數(shù)學(xué)物理方法課件：行波法

行波法2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式2.2半無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)2.3三維波動(dòng)方程的泊松公式2.4強(qiáng)迫振動(dòng)2.5三維無(wú)界空間的一般波動(dòng)問(wèn)題2.6本章小結(jié)習(xí)題2第1章學(xué)習(xí)了建立數(shù)學(xué)物理方程和定解條件的基本方法，即確定定解問(wèn)題，

那么從本章開始，我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)各種求解數(shù)學(xué)物理方程的方法，主要包括行波法、分離變量法、積分變換法和格林函數(shù)法等。

我們知道，求解常微分方程時(shí)，一般是先求方程的通解，再用初始條件來(lái)確定通解中的任意常數(shù)，從而得到特解。那么這種思想能否用于求解偏微分方程的定解問(wèn)題呢？也就是說(shuō)，先求出偏微分方程的通解，再用定解條件確定通解中的任意常數(shù)或函數(shù)。通過(guò)研究可以發(fā)現(xiàn)，由于偏微分方程定解問(wèn)題本身的特殊性，很難定義通解的概念，即使對(duì)某些方程可以定義并求出通解，但要通過(guò)定解條件來(lái)確定通解中的任意函數(shù)也是相當(dāng)困難的。因此，一般情況下我們是不能夠使用類似于常微分方程的求解過(guò)程來(lái)求解偏微分方程的，但是，對(duì)于某些特殊的偏微分方程的定解問(wèn)題，尤其在求解無(wú)界區(qū)域上的齊次波動(dòng)方程等類型的定解問(wèn)題時(shí)，可以考慮這種先求通解再確定特解的方法。另外，從物理學(xué)上看，齊次波動(dòng)方程反映了媒質(zhì)被擾動(dòng)后在區(qū)域里不再受到外力時(shí)的振動(dòng)傳播規(guī)律，如果問(wèn)題的區(qū)域是整個(gè)空間時(shí)，由初始擾動(dòng)所引起的振動(dòng)就會(huì)一直向前傳播出去，形成行波，而這類問(wèn)題可以得到通解，我們把這種主要適用于求解行波問(wèn)題的方法稱為行波法，本章將討論這種方法的求解思路、方法和應(yīng)用。

2.1.1達(dá)朗貝爾(D’Alembert)公式的導(dǎo)出

對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)、無(wú)限長(zhǎng)桿的縱向自由振動(dòng)以及無(wú)限長(zhǎng)理想傳輸線上的電流和電壓均滿足相同的波動(dòng)方程的定解問(wèn)題。

泛定方程：

utt＝a2uxx

(－∞<x<∞，t>0) (2.1)

初始條件：

u(x，0)＝j(luò)(x)

ut(x，0)＝y(tǒng)(x) (2.2)2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式式中，j(x)、y(x)為已知函數(shù)。

因?yàn)閷?duì)于無(wú)限長(zhǎng)弦，其邊界的物理狀態(tài)并未影響到所考察的區(qū)域，所以不需提出邊界條件，此定解問(wèn)題即為初值問(wèn)題。

為了用行波法求解這一問(wèn)題，我們首先要求出式(2.1)的通解。作變量代換，引入新的自變量

x＝x－at

h＝x＋at

(2.3)

利用復(fù)合函數(shù)求微商的法則，可以得到

（2.4）（2.5）（2.6）（2.7）將上面得到的utt和uxx代入式(2.1)，得到

a2(uxx－2uxh＋uhh)＝a2(uxx＋2uxh＋uhh) (2.8)

即

uxh＝0 (2.9)

求上面方程的解，先對(duì)h積分，得

(2.10)

再對(duì)x進(jìn)行積分可得

(2.11)式中，f1(x)、f2(h)分別是x、h的任意函數(shù)。把式(2.3)代入式(2.11)，得到

u(x，t)＝f1(x－at)＋f2(x＋at) (2.12)

容易驗(yàn)證，只要f1、f2具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式(2.12)就是自由弦振動(dòng)方程(式(2.1))的通解。

下面我們利用初始條件(式(2.2))來(lái)確定任意函數(shù)f1和f2，即求滿足定解條件的解。把式(2.12)代入式(2.2)得

u(x，0)＝f1(x)＋f2(x)＝j(luò)(x) (2.13)

(2.14)

即

(2.15)

由式(2.13)和式(2.15)容易解得

(2.16)

(2.17)

將f1(x)和f2(x)中的x分別換成x＋at和x－at，代入式(2.12)得

(2.18)

這就是達(dá)朗貝爾公式或稱為達(dá)朗貝爾行波解。它是一維無(wú)界齊次波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的特解的一般表達(dá)式。

例2.1

求解初值問(wèn)題

(2.19)

解：顯然這是一個(gè)一維無(wú)界齊次波動(dòng)方程的初值問(wèn)題，

j(x)＝x，y(x)＝4，故由達(dá)朗貝爾公式(式(2.18))有

(2.20)2.1.2達(dá)朗貝爾公式的物理意義

首先，我們以無(wú)限長(zhǎng)弦的橫向自由振動(dòng)為例來(lái)闡述達(dá)朗貝爾公式的通解式(式(2.12))的物理意義。

先考察第一項(xiàng)：

u1＝f1(x－at) (2.21)

它是方程(2.1)的解，對(duì)于不同的t值，就可以看到弦在不同時(shí)刻相應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)。

在t＝0時(shí)，u1(x，0)＝f1(x)，它對(duì)應(yīng)于初始時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)，假如圖2.1(a)曲線表示的是t＝0時(shí)的弦振動(dòng)的狀態(tài)(即初始狀態(tài))；在t＝1/2時(shí)，u1(x，1/2)＝f1(x－a/2)的圖形如圖2.1(b)所示；在t＝1時(shí)，u1(x，1)＝f1(x－a)的圖形如圖2.1(c)所示；在t＝2時(shí)，u1(x，2)＝f1(x－2a)的圖形如圖2.1(d)所示。這些圖形說(shuō)明，隨著時(shí)間的推移，u1＝f1(x－at)的圖形以速度a向x軸正向移動(dòng)，所以u(píng)1＝f1(x－at)表示一個(gè)以速度a沿x軸正向傳播的行波。

圖2.1行波示意同理，第二項(xiàng)u2＝f2(x＋at)表示一個(gè)以速度a沿x軸負(fù)向傳播的行波。所以說(shuō)達(dá)朗貝爾公式表明：弦上的任意擾動(dòng)總是以行波形式分別向兩個(gè)方向傳播出去的，其傳播的速度正好是弦振動(dòng)方程中的常數(shù)a。也正是基于此原因，上述求波動(dòng)方程通解的方法叫做行波法。

然后，我們研究滿足初始條件(式(2.2))的達(dá)朗貝爾公式特解。從特解(式(2.18))的表達(dá)式可以看出，沿x軸正、負(fù)方向傳播的行進(jìn)波包含兩部分：一部分來(lái)源于初始位移，一部分來(lái)源于初始速度。至于行波的具體波形，則取決于初始條件(式(2.2))。為了使這個(gè)概念具體化，我們分別對(duì)以下兩種特殊情況進(jìn)行討論：

(1)y(x)＝0(只有初始位移，初速度為零的弦振動(dòng))。

此時(shí)由式(2.18)可得出

(2.22)

先看式(2.22)中的第二項(xiàng)，設(shè)觀察者以速度a沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，則t時(shí)刻在x＝c＋at處，他所看到的波形為

j(x－at)＝j(luò)(c＋at－at)＝j(luò)(c) (2.23)

由于t為任意時(shí)刻，這說(shuō)明觀察者在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中隨時(shí)可看到相同的波形j(c)，可見(jiàn)，波形和觀察者一樣，以速度a沿x軸正向傳播。所以，j(x－at)代表以速度a沿x軸正向傳播的波，稱為正行波。而第一項(xiàng)的j(x＋at)代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波，稱為反行波。正行波和反行波的疊加(相加)就給出弦的位移。

(2)j(x)＝0(即只有初速度，初始位移為零的弦振動(dòng))。

此時(shí)由式(2.18)可得出

(2.24)

設(shè)Y(x)為y(x)/2a的一個(gè)原函數(shù)，即

(2.25)

則此時(shí)有

u(x，t)＝Y(jié)(x＋at)－Y(x－at) (2.26)

由此可見(jiàn)，上式第一項(xiàng)是反行波，第二項(xiàng)是正行波，正、反行波的疊加(相減)給出了弦的位移。

所以，達(dá)朗貝爾解表示正行波和反行波的疊加。

例2.2

求初速度y(x)為零，初始位移為

(2.27)

的無(wú)界弦的自由振動(dòng)位移。

解：由達(dá)朗貝爾解，即式(2.18)給出弦的初始位移(見(jiàn)圖2.2中當(dāng)力＝0時(shí)的粗線)為

(2.28)

將它分為兩半(該圖細(xì)線)，分別向左右兩方向以速度a移動(dòng)(見(jiàn)圖中由下而上的各圖中的細(xì)線)，每經(jīng)過(guò)a/4a的時(shí)間間隔，弦的位移便由此二行波的和給出(見(jiàn)圖中由下而上的各圖粗線)。

圖2.2弦的波動(dòng)示意

圖2.3依賴區(qū)間2.1.3依賴區(qū)間和影響區(qū)域

1.依賴區(qū)間

由達(dá)朗貝爾公式(式(2.18))可以看出，定解問(wèn)題(2.1)~(2.2)的解在一點(diǎn)(x，t)∈Ω(Ω：－∞<x<∞，t>0)處的值，僅依賴于x軸的區(qū)間［x－at，x＋at］上的初始條件，而與其他點(diǎn)上的初始條件無(wú)關(guān)。我們稱區(qū)間［x－at，x＋at］為點(diǎn)(x，t)的依賴區(qū)間，它是過(guò)點(diǎn)(x，t)分別作斜率為±1/a的直線與x軸所截交而得的區(qū)間。如圖2.3所示。

2.影響區(qū)域

從一維齊次波動(dòng)方程的通解

u(x，t)＝f1(x＋at)＋f2(x－at)

可知，波動(dòng)是以一定的速度a向兩個(gè)方向傳播的。因此，如果在初始時(shí)刻t＝0擾動(dòng)僅在一有限區(qū)間［x1，x2］上存在，那么經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，它所傳到的范圍就由不等式

x1－at≤x≤x2＋at(t>0) (2.29)

所限定，而在此范圍外仍處于靜止?fàn)顟B(tài)。

在(x，t)平面上，上述不等式所表示的區(qū)域如圖2.4所示，稱為區(qū)間［x1，x2］的影響區(qū)域。在這個(gè)區(qū)域中，初值問(wèn)題的解u(x，t)的數(shù)值是受到區(qū)間［x1，x2］上的初始條件影響的；而在此區(qū)域外，u(x，t)的數(shù)值則不受區(qū)間［x1，x2］上初始條件的影響。

特別地，當(dāng)區(qū)間［x1，x2］縮成一點(diǎn)x0時(shí)，點(diǎn)x0的影響區(qū)域?yàn)?/p>

x0－at≤x≤x0＋at(t>0) (2.30)

這是過(guò)點(diǎn)x0作兩條斜率各為±1/a的直線x＝x0－at和x＝x0＋at所夾的三角形區(qū)域，如圖2.5所示。

圖2.4［x1，x2］的影響區(qū)域

圖2.5x0的影響區(qū)域通過(guò)上面的討論，我們可以看到，在(x，t)平面上，斜率為±1/a的直線x＝x0±at對(duì)波動(dòng)方程的研究起著重要的作用，稱它們?yōu)椴▌?dòng)方程的特征線，且特征線族x±at＝c(任意常數(shù))正是波動(dòng)方程的特征方程(dx)2－a2(dt)2＝0的特征曲線。

可以看到，行波法是以波動(dòng)現(xiàn)象的特點(diǎn)為基礎(chǔ)的，并以變量變換為出發(fā)點(diǎn)。其操作步驟為：先求通解，再用定解條件求特解。因其與求解常微分方程的方法相近，故而思路簡(jiǎn)潔，用其研究波動(dòng)問(wèn)題也很方便。但因?yàn)橐话闫⒎址匠痰耐ń獠灰浊螅枚ń鈼l件求特解有時(shí)也很困難，所以這種解法有相當(dāng)大的局限性，一般只用于求解波動(dòng)問(wèn)題。

對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)的定解問(wèn)題的研究，需要根據(jù)端點(diǎn)所處的物理狀態(tài)(即邊界條件)的不同分別加以討論。

1.端點(diǎn)固定(即第一類齊次邊界條件)

一端固定的半無(wú)界弦的自由振動(dòng)的定解問(wèn)題為：

泛定方程：

utt＝a2uxx

(0<x<∞，t>0) (2.31)

2.2半無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)

邊界條件：

u(0，t)＝0(2.32)

初始條件：

u(x，0)＝j(luò)(x)

ut(x，0)＝y(tǒng)(x) (2.33)

其中，邊界條件表示x＝0端弦是固定的，求解區(qū)域是(x，t)平面上的第一象限。對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題處理的基本思想是設(shè)法把它化為無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題，借助已知的達(dá)朗貝爾公式加以解決。

從物理上我們可以設(shè)想：半無(wú)限長(zhǎng)弦在端點(diǎn)的反射波可視為無(wú)限長(zhǎng)弦在x<0部分傳播過(guò)來(lái)的“右”行傳播波，且保持端點(diǎn)處為波節(jié)，從而半無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題可以作為特定的(u(x，t)|x＝0＝0)的無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題。

從數(shù)學(xué)上可以這樣考慮：利用延拓法，把半無(wú)界區(qū)間延拓到整個(gè)無(wú)界區(qū)間。無(wú)界域上的波函數(shù)既要滿足達(dá)朗貝爾公式，又要滿足u(x，t)|x＝0＝0，即

(2.34)

由于函數(shù)j(x)、y(x)的任意性，因此必須把j(x)與y(x)延拓成－∞<x<∞區(qū)間上的奇函數(shù)。這樣，我們可把上述初始條件改為：

(2.35)

(2.36)

這樣處理后，因?yàn)楹瘮?shù)定義在－∞<x<∞整個(gè)區(qū)間，所以可以直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式(2.18)求解，于是得

(2.37)

然后利用F(x)和Y(x)的奇函數(shù)特性，使之最終用j(x)和y(x)來(lái)表示。

為此，在(x，t)平面上的第一象限應(yīng)分為①x>at，t>0；②0<x<at，t>0兩個(gè)區(qū)域。如圖2.6所示。

圖2.6(x，t)平面上的兩個(gè)區(qū)域由圖2.6可見(jiàn)，由于在x>at區(qū)域內(nèi)的任何點(diǎn)的依賴區(qū)間全部位于(t＝0，x≥0)的區(qū)間內(nèi)，因此解只依賴于t＝0，x≥0的初值條件，所以在區(qū)域①內(nèi)的解，只需將j(x)與y(x)的具體形式直接代入式(2.37)，即可得到

(2.38)

而區(qū)域②內(nèi)的點(diǎn)的依賴區(qū)間已跨越到－x軸上了。因此利用F(x)與Y(x)的奇函數(shù)特性可得

(2.39)

以下將討論上述解的物理含義：

(1)若x>at，我們看到其解就是達(dá)朗貝爾解，這說(shuō)明端點(diǎn)的影響尚未傳到。

(2)若0<x<at，此時(shí)的解與達(dá)朗貝爾解不一樣，這說(shuō)明端點(diǎn)的影響已經(jīng)傳到。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)初速度為零，此時(shí)

(2.40)由上節(jié)討論得知式(2.40)中的第一項(xiàng)是沿x軸負(fù)向向端點(diǎn)傳播的反行波，在此稱為入射波。式(2.40)中的第二項(xiàng)是由端點(diǎn)傳來(lái)的以速度a沿x軸正向傳播的正行波，在此稱為反射波。注意，在端點(diǎn)u(x，t)|x＝0＝0，即弦始終不動(dòng)，這說(shuō)明在端點(diǎn)x＝0處入射波和反射波的相位始終相反，這種現(xiàn)象我們稱為半波損失。

2.端點(diǎn)自由(即第二類齊次邊界條件)

定解問(wèn)題可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

泛定方程：

utt＝a2uxx

(0<x<∞，t>0) (2.41)

邊界條件：

ux(0，t)＝0 (2.42)

初始條件：

u(x，0)＝j(luò)(x)

ut(x，0)＝y(tǒng)(x) (2.43)

同“端點(diǎn)固定”的分析方法相同，我們采用延拓法將半無(wú)界問(wèn)題延拓為無(wú)界問(wèn)題。在此邊界條件下，應(yīng)設(shè)j'(0)＝0和y'(0)＝0，這樣才能保持端點(diǎn)自由(即ux(0，t)＝0)，因此應(yīng)將j(x)與y(x)延拓成在－∞<x<∞整個(gè)區(qū)間上的偶函數(shù)，這樣x＝0端的邊界條件自然會(huì)得到滿足。即將定解問(wèn)題(2.31)~(2.33)的初始條件改為：

(2.44)

(2.45)

這樣處理之后，由于函數(shù)定義在－∞<x<∞整個(gè)區(qū)間上，因此可以直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式(2.18)，于是得到

(2.46)

然后，像上面的步驟一樣，利用F(x)與Y(x)的偶函數(shù)特性，將(x，t)平面上的第一象限分成①x>at；②x<at兩個(gè)區(qū)域。最后得到

(1)當(dāng)t>0，x>at時(shí)

(2.47)

(2)當(dāng)t>0，0<x<at時(shí)

(2.48)

通過(guò)以上分析可以看出，當(dāng)t>0，x>at時(shí)，端點(diǎn)的反射波影響還未達(dá)到x點(diǎn)，所以它和無(wú)界域的達(dá)朗貝爾公式相同；當(dāng)t>0，0<x<at時(shí)，端點(diǎn)的影響已經(jīng)達(dá)到x點(diǎn)，端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由初值函數(shù)引起的波動(dòng)和端點(diǎn)反射波共同決定，不過(guò)此時(shí)無(wú)半波損失。

例2.3

半無(wú)限長(zhǎng)的弦其初始位移和初始速度都為零，端點(diǎn)作微小的橫振動(dòng)u|x＝0＝Asinwt，求解弦的振動(dòng)規(guī)律。

解：可將此物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下列定解問(wèn)題

(2.49)

由定解條件知，此弦的振動(dòng)是單純由端點(diǎn)的振動(dòng)引起的。因此，在x≥0區(qū)域，弦振動(dòng)應(yīng)按右行波傳播。故可令其解為u(x，t)＝f(x－at)，代入邊界條件，得

Asinwt＝f(－at)(t≥0) (2.50)

為確定函數(shù)f，令z＝－at，得

(2.51)

于是得

(2.52)

我們已經(jīng)在2.1節(jié)討論了一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題，并獲得了達(dá)朗貝爾解，但波在三維空間傳播的情況更具有普遍意義。例如，在研究交變電磁場(chǎng)在空間中的傳播時(shí)，就要討論三維波動(dòng)方程。本節(jié)我們討論三維波動(dòng)方程問(wèn)題。

要求解在三維無(wú)限空間傳播的波動(dòng)問(wèn)題，就是要求下列定解問(wèn)題。2.3三維波動(dòng)方程的泊松公式

泛定方程：

utt＝a2Du(－∞<x，y，z<∞，t>0) (2.53)

初值條件：

(2.54)其中，M代表空間中任意一點(diǎn)。根據(jù)2.1節(jié)中用行波法求解一維波動(dòng)問(wèn)題的思路，我們可知，若能通過(guò)某種方法將三維的波動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維的波動(dòng)問(wèn)題，就可以借助2.1節(jié)的結(jié)果或仿照2.1節(jié)的方法來(lái)求得三維波動(dòng)問(wèn)題的解。事實(shí)上，在球坐標(biāo)系中，u＝u(r，q，j)，如果波動(dòng)在三維空間中傳播時(shí)與(q，j)無(wú)關(guān)，即具有球?qū)ΨQ性時(shí)，可將其化為u＝u(r)，顯然就是一個(gè)一維問(wèn)題，所以，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化，利用一維行波解的結(jié)果來(lái)得到三維波動(dòng)問(wèn)題的解是一種可能的途徑。

為此，我們先介紹平均值法。2.3.1平均值法

首先定義一個(gè)函數(shù)

(2.55)

其中，

為立體角元。顯然，

只是獨(dú)立變量r和t的函數(shù)，稱之為函數(shù)u(M，t)在以M0為中心，r為半徑的球面

上的平均值。M0是一個(gè)參量，而且容易看出來(lái)， 和所要求的u(M0，t0)有著緊密的聯(lián)系，即

(2.56)

因此，欲求波動(dòng)方程(2.53)的解u(M，t)在任意點(diǎn)M0、任意時(shí)刻t0的值u(M0，t0)，只要先求出u(M，t)在t0時(shí)刻，以M0為中心，r為半徑的球面

上的平均值后，再令r→0即可。這種處理問(wèn)題的方法稱為平均值法。

注意：如圖2.7所示，這里各坐標(biāo)變量之間的關(guān)系為

(2.57)

圖2.7M0與M的坐標(biāo)關(guān)系其中，

下面我們通過(guò)求三維齊次波動(dòng)方程的通解來(lái)導(dǎo)出泊松公式。2.3.2泊松公式

為了用平均值法求解三維的波動(dòng)問(wèn)題，我們對(duì)式(2.53)兩邊在球面

上積分并乘以常數(shù)因子，得

(2.58)

交換微分和積分號(hào)的順序，得

(2.59)

由式(2.55)得

(2.60)

又因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中，

(2.61)故由變量x和r的關(guān)系式(2.57)可得

(2.62)

所以

(2.63)類似地，可得

(2.64)

故有

(2.65)

代入式(2.60)，得

(2.66)

即

(2.67)

不妨令

(2.68)

則可得

vtt＝a2vrr

(2.69)

這就是一個(gè)一維的波動(dòng)方程，其通解可以表示為

v(r，t)＝f1(r＋at)＋f2(r－at) (2.70)

因此

(2.71)

注意到

，當(dāng)r＝0時(shí)，有

v(0，t)＝0 (2.72)

即

f1(at)＋f2(－at)＝0 (2.73)

所以

(2.74)而由式(2.73)還可以得到

(2.75)

故有

(2.76)

此即波動(dòng)方程(2.53)在任意時(shí)刻t0，任意一點(diǎn)M0處的解，其中

為任意函數(shù)。

為了得到方程(2.53)滿足初始條件(式(2.54))的特解，我們需要用這兩個(gè)初始條件來(lái)確定式(2.76)中的任意函數(shù)

。為此，我們將式(2.71)兩邊乘以r后再分別對(duì)r和t求導(dǎo)

(2.77)

(2.78)將式(2.77)和式(2.78)相加，并取r＝at0，t＝0(注意：這里之所以令t＝0是為了代入初始條件得到

的值)，則得

(2.79)

將此結(jié)果代入式(2.76)，則得

(2.80)

注意到M0、t0的任意性，故上式可寫為

(2.81)

其中，M'表示以M為中心，at為半徑的球面

上的點(diǎn)。

至此，我們得到了三維無(wú)界空間波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的解，即式(2.81)，稱此式為泊松(Poisson)公式。

2.3.3泊松公式的物理意義

下面我們討論泊松公式的物理意義。式(2.81)是三維波動(dòng)方程式(2.53)和(2.54)的解，它表示點(diǎn)M(x，y，z)和時(shí)刻t的值，僅與以點(diǎn)M為球心，at為半徑的球面上的初始條件有關(guān)。換言之，只有與點(diǎn)M相距為at的點(diǎn)上的初始擾動(dòng)能夠影響到u(x，y，z；t)的值。

為了形象起見(jiàn)，我們?cè)O(shè)擾動(dòng)只限于區(qū)域T0(即初值函數(shù)j(M')、y(M')在空間某個(gè)有限區(qū)域T0內(nèi)，而在T0外為零)內(nèi)。在空間任取一點(diǎn)M，考察M點(diǎn)處各個(gè)時(shí)刻所受到初始擾動(dòng)的情形。

我們知道，函數(shù)u在點(diǎn)M和時(shí)刻t的值u(M，t)是由j(M')、y(M')在球面

上的值所決定的。也就是說(shuō)，只有當(dāng)球面

和區(qū)域T0相交時(shí)，式(2.81)中的積分才不為零。我們用d＝at1和D＝at2分別表示點(diǎn)M到區(qū)域T0的最近和最遠(yuǎn)距離，如圖2.8所示。

顯然，當(dāng)at<at1，即t<t1時(shí)，球面

不與T0相交，式(2.81)中的曲面積分為零，因而u(M，t)＝0，這時(shí)擾動(dòng)的“前鋒”還未到達(dá)M點(diǎn)。從時(shí)刻t1到t2(即d/a<t<D/2)，球面

和區(qū)域T0一直相交，式(2.81)中的曲面積分不等于零，這時(shí)M點(diǎn)處于擾動(dòng)狀態(tài)。

圖2.8泊松公式的物理意義示意

當(dāng)t>t2時(shí)，球面

不與區(qū)域T0相交，u(M，t)取零值，此時(shí)，擾動(dòng)已經(jīng)越過(guò)了M點(diǎn)，即表明擾動(dòng)的“陣尾”已經(jīng)過(guò)去了。這表明初始擾動(dòng)(包括初始位移和初始速度)都無(wú)殘留的后效，即三維空間中局部擾動(dòng)的傳播無(wú)后效現(xiàn)象。就像人們講話的每個(gè)音節(jié)產(chǎn)生的振動(dòng)波經(jīng)過(guò)聽話者的耳朵所在的地點(diǎn)之后，空氣都靜止下來(lái)等待下一個(gè)擾動(dòng)的到來(lái)一樣。

如果我們考察區(qū)域T0中任意點(diǎn)M0處的擾動(dòng)在某一時(shí)刻t0在空間中傳播的情況。擾動(dòng)傳到以M0為中心，at0為半徑的球面

上，所以式(2.81)也稱為球面波。這樣，在時(shí)刻t0受到T0中所有點(diǎn)初始擾動(dòng)影響的區(qū)域，就是以點(diǎn)M0∈T0為中心，at0為半徑的球面族的全體。當(dāng)t0足夠大時(shí)，這種球面族有內(nèi)、外兩個(gè)包絡(luò)面。我們稱外包絡(luò)面為傳播波的波前，內(nèi)包絡(luò)面為傳播波的波后。

當(dāng)區(qū)域T0是半徑為R的球形時(shí)，波的波前(Ⅰ)和波后(Ⅱ)都是球面，如圖2.9所示。

圖2.9球形波振面示意波前以外的部分表示擾動(dòng)還未傳到的區(qū)域，而波后以內(nèi)的部分是擾動(dòng)已傳過(guò)，并恢復(fù)了原來(lái)狀況的區(qū)域。因此，當(dāng)初始擾動(dòng)限制在某一局部范圍內(nèi)時(shí)，波的傳播有清晰的波前和波后。這就是物理學(xué)中的惠更斯原理。

例2.4

設(shè)大氣中有一個(gè)半徑為1的球形薄膜，薄膜內(nèi)的壓強(qiáng)超過(guò)大氣壓的數(shù)值為p0，假定該薄膜突然消失，將會(huì)在大氣中激起三維波，求球外任意位置的附加壓強(qiáng)p。

解：其定解問(wèn)題是

(2.82)

如圖2.10所示，設(shè)薄膜球球心到球外任意一點(diǎn)M的距離為r，則當(dāng)r－1<at<r＋1時(shí)，有

(2.83)

圖2.10球形薄膜的波動(dòng)示意注意，y(M')＝pt|t＝0＝0，故由泊松公式可得

(2.84)

而當(dāng)at<r－1和at>r＋1時(shí)，由于j(M')與y(M')均為零，故有p(M，t)＝0。

類似地，我們當(dāng)然可以求得球內(nèi)任意位置處的附加壓強(qiáng)。

例2.5

利用三維泊松公式求解下列問(wèn)題

(2.85)

解：由泊松公式可得

前面所討論的問(wèn)題只限于自由振動(dòng)，其泛定方程均為齊次的?，F(xiàn)在我們來(lái)討論無(wú)界弦的純強(qiáng)迫振動(dòng)，它的定解問(wèn)題有：

泛定方程：

utt－a2uxx＝f(x，t)(－∞<x<∞，t>0) (2.86)

初始條件：

(2.87)2.4強(qiáng)迫振動(dòng)

此時(shí)的泛定方程是非齊次的。由前面的討論可知，如果能將方程中的非齊次項(xiàng)消除掉(即將方程變?yōu)辇R次方程)，就可以利用2.1節(jié)的達(dá)朗貝爾公式得到此定解問(wèn)題的解。因此，我們先介紹沖量原理。2.4.1沖量原理

我們知道，式(2.86)中的

(F(x，t)是x處外力的線密度，即單位長(zhǎng)度弦所受到的外力)是在時(shí)刻t、x處單位質(zhì)量的弦上所受到的力，即力密度。這個(gè)力是持續(xù)作用的，即從時(shí)刻0一直延續(xù)到某一時(shí)刻t(當(dāng)然，時(shí)刻t以后的力不影響在時(shí)刻t的振動(dòng)，故可不考慮時(shí)刻t以后的力)。根據(jù)物理學(xué)中的疊加定理，我們可以將持續(xù)力f(x，t)所引起的振動(dòng)(即定解問(wèn)題(2.86)和(2.87)的解)，看做是一系列前后相繼的瞬時(shí)力f(x，t)(0≤t≤t)所引起的振動(dòng)w(x，t；t)的疊加。即

(2.88)

現(xiàn)在我們來(lái)分析瞬時(shí)力f(x，t)所引起的振動(dòng)。從物理的角度考慮，力對(duì)系統(tǒng)的作用對(duì)于時(shí)間的積累是給系統(tǒng)一定的沖量。我們考慮在短時(shí)間間隔Dt內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的作用，則f(x，t)Dt表示在Dt內(nèi)的沖量。這個(gè)沖量使得系統(tǒng)的動(dòng)量即系統(tǒng)的速度有一些改變(因?yàn)閒(x，t)是單位質(zhì)量弦所受的力，故動(dòng)量在數(shù)值上等于速度)。即

f(x，t)Dt＝DP＝DV

(2.89)其中，DP為動(dòng)量增量；DV為速度改變量。由于f(x，t)是單位質(zhì)量的弦的受力，因此式(2.89)成立。

由于Dt→0，我們可以把Dt時(shí)間內(nèi)得到的速度改變量看成是在t＝t時(shí)刻的一瞬間得到的，而在Dt外的其余時(shí)間則認(rèn)為沒(méi)有沖量的作用，即沒(méi)有外力的作用。在Dt這段時(shí)間里，瞬時(shí)力f(x，t)所引起的振動(dòng)的定解問(wèn)題就可以表示為

(2.90)

為了便于求解，再令

w(x，t；t)＝v(x，t；t)Dt

(2.91)

則有

(2.92)

由上面的分析可以看出，要求解純強(qiáng)迫振動(dòng)即式(2.86)和(2.87)，只需求解定解式(2.92)即可，從而

(2.93)

即

(2.94)

上面這種用瞬時(shí)沖量的疊加代替持續(xù)作用力來(lái)解決定解問(wèn)題(2.86)和(2.87)的方法，我們稱之為沖量原理。

下面我們從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證沖量原理的合理性。

首先，證明式(2.94)滿足初始條件(2.87)。由式(2.94)可知

(2.95)

固定積分上下限相同，其值為零。這樣式(2.94)滿足初始條件(式(2.87))。

為了證明式(2.94)也滿足初始條件ut|t＝0＝0，則需要用公式

(2.96)

把式(2.96)應(yīng)用于式(2.94)，得

(2.97)

由式(2.92)知v(x，t；t)＝0，所以

(2.98)

則得

(2.99)

可見(jiàn)初始條件(2.87)也得到滿足。

其次，證明(2.94)滿足非齊次泛定方程(2.86)，為此，對(duì)式(2.98)再應(yīng)用式(2.96)，得

(2.100)

又由式(2.92)知vt(x，t；t)＝f(x，t)，所以有

(2.101)

而

(2.102)

把式(2.101)和式(2.102)代入式(2.86)，得

(2.103)

又由式(2.92)知vtt－a2vxx＝0，即得

utt－a2uxx＝f(x，t) (2.104)

故式(2.94)也滿足非齊次方程(2.86)。這就驗(yàn)證了式(2.94)確實(shí)是式(2.86)和式(2.87)的定解問(wèn)題的解。

還應(yīng)指出的是：

(1)沖量原理也可以用于輸運(yùn)方程。但需注意，沖量原理只適用于單一“源”(熱源或強(qiáng)迫力)的問(wèn)題，即要求其他條件均為齊次的。

(2)沖量原理也可以用于波動(dòng)方程或輸運(yùn)方程的混合問(wèn)題。但需注意，邊界條件必須是一、二、三類邊界條件，甚至x＝0端與x＝l端的邊界條件可以是不同類型(只要v(x，t；t)的邊界條件的類型與原定解問(wèn)題的邊界條件相同就行)。2.4.2純強(qiáng)迫振動(dòng)

根據(jù)沖量原理，我們把求解式(2.86)和(2.87)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笫?2.92)的初值問(wèn)題。令T＝t－t，則

(2.105)

故由達(dá)朗貝爾公式有

(2.106)

代入式(2.94)得

(2.107)

此即純強(qiáng)迫振動(dòng)的解。

例2.6

求初始值問(wèn)題

(2.108)

解：由式(2.107)有

(2.109)2.4.3一般強(qiáng)迫振動(dòng)

一般強(qiáng)迫振動(dòng)的定解問(wèn)題如下：

utt－a2uxx＝f(x，t)(－∞<x<∞，t>0) (2.110)

u|t＝0＝j(luò)(x) (2.111)

ut|t＝0＝y(tǒng)(x) (2.112)

對(duì)于這種定解問(wèn)題，我們注意到泛定方程和定解條件都是線性的。利用疊加定理，我們可以認(rèn)為弦振動(dòng)是由自由振動(dòng)的初值問(wèn)題和單純由強(qiáng)迫力引起的振動(dòng)的合成，即令

(2.113)

使uⅠ(x，t)、uⅡ(x，t)分別滿足下列初值問(wèn)題，即

uⅠtt－a2uⅠxx＝0 (2.114)

uⅠ|t＝0＝j(luò)(x) (2.115)

uⅠt|t＝0＝y(tǒng)(x) (2.116)

uⅡtt－a2uⅡxx＝f(x，t) (2.117)

uⅡ|t＝0＝0 (2.118)

uⅡt|t＝0＝0 (2.119)

則式(2.114)加上式(2.117)即為式(2.110)；式(2.115)加上式(2.118)即為式(2.111)；式(2.116)加上式(2.119)即為式(2.112)。所以要求解定解問(wèn)題(2.110)~(2.112)只需求解定解問(wèn)題(2.114)~(2.116)和定解問(wèn)題(2.117)~(2.119)。

定解問(wèn)題(2.114)~(2.116)的解uⅠ(x，t)可由達(dá)朗貝爾公式得出；定解問(wèn)題(2.117)~(2.119)的解uⅡ(x，t)可由式(2.107)給出。所以一般強(qiáng)迫振動(dòng)的解為

(2.120)

從物理概念上看，定解問(wèn)題(2.110)~(2.112)表示由外力因素f(x，t)和由j(x)、y(x)所表示的初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)整個(gè)振動(dòng)過(guò)程所產(chǎn)生的綜合影響，它可以分解為單獨(dú)只考慮外力因素(初始位移及速度為零)引起的振動(dòng)(即強(qiáng)迫振動(dòng))和只考慮初始振動(dòng)狀態(tài)(外力為零)對(duì)振動(dòng)過(guò)程所產(chǎn)生的影響，即自由振動(dòng)的疊加。

例2.7

求解下列定解問(wèn)題

(2.121)

解：依線性方程解的結(jié)構(gòu)，按疊加原理，令u(x，t)＝uⅠ(x，t)＋uⅡ(x，t)，則原定解問(wèn)題可以分為下列兩個(gè)定解問(wèn)題，即

(2.122)

(2.123)

式(2.122)的解可由達(dá)朗貝爾公式求得

(2.124)

而定解問(wèn)題(式(2.123))可以用沖量原理來(lái)求。先解

(2.125)

由達(dá)朗貝爾公式得

(2.126)

于是式(2.123)的解為

(2.127)所以原定解問(wèn)題的解為

(2.128)

下面我們將研究更為一般的情況：有外力作用的三維無(wú)界空間的波動(dòng)問(wèn)題，即以下定解問(wèn)題

utt－a2Du＝f(M，t)(－∞<x，y，z<∞；t>0)

(2.129)

u|t＝0＝j(luò)(M) (2.130)

ut|t＝0＝y(tǒng)(M) (2.131)

2.5三維無(wú)界空間的一般波動(dòng)問(wèn)題

根據(jù)疊加原理，此問(wèn)題可分解為下面兩個(gè)問(wèn)題來(lái)解決：第一個(gè)是求齊次方程滿足非齊次初始條件的解；第二個(gè)是由強(qiáng)迫力引起的非齊次方程滿足齊次初始條件的定解問(wèn)題。

令

u＝uⅠ＋uⅡ

(2.132)

而uⅠ、uⅡ分別滿足下列方程：

(2.133)

(2.134)

(2.135)

(2.136)

(2.137)

(2.138)

(1)我們先來(lái)討論定解問(wèn)題(2.133)~(2.135)的解。

定解問(wèn)題(2.133)~(2.135)是三維無(wú)界空間的柯西問(wèn)題，由泊松公式得其解為

(2.139)

其中，函數(shù)j、y中的變量應(yīng)為X、Y、Z，并且有

(2.140)

(2)對(duì)三維的非齊次波動(dòng)方程的零初值問(wèn)題(2.136)~(2.138)可以像上節(jié)一樣采用沖量原理來(lái)解決，即先求出無(wú)源問(wèn)題

(2.141)

的解υ(M，t；t)，而定解問(wèn)題(式(2.136)~(2.138))的解為

(2.142)

依據(jù)泊松公式，定解問(wèn)題(式(2.141))的解為

(2.143)

代入式(2.142)，得

(2.144)

引入變量代換r＝a(t－t)，即

，可得

(2.145)

上式中M'表示在以M為中心，at為半徑的球體

中的變點(diǎn)，積分在球體

中進(jìn)行。則定解問(wèn)題(式(2.136)~(2.138))的解為

(2.146)

并將其稱之為推遲勢(shì)。

由式(2.146)可以知道，欲求M點(diǎn)處t時(shí)刻的波動(dòng)問(wèn)題(式(