述物體的形狀、大小、位置關(guān)系留在腦中的表象?，F(xiàn)在的描述空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。三、空間觀念實際事物（側(cè)重“界定”，“是什么”）：（側(cè)重“表現(xiàn)”，“怎么樣”）：空間觀念（聯(lián)想）圖形變換名稱性質(zhì)三、空間觀念實際事物空間觀念（聯(lián)想）圖形變換名稱性質(zhì)┓高誼街通江街高誼街紅霞街三、空間觀念實際事物空間觀念（聯(lián)想）圖形變換名稱性質(zhì)長方形、一片花瓣旋轉(zhuǎn)…三、空間觀念實際事物空間觀念（聯(lián)想）圖形變換名稱性質(zhì)6個面、12條…

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。三、空間觀念空間知覺（表象的基礎(chǔ)）

↓空間觀念（表象的形成）

↓空間想象（表象的改造）三種水平既遞進發(fā)展，又交錯共存實物指認圖形指認剖面指認空間觀念發(fā)展規(guī)律例如：指認圓柱高三、空間觀念

小學生空間觀念發(fā)展的若干特點

(1)從感知強成分到感知弱成分強弱具有相對性,特殊性如：形狀；邊的長短是強成分；關(guān)系；角的大小是弱成分。三、空間觀念

小學生空間觀念發(fā)展的若干特點

(1)從感知強成份到感知弱成份強弱具有相對性,特殊性如：形狀；邊的長短是強成分；關(guān)系；角的大小是弱成分。三、空間觀念小學生空間觀念發(fā)展的若干特點(2)從認識單一要素到認識多要素及其關(guān)系1＋3＋2＋12＋2垂直、平行概念中的“要素”相交成直角的兩條直線互相垂直同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行以雙杠為例：先討論平行：再討論垂直：4＋4×平行同一平面垂直同一平面兩個平面(異面垂直)三、空間觀念小學生空間觀念發(fā)展的若干特點(2)從認識單一要素到認識多要素及其關(guān)系一個包裝盒，如果從里面長3.8分米，寬2分米，容積34.2立方分米。小胖想用它來裝一件長3.5分米，寬1.9分米,高4.8分米的禮物,是否裝得下？

3.5×1.9×4.8＝31.92關(guān)注長與長、寬與寬、高與高的關(guān)系

34.2÷3.8÷2＝4.5

很少想象盒與禮物的實際大?。?4.2＜4.83.824.53.51.94.8答：裝得下。三、空間觀念小學生空間觀念發(fā)展的若干特點(3)從熟悉標準圖形到熟悉變式圖形圖形的認識：標準圖形→變式圖形“標準”與“變式”是相對的三、空間觀念

小學生空間觀念發(fā)展的若干特點(4)從直觀辨認圖形到語言描述特征例如：識別梯形→說出梯形特征梯子形狀的圖形→只有一組對邊平行的四邊形

四邊形→平行（幼兒園）→(小學高年級)三、空間觀念

小學生空間觀念發(fā)展的若干特點(5)從使用日常語言到使用幾何語言如“高”：生活中的高→幾何圖形的高身高、樹高→平行四邊形的高

→三角形的高

→圓柱的高→圓錐的高(平行線間的距離)(點到直線的距離)(平行平面的距離)(點到平面的距離)三、空間觀念

小學生空間觀念發(fā)展的若干特點(6)從形成二維空間觀念到三維空間觀念三、空間觀念（1）觀察：有序觀察，選擇對象，變換角度（2）操作：學會畫圖，動手操作，自我釋疑（3）變式：變化形狀，變化位置，變化大小（4）辨析：同中見異，異中求同，精確分化（5）結(jié)合：形象與語言結(jié)合，數(shù)與形結(jié)合怎樣發(fā)展學生的空間觀念？三、空間觀念加強“畫圖”的重要意義：小學階段，有時間鋪墊，卻少有作為；初中階段，內(nèi)容多，時間緊，凡作公理處理的幾何命題，只能一帶而過。能力強的學生，能自己在短時間內(nèi)填補認知空隙；學習困難學生，認識不能一次完成，常常似懂非懂。因此，客觀上加大了兩極分化。怎樣發(fā)展學生的空間觀念？例如，畫圖：過兩點畫直線過兩點畫線段過直線外一點畫已知直線的平行線過直線外一點畫已知直線的垂線過直線外一點畫已知直線的垂線段……三、空間觀念怎樣發(fā)展學生的空間觀念？●●●●●┐感知→兩點確定一條直線→兩點之間線段最短→平行公理→垂線的唯一性→垂直線段最短┐●●三、空間觀念加強“操作”（動作直觀）的重要意義：即使高年級，當空間想象受阻時，動手操作實驗依然是行之有效的教學對策。如：把一個表面涂色的大正方體木塊，切割成27個同樣大小的小正方體木塊。三面、兩面、一面涂色的小正方體木塊各有多少個？表面無色的有多少個？怎樣發(fā)展學生的空間觀念？8；12；627－8－12－6＝1

三、空間觀念“操作”幫助空間想象的實例：一個表面涂色的長方體木塊，長、寬、高都是整數(shù)厘米，把它切割成若干個棱長1厘米的小正方體木塊。①如果存在恰有五個面涂色的小正方體，那么這樣的小正方體最多有幾個？②如果其中只有兩個面涂色的小正方體恰有4個，那么大長方體的長、寬、高各是多少厘米？

怎樣發(fā)展學生的空間觀念？……3,2,24,4,16,3,1四、幾何直觀幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。案例1：團體操原來隊伍每行10人,有5行?，F(xiàn)在調(diào)整成每行增加3人，增加2行，現(xiàn)在需要增加多少人？

3×2？

(10＋3)×(5＋2)－10×5案例2：如圖，“”與“”，哪個面積大?案例3：1四、幾何直觀幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。希爾伯特：“在數(shù)學中,象在任何科學研究中那樣,有兩種傾向。一種是抽象的傾向……另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對象，側(cè)重它們之間關(guān)系的意義，也可以說領(lǐng)會它們生動的形象”?？巳R因：“數(shù)學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上,數(shù)學直觀就是對概念、證明的直接把握?！庇斜匾獏^(qū)分兩種層次的幾何直觀：

感性認識階段、較低層次的幾何直觀：“直觀感知”理性認識階段、更高層次的幾何直觀：“直觀洞察”

四、幾何直觀案例4：兩個數(shù)的和是16，這兩個數(shù)的積最大是多少？周長相等的長方形，長、寬相等時面積最大。用16厘米長鐵絲圍成長方形在小學：“直觀感知”是大量的，習以為常了；“直觀洞察”是不多的，較少被關(guān)注。四、幾何直觀四、幾何直觀

怎樣培養(yǎng)幾何直觀

1.加強空間觀念的建立

2.加強數(shù)形結(jié)合的運用3.加強構(gòu)造直觀的訓練如：示意圖→線段圖→韋恩圖→面積圖→……4.重視數(shù)學的直觀理解

5.重視數(shù)學的直觀洞察四、幾何直觀幾何直觀具有局限性：案例5：垂直與平行“直線的位置關(guān)系”“關(guān)系”：人際關(guān)系，如“師生關(guān)系”數(shù)量關(guān)系，如“8是4的2倍”平面上兩直線(觀察距離)相交平行重合(沒有交點)(一個交點)(無數(shù)交點)(不討論)···(觀察角)畫一畫，兩條直線有哪些位置關(guān)系“先行組織者”,具有更高