垂線（分層作業(yè)）

第五章相交線與平行線

.2垂線分層作業(yè)

4翱過翹

1.如圖，圖中直角的個數(shù)有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】D

【分析】根據(jù)直角的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意得，圖中的直角有NCEDZAED,ZADC,ZADB,N54C一共五個,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的定義，熟知垂線的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，OALOB,OC1OD,若Nl=50°,則N2的度數(shù)是（）

【答案】C

［分析］先求出Z.BOC,即可求出Z2.

【詳解】解：OA1OB,OCLOD,

.-.ZAOB^ZCOD=9Q°.

NBOC=NAOB-=90°-50°=40°,

NXNCOD-4OC=90°-40°=50°.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角的概念以及角度的計算，比較簡單.

3.如圖，在紙片上有一直線/，點(diǎn)4在直線/上，過點(diǎn)4作直線/的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90。刻度

線的直線。即為所求；淇淇過點(diǎn)A將紙片折疊，使得以4為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕。即為所求，下列

判斷正確的是()

A.只有嘉嘉對B.只有淇淇對

C.兩人都對D.兩人都不對

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直的定義即可解答.

【詳解】解：嘉嘉利用量角器畫90。角，可以畫垂線，方法正確；

淇淇過點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a垂直直線/,方法正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖，直線AB,相交于點(diǎn)。，ZDOF=90,OF平分NAOE,若NBOE>=32,則/EOF的度數(shù)為

()

C.58D.64

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直定義得到N48+N800=90。，求出乙4。尸的度數(shù)，利用角平分線的定義求出NEO尸即

可.

【詳解】解：:/。。尸=90。，

，ZAOF+ZBOD=90°,

'：ZBOD=32°,

.?.乙40尸=90°-32°=58°,

,/OF平分/AOE,

二NE。尸=24。尸=58°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂直的定義，幾何圖形中角度的計算，正確理解圖形中各角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，直線AB,C。相交于點(diǎn)。，射線0M平分NAOC,0N10M,若NAOM=35。，則/CON的度數(shù)為

()

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線的定義，得出NMOC=35。，再根據(jù)題意，得出/MON=90。，然后再根據(jù)角的關(guān)系,

計算即可得出NCCW的度數(shù).

【詳解】解：?.,射線平分NAOC，/AOM=35。，

二ZMOC=35°,

"CONCOM,

NMON=90。,

：.NCON=/MON-NMOC=90°-35°=55°.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義和垂線的定義，解決本題的關(guān)鍵在正確找出角的關(guān)系.

6.如圖，為了解決村民飲水困難，需要在河邊建立取水點(diǎn)，下面四個點(diǎn)中哪個最方便作為取水點(diǎn)()

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.。點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)“垂線段最短”可得結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)“垂線段最短”可知要在河邊建立取水點(diǎn)，點(diǎn)B作為取水點(diǎn)最方便，

故選：B

【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線段最短，正確掌握垂線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.如圖，垂足是點(diǎn)。，AC=8,BC=6,8=4,點(diǎn)E是線段A8上的一個動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）,

連接CE,那么CE的長為整數(shù)值的線段有（）

A.3條B.8條C.7條D.5條

【答案】D

【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可.

【詳解】解：他，AC=8,BC=5,8=4,且點(diǎn)E是線段AB上的一個動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）,

二CE長的范圍是44CE48,

的長為整數(shù)值的線段有4、5、6、7,8,共5條，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短.理解和掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，直線A8,相交于點(diǎn)O,EOLCD,垂足為0,若Nl=50。，則N2的度數(shù)為（）

E

【答案】B

【分析】應(yīng)用垂線性質(zhì)可得NEOZ>90。，由N1+N8OK90。，即可算出N80D的度數(shù)，再根據(jù)對頂角的性

質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：：EO，C￡>,

二Z￡00=90°,

VZ1+ZBOD=90°,

/.ZB0D=Z￡0D-Zl=90o-50°=40°,

Z2=ZBOD=40°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線及對頂角，熟練掌握垂線及對頂角的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

9.已知O4_LOC,NAO8與2A0C的度數(shù)之比為3:5,則23OC等于—.

【答案】36?；?44。

【分析】根據(jù)垂直定義知NAOC-90。，由ZAQ8:N4OC=3:5,可求/A0B,根據(jù)/A03與/A0C的位置

關(guān)系，分類求解.

【詳解】解：OA1.OC,

.?.ZAOC=90。，

,ZAOB-ZAOC=3.5,即NAO&90°=3：5,

ZAOfi=54°.

分兩種情況：

①當(dāng)在ZAOC內(nèi)時，如圖，

oo

ZBOC=ZAOC-ZAOB=90°-54=36:

②當(dāng)OB在/AOC外時，如圖，

ZBOC=ZAOC+ZAO?=90o+54o=144°.

故答案是：36?；?44。.

【點(diǎn)睛】本題考查垂直定義，角的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行求解.

10.如圖，點(diǎn)B,C在直線/上，且8c=5cm,ABC的面積為20cm，若尸是直線/上任意一點(diǎn)，連接AP,

則線段AP的最小長度為cm.

【答案】8

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的垂線段最短，再由面積求出高，即為4P的最小值，由題知，過點(diǎn)A作BC的垂線,

即為所求，此時，該垂線也是三角形的高.

【詳解】解：過點(diǎn)A作8C的垂線AR根據(jù)點(diǎn)到直線的所有線段中，垂線段最短，

二垂線段即為”的最小值，

,/8c=5cm,AABC的面積為2()cm2,

/.-xBCxAP=20,

2

：.AP=S,

故答案為：8.

A

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式，垂線段最短的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3

11.已知/A的兩邊與28的兩邊分別垂直，且/A比的;倍少40。，則乙4=

【答案】80?；?2°

【分析】因?yàn)閮蓚€角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補(bǔ)，又因NA比NB的|■倍少40。，設(shè)是x

度，利用方程即可解決問題.

【詳解】解：設(shè)是x度，根據(jù)題意，得

①兩個角相等時，如圖1：

ZB=ZA=x°,

3

x=—x-40,

2

解得,x=80,

故NA=80。，

圖1

②兩個角互補(bǔ)時，如圖2：

3

x+—x-40=180,

2

所以x=88,

-x88°-40°=92°

2

綜上所述：NA的度數(shù)為：80?；?2。.

故答案為：80。或92。.

【點(diǎn)睛】本題考查垂線，本題需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問題.關(guān)鍵是得到/A與N8的關(guān)系.

12.如圖，直線AB,S相交于點(diǎn)0,若OEJ.AB,且NCOE:NBQD=7:2,則NAOE的度數(shù)是

【答案】54。##54度

【分析】設(shè)NCOE=7X,N3OD=2X,則NAOC=2x,可得//必'=5x,再由OEL他，可得5x=90。，可

求出x,即可求解.

【詳解】解：TSL^COE=1X,ZBOD=2X,則ZAOC=2X,

ZAOE=lx-2x=5x,

OE±AB,

：.NAOE=NBO￡=90。，

二5x=90°,即x=18。，

/。0￡=90。一々0￡)=90。一2*18°=54°.

故答案為:54°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，熟練掌握垂直的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)進(jìn)行求解是解

決本題的關(guān)鍵.

13.如圖，直線AB與直線8相交于點(diǎn)0,(?￡；，四，垂足為。，NEOD=gNAOC,則N88的度數(shù)為

【答案】60°##60度

【分析】根據(jù)對頂角相等可得N8O￡)=N4OC,djQE_LAB,可得N30E=NEOD+N3OD=9O。，由

ZEOD=-ZAOC,即可求解.

【詳解】解：；OE_LAB，

/.ZBOE=ZEOD+/BOD=90°,

ZBOD=ZAOC,ZEOD=-ZAOC,

2

NBOD=90°--NBOD,

2

解得N8OD=60。.

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，時頂角相等，兒何圖形角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，點(diǎn)P是直線/外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸OJJ于點(diǎn)。，點(diǎn)A是直線/上任意一點(diǎn)，連接以，若PO=3,

則小的長可能是（寫出一個即可）.

【答案】4

【分析】直接利用垂線段最短即可得出答案.

【詳解】解：???點(diǎn)P是直線/外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PO_L/于點(diǎn)。，點(diǎn)A是直線/上任意一點(diǎn)PO=3,

.\3<AP,

,以可以為4,

故答案為4（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線段最短，正確得出AP的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，直線A8和CO相交于。點(diǎn)，OE±CD,ZEOF=142°,NBOD：NBOF=1:3,求NAO尸的度數(shù).

【答案】ZAOF=\02°

【分析】根據(jù)OE_L8，得出NEO￡>=90。，根據(jù)NEOF=142。，可得ZDOF=52。,根據(jù)角的倍分關(guān)系，可

得N80b的度數(shù)，根據(jù)N80F與N40戶是鄰補(bǔ)角，可得答案.

【詳解】解：；OE_LC￡）,

二Z￡OD=90°,

NEOF=142。,

ZDOF=142°-90°=52°,

ZBOD：ZBOF=\：3,

：.ZBOD=-ZDOF=26°,

2

ZBOF=NBOD+ZDOF=78°,

ZAOF+Z.BOF=\SO0,

：.ZAOF=180°-NBOF=180°-78°=102°.

ZAOF=\02°.

【點(diǎn)睛】本題考查垂直的性質(zhì)、角的和差、角的倍分關(guān)系、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)

知識是解題關(guān)鍵.

16.如圖，。是直線AB上一點(diǎn)，ABOC=3ZAOC,OC平分N4QD

⑴求/AOC的度數(shù).

（2）試猜想0D與AB的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】（D/AOC的度數(shù)為45°

（2）OD±AB,理由見解析

【分析】（1）設(shè)N40C=x,根據(jù)題意得/BOC=3x,再根據(jù)平角的定義進(jìn)而求解即可;

（2）根據(jù)角平分線的定義即可得到解答.

【詳解】（1）解：設(shè)/AOC=x,

N5OC=3ZAOC,

,ZBOC=3x,

:直線AB.

/.x+3x=18O°,

解得x=45。，

ZAOC的度數(shù)為45。；

(2)解：OOLAB,理由如下,

■:OC平分/AOD,

ZCOD=ZAOC=45°.

：.ZAOD=ZAOC+ZCOD=90°,

J.ODVAB.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂線，平角的定義以及角平分線的定義，對定義的熟練掌握是解題的關(guān)鍵.平角：等

于180。的角叫做平角；角平分線：從一個角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條

射線叫做這個角的角平分線.

17.如圖，兩直線AB、CO相交于點(diǎn)O,OE平分/BOD,如果NAOC：ZAOD=7：11.

(1)求NCOE；

(2)若O尸_LOE,NAOC=70。,求/COF.

【答案】(1)NCOE=145。

⑵NCO尸=125°

【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和已知求出,AOC和N48的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等求出/BQ。和NCOB

的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出NBOE的度數(shù)，可以得到NCOE的度數(shù)；

(2)根據(jù)垂直的定義得到NE?。尸=90。，根據(jù)互余的性質(zhì)求出/DO尸的度數(shù)，計算得到答案.

(1)

解：ZAOC+ZAOD=180°,ZAOC-.ZAOD=7：11,

...NAOC=70°,ZAOD=110°,

NBOD=ZAOC=70°,NCOB=ZAOD=110°,

.OE平分ZBOZ),

NBOE=LzBOD=35。,

2

4cOE=NCOB+NBOE=145°.

(2)

解：OFLOE,

：.ZEOF=90°,

OE平分NBOD,

ZDOE=-ZBOD=35°,

2

NDOF=900-NDOE=55°,

ZCOF=180°-/DOF=125°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)和角平分線的定義，掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對頂角相等和

垂直的定義是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知直線A3、C。相交于點(diǎn)O,OE_LAB,點(diǎn)。為垂足，O/平分NAOC.

(1)若NCOE=54。，求NOOF的度數(shù)：

(2)若NCOE：ZEOF=2：1,求NQOF的度數(shù).

【答案】(1)/。。尸=108。：

⑵/力。尸=112.5°.

【分析】(1)先由0ELA8得出NAOE=NBOE=90。，再根據(jù)角平分線定義求出/COF=72。，然后由

ZDOF=l80°-NCOF即可求解；

(2)設(shè)NEOF=x。，則/COE=2x。，則/COF=3x。，再根據(jù)角平分線定義求出N4O尸=NCOF=3x。，所以

ZAOE=4x°,由垂直的定義可知乙4OE=90。，則4x=90,解之，求出x即可.

(1)

解：'：OELAB,

???ZAOE=90°；

,/ZCOE=54°,

，ZAOC=ZAOE+ZCOE=144°,

*：平分NAOC,

JZCOF=-ZAOC=72°,

2

???ZDOF=180°-ZCOF=108°；

(2)

解：設(shè)NEOF=x。，則NCOE=2x。，

???ZCOF=3x°,

,:Ob平分NAOC,

AZAOF=ZCOF=3X09

???ZAOE=4x%

OE±AB.

：.ZAOE=90°,

A4X=90,解得X=22.5,

，ZCOF=3x°=67.5°,

，ZDOF=\80°-ZCOF=112.5°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算，根據(jù)垂直的定義、角的和差關(guān)系列方程進(jìn)行求解，即可計算出答案，難度

適中.

力拓展培優(yōu)煉

1.如圖，直線A3,CO相交于點(diǎn)O,OELCD,O/平分NB。。，NAOE=24。，NCOF的度數(shù)是（)

A.146°B.147°C.157°D.136°

【答案】B

【分析】欲求NCOF,需求/DOF.由OE_LCC,得/EOO=90。，故求得ZBO〃=66。.由O尸平分/8?！?,

故ZDOF=-ZBOD=33°.

2

【詳解】解：?..OELCD,

二ZEOD=90°.

：.ZBOD=180°-ZAOE-ZDOE=66°.

又，：OF平分4BOD,

：.NDOF=-ZBOD=33°.

2

NCOF=180。-N￡>OF=180。-33。=147。.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義、角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握垂直的定義、角平分線

的定義以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

2.如圖，OAVOD,ZAOC=3ZCOD,OC平分則/AO8的度數(shù)為()

A.45°B.46°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】先根據(jù)垂直的定義得N48=90°，由已知N4OC=3NCOZ),相當(dāng)于把Z48四等分，可得NC8的

度數(shù)，根據(jù)角平分線可得48=45。，從而得結(jié)論.

【詳解】解：OA1OD,

ZAO￡>=90°,

ZAOC+ZCOD=9CP,

ZAOC=3ZCOD,

ZCOD=22.5°,

.OC平分NBOD,

ZBOD=2ZCOD=45°,

ZAOB=ZAOD-ZBOD=90°-45°=45°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，垂直的定義及有關(guān)角的計算，解題的關(guān)鍵是確定NCOD=22.5。.

3.如圖所示，直線AB,CD相交于點(diǎn)。，OE_LAB于點(diǎn)O,OF平分N4QE,Zl=15°30,,則下列結(jié)論中

不正確的是（）

E

A./2=45。B.Z1=Z3

C.ZA。。與N1互為補(bǔ)角D.N1的余角等于75。30'

【答案】D

【分析】根據(jù)垂直的定義及角平分線的性質(zhì)判斷A,利用對頂角的性質(zhì)判斷B,利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)判斷C,

根據(jù)余角的定義判斷D.

【詳解】于點(diǎn)O,

；.NAOE=90。，

：OF平分NAOE,

.,.Z2=-ZAOE=45°,故A正確；

2

?.?直線A8,CO相交于點(diǎn)O,

AZI與/3是對頂角，

-3,故B正確，

,?Z4（9D+Zl=180o,

二N4QD與N1互為補(bǔ)角，故C正確；

,:Zl=15°30,,

二N1的余角=90°-15°3。=74。30',故D錯誤，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查垂直的定義，角平分線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，余角的定理，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，幾何圖形

中角度的計算，熟記各定義及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.已知點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C為直線m上三點(diǎn)，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點(diǎn)P

到直線m的距離為（）

A.4cmB.5cmC.小于2cmD.不大于2cm

【答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)與直線上垂足間的線段的長，再根據(jù)垂線段最短，可得答案.

【詳解】當(dāng)PC±m(xù)時，PC是點(diǎn)P到直線m的距離，即點(diǎn)P到直線m的距離2cm,

當(dāng)PC不垂直直線m時，點(diǎn)P到直線m的距離小于PC的長，即點(diǎn)P到直線m的距離小于2cm,

綜上所述：點(diǎn)P到直線m的距離不大于2cm,

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)到宜線的距離，利用了垂線段最短的性質(zhì).

5.如圖，若直線AB與C。相交于點(diǎn)O,0D平分NBOF,OEO尸且NBOD=29。，則NCOE的度數(shù)為（）

A.116°B.118°C.119°D.120°

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到NDOF=29。，根據(jù)垂線的定義得到ZDOE=90'ZZX加=61。，利用鄰補(bǔ)角

的定義即可求解.

【詳解】解：,?1ZBO￡>=29°,。。平分NBOF,

^DOF=29°,

OE1,OF,

：.ZDOE=90°-^DOF=610,

：.Z.COE=180°-Z.DOE=119°,

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義、垂直的定義等內(nèi)容，運(yùn)用幾何知識進(jìn)行角的和差運(yùn)算

是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，直線48,C。相交于點(diǎn)0,射線0M平分/40C,0N10M,若NCON=55。,則的度數(shù)為

【答案】A

【分析】根據(jù)垂直得出/NOM=90。，求出/COM=35。，根據(jù)角平分線定義得出NA0M=/C0M即可得出

答案.

【詳解】解：；0NJ_0M,

Z.ZNOM=90°,

■:ZCON=55°,

：.NCOM=90°-55°=35°,

:射線0M平分NAOC,

ZAOM=ZCOM=35°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直定義，角平分線定義等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能求出/COM的度數(shù)和求出

ZAOM=ZCOM.

7.已知,如圖，直線4B,Cr）相交于點(diǎn)于點(diǎn)O,N800=35。.則NCOE的度數(shù)為（）.

A.35°B.55°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】直接利用垂線的定義結(jié)合已知角得出NCOE的度數(shù)即可.

【詳解】：OE_LAB于點(diǎn)0（已知），

，NAOE=90。（垂直定義）.

?直線AB,CD相交于點(diǎn)O,NBOD=35。（已知）,

...NAOC=35。（對頂角相等）.

ZCOE=ZAOE-ZAOC=90°-35°=55°.

/.ZCOE=55O.

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查垂線的定義，對頂角，解題關(guān)鍵在于得出NAOC=35。.

8.如圖，直線A8,CO相交于點(diǎn)。，OELCD,。產(chǎn)平分N30。，若NAOE=26。，則NCOF的度數(shù)為（）

A.116°B.148°C.154°D.158°

【答案】B

【分析】由垂直得/COE=90。，從而知/AOC=64。，則ZBOD也得64。，由角平分線和平角定義得NCOF

的度數(shù).

【詳解】；OE_LCD,

二ZCOE=90°,

ZAOC=ZCOE-ZAOE=90°-26°=64°,

VZAOC=ZBOD,

AZBOD=64°,

又；0F平分NBOD,

，ZDOF=y/BOD=gx64°=32°,

ZCOF=180°-ZDOF=180°-32°=148°.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義、鄰補(bǔ)角、對頂角定義、角平分線定義等知識點(diǎn).本題屬于基礎(chǔ)題，推理

過程的書寫是關(guān)鍵，從垂直入手與已知相結(jié)合得出/AOC的度數(shù)，使問題得以解決；同時要注意對頂角和

平角性質(zhì)的運(yùn)用.

9.如圖，直線A8,CD,E尸相交于點(diǎn)0,Zl=50°,Z2=60°,射線OGLOE,則/DOG的度數(shù)為

【答案】20?；?60°

【分析】先求出ZEOD=70°,再分射線OG在直線EF的兩側(cè)進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】解：VZl=50°,Z2=60°,Z2=ZAOE,

二ZEOD=180°—50°—60°=70°,

分兩種情況：

①如圖，

OGVOE,

：.NEOG=90。，

ZDOG=ZEOG~Z￡OD=90°-70o=20°；

VZEOG=90°,Z￡OD=70°,

ZDOG=ZEOD+ZEOG=7(r+90o=160°,

綜上，NOOG的度數(shù)為20?；?60°,

故答案為：20?；?60°.

ED

【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角、對頂角、垂線性質(zhì)、角的運(yùn)算，熟練掌握對頂角相等、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，分情況討

論是解答的關(guān)鍵.

10.如圖，點(diǎn)C,O,。在一條直線上，OAYOB,OE平分NAOC,NBOC比/BOD大70。,NCOE的度

數(shù)為.

【答案】72.5°

【分析】根據(jù)比。大70。，,BOC和互補(bǔ)，即可求出48=55。，進(jìn)而由垂直性質(zhì)可

求出ZAOD=35。，再由角平分線性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：：/BOC比NBOD大70。，

設(shè)NBOD=x,則ZBOC=x+70°,

:NBOC+ZBOD=180°,

/.x+(x+70°)=180°,

,x=55°,

，NBOD=55°,

*：OAVOB,

二ZAO3=90。，

二ZAOD=90°-NBOD=35°,

/.ZAOC=180°-ZAO。=145°,

平分NAOC,

NCOE=-ZAOC=72.5°.

2

故答案為：72.5。.

【點(diǎn)睛】本題考查J'垂直的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及角的運(yùn)算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，直線AB,CD交于點(diǎn)。，OC平分NBOE,OELOF,若N。。尸=15。，則NEOA=

【分析】根據(jù)垂直定義可得/EOF=90。，從而利用平角定義求出NCOE=75。，然后利用角平分線的定義求

出NBOE=2/COE=150。，最后利用平角定義求出NEOA,即可解答.

【詳解】解：VOE1OF,

ZEOF=90°,

VZDOF=15°,

ZC(?￡=180°-AEOF-ZDOF=J5°,

,/0c平分N8OE,

，N8OE=2NCOE=150。，

NAOE=180。-NNBOE=30。，

故答案為:30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，角平分線的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，直線AB、C。相交于點(diǎn)O,OEVAB,。為垂足，如果/￡8=32。30',則NAOC=°.

\

0

C

B

【分析】根據(jù)垂線的定義，可得NAOE=90。，根據(jù)角的和差，可得N48的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，可

得答案.

【詳解】解：:1。=60'

二30'=0.5°

二32°30'=32.5°

OE工AB,

：.ZAOE=90°,

：.ZAOD=ZAOE+ZEOD=90°+32.5°=122.5°,

/.ZAOC=180°-ZAOD=180°-122.5°=57.5°,

故答案為：57.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，鄰補(bǔ)角的和等于180。，角與分的轉(zhuǎn)化等知識.解題的關(guān)鍵在于領(lǐng)會由垂

直得直角.

13.如圖，直線A8和C。交于。點(diǎn)，。。平分NBOF,OELCD于點(diǎn)O,ZAOC=40°,則NEOF=.

【答案】130°

【分析】根據(jù)對頂角性質(zhì)可得NBOO=NAOC=40。.根據(jù)。。平分NBOF,可得NQOF=NBOZ)=40。，根據(jù)

OE1CD,得出/EOO=90。，利用兩角和得出/EO/^NEOD+NOOGQO。即可.

【詳解】解：C。相交于點(diǎn)O,

：.ZBOD^ZAOC=4Q°.

平分NBOF,

/.NDOF=NBOD=40。,

'."OE1.CD,

：.NEO￡>=90。，

二ZEOF=ZEOD+ZDOF=130°.

故答案為130°.

【點(diǎn)睛】本題考查相交線對頂角性質(zhì)，角平分線定義，垂直定義，掌握對頂角性質(zhì)，角平分線定義，垂直

定義是解題關(guān)鍵.

14.如圖所示，已知NAC3=90。，若BC=3cm,AC=4cm,AB=5cm,則點(diǎn)A到8c的距離是

點(diǎn)C到A8的距離是.

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離概念可得點(diǎn)A到3c的距離為垂線段AC的長，設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為6,依

據(jù)三角形面積，即可得到點(diǎn):C到A3的距離.

【詳解】解：；ZAC8=90。，

二ACJ.BC，

...點(diǎn)A到BC的距離為垂線段AC的長，

又AC=4cm,

.,.點(diǎn)A到BC的距離為4cm；

設(shè)點(diǎn)C到A8的距離為人，

ZACB=90°,

：.-AC.BC=-AB.h,

22

AC?BC=ABJi,

BC=3cm,AC=4cm,AB=5cm,

4x3=5h,

,4x3「4

/.h=$=2.4,

故答案為：4；2.4.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積得出=濟(jì)是解題關(guān)鍵.

15.如圖，直線AB,CO相交于點(diǎn)0,OE平分/BOD.

?B

E

⑴若NEOF=55。,ODLOF,求/AOC的度數(shù)；

(2)若OF平分NCOE,ZBOF=15°,求NOOE的度數(shù).

【答案】⑴70。

(2)50°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得ZBOE=/DO￡：,根據(jù)垂線的定義以及已知條件求得NOO石=35。，

繼而求得NBOD=70。，根據(jù)對頂角相等即可求解；

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得ZCOF=ZEOF,ZBOE=NDOE,設(shè)/DOE=NBOE=x，則ZCOF=x+15°,

根據(jù)平角的定義建立方程，解方程即可求解.

(1)

解：OE平分/BOD,

"BOE=ZDOE,

NEO/=55。，ODtOF,

.*.ZDOE=35°,

/.ZBOE=35°f

：.NBOD=70。

??.ZAOC=70°；

F

C//B

.OF平分NCOE,

.\ZCOF=ZEOF,

NBOF=15。，

設(shè)NDOE=/BOE=x,則NCOF=x+15。,

...x+15°+x+15°+x=180°,

解得：x=50。，

故NOOE的度數(shù)為：50°.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，垂線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形

結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，直線A3、8相交于點(diǎn)O,?！昶椒諾BOD,ZAOC=70°,ZCOF=90°,求：

⑴N88的度數(shù)；

(2)寫出圖中互余的角；

(3)NEOF的度數(shù).

【答案】(1)70。

⑵NBOF與NBOD互余,NEOF與NE。?；ビ啵琋EOF與NBOE互余,NBOf?與NAOC互余

(3)55°

【分析】(1)根據(jù)對頂角相等即可得到/8O￡>=NAOC=70。：

(2)根據(jù)余角的定義求解即可；

(3)先根據(jù)角平分線的定義求出NDOE=35。，則NEOF=NDOF-NDOE=55。.

(1)

解：由題意得ZBOD=ZAOC=10°；

(2)

解：VZC<?F=90°,

ZDOF=1800-ZCOF=90°,

NBOF+/BOD=90。,NEOF+/EOO=90°,

平分N8OD,

二ZBOE=ZDOE,

：.ZEOF+ZBOE=90°,

'：NAOC=NBOD,

ZBOF+ZAOC=90°,

.,.280/與/8。?；ビ啵琋EOF與NEOD互余,/EOF與/BOE互余，/8。/與/AOC互余；

(3)

解：VZBOD=70°,OE平分/BO。，

二ZDOE=35°,

ZEOF=ZDOF-ZDOE=55°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何中角度的計算，角平分線的定義，對頂角相等，余角的定義，熟知相關(guān)知識

是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，已知08,OC,。。是NAOE內(nèi)三條射線，08平分/4?！?0。平分NCOE.

⑴若NAOB=70。，Z￡X?E=20°,求/BOC的度數(shù).

⑵若NAOE=136。，AOLCO,求N88的度數(shù).

⑶若NDOE=20。,ZAOE+ZBOD^220°,求N30。的度數(shù).

【答案】(1)30。

(2)45°

(3)60°

【分析】對于(1),由角平分線的定義求出NBOE和NCOE,再根據(jù)N8笫=乙眈"一NG定即可求解：

對于(2),先求出NCOE,再根據(jù)角平分線的定義求出NDOE和NBOE,然后根據(jù)4%豌'-N〃如即

可求解；

對于(3),由角平分線的定義得NAOE=2/8QE,結(jié)合已知條件可得2乙姬+=220。，

ZB0E-AB0D=20°,即2乙BOE-22B0D=40°,進(jìn)而得出3N3OD=180。，可得答案.

【詳解】(1)「OB平分NAOE,OD平分NCOE,

,AB0E=AA0B=70°,4C0E=2乙D0E=40°,

二乙B0CRB0E-AC0E=70°-40°=30°：

(2)VAO1CO,

：.NAOC=90。.

"?NAOE=136°,

???4COE=AAOE-AAOC=136°-90°=46°.

〈OB平分NAOE,。。平分NCOE,

JABOE=-乙AOE=68°,乙DOE=-4COE=23°,

22

???^BOD=ABOE-^DOE=68°-23°=45°；

(3)〈OB平分NAOE,

:.ZAOE=2ZBOE.

?/AAOE+ABOD=220°,

???2/BOE+4BOD=220°.

/BOE-ABOD=ADOE,

???ABOE-ZSOD=20°,

J2/BOE-2ZBOD=40°,

???3/300=180。，

???ZBOD=60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的和差，關(guān)鍵是由角平分線定義得出相關(guān)等式.

18.點(diǎn)O為直線/上一點(diǎn)，射線04、08均與直線/重合，如圖1所示，過點(diǎn)。作射線OC和射線OQ,使

得NBOC=100。，ZCOD=90°,作N49C的平分線OM.

⑴求ZAOC與/MOD的度數(shù)；

(2)作射線OP,使得NBOP+NAOM=90。，請在圖2中畫出圖形，并求出NCOP的度數(shù)；

(3)如圖3,將射線。3從圖1位置開始，繞點(diǎn)O以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，作NCOD的平分線QV,

當(dāng)NMON=20。時，求旋轉(zhuǎn)的時間.

【答案】（1）ZAOC=80。，ZMOD=50°

（2）50°或150。

（3）6秒或62秒

【分析】（1）根據(jù)NAOB=180。，N30C=100。，即可得出NAOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義得出

4C0M=|ZAOC=40°,然后根據(jù)ZCOD=90。得出ZMOD的度數(shù)；

（2）根據(jù)題意得出NBOP的度數(shù)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)射線OP在NBOC內(nèi)部時；②當(dāng)射線。P

在N3OC外部時；分別進(jìn)行計算即可；

（3）根據(jù)加平分NCOD得出NCON=45。，根據(jù)題意畫出圖形，計算NBOE的角度，然后計算時間即可.

【詳解】⑴解：由題意可知，4408=180。，

*/40c=100。，

AZAOC=AOB-NBOC=80°,

OM平分/AOC,

/COM=|ZAOC=40°,

ZMOD=ZCOD-NCOM=50°；

（2）由（1）知，ZAOM=^LAOC-Z.COM=40°,

ABOP=90°-ZAOM=50°,

①當(dāng)射線OP在NBOC內(nèi)部時，如圖2（1）,

2cop=ZBOC-NBOP=50°：

②當(dāng)射線OP在N80C外部時，如圖2(2),

ZCOP=ZBOC+ZBOP=150°,

綜上所述，NCOP的度數(shù)為50°或150。：

(3)；QN平分NCQ￡),

NCON=-Z.COD=45°,

2

①如圖3,

圖3

ZCOM=乙CON-AMON=25°,

?.?OM平分NAOC,

ZAOC=24coM=50°,

ABOE=180。-ZAOC-ZBOC=30°,

旋轉(zhuǎn)的時間,=30。+5。=6(秒)；

②如圖3(1),

OM平分NAOC，

，ZAOC=2Z.COM=130°,

NCOE=180?！?30。=50。，

Z.NBOE=100°-50°=50°,

:,旋轉(zhuǎn)的時間=（360°-50°）+5°=62（秒）：

綜上所述，旋轉(zhuǎn)的時間為6秒或62秒.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的計算，角平分線的定義等內(nèi)容；第（2）問進(jìn)行合適的分類討論是解題的關(guān)鍵;

第（3）問，搞清楚在射線旋轉(zhuǎn)的過程中，O"和ON的相對位置在不斷的變化，以此進(jìn)行分類畫圖.

X中考煉兵

1.（2022?江蘇常州?中考真題）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路.小麗覺得行人沿垂直

馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.垂線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】A

【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可.

【詳解】解：行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短