數(shù)學(xué)物理方法課件：行波法

行波法2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式2.2半無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)2.3三維波動(dòng)方程的泊松公式2.4強(qiáng)迫振動(dòng)2.5三維無界空間的一般波動(dòng)問題2.6本章小結(jié)習(xí)題2第1章學(xué)習(xí)了建立數(shù)學(xué)物理方程和定解條件的基本方法，即確定定解問題，

那么從本章開始，我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)各種求解數(shù)學(xué)物理方程的方法，主要包括行波法、分離變量法、積分變換法和格林函數(shù)法等。

我們知道，求解常微分方程時(shí)，一般是先求方程的通解，再用初始條件來確定通解中的任意常數(shù)，從而得到特解。那么這種思想能否用于求解偏微分方程的定解問題呢？也就是說，先求出偏微分方程的通解，再用定解條件確定通解中的任意常數(shù)或函數(shù)。通過研究可以發(fā)現(xiàn)，由于偏微分方程定解問題本身的特殊性，很難定義通解的概念，即使對(duì)某些方程可以定義并求出通解，但要通過定解條件來確定通解中的任意函數(shù)也是相當(dāng)困難的。因此，一般情況下我們是不能夠使用類似于常微分方程的求解過程來求解偏微分方程的，但是，對(duì)于某些特殊的偏微分方程的定解問題，尤其在求解無界區(qū)域上的齊次波動(dòng)方程等類型的定解問題時(shí)，可以考慮這種先求通解再確定特解的方法。另外，從物理學(xué)上看，齊次波動(dòng)方程反映了媒質(zhì)被擾動(dòng)后在區(qū)域里不再受到外力時(shí)的振動(dòng)傳播規(guī)律，如果問題的區(qū)域是整個(gè)空間時(shí)，由初始擾動(dòng)所引起的振動(dòng)就會(huì)一直向前傳播出去，形成行波，而這類問題可以得到通解，我們把這種主要適用于求解行波問題的方法稱為行波法，本章將討論這種方法的求解思路、方法和應(yīng)用。

2.1.1達(dá)朗貝爾(D’Alembert)公式的導(dǎo)出

對(duì)于無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)、無限長(zhǎng)桿的縱向自由振動(dòng)以及無限長(zhǎng)理想傳輸線上的電流和電壓均滿足相同的波動(dòng)方程的定解問題。

泛定方程：

utt＝a2uxx

(－∞<x<∞，t>0) (2.1)

初始條件：

u(x，0)＝j(luò)(x)

ut(x，0)＝y(tǒng)(x) (2.2)2.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式式中，j(x)、y(x)為已知函數(shù)。

因?yàn)閷?duì)于無限長(zhǎng)弦，其邊界的物理狀態(tài)并未影響到所考察的區(qū)域，所以不需提出邊界條件，此定解問題即為初值問題。

為了用行波法求解這一問題，我們首先要求出式(2.1)的通解。作變量代換，引入新的自變量

x＝x－at

h＝x＋at

(2.3)

利用復(fù)合函數(shù)求微商的法則，可以得到

（2.4）（2.5）（2.6）（2.7）將上面得到的utt和uxx代入式(2.1)，得到

a2(uxx－2uxh＋uhh)＝a2(uxx＋2uxh＋uhh) (2.8)

即

uxh＝0 (2.9)

求上面方程的解，先對(duì)h積分，得

(2.10)

再對(duì)x進(jìn)行積分可得

(2.11)式中，f1(x)、f2(h)分別是x、h的任意函數(shù)。把式(2.3)代入式(2.11)，得到

u(x，t)＝f1(x－at)＋f2(x＋at) (2.12)

容易驗(yàn)證，只要f1、f2具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式(2.12)就是自由弦振動(dòng)方程(式(2.1))的通解。

下面我們利用初始條件(式(2.2))來確定任意函數(shù)f1和f2，即求滿足定解條件的解。把式(2.12)代入式(2.2)得

u(x，0)＝f1(x)＋f2(x)＝j(luò)(x) (2.13)

(2.14)

即

(2.15)

由式(2.13)和式(2.15)容易解得

(2.16)

(2.17)

將f1(x)和f2(x)中的x分別換成x＋at和x－at，代入式(2.12)得

(2.18)

這就是達(dá)朗貝爾公式或稱為達(dá)朗貝爾行波解。它是一維無界齊次波動(dòng)方程的初值問題的特解的一般表達(dá)式。

例2.1

求解初值問題

(2.19)

解：顯然這是一個(gè)一維無界齊次波動(dòng)方程的初值問題，

j(x)＝x，y(x)＝4，故由達(dá)朗貝爾公式(式(2.18))有

(2.20)2.1.2達(dá)朗貝爾公式的物理意義

首先，我們以無限長(zhǎng)弦的橫向自由振動(dòng)為例來闡述達(dá)朗貝爾公式的通解式(式(2.12))的物理意義。

先考察第一項(xiàng)：

u1＝f1(x－at) (2.21)

它是方程(2.1)的解，對(duì)于不同的t值，就可以看到弦在不同時(shí)刻相應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)。

在t＝0時(shí)，u1(x，0)＝f1(x)，它對(duì)應(yīng)于初始時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)，假如圖2.1(a)曲線表示的是t＝0時(shí)的弦振動(dòng)的狀態(tài)(即初始狀態(tài))；在t＝1/2時(shí)，u1(x，1/2)＝f1(x－a/2)的圖形如圖2.1(b)所示；在t＝1時(shí)，u1(x，1)＝f1(x－a)的圖形如圖2.1(c)所示；在t＝2時(shí)，u1(x，2)＝f1(x－2a)的圖形如圖2.1(d)所示。這些圖形說明，隨著時(shí)間的推移，u1＝f1(x－at)的圖形以速度a向x軸正向移動(dòng)，所以u(píng)1＝f1(x－at)表示一個(gè)以速度a沿x軸正向傳播的行波。

圖2.1行波示意同理，第二項(xiàng)u2＝f2(x＋at)表示一個(gè)以速度a沿x軸負(fù)向傳播的行波。所以說達(dá)朗貝爾公式表明：弦上的任意擾動(dòng)總是以行波形式分別向兩個(gè)方向傳播出去的，其傳播的速度正好是弦振動(dòng)方程中的常數(shù)a。也正是基于此原因，上述求波動(dòng)方程通解的方法叫做行波法。

然后，我們研究滿足初始條件(式(2.2))的達(dá)朗貝爾公式特解。從特解(式(2.18))的表達(dá)式可以看出，沿x軸正、負(fù)方向傳播的行進(jìn)波包含兩部分：一部分來源于初始位移，一部分來源于初始速度。至于行波的具體波形，則取決于初始條件(式(2.2))。為了使這個(gè)概念具體化，我們分別對(duì)以下兩種特殊情況進(jìn)行討論：

(1)y(x)＝0(只有初始位移，初速度為零的弦振動(dòng))。

此時(shí)由式(2.18)可得出

(2.22)

先看式(2.22)中的第二項(xiàng)，設(shè)觀察者以速度a沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，則t時(shí)刻在x＝c＋at處，他所看到的波形為

j(x－at)＝j(luò)(c＋at－at)＝j(luò)(c) (2.23)

由于t為任意時(shí)刻，這說明觀察者在運(yùn)動(dòng)過程中隨時(shí)可看到相同的波形j(c)，可見，波形和觀察者一樣，以速度a沿x軸正向傳播。所以，j(x－at)代表以速度a沿x軸正向傳播的波，稱為正行波。而第一項(xiàng)的j(x＋at)代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波，稱為反行波。正行波和反行波的疊加(相加)就給出弦的位移。

(2)j(x)＝0(即只有初速度，初始位移為零的弦振動(dòng))。

此時(shí)由式(2.18)可得出

(2.24)

設(shè)Y(x)為y(x)/2a的一個(gè)原函數(shù)，即

(2.25)

則此時(shí)有

u(x，t)＝Y(jié)(x＋at)－Y(x－at) (2.26)

由此可見，上式第一項(xiàng)是反行波，第二項(xiàng)是正行波，正、反行波的疊加(相減)給出了弦的位移。

所以，達(dá)朗貝爾解表示正行波和反行波的疊加。

例2.2

求初速度y(x)為零，初始位移為

(2.27)

的無界弦的自由振動(dòng)位移。

解：由達(dá)朗貝爾解，即式(2.18)給出弦的初始位移(見圖2.2中當(dāng)力＝0時(shí)的粗線)為

(2.28)

將它分為兩半(該圖細(xì)線)，分別向左右兩方向以速度a移動(dòng)(見圖中由下而上的各圖中的細(xì)線)，每經(jīng)過a/4a的時(shí)間間隔，弦的位移便由此二行波的和給出(見圖中由下而上的各圖粗線)。

圖2.2弦的波動(dòng)示意

圖2.3依賴區(qū)間2.1.3依賴區(qū)間和影響區(qū)域

1.依賴區(qū)間

由達(dá)朗貝爾公式(式(2.18))可以看出，定解問題(2.1)~(2.2)的解在一點(diǎn)(x，t)∈Ω(Ω：－∞<x<∞，t>0)處的值，僅依賴于x軸的區(qū)間［x－at，x＋at］上的初始條件，而與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。我們稱區(qū)間［x－at，x＋at］為點(diǎn)(x，t)的依賴區(qū)間，它是過點(diǎn)(x，t)分別作斜率為±1/a的直線與x軸所截交而得的區(qū)間。如圖2.3所示。

2.影響區(qū)域

從一維齊次波動(dòng)方程的通解

u(x，t)＝f1(x＋at)＋f2(x－at)

可知，波動(dòng)是以一定的速度a向兩個(gè)方向傳播的。因此，如果在初始時(shí)刻t＝0擾動(dòng)僅在一有限區(qū)間［x1，x2］上存在，那么經(jīng)過時(shí)間t后，它所傳到的范圍就由不等式

x1－at≤x≤x2＋at(t>0) (2.29)

所限定，而在此范圍外仍處于靜止?fàn)顟B(tài)。

在(x，t)平面上，上述不等式所表示的區(qū)域如圖2.4所示，稱為區(qū)間［x1，x2］的影響區(qū)域。在這個(gè)區(qū)域中，初值問題的解u(x，t)的數(shù)值是受到區(qū)間［x1，x2］上的初始條件影響的；而在此區(qū)域外，u(x，t)的數(shù)值則不受區(qū)間［x1，x2］上初始條件的影響。

特別地，當(dāng)區(qū)間［x1，x2］縮成一點(diǎn)x0時(shí)，點(diǎn)x0的影響區(qū)域?yàn)?/p>

x0－at≤x≤x0＋at(t>0) (2.30)

這是過點(diǎn)x0作兩條斜率各為±1/a的直線x＝x0－at和x＝x0＋at所夾的三角形區(qū)域，如圖2.5所示。

圖2.4［x1，x2］的影響區(qū)域

圖2.5x0的影響區(qū)域通過上面的討論，我們可以看到，在(x，t)平面上，斜率為±1/a的直線x＝x0±at對(duì)波動(dòng)方程的研究起著重要的作用，稱它們?yōu)椴▌?dòng)方程的特征線，且特征線族x±at＝c(任意常數(shù))正是波動(dòng)方程的特征方程(dx)2－a2(dt)2＝0的特征曲線。

可以看到，行波法是以波動(dòng)現(xiàn)象的特點(diǎn)為基礎(chǔ)的，并以變量變換為出發(fā)點(diǎn)。其操作步驟為：先求通解，再用定解條件求特解。因其與求解常微分方程的方法相近，故而思路簡(jiǎn)潔，用其研究波動(dòng)問題也很方便。但因?yàn)橐话闫⒎址匠痰耐ń獠灰浊?，用定解條件求特解有時(shí)也很困難，所以這種解法有相當(dāng)大的局限性，一般只用于求解波動(dòng)問題。

對(duì)于半無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)的定解問題的研究，需要根據(jù)端點(diǎn)所處的物理狀態(tài)(即邊界條件)的不同分別加以討論。

1.端點(diǎn)固定(即第一類齊次邊界條件)

一端固定的半無界弦的自由振動(dòng)的定解問題為：

泛定方程：

utt＝a2uxx

(0<x<∞，t>0) (2.31)

2.2半無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)

邊界條件：

u(0，t)＝0(2.32)

初始條件：

u(x，0)＝j(luò)(x)

ut(x，0)＝y(tǒng)(x) (2.33)

其中，邊界條件表示x＝0端弦是固定的，求解區(qū)域是(x，t)平面上的第一象限。對(duì)半無限長(zhǎng)弦問題處理的基本思想是設(shè)法把它化為無限長(zhǎng)弦問題，借助已知的達(dá)朗貝爾公式加以解決。

從物理上我們可以設(shè)想：半無限長(zhǎng)弦在端點(diǎn)的反射波可視為無限長(zhǎng)弦在x<0部分傳播過來的“右”行傳播波，且保持端點(diǎn)處為波節(jié)，從而半無限長(zhǎng)弦問題可以作為特定的(u(x，t)|x＝0＝0)的無限長(zhǎng)弦問題。

從數(shù)學(xué)上可以這樣考慮：利用延拓法，把半無界區(qū)間延拓到整個(gè)無界區(qū)間。無界域上的波函數(shù)既要滿足達(dá)朗貝爾公式，又要滿足u(x，t)|x＝0＝0，即

(2.34)

由于函數(shù)j(x)、y(x)的任意性，因此必須把j(x)與y(x)延拓成－∞<x<∞區(qū)間上的奇函數(shù)。這樣，我們可把上述初始條件改為：

(2.35)

(2.36)

這樣處理后，因?yàn)楹瘮?shù)定義在－∞<x<∞整個(gè)區(qū)間，所以可以直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式(2.18)求解，于是得

(2.37)

然后利用F(x)和Y(x)的奇函數(shù)特性，使之最終用j(x)和y(x)來表示。

為此，在(x，t)平面上的第一象限應(yīng)分為①x>at，t>0；②0<x<at，t>0兩個(gè)區(qū)域。如圖2.6所示。

圖2.6(x，t)平面上的兩個(gè)區(qū)域由圖2.6可見，由于在x>at區(qū)域內(nèi)的任何點(diǎn)的依賴區(qū)間全部位于(t＝0，x≥0)的區(qū)間內(nèi)，因此解只依賴于t＝0，x≥0的初值條件，所以在區(qū)域①內(nèi)的解，只需將j(x)與y(x)的具體形式直接代入式(2.37)，即可得到

(2.38)

而區(qū)域②內(nèi)的點(diǎn)的依賴區(qū)間已跨越到－x軸上了。因此利用F(x)與Y(x)的奇函數(shù)特性可得

(2.39)

以下將討論上述解的物理含義：

(1)若x>at，我們看到其解就是達(dá)朗貝爾解，這說明端點(diǎn)的影響尚未傳到。

(2)若0<x<at，此時(shí)的解與達(dá)朗貝爾解不一樣，這說明端點(diǎn)的影響已經(jīng)傳到。為簡(jiǎn)單起見，設(shè)初速度為零，此時(shí)

(2.40)由上節(jié)討論得知式(2.40)中的第一項(xiàng)是沿x軸負(fù)向向端點(diǎn)傳播的反行波，在此稱為入射波。式(2.40)中的第二項(xiàng)是由端點(diǎn)傳來的以速度a沿x軸正向傳播的正行波，在此稱為反射波。注意，在端點(diǎn)u(x，t)|x＝0＝0，即弦始終不動(dòng)，這說明在端點(diǎn)x＝0處入射波和反射波的相位始終相反，這種現(xiàn)象我們稱為半波損失。

2.端點(diǎn)自由(即第二類齊次邊界條件)

定解問題可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

泛定方程：

utt＝a2uxx

(0<x<∞，t>0) (2.41)

邊界條件：

ux(0，t)＝0 (2.42)

初始條件：

u(x，0)＝j(luò)(x)

ut(x，0)＝y(tǒng)(x) (2.43)

同“端點(diǎn)固定”的分析方法相同，我們采用延拓法將半無界問題延拓為無界問題。在此邊界條件下，應(yīng)設(shè)j'(0)＝0和y'(0)＝0，這樣才能保持端點(diǎn)自由(即ux(0，t)＝0)，因此應(yīng)將j(x)與y(x)延拓成在－∞<x<∞整個(gè)區(qū)間上的偶函數(shù)，這樣x＝0端的邊界條件自然會(huì)得到滿足。即將定解問題(2.31)~(2.33)的初始條件改為：

(2.44)

(2.45)

這樣處理之后，由于函數(shù)定義在－∞<x<∞整個(gè)區(qū)間上，因此可以直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式(2.18)，于是得到

(2.46)

然后，像上面的步驟一樣，利用F(x)與Y(x)的偶函數(shù)特性，將(x，t)平面上的第一象限分成①x>at；②x<at兩個(gè)區(qū)域。最后得到

(1)當(dāng)t>0，x>at時(shí)

(2.47)

(2)當(dāng)t>0，0<x<at時(shí)

(2.48)

通過以上分析可以看出，當(dāng)t>0，x>at時(shí)，端點(diǎn)的反射波影響還未達(dá)到x點(diǎn)，所以它和無界域的達(dá)朗貝爾公式相同；當(dāng)t>0，0<x<at時(shí)，端點(diǎn)的影響已經(jīng)達(dá)到x點(diǎn)，端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由初值函數(shù)引起的波動(dòng)和端點(diǎn)反射波共同決定，不過此時(shí)無半波損失。

例2.3

半無限長(zhǎng)的弦其初始位移和初始速度都為零，端點(diǎn)作微小的橫振動(dòng)u|x＝0＝Asinwt，求解弦的振動(dòng)規(guī)律。

解：可將此物理問題轉(zhuǎn)化為下列定解問題

(2.49)

由定解條件知，此弦的振動(dòng)是單純由端點(diǎn)的振動(dòng)引起的。因此，在x≥0區(qū)域，弦振動(dòng)應(yīng)按右行波傳播。故可令其解為u(x，t)＝f(x－at)，代入邊界條件，得

Asinwt＝f(－at)(t≥0) (2.50)

為確定函數(shù)f，令z＝－at，得

(2.51)

于是得

(2.52)

我們已經(jīng)在2.1節(jié)討論了一維波動(dòng)方程的初值問題，并獲得了達(dá)朗貝爾解，但波在三維空間傳播的情況更具有普遍意義。例如，在研究交變電磁場(chǎng)在空間中的傳播時(shí)，就要討論三維波動(dòng)方程。本節(jié)我們討論三維波動(dòng)方程問題。

要求解在三維無限空間傳播的波動(dòng)問題，就是要求下列定解問題。2.3三維波動(dòng)方程的泊松公式

泛定方程：

utt＝a2Du(－∞<x，y，z<∞，t>0) (2.53)

初值條件：

(2.54)其中，M代表空間中任意一點(diǎn)。根據(jù)2.1節(jié)中用行波法求解一維波動(dòng)問題的思路，我們可知，若能通過某種方法將三維的波動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為一維的波動(dòng)問題，就可以借助2.1節(jié)的結(jié)果或仿照2.1節(jié)的方法來求得三維波動(dòng)問題的解。事實(shí)上，在球坐標(biāo)系中，u＝u(r，q，j)，如果波動(dòng)在三維空間中傳播時(shí)與(q，j)無關(guān)，即具有球?qū)ΨQ性時(shí)，可將其化為u＝u(r)，顯然就是一個(gè)一維問題，所以，通過某種轉(zhuǎn)化，利用一維行波解的結(jié)果來得到三維波動(dòng)問題的解是一種可能的途徑。

為此，我們先介紹平均值法。2.3.1平均值法

首先定義一個(gè)函數(shù)

(2.55)

其中，

為立體角元。顯然，

只是獨(dú)立變量r和t的函數(shù)，稱之為函數(shù)u(M，t)在以M0為中心，r為半徑的球面

上的平均值。M0是一個(gè)參量，而且容易看出來， 和所要求的u(M0，t0)有著緊密的聯(lián)系，即

(2.56)

因此，欲求波動(dòng)方程(2.53)的解u(M，t)在任意點(diǎn)M0、任意時(shí)刻t0的值u(M0，t0)，只要先求出u(M，t)在t0時(shí)刻，以M0為中心，r為半徑的球面

上的平均值后，再令r→0即可。這種處理問題的方法稱為平均值法。

注意：如圖2.7所示，這里各坐標(biāo)變量之間的關(guān)系為

(2.57)

圖2.7M0與M的坐標(biāo)關(guān)系其中，

下面我們通過求三維齊次波動(dòng)方程的通解來導(dǎo)出泊松公式。2.3.2泊松公式

為了用平均值法求解三維的波動(dòng)問題，我們對(duì)式(2.53)兩邊在球面

上積分并乘以常數(shù)因子，得

(2.58)

交換微分和積分號(hào)的順序，得

(2.59)

由式(2.55)得

(2.60)

又因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中，

(2.61)故由變量x和r的關(guān)系式(2.57)可得

(2.62)

所以

(2.63)類似地，可得

(2.64)

故有

(2.65)

代入式(2.60)，得

(2.66)

即

(2.67)

不妨令

(2.68)

則可得

vtt＝a2vrr

(2.69)

這就是一個(gè)一維的波動(dòng)方程，其通解可以表示為

v(r，t)＝f1(r＋at)＋f2(r－at) (2.70)

因此

(2.71)

注意到

，當(dāng)r＝0時(shí)，有

v(0，t)＝0 (2.72)

即

f1(at)＋f2(－at)＝0 (2.73)

所以

(2.74)而由式(2.73)還可以得到

(2.75)

故有

(2.76)

此即波動(dòng)方程(2.53)在任意時(shí)刻t0，任意一點(diǎn)M0處的解，其中

為任意函數(shù)。

為了得到方程(2.53)滿足初始條件(式(2.54))的特解，我們需要用這兩個(gè)初始條件來確定式(2.76)中的任意函數(shù)

。為此，我們將式(2.71)兩邊乘以r后再分別對(duì)r和t求導(dǎo)

(2.77)

(2.78)將式(2.77)和式(2.78)相加，并取r＝at0，t＝0(注意：這里之所以令t＝0是為了代入初始條件得到

的值)，則得

(2.79)

將此結(jié)果代入式(2.76)，則得

(2.80)

注意到M0、t0的任意性，故上式可寫為

(2.81)

其中，M'表示以M為中心，at為半徑的球面

上的點(diǎn)。

至此，我們得到了三維無界空間波動(dòng)方程的初值問題的解，即式(2.81)，稱此式為泊松(Poisson)公式。

2.3.3泊松公式的物理意義

下面我們討論泊松公式的物理意義。式(2.81)是三維波動(dòng)方程式(2.53)和(2.54)的解，它表示點(diǎn)M(x，y，z)和時(shí)刻t的值，僅與以點(diǎn)M為球心，at為半徑的球面上的初始條件有關(guān)。換言之，只有與點(diǎn)M相距為at的點(diǎn)上的初始擾動(dòng)能夠影響到u(x，y，z；t)的值。

為了形象起見，我們?cè)O(shè)擾動(dòng)只限于區(qū)域T0(即初值函數(shù)j(M')、y(M')在空間某個(gè)有限區(qū)域T0內(nèi)，而在T0外為零)內(nèi)。在空間任取一點(diǎn)M，考察M點(diǎn)處各個(gè)時(shí)刻所受到初始擾動(dòng)的情形。

我們知道，函數(shù)u在點(diǎn)M和時(shí)刻t的值u(M，t)是由j(M')、y(M')在球面

上的值所決定的。也就是說，只有當(dāng)球面

和區(qū)域T0相交時(shí)，式(2.81)中的積分才不為零。我們用d＝at1和D＝at2分別表示點(diǎn)M到區(qū)域T0的最近和最遠(yuǎn)距離，如圖2.8所示。

顯然，當(dāng)at<at1，即t<t1時(shí)，球面

不與T0相交，式(2.81)中的曲面積分為零，因而u(M，t)＝0，這時(shí)擾動(dòng)的“前鋒”還未到達(dá)M點(diǎn)。從時(shí)刻t1到t2(即d/a<t<D/2)，球面

和區(qū)域T0一直相交，式(2.81)中的曲面積分不等于零，這時(shí)M點(diǎn)處于擾動(dòng)狀態(tài)。

圖2.8泊松公式的物理意義示意

當(dāng)t>t2時(shí)，球面

不與區(qū)域T0相交，u(M，t)取零值，此時(shí)，擾動(dòng)已經(jīng)越過了M點(diǎn)，即表明擾動(dòng)的“陣尾”已經(jīng)過去了。這表明初始擾動(dòng)(包括初始位移和初始速度)都無殘留的后效，即三維空間中局部擾動(dòng)的傳播無后效現(xiàn)象。就像人們講話的每個(gè)音節(jié)產(chǎn)生的振動(dòng)波經(jīng)過聽話者的耳朵所在的地點(diǎn)之后，空氣都靜止下來等待下一個(gè)擾動(dòng)的到來一樣。

如果我們考察區(qū)域T0中任意點(diǎn)M0處的擾動(dòng)在某一時(shí)刻t0在空間中傳播的情況。擾動(dòng)傳到以M0為中心，at0為半徑的球面

上，所以式(2.81)也稱為球面波。這樣，在時(shí)刻t0受到T0中所有點(diǎn)初始擾動(dòng)影響的區(qū)域，就是以點(diǎn)M0∈T0為中心，at0為半徑的球面族的全體。當(dāng)t0足夠大時(shí)，這種球面族有內(nèi)、外兩個(gè)包絡(luò)面。我們稱外包絡(luò)面為傳播波的波前，內(nèi)包絡(luò)面為傳播波的波后。

當(dāng)區(qū)域T0是半徑為R的球形時(shí)，波的波前(Ⅰ)和波后(Ⅱ)都是球面，如圖2.9所示。

圖2.9球形波振面示意波前以外的部分表示擾動(dòng)還未傳到的區(qū)域，而波后以內(nèi)的部分是擾動(dòng)已傳過，并恢復(fù)了原來狀況的區(qū)域。因此，當(dāng)初始擾動(dòng)限制在某一局部范圍內(nèi)時(shí)，波的傳播有清晰的波前和波后。這就是物理學(xué)中的惠更斯原理。

例2.4

設(shè)大氣中有一個(gè)半徑為1的球形薄膜，薄膜內(nèi)的壓強(qiáng)超過大氣壓的數(shù)值為p0，假定該薄膜突然消失，將會(huì)在大氣中激起三維波，求球外任意位置的附加壓強(qiáng)p。

解：其定解問題是

(2.82)

如圖2.10所示，設(shè)薄膜球球心到球外任意一點(diǎn)M的距離為r，則當(dāng)r－1<at<r＋1時(shí)，有

(2.83)

圖2.10球形薄膜的波動(dòng)示意注意，y(M')＝pt|t＝0＝0，故由泊松公式可得

(2.84)

而當(dāng)at<r－1和at>r＋1時(shí)，由于j(M')與y(M')均為零，故有p(M，t)＝0。

類似地，我們當(dāng)然可以求得球內(nèi)任意位置處的附加壓強(qiáng)。

例2.5

利用三維泊松公式求解下列問題

(2.85)

解：由泊松公式可得

前面所討論的問題只限于自由振動(dòng)，其泛定方程均為齊次的?，F(xiàn)在我們來討論無界弦的純強(qiáng)迫振動(dòng)，它的定解問題有：

泛定方程：

utt－a2uxx＝f(x，t)(－∞<x<∞，t>0) (2.86)

初始條件：

(2.87)2.4強(qiáng)迫振動(dòng)

此時(shí)的泛定方程是非齊次的。由前面的討論可知，如果能將方程中的非齊次項(xiàng)消除掉(即將方程變?yōu)辇R次方程)，就可以利用2.1節(jié)的達(dá)朗貝爾公式得到此定解問題的解。因此，我們先介紹沖量原理。2.4.1沖量原理

我們知道，式(2.86)中的

(F(x，t)是x處外力的線密度，即單位長(zhǎng)度弦所受到的外力)是在時(shí)刻t、x處單位質(zhì)量的弦上所受到的力，即力密度。這個(gè)力是持續(xù)作用的，即從時(shí)刻0一直延續(xù)到某一時(shí)刻t(當(dāng)然，時(shí)刻t以后的力不影響在時(shí)刻t的振動(dòng)，故可不考慮時(shí)刻t以后的力)。根據(jù)物理學(xué)中的疊加定理，我們可以將持續(xù)力f(x，t)所引起的振動(dòng)(即定解問題(2.86)和(2.87)的解)，看做是一系列前后相繼的瞬時(shí)力f(x，t)(0≤t≤t)所引起的振動(dòng)w(x，t；t)的疊加。即

(2.88)

現(xiàn)在我們來分析瞬時(shí)力f(x，t)所引起的振動(dòng)。從物理的角度考慮，力對(duì)系統(tǒng)的作用對(duì)于時(shí)間的積累是給系統(tǒng)一定的沖量。我們考慮在短時(shí)間間隔Dt內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的作用，則f(x，t)Dt表示在Dt內(nèi)的沖量。這個(gè)沖量使得系統(tǒng)的動(dòng)量即系統(tǒng)的速度有一些改變(因?yàn)閒(x，t)是單位質(zhì)量弦所受的力，故動(dòng)量在數(shù)值上等于速度)。即

f(x，t)Dt＝DP＝DV

(2.89)其中，DP為動(dòng)量增量；DV為速度改變量。由于f(x，t)是單位質(zhì)量的弦的受力，因此式(2.89)成立。

由于Dt→0，我們可以把Dt時(shí)間內(nèi)得到的速度改變量看成是在t＝t時(shí)刻的一瞬間得到的，而在Dt外的其余時(shí)間則認(rèn)為沒有沖量的作用，即沒有外力的作用。在Dt這段時(shí)間里，瞬時(shí)力f(x，t)所引起的振動(dòng)的定解問題就可以表示為

(2.90)

為了便于求解，再令

w(x，t；t)＝v(x，t；t)Dt

(2.91)

則有

(2.92)

由上面的分析可以看出，要求解純強(qiáng)迫振動(dòng)即式(2.86)和(2.87)，只需求解定解式(2.92)即可，從而

(2.93)

即

(2.94)

上面這種用瞬時(shí)沖量的疊加代替持續(xù)作用力來解決定解問題(2.86)和(2.87)的方法，我們稱之為沖量原理。

下面我們從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證沖量原理的合理性。

首先，證明式(2.94)滿足初始條件(2.87)。由式(2.94)可知

(2.95)

固定積分上下限相同，其值為零。這樣式(2.94)滿足初始條件(式(2.87))。

為了證明式(2.94)也滿足初始條件ut|t＝0＝0，則需要用公式

(2.96)

把式(2.96)應(yīng)用于式(2.94)，得

(2.97)

由式(2.92)知v(x，t；t)＝0，所以

(2.98)

則得

(2.99)

可見初始條件(2.87)也得到滿足。

其次，證明(2.94)滿足非齊次泛定方程(2.86)，為此，對(duì)式(2.98)再應(yīng)用式(2.96)，得

(2.100)

又由式(2.92)知vt(x，t；t)＝f(x，t)，所以有

(2.101)

而

(2.102)

把式(2.101)和式(2.102)代入式(2.86)，得

(2.103)

又由式(2.92)知vtt－a2vxx＝0，即得

utt－a2uxx＝f(x，t) (2.104)

故式(2.94)也滿足非齊次方程(2.86)。這就驗(yàn)證了式(2.94)確實(shí)是式(2.86)和式(2.87)的定解問題的解。

還應(yīng)指出的是：

(1)沖量原理也可以用于輸運(yùn)方程。但需注意，沖量原理只適用于單一“源”(熱源或強(qiáng)迫力)的問題，即要求其他條件均為齊次的。

(2)沖量原理也可以用于波動(dòng)方程或輸運(yùn)方程的混合問題。但需注意，邊界條件必須是一、二、三類邊界條件，甚至x＝0端與x＝l端的邊界條件可以是不同類型(只要v(x，t；t)的邊界條件的類型與原定解問題的邊界條件相同就行)。2.4.2純強(qiáng)迫振動(dòng)

根據(jù)沖量原理，我們把求解式(2.86)和(2.87)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笫?2.92)的初值問題。令T＝t－t，則

(2.105)

故由達(dá)朗貝爾公式有

(2.106)

代入式(2.94)得

(2.107)

此即純強(qiáng)迫振動(dòng)的解。

例2.6

求初始值問題

(2.108)

解：由式(2.107)有

(2.109)2.4.3一般強(qiáng)迫振動(dòng)

一般強(qiáng)迫振動(dòng)的定解問題如下：

utt－a2uxx＝f(x，t)(－∞<x<∞，t>0) (2.110)

u|t＝0＝j(luò)(x) (2.111)

ut|t＝0＝y(tǒng)(x) (2.112)

對(duì)于這種定解問題，我們注意到泛定方程和定解條件都是線性的。利用疊加定理，我們可以認(rèn)為弦振動(dòng)是由自由振動(dòng)的初值問題和單純由強(qiáng)迫力引起的振動(dòng)的合成，即令

(2.113)

使uⅠ(x，t)、uⅡ(x，t)分別滿足下列初值問題，即

uⅠtt－a2uⅠxx＝0 (2.114)

uⅠ|t＝0＝j(luò)(x) (2.115)

uⅠt|t＝0＝y(tǒng)(x) (2.116)

uⅡtt－a2uⅡxx＝f(x，t) (2.117)

uⅡ|t＝0＝0 (2.118)

uⅡt|t＝0＝0 (2.119)

則式(2.114)加上式(2.117)即為式(2.110)；式(2.115)加上式(2.118)即為式(2.111)；式(2.116)加上式(2.119)即為式(2.112)。所以要求解定解問題(2.110)~(2.112)只需求解定解問題(2.114)~(2.116)和定解問題(2.117)~(2.119)。

定解問題(2.114)~(2.116)的解uⅠ(x，t)可由達(dá)朗貝爾公式得出；定解問題(2.117)~(2.119)的解uⅡ(x，t)可由式(2.107)給出。所以一般強(qiáng)迫振動(dòng)的解為

(2.120)

從物理概念上看，定解問題(2.110)~(2.112)表示由外力因素f(x，t)和由j(x)、y(x)所表示的初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)整個(gè)振動(dòng)過程所產(chǎn)生的綜合影響，它可以分解為單獨(dú)只考慮外力因素(初始位移及速度為零)引起的振動(dòng)(即強(qiáng)迫振動(dòng))和只考慮初始振動(dòng)狀態(tài)(外力為零)對(duì)振動(dòng)過程所產(chǎn)生的影響，即自由振動(dòng)的疊加。

例2.7

求解下列定解問題

(2.121)

解：依線性方程解的結(jié)構(gòu)，按疊加原理，令u(x，t)＝uⅠ(x，t)＋uⅡ(x，t)，則原定解問題可以分為下列兩個(gè)定解問題，即

(2.122)

(2.123)

式(2.122)的解可由達(dá)朗貝爾公式求得

(2.124)

而定解問題(式(2.123))可以用沖量原理來求。先解

(2.125)

由達(dá)朗貝爾公式得

(2.126)

于是式(2.123)的解為

(2.127)所以原定解問題的解為

(2.128)

下面我們將研究更為一般的情況：有外力作用的三維無界空間的波動(dòng)問題，即以下定解問題

utt－a2Du＝f(M，t)(－∞<x，y，z<∞；t>0)

(2.129)

u|t＝0＝j(luò)(M) (2.130)

ut|t＝0＝y(tǒng)(M) (2.131)

2.5三維無界空間的一般波動(dòng)問題

根據(jù)疊加原理，此問題可分解為下面兩個(gè)問題來解決：第一個(gè)是求齊次方程滿足非齊次初始條件的解；第二個(gè)是由強(qiáng)迫力引起的非齊次方程滿足齊次初始條件的定解問題。

令

u＝uⅠ＋uⅡ

(2.132)

而uⅠ、uⅡ分別滿足下列方程：

(2.133)

(2.134)

(2.135)

(2.136)

(2.137)

(2.138)

(1)我們先來討論定解問題(2.133)~(2.135)的解。

定解問題(2.133)~(2.135)是三維無界空間的柯西問題，由泊松公式得其解為

(2.139)

其中，函數(shù)j、y中的變量應(yīng)為X、Y、Z，并且有

(2.140)

(2)對(duì)三維的非齊次波動(dòng)方程的零初值問題(2.136)~(2.138)可以像上節(jié)一樣采用沖量原理來解決，即先求出無源問題

(2.141)

的解υ(M，t；t)，而定解問題(式(2.136)~(2.138))的解為

(2.142)

依據(jù)泊松公式，定解問題(式(2.141))的解為

(2.143)

代入式(2.142)，得

(2.144)

引入變量代換r＝a(t－t)，即

，可得

(2.145)

上式中M'表示在以M為中心，at為半徑的球體

中的變點(diǎn)，積分在球體

中進(jìn)行。則定解問題(式(2.136)~(2.138))的解為

(2.146)

并將其稱之為推遲勢(shì)。

由式(2.146)可以知道，欲求M點(diǎn)處t時(shí)刻的波動(dòng)問題(式(