2016年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步測(cè)試：24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

2016年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步測(cè)試：24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

一、選擇題（共9小題）

1.如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm,水面最深地方

的高度為2cm,則該輸水管的半徑為（）

2.（紹興是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m,橋拱半徑OC為5m,則水

面寬人8為（）

A.4mB.5mC.6mD.8m

3.將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所

示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm,水的最大深度是2cm,則杯底有水部分的面積是（）

A.-4-y3^crr|2B.(-^-n-8^/3)cm2C.(—n-4^/3)cm2D.(—n-2-^/3)cm2

3333

4.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓?。磮D中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心），其中CD=600米,

E為弧CD上一點(diǎn)，且OEJ_CD,垂足為F,OF=30g米，則這段彎路的長(zhǎng)度為（）

A.200TI米B.100n米C.400Tl米D.300Tt米

5.在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖.若油面的寬AB=160cm,則油的最

大深度為（）

―160—>

A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm

6.在半徑為13的。O中，弦AB〃CD,弦AB和CD的距離為7,若AB=24,則CD的長(zhǎng)為（）

A.10B.45/30C.10或4板D.10或

7.如圖，AB是。O的直徑，CD為弦，CDLAB于E,則下列結(jié)論中不成立的是（）

A.ZA=ZDB.CE=DEC.ZACB=90°D.CE=BD

8.如圖，。。的直徑AB=12,CD是。O的弦，CD1AB,垂足為P,且BP：AP=1：5,則CD的

長(zhǎng)為（）

A.472B.8gC.2娓D.4加

9.如圖，。。的半徑是3,點(diǎn)P是弦AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接OP,若OP=4,ZAPO=30°,則弦

A.2屈B.aC.2^/13D.岳

二、填空題（共15小題）

10.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m,其中水面的寬AB為0.8m,則排水管內(nèi)水

11.趙州橋是我國(guó)建筑史上的一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無(wú)數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然

無(wú)恙.如圖，若橋跨度AB約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧AB所在圓的半徑R=

米.

12.如圖是一個(gè)古代車(chē)輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的兩點(diǎn)A、B,并使AB與車(chē)輪

內(nèi)圓相切于點(diǎn)D,半徑為OC_LAB交外圓于點(diǎn)C.測(cè)得CD=10cm,AB=60cm,則這個(gè)車(chē)輪的外圓

13.一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=lm,水面寬AB=1.2m,某天下雨后，水

管水面上升了0.2m,則此時(shí)排水管水面寬CD等于m.

14.如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)OA為2.5米，秋千向兩邊擺動(dòng)的角度相同，擺動(dòng)的水平距離

AB為3米，則秋千擺至最高位置忖與最低價(jià)位置時(shí)的高度之差（即CD）為米.

o

15.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是Im,其中水面的寬AB為0.8m,則排水管內(nèi)水

16.把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其主視圖如圖.。。與矩形ABCD的邊BC,

AD分別相切和相交（E,F是交點(diǎn)），已知EF=CD=8,則。。的半徑為.

17.如圖，AB為。O的直徑，弦CD1AB于點(diǎn)E,若CD=6,且AE：BE=1：3,則AB=

18.如圖是一個(gè)古代車(chē)輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連結(jié)外圓上的兩點(diǎn)A、B,并使AB與車(chē)輪

內(nèi)圓相切于點(diǎn)D,做CDLAB交外圓于點(diǎn)C.測(cè)得CD=10cm,AB=60cm,則這個(gè)車(chē)輪的外圓半徑

為cm.

19.如圖是一圓形水管的截面圖，已知。O的半徑OA=13,水面寬AB=24,則水的深度CD

是

20.平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、0、B、C,其中NAOB=120。，ZACB=60°,AO=BO=2,則滿足題意的OC

長(zhǎng)度為整數(shù)的值可以是.

21.如圖，AB是。O的弦，OCLAB于點(diǎn)C,連接OA、OB.點(diǎn)P是半徑OB上任意一點(diǎn)，連接

AP.若0A=5cm,OC=3cm,則AP的長(zhǎng)度可能是.cm（寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)值即可）

22.如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心0,則折痕AB的長(zhǎng)為cm.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，OP與x軸交于0,A兩點(diǎn),

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,OP的半徑為任，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

24.如圖，已知。0的直徑AB=6,E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為右上兩點(diǎn)，且NMEB=NNFB=60。,

則EM+FN=

三、解答題(共6小題)

25.如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他

們開(kāi)展了測(cè)算小橋所在圓的半徑的活動(dòng).小剛身高1.6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米，同時(shí)測(cè)得EG的長(zhǎng)

為3米，HF的長(zhǎng)為I米，測(cè)得拱高(弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離，即MN的長(zhǎng))為2米，求小橋

所在圓的半徑.

26.如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=lm,現(xiàn)計(jì)劃安

裝玻璃，請(qǐng)幫工程師求出品所在圓0的半徑r.

27.在。。中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D,連結(jié)CD.

(1)如圖1,若點(diǎn)D與圓心0重合，AC=2,求。0的半徑r；

(2)如圖2,若點(diǎn)D與圓心0不重合，NBAC=25。，請(qǐng)直接寫(xiě)出NDCA的度數(shù).

28.如圖，已知aABC是。0的內(nèi)接三角形，AB=AC,點(diǎn)P是源的中點(diǎn)，連接PA,PB,PC.

(1)如圖①，若NBPC=60。.求證：AC=?AP；

(2)如圖②，若sin/BPC=絲，求tan/PAB的值.

29.)如圖，CD為。O的直徑，CD1AB,垂足為點(diǎn)F,AO1BC,垂足為點(diǎn)E,AO=1.

(1)求NC的大小；

(2)求陰影部分的面積.

30.如圖，AB是。。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E,OFLAC于點(diǎn)F,

(1)請(qǐng)?zhí)剿鱋F和BC的關(guān)系并說(shuō)明理由；

(2)若ND=30。，BC=1時(shí)，求圓中陰影部分的面積.(結(jié)果保留n)

D

2016年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步測(cè)試：24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

參考答案與試題解析

一、選擇題（共9小題）

1.如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm,水面最深地方

的高度為2cm,則該輸水管的半徑為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD_LAB于點(diǎn)D,連接OA,由垂徑定理可知AD=5AB,設(shè)OA=r,則OD=r-2,

在Rt^AOD中，利用勾股定理即可求r的值.

【解答】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)O作ODLAB于點(diǎn)D,連接OA,

VOD1AB,

AD=—AB=—X8=4cm,

22

設(shè)OA=r,貝i」OD=r-2,

在RtaAOD中,OA2=OD2+AD2,即西=（r-2）2+42,

解得r=5cm.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解

答此題的關(guān)鍵.

2.紹興是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m,橋拱半徑0C為5m,則水面

寬AB為（）

A.4mB.5mC.6mD.8m

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】連接0A,根據(jù)橋拱半徑0C為5m,求出0A=5m,根據(jù)CD=8m,求出0D=3m,根據(jù)

AD=JOA2_0口2求出AD,最后根據(jù)AB-2AD即可得出答案?

【解答】解：連接0A,

:橋拱半徑0C為5m,

OA=5m,

VCD=8m,

OD=8-5=3m,

???AD=VOA2-OD^VB2-32=401，

；.AB=2AD=2X4=8（m）；

故選；D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，用到的知識(shí)點(diǎn)是垂徑定理、勾

股定理.

3.將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所

示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm,水的最大深度是2cm,則杯底有水部分的面積是（）

A.(-^-n-4^/3)cm2B.(-^-n-8-^/3)cm2C.（-n-4^/3）cm?D.（二兀-2^/^）cm2

3333

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；扇形面積的計(jì)算.

【分析】作ODLAB于C,交小。。于D,則CD=2,由垂徑定理可知AC=CB,利用正弦函數(shù)求得

ZOAC=30°,進(jìn)而求得NAOC=120。，利用勾股定理即可求出AB的值，從而利用S扇形-AOB求

得杯底有水部分的面積.

【解答】解：作OD_LAB于C,交小。。于D,貝IJCD=2,AC=BC,

VOA=OD=4,CD=2,

???0C=2,

在RTAAOC中，sinZOAC=n^r=^1-

OA2

.\ZOAC=30°,

.\ZAOB=120°,

AC=,0卜2-

???AB=4?,

2

2

杯底有水部分的面積=S用形-SAAOB=1202L>￡4_lx473X2=（學(xué)n-4jl）cm

36023

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解

答此題的關(guān)鍵.

4.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心)，其中CD=600米,

E為弧CD上一點(diǎn)，且OELCD,垂足為F,OF=300?米，則這段彎路的長(zhǎng)度為()

D

09\

f\

t1

A.200H米B.lOOn米C.400n米D.300n米

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算.

【分析】設(shè)這段彎路的半徑為R米，OF=300y米，由垂徑定理得CF=*CD=*X600=300.由勾股

定理可得OC2=CF2+OF2,解得R的值，進(jìn)而得出這段弧所對(duì)圓心角，求出弧長(zhǎng)即可.

【解答】解：設(shè)這段彎路的半徑為R米

OF=300印，

VOE1CD

/.CF=^CD=—X600=300

22

根據(jù)勾股定理，得OC2=CF2+OF2

即R2=3002+(300^3)2

解之，得R=600,

FC1

AsinZCOF=—,

CO2

???ZCOF=30°,

6

這段彎路的長(zhǎng)度為：°;灑°=200n(m).

180

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出圓的半徑以及圓心角是解題關(guān)鍵.

5.在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖.若油面的寬AB=160cm,則油的最

大深度為（）

—160->

A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】連接OA,過(guò)點(diǎn)O作OELAB,交AB于點(diǎn)M,由垂徑定理求出AM的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定

理求出OM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出ME的長(zhǎng).

【解答】解：連接OA,過(guò)點(diǎn)。作OE_LAB,交AB于點(diǎn)M,

:直徑為200cm,AB=160cm,

OA=OE=100cm,AM=80cm,

?*-OM=VoA2-AM2=71002-802=60cm'

.\ME=OE-OM=100-60=40cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)

鍵.

6.在半徑為13的。。中，弦AB〃CD,弦AB和CD的距離為7,若AB=24,則CD的長(zhǎng)為（）

A.10B.4730C.10或4屈D.10或

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.

【專(zhuān)題】分類(lèi)討論.

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由于AB和CD的位置不能確定，故應(yīng)分AB與CD在圓心O的同側(cè)

和AB與CD在圓心O的異側(cè)兩種情況進(jìn)行討論.

【解答】解：當(dāng)AB與CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，如圖1所示：

過(guò)點(diǎn)。作OFLCD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,連接OA,OC,

VAB/7CD,OF±CD,

.'.OE1AB,

.,.AE=—AB=—X24=12,

22

在Rt^AOE中，

OE=V0A2-AE^VlS2-122=5>

...OF=OE+EF=5+7=12,

在RtAOCF中，CF=-^QQ2-0F2=,\/132-122=5'

；.CD=2CF=2X5=IO；

當(dāng)AB與CD在圓心。的異側(cè)時(shí)，如圖2所示：

過(guò)點(diǎn)O作OFLCD于點(diǎn)F,反向延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,連接OA,0C,

：AB〃CD,OF_LCD,

AOEIAB,

.,.AE=—AB=—X24=12,

22

在RtAAOE中，

OE=V0A2-AE^VlS2-122=5，

.*.OF=EF-OE=7-5=2,

在中，22=

RtAOCFCF=^QC2_Qp-^13-2V165-

CD=2CF=2X7165=24165.

故CD的長(zhǎng)為10或2J怎.

故選D.

圖1圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，在解答此類(lèi)題目時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解.

7.如圖，AB是。。的直徑，CD為弦，CDLAB于E,則下列結(jié)論中不成立的是（）

c

A.ZA=ZDB.CE=DEC.ZACB=90°D.CE=BD

【考點(diǎn)】垂徑定理.

【專(zhuān)題】壓軸題.

【分析】根據(jù)垂徑定理，直徑所對(duì)的角是直角，以及同弧所對(duì)的圓周角相等，即可判斷.

【解答】解：：AB是。。的直徑，CD為弦，CDLAB于E..,.CE=DE.故B成立；

A、根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得到/A=/D,故該選項(xiàng)正確；

C、根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可得到，故該選項(xiàng)正確；

D、CE=DE,而ABED是直角三角形，則DEVBD,則該項(xiàng)不成立.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理的基本內(nèi)容，以及直徑所對(duì)的圓周角是直角.

8.如圖，OO的直徑AB=12,CD是。O的弦，CD1AB,垂足為P,且BP：AP=1：5,則CD的

長(zhǎng)為（）

A.472B.8&C.2泥D.45/5

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.

【專(zhuān)題】探究型.

【分析】先根據(jù)OO的直徑AB=12求出OB的長(zhǎng)，再由BP：AP=1：5求出BP的長(zhǎng)，故可得出OP

的長(zhǎng)，連接OC,在RtAOPC中利用勾股定理可求出PC的長(zhǎng),再根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：；。0的直徑AB=12,

.'.0B=—AB=6,

2

VBP：AP=1：5,

.-.BP=—AB=—X12=2,

66

.,.OP=OB-BP=6-2=4,

VCD1AB,

，CD=2PC.

如圖，連接OC,在RtZSOPC中，

；0C=6,0P=4,

pc=7oc2-OP^Vs2-4^275>

CD=2PC=2X2泥=4泥.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題

的關(guān)鍵.

9.如圖，。。的半徑是3,點(diǎn)P是弦AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接0P,若OP=4,NAPO=30。，則弦

AB的長(zhǎng)為（）

A.275B.V5C.2713D.713

【考點(diǎn)】垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專(zhuān)題】壓軸題.

【分析】先過(guò)。作OCLAP,連結(jié)OB,根據(jù)OP=4,ZAPO=30°,求出OC的值，在RtZ\BCO中,

根據(jù)勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值.

【解答】解：過(guò)。作OCJ_AP于點(diǎn)C,連結(jié)OB,

VOP=4,ZAPO=30°,

/.OC=sin30°X4=2,

VOB=3,

BC=VoB2-OC^Vs2-22=V5-

；.AB=2再

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂經(jīng)定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是垂經(jīng)定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解

題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形.

二、填空題（共15小題）

10.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m,其中水面的寬AB為0.8m,則排水管內(nèi)水

的深度為0.8m.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】過(guò)。點(diǎn)作OCLAB,C為垂足，交。。于D,連OA,根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=0.5m,

再在RtZ\AOC中，利用勾股定理可求出OC,即可得到CD的值，即水的深度.

【解答】解：如圖，過(guò)O點(diǎn)作OCLAB,C為垂足，交OO于D、E,連OA,

OA=0.5m,AB=0.8m,

VOC1AB,

AC=BC=0.4m,

在Rt^AOC中，OA2=AC2+OC2,

OC=0.3m,

則CE=0.3+0.5=0.8m,

故答案為：0.8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的

弧是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的運(yùn)用.

11.趙州橋是我國(guó)建筑史上的一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無(wú)數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然

無(wú)恙.如圖，若橋跨度AB約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧AB所在圓的半徑R=25米.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解即可.

【解答】解：根據(jù)垂徑定理，得AD=*AB=20米.

設(shè)圓的半徑是r,根據(jù)勾股定理，

得R2=202+(R-10)2,

解得R=25(米).

故答案為25.

【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了勾股定理以及垂徑定理.注意構(gòu)造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角

形進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.

12.如圖是一個(gè)古代車(chē)輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的兩點(diǎn)A、B,并使AB與車(chē)輪

內(nèi)圓相切于點(diǎn)D,半徑為OC_LAB交外圓于點(diǎn)C.測(cè)得CD=10cm,AB=60cm,則這個(gè)車(chē)輪的外圓

半徑是50cm.

、B

(T'

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理；切線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)垂徑定理求得AD=30cm,然后根據(jù)勾股定理即可求得半徑.

【解答】解：如圖，連接0A,

VCD=10cm,AB=60cm,

VCD1AB,

.*.OC±AB,

AD=—AB=30cm，

2

.?.設(shè)半徑為r,則OD=r-10,

根據(jù)題意得：心=(r-10)2+302,

解得：r=50.

這個(gè)車(chē)輪的外圓半徑長(zhǎng)為50cm.

故答案為：50cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)

鍵.

13.一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=lm,水面寬AB=1.2m,某天下雨后，水

管水面上升了0.2m,則此時(shí)排水管水面寬CD等于1.6m.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】先根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求出CF的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖：

VAB=1.2m,OE±AB,OA=lm,

/.OE=0.8m,

,?,水管水面上升了0.2m,

OF=0.8-0.2=0.6m,

CF=VoC2-0F2=712-o.62=o.8m,

/.CD=1.6m.

故答案為：1.6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所

對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵.

14.如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)OA為2.5米，秋千向兩邊擺動(dòng)的角度相同，擺動(dòng)的水平距離

AB為3米，則秋千擺至最高位置時(shí)與最低價(jià)位置時(shí)的高度之差（即CD）為0.5米.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】由題意知，秋千擺至最低點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，由垂徑定理知ABLOC,

AD=BD=yAB=1.5米.再根據(jù)勾股定理求得OD即可.

【解答】解：?.?點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，O為圓心

由垂徑定理知：AB1OC,AD=BD=^AB=1.5米，

2

在RtaOAD中，根據(jù)勾股定理，OD=JOA2_AD%2（米），

；.CD=OC-OD=2.5-2=0.5（米）；

故答案為05

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，將實(shí)際問(wèn)題抽象為幾何問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是Im,其中水面的寬AB為0.8m,則排水管內(nèi)水

的深度為0.2m.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】過(guò)O作OC垂直于AB,利用垂徑定理得到C為AB的中點(diǎn)，在直角三角形AOC中，由水

面高度與半徑求出OC的長(zhǎng)，即可得出排水管內(nèi)水的深度.

【解答】解：過(guò)O作OCJ_AB,交AB于點(diǎn)C,可得出AC=BC=?AB=0.4m,

由直徑是1m,可知半徑為0.5m,

在RtZ\AOC中，根據(jù)勾股定理得：0C=｛卜02_~52-0.—W=S3(m),

則排水管內(nèi)水的深度為：0.5-0.3=0.2(m).

故答案為：02

0

\/I/

\/'c/

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，以及勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

16.把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其主視圖如圖.。0與矩形ABCD的邊BC,

AD分別相切和相交(E,F是交點(diǎn))，已知EF=CD=8,則。O的半徑為5.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理：切線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題.

【分析】首先由題意，。。與BC相切，記切點(diǎn)為G,作直線0G,分別交AD、劣弧宙于點(diǎn)H、I,

再連接OF,易求得FH的長(zhǎng)，然后設(shè)求半徑為r,則OH=8-r,然后在RtZ\OFH中，r2-(16-r)

2=82,解此方程即可求得答案.

【解答】解：由題意，。0與BC相切，記切點(diǎn)為G,作直線0G,分別交AD、劣弧M于點(diǎn)H、I,

再連接OF,

在矩形ABCD中，AD〃BC,而IG_LBC,

AIG1AD,

在。O中，F(xiàn)H=—EF=4,

設(shè)求半徑為r,則0H=8-r,

在RtZXOFH中,r2-(8-r)2=42,

解得r=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法,

注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

17.如圖，AB為。0的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,若CD=6,且AE：BE=1：3,則AB=一.

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.

【專(zhuān)題】計(jì)算題.

【分析［根據(jù)AE與BE比值，設(shè)出AE為x與BE為3x,由AE+BE表示出AB,進(jìn)而表示出0A與

0B,由OA-AE表示出OE,連接0C,根據(jù)AB與CD垂直，利用垂徑定理得到E為CD中點(diǎn)，求

出CE的長(zhǎng)，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，即可確定

出AB的長(zhǎng).

【解答】解:連接OC,

根據(jù)題意設(shè)AE=x,則BE=3x,AB=AE+EB=4x,

.?.OC=OA=OB=2x,OE=OA-AE=x,

；AB_LCD,，E為CD中點(diǎn)，即CE=DE=ZD=3,

2

在RtaCEO中，利用勾股定理得：(2x)2=32+X2,

解得：x=?,

則AB=4x=4?.

故答案為：45/3

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

18.如圖是一個(gè)古代車(chē)輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連結(jié)外圓上的兩點(diǎn)A、B,并使AB與車(chē)輪

內(nèi)圓相切于點(diǎn)D,做CDLAB交外圓于點(diǎn)C.測(cè)得CD=10cm,AB=60cm,則這個(gè)車(chē)輪的外圓半徑

為5。cm.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理；切線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題.

【分析】設(shè)點(diǎn)。為外圓的圓心，連接0A和0C,根據(jù)CD=10cm,AB=60cm,設(shè)半徑為r,則OD=r

-10,根據(jù)垂徑定理得：心=(r-10)2+302,求得r的值即可.

【解答】解：如圖，設(shè)點(diǎn)O為外圓的圓心，連接OA和OC,

*.,CD=10CITI,AB=60cm,

.,.設(shè)半徑為r,則OD=r-10,

根據(jù)題意得：a=(r-10)2+302,

解得：r=50,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形.

19.如圖是一圓形水管的截面圖，已知。O的半徑OA=13,水面寬AB=24,則水的深度CD是8

【分析】先根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出OC的長(zhǎng)，根據(jù)CD=OD-OC即可得

出結(jié)論.

【解答】解：；。O的半徑OA=13,水面寬AB=24,OD1AB,

.,.OD=OA=13,AC=—AB=12,

2

在RtaAOC中，OC=4OA2-AC7132-122=5,

.\CD=OD-OC=13-5=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往是找出直角三角形，利用勾股定理求

解.

20.平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、0、B、C,其中NAOB=120。，NACB=60。，AO=BO=2,則滿足題意的OC

長(zhǎng)度為整數(shù)的值可以是2,3,4.

【考點(diǎn)】垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】壓軸題.

【分析】分類(lèi)討論：如圖I,根據(jù)圓周角定理可以推出點(diǎn)c在以點(diǎn)。為圓心的圓上；

如圖2,根據(jù)已知條件可知對(duì)角NAOB+/ACB=180。，則四個(gè)點(diǎn)A、0、B、C共圓.分類(lèi)討論：如

圖1,如圖2,在不同的四邊形中，利用垂徑定理、等邊aMAO的性質(zhì)來(lái)求0C的長(zhǎng)度.

【解答】解:如圖1,,.?/AOB=120。，NACB=60。,

.*.ZACB=—ZAOB=60°,

2

...點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓上，且在優(yōu)弧AB上.

.*.OC=AO=BO=2；

如圖2,；/AOB=120°,ZACB=60°,

.,.ZAOB+ZACB=180",

四個(gè)點(diǎn)A、0、B、C共圓.

設(shè)這四點(diǎn)都在。M上.點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng).

連接OM、AM、AB、MB.

VZACB=60%

ZAMB=2ZACB=120°.

VA0=B0=2,

/AMO=NBMO=60°.

又：MA=M0,

.'.△AMO是等邊三角形，

，MA=A0=2,

.?.MACOCW2MA,即2<OCW4,

；.0C可以取整數(shù)3和4.

綜上所述，0C可以取整數(shù)2,3,4.

故答案是：2,3,4.

0

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì).此題需要分類(lèi)討論，以防漏解.在解題

時(shí)，還利用了圓周角定理，圓周角、弧、弦間的關(guān)系.

21.如圖，AB是。0的弦，OCLAB于點(diǎn)C,連接OA、0B.點(diǎn)P是半徑0B上任意一點(diǎn)，連接

AP.若0A=5cm,0C=3cm,則AP的長(zhǎng)度可能是jcm（寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)值即可）

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.

【專(zhuān)題】開(kāi)放型.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)垂徑定理求出AB,即可得出AP的范圍是大于等于5cm且小

于等于8cm,舉出即可.

【解答】解：：OC，AB,

/ACO=90",

V0A=5cm,0C=3cm,

...由勾股定理得：AC={A（）2_0c2=4Cm,

???由垂徑定理得：AB=2AC=8cm,

只要舉出的數(shù)大于等于5且小于等于8cm即可，如6cm,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AP的范圍.

22.如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心0,則折痕AB的長(zhǎng)為cm.

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.

【專(zhuān)題】壓軸題.

【分析】通過(guò)作輔助線，過(guò)點(diǎn)0作0DLAB交AB于點(diǎn)D,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知0A=20D,根據(jù)勾

股定理可將AD的長(zhǎng)求出，通過(guò)垂徑定理可求出AB的長(zhǎng).

【解答】解：過(guò)點(diǎn)0作0DLAB交AB于點(diǎn)D,連接OA,

：OA=2OD=2cm,

AD=7OA2-OD^Vs2-l2=V3cm，

V0D1AB,

AB=2AD=2A/5cm.

故答案為：2T.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，OP與x軸交于0,A兩點(diǎn),

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,OP的半徑為后，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,2）

【考點(diǎn)】垂徑定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理.

【專(zhuān)題】壓軸題；探究型.

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD，x軸于點(diǎn)D,連接0P,先由垂徑定理求出0D的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出

PD的長(zhǎng)，故可得出答案.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PDLx軸于點(diǎn)D,連接0P,

VA(6,0),PD1OA,

.,.OD=-^OA=3,

在RtAOPD中，

VOP=V13>OD=3,

?*-PD=7OP2-OD2=7(V13)2-32=2，

：.P(3,2).

故答案為：(3,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

24.如圖，己知。O的直徑AB=6,E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為會(huì)上兩點(diǎn)，且NMEB=NNFB=60。,

則EM+FN=、屈.

【考點(diǎn)】垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專(zhuān)題】壓軸題.

【分析】延長(zhǎng)ME交。。于G,根據(jù)圓的中心對(duì)稱性可得FN=EG,過(guò)點(diǎn)。作OHLMG于H,連接

MO,根據(jù)圓的直徑求出OE,OM,再解直角三角形求出OH,然后利用勾股定理列式求出MH,再

根據(jù)垂徑定理可得MG=2MH,從而得解.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)ME交。。于G,

：E、F為AB的三等分點(diǎn),ZMEB=ZNFB=60°,

；.FN=EG,

過(guò)點(diǎn)O作OHLMG于H,連接MO,

,/OO的直徑AB=6,

.\OE=OA-AE=—X6-—X6=3-2=1,

23

OM=—X6=3,

2

；NMEB=60°,

.,.OH=OE?sin60°=l乂返=返.

22

根據(jù)垂徑定理，MG=2MH=2xY|L癡,

即EM+FN=-/33.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，以及解直角三角形，作輔助線并根據(jù)圓的中心對(duì)

稱性得到FN=EG是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

三、解答題（共6小題）

25.如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他

們開(kāi)展了測(cè)算小橋所在圓的半徑的活動(dòng).小剛身高1.6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米，同時(shí)測(cè)得EG的長(zhǎng)

為3米，HF的長(zhǎng)為1米，測(cè)得拱高（弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離，即MN的長(zhǎng)）為2米，求小橋

所在圓的半徑.

D

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理；相似三角形的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)已知得出旗桿高度，進(jìn)而得出GM=MH,再利用勾股定理求出半徑即可.

【解答】解：：小剛身高1.6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米，

...8米高旗桿DE的影子為：12m,

?.?測(cè)得EG的長(zhǎng)為3米，HF的長(zhǎng)為1米，

.\GH=12-3-1=8(m),

；.GM=MH=4m.

如圖，設(shè)小橋的圓心為0,連接OM、OG.

設(shè)小橋所在圓的半徑為r,

VMN=2m,

；.OM=(r-2)m.

在RtZXOGM中，由勾股定理得：

.-.OG2=OM2+42,

：.r2=(r-2)2+I6,

解得：門(mén)5,

答：小橋所在圓的半徑為5m.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出關(guān)于r的等式是解題關(guān)鍵.

26.如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=lm,現(xiàn)計(jì)劃安

裝玻璃，請(qǐng)幫工程師求出篇所在圓0的半徑r.

【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用：勾股定理.

【分析】根據(jù)垂徑定理可得AF=*AB,再表示出AO、OF,然后利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得

解.

【解答】解：???弓形的跨度AB=3m,EF為弓形的高，

.*.OE_LAB于F,

13

.\AF=—AB=-m,

22

???彘所在圓O的半徑為r,弓形的高EF=lm,

AO=r,OF=r-1,

在RtaAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2,

即r2=(3)2+(r-1)2,

2

解得(m).

8

答：益所在圓0的半徑為青m.

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，此類(lèi)題目通常采用把半弦，弦心距，半徑

三者放到同一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理解答.

27.在。0中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D,連結(jié)CD.

(1)如圖1,若點(diǎn)D與圓心0重合，AC=2,求。0的半徑r；

(2)如圖2,若點(diǎn)D與圓心。不重合，NBAC=25。，請(qǐng)直接寫(xiě)出NDCA的度數(shù).

圖1圖2

【考點(diǎn)】垂徑定理;含30度角的直角三角形；圓周角定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作OELAC于E,根據(jù)垂徑定理可得AE=1AC,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=5r,

22

然后在RlAAOE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；

（2）連接BC,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出NACB,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出NB,

再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到位所對(duì)的圓周角，然后根據(jù)NACD等于位所對(duì)的圓周角減去而所對(duì)的圓

周角，計(jì)算即可得解.

【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)。作OELAC于E,

則AE=—AC=—X2=l,

22

:翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，

OE=—r

2

在RtZ\AOE中，AO2=AE2+OE2,

即r2=l2+(-r)2,

2

解得

3

(2)連接BC,

VAB是直徑，

...NACB=90。，

ZBAC=25°,

ZB=90°-ZBAC=90°-25°=65°,

根據(jù)翻折的性質(zhì)，立所對(duì)的圓周角為NB,嬴所對(duì)的圓周角為NADC,

.?.ZADC+ZB=180",

.,.ZB=ZCDB=65\

，ZDCA=ZCDB-ZA=650-25°=40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，翻折的變換的性質(zhì)，以及圓周角定理，(1)作輔

助線構(gòu)造出半徑、半弦、弦心距為邊的直角三角形是解題的關(guān)鍵，(2)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等

求解是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，已知aABC是。。的內(nèi)接三角形，AB=AC,點(diǎn)P是標(biāo)的中點(diǎn)，連接PA,PB,PC.

(1)如圖①，若NBPC=60。.求證：AC=J^AP；

(2)如圖②，若sin/BPC=襄，求tan/PAB的值.

【專(zhuān)題】探究型.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得/BPC=NBAC=60。，可判斷aABC為等邊三角形，ZACB=Z

ABC=60°,再利用圓周角定理得到NAPC=/ABC=60。,而點(diǎn)P是源的中點(diǎn)，則ZACP=yZACB-30°,

于是NPAC=90。，然后根據(jù)30度的正切可計(jì)算出AC=?AP；

(2)過(guò)A點(diǎn)作AD1BC交BC于D,連結(jié)OP交AB于E,根據(jù)垂徑定理的推論得到點(diǎn)。在AD上,

連結(jié)OB,根據(jù)圓周角定理得NBOD=NBAC,ZBPC=ZBAC,所以sinNBOD=sinNBPC=2、-即,

250B

設(shè)OB=25x,則BD=24x,在RtAOBD中可計(jì)算出OD=7x,再在RlAABD計(jì)算出AB=40x,由于點(diǎn)

P是定的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論OP垂直平分AB,則AE=*AB=20x,

在RtaAEO中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出OE=15x,所以PE=OP-OE=25x-l5x=10x,最后在Rt^APE

中，利用正切的定義求解.

【解答】解：(1)V