求通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的常用方法

求通項(xiàng)公式的常用方法一公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例一已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.二歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例二已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：，，，猜測(cè)，反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.跟蹤訓(xùn)練2.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有自然數(shù)，與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.三累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.例三已知無(wú)窮數(shù)列的的通項(xiàng)公式是，若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：,,=1+++=.反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練3.已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.四累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累乘法,累乘法是求型如:的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).例四已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解析】：,,又有=1×=,當(dāng)時(shí)，滿足，.反思:用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列滿足,.則的通項(xiàng)公式是.五構(gòu)造新數(shù)列:類(lèi)型1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，類(lèi)型2解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，例3:已知，，求。解：。變式:已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，，即，又，，將以上n個(gè)式子相乘，得類(lèi)型3（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_______________（key:）類(lèi)型4（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以類(lèi)型5遞推公式為與的關(guān)系式