中考初中數(shù)學復習考點精講第31講與圓相關的計算

第31講與圓相關的計算

【考題導向】

該內容考查較基礎，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).

1.運用弧長公式、扇形面積公式進行相關的計算，以及對圓錐的側面積和全面

積的求解.

2.借助分割與轉化的方法探求陰影部分的面積是中考的熱點.

【考點精練】

考點1:弧長的計算

【典例】（2018?黃石）如圖，AB是。。的直徑，點D為。0上一點，且NABD=30°,BO=4,

則俞的長為（）

948

A.—TTB.—JTC.2nD.—7T

333

【同步練】（2018?淄博）如圖，。。的直徑AB=6,若ZBAC=50°,則劣弧AC的長為（）

考點2：扇形面積的計算

【典例】（2018?臺灣）如圖，△ABC中，D為BC的中點，以D為圓心，BD長為半徑畫一弧

交AC于E點，若NA=60°,ZB=100°,BC=4,則扇形BDE的面積為何？（）

【同步練】（2018?德州）如圖，從一塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90°的

扇形，則此扇形的面積為（）

B

22

A.31r2B.返兀1112c.JtmD.2Jtm

22

考點3：圓錐側面積及其全面積的計算

【典例】（2018?綿陽）如圖，蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個

底面圓面積為25nm）圓柱高為3m,圓錐高為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是（）

A.（30+5-）/29）Jtm2B.40nm2C.（30+5-?/21）Jtm2D.55Jtm2

【同步練】（2018?蘇州）如圖，8X8的正方形網(wǎng)格紙上有扇形0AB和扇形0CD,點0,A,

B,C,D均在格點上.若用扇形0AB圍成一個圓錐的側面，記這個圓錐的底面半徑為n；若

_r,o

用扇形0CD圍成另個圓錐的側面，記這個圓錐的底面半徑為n,則」的值為4

r2~3~

考點4：不規(guī)則陰影圖形的面積計算

【典例】（2018?廣安）如圖，已知00的半徑是2,點A、B、C在。0上，若四邊形0ABC

為菱形，則圖中陰影部分面積為（）

O15

n

A.y-2-）/3B.卷K-炳C.yn-2^/3D.9"-遮

【同步練】（2018?十堰）如圖，扇形OAB中，ZA0B=100°,OA=12,C是OB的中點，CD±

0B交標于點D,以0C為半徑的宸交0A于點E,則圖中陰影部分的面積是（）

A.12JI+18A/3B.12n+365/3C.6兀+18?D.671+3673

考點5：關于圓的計算的綜合題

【典例】（2018貴陽）（10.00分）如圖，AB為。0的直徑，且AB=4,點C在半圓上，0C±

AB,垂足為點0,P為半圓上任意一點，過P點作PEL0C于點E,設aOPE的內心為M,連

接OM、PM.

（1）求N0MP的度數(shù)；

（2）當點P在半圓上從點B運動到點A時，求內心M所經(jīng)過的路徑長.

【同步練】（2017張家界）在等腰aABC中，AC=BC,以BC為直徑的。0分別與AB,AC相交

于點D,E,過點D作DFLAC,垂足為點F.

（1）求證：DF是。0的切線；

（2）分別延長CB,FD,相交于點G,ZA=60°,。。的半徑為6,求陰影部分的面積.

D,

【真題演練】

1.（2018?沈陽）如圖，正方形ABCD內接于0,AB=2?,則源的長是（

22

2.（2018?成都）如圖，在nABCD中，ZB=60°,OC的半徑為3,則圖中陰影部分的面積

3.（2018?東陽市模擬）已知一個圓錐的底面半徑為3cm,母線長為10cm,則這個圓錐的側

面積為（）

A.30ncm'B.50Jtcm2C.60mcm'D.331cm

4.（2018?陵城區(qū)二模）一塊等邊三角形的木板，邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），

那么B點從開始至結束所走過的路徑長度為（）

A.-^-B."c.4D.2+”

232

5.（2018?山西）如圖，正方形ABCD內接于。0,。。的半徑為2,以點A為圓心，以AC

長為半徑畫弧交AB的延長線于點E,交AD的延長線于點F,則圖中陰影部分的面積為（）

A.4n-4B.4n-8C.8冗-4D.8n-8

6.（2018?廣西）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得

到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2,則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（）

A.兀+J3B.71~yf3C.271-1/3D.271-2^3

7.（2018?荊門）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB<AD,ZD=30°,CD=4,以AB為直徑的

?0交BC于點E,則陰影部分的面積為

8.（2018?安順）如圖,C為半圓內一點,0為圓心，直徑AB長為2cm,NB0C=60°,NBC0=90。，

將△B0C繞圓心0逆時針旋轉至△!?'0C',點C'在0A上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部

分）的面積為cm2.

A■COB

9.（2017貴州）如圖，已知直線PT與。。相切于點T,直線P0與。。相交于A,B兩點.

（1）求證：PT=PA?PB；

（2）若PT=TB=J&求圖中陰影部分的面積.

10.(2017浙江湖州)如圖，0為RtAABC的直角邊AC上一點，以OC為半徑的。0與斜

邊AB相切于點D,交OA于點E.已知BC=J&AC=3.

(1)求AD的長;

(2)求圖中陰影部分的面積.

【拓展研究】

如圖，ZXABC是等腰三角形，且AC=BC,ZACB=120°,在AB上取一點0,使0B=0C,以“0

為圓心，0B為半徑作圓，過C作CD〃AB交。0于點D,連接BD.

(1)猜想AC與。。的位置關系，并證明你的猜想；

(2)已知AC=6,求扇形0BC圍成的圓錐的底面圓半徑.

D

第31講與圓相關的計算（解析版）

【考題導向】

該內容考查較基礎，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).

1.運用弧長公式、扇形面積公式進行相關的計算，以及對圓錐的側面積和全面

積的求解.

2.借助分割與轉化的方法探求陰影部分的面積是中考的熱點.

【考點精練】

考點1:弧長的計算

【典例】（2018?黃石）如圖，AB是。0的直徑，點D為。。上一點，且NABD=30°,B0=4,

則面的長為（）

B

G

A

94K

A.—7TB.士兀C.2nD.f

33

’,根據(jù)弧長公式祭，可得結果.

【分析】先計算圓心角為120

180

【解答】連接OD,

VZABD=30°,

.'.ZAOD-2ZABD-600,

.,.ZB0D=120°,

??.加的長二喑1二等

故選:D.

B

A

【同步練】（2018?淄博）如圖,?0的直徑AB=6,若NBAC=50°,則劣弧AC的長為（）

A.2…8"3”4兀

3

【分析】先連接CO,依據(jù)/BAC=50°,AO=CO=3,即可得到NA0C=80°,進而得出劣弧AC

的長為嗎詈修兀.

1803

【解答】解：如圖，連接CO,

VZBAC=50°,AO=CO=3,

AZAC0=50",

AZA0C=80°,

，劣弧AC的長為80X,^,X3-4

1803

故選：D.

2

【點評】1.關于弧長、扇形面積的計算，必須熟記公式1=陪和5的=*,此公式不

loUOOU

僅僅可用于求弧長和扇形面積，若已知1,Sw,r,可求圓心角的度數(shù)n；若已知1,S崩形，

n,可求圓的半徑r.

2.當已知半徑r和弧長求扇形的面積時，可以選用公式S硼=：Ir.

考點2：扇形面積的計算

【典例】（2018?臺灣）如圖，^ABC中，D為BC的中點，以D為圓心，BD長為半徑畫一弧

交AC于E點，若NA=60°,ZB=100°,BC=4,則扇形BDE的面積為何？（）

1945

A.—TVB.—7TC.—TTD.—JT

3399

【分析】求出扇形的圓心角以及半徑即可解決問題;

【解答】解：,.?NA=60°,ZB=100°,

???NC=1800-60°-100°二20°,

VDE=DC,

AZC=ZDEC=20°,

.?,ZBDE=ZC+ZDEC=40°,

故選：C.

【同步練】（2018?德州）如圖，從一塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90。的

扇形，則此扇形的面積為（）

【分析】連接AC,根據(jù)圓周角定理得出AC為圓的直徑，解直角三角形求出AB,根據(jù)扇形面

積公式求出即可.

【解答】解：....O..…耕C

連接AC,

?.?從一塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90°的扇形，即/ABC=90°,

；.AC為直徑,即AC=2m,AB=BC,

,.,AB2+BC2=22,

AB=BC=5/211,

陰影部分的面積是史巴*@1-工兀（m2）,

故選：A.

nJrrn?^r~

【點評】L關于弧長、扇形面積的計算，必須熟記公式1=F和S質形=不環(huán)，此公式不

loUJ6U

僅僅可用于求弧長和扇形面積，若已知1,Sw，r,可求圓心角的度數(shù)n；若已知1,S用彩，

n,可求圓的半徑r.

2.當已知半徑r和弧長求扇形的面積時，可以選用公式Ssm=3r.

考點3：圓錐側面積及其全面積的計算

【典例】(2018?綿陽)如圖，蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個

底面圓面積為25冗m”,圓柱高為3nb圓錐高為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是()

A.(30+55/29)Jtm2B.40Jtm2C.(30+5<7^I)31mD.55nm

【分析】利用圓的面積得到底面圓的半徑為5,再利用勾股定理計算出母線長，接著根據(jù)圓

錐的側面展開圖為一扇形和圓柱的側面展開圖為矩形計算它們的側面積，最后求它們的和即

可.

【解答】解：設底面圓的半徑為R,

則atR2=25Jt,解得R=5,

圓錐的母線長=后手-亞，

所以圓錐的側面積-之。？nV29=5V29115

圓柱的側面積=2頁?5?3=30”,

2

所以需要毛氈的面積=(30n+5V29n)m.

故選：A.

【同步練】(2018?蘇州)如圖，8X8的正方形網(wǎng)格紙上有扇形0AB和扇形0CD,點0,A,

B,C,D均在格點上.若用扇形0AB圍成一個圓錐的側面，記這個圓錐的底面半徑為n；若

rio

用扇形0CD圍成另個圓錐的側面，記這個圓錐的底面半徑為則」的值為4

r2-3—

NA0B?兀,OA鈣券?知nZAOB>OAZAOB?OC

【分析】由2nr產(chǎn)、2nr=、n：

1802180360360

據(jù)此可得三L空，利用勾股定理計算可得.

r20C

r你z/1M??，＞”一/AOB?冗，0A0_/AOB?兀，0C

［解答］解：.2nr尸-------------、2/1r4=-------------，

180180

.ZA0B-0A_ZA0B-0C

..ri-----------、r------------，

3602360

...St=OA=丫22+42_275.2,

r20c《32+623

故答案為：

【點評】求解時注意圓錐側面展開圖與圓錐的轉化關系：1.圓錐的底面的周長等于圓錐側

面展開圖中扇形的弧長.2.圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的面積就是圓錐的側面積.

考點4：不規(guī)則陰影圖形的面積計算

【典例】（2018?廣安）如圖，已知。。的半徑是2,點A、B、C在。0上，若四邊形0ABC

為菱形，則圖中陰影部分面積為（）

A.MB.1n-V3C.1n-2^D.1n-

【分析】連接OB和AC交于點D,根據(jù)菱形及直角三角形的性質先求出AC的長及NA0C的度

數(shù)，然后求出菱形ABC0及扇形AOC的面積，則由S馴"wo-S捌aoc可得答案.

【解答】解：連接0B和AC交于點D,如圖所示：

?.?圓的半徑為2,

.,.0B=0A=0C=2,

乂四邊形OABC是菱形,

.,.0B1AC,0D=—OB=1,

2

在RtaCOD中利用勾股定理可知：AC=2CD=25/3-

..?/rnnCDV3

OC2

/.ZCOD=6O0,ZA0C=2ZC0D=120°,

S邈彩AW：滬■^-OBXAC-X2X25/"^,

c-120-H-22-

、SI*MX-------------------------------，

3603

4-

則圖中陰影部分面積為s菱形ABC。-S扇形AOC二QH-2

J

故選：C.

【同步練】（2018?十堰）如圖，扇形0AB中，ZA0B=100°,0A=12,C是0B的中點，CD±

0B交窟于點D,以0C為半徑的宸交0A于點E,則圖中陰影部分的面積是（）

A.12m+l8yB.1231+3673C.6K+18A/3D.6冗+36港

【分析】連接01）、AD,根據(jù)點C為0A的中點可得/CD0=30°,繼而可得AADO為等邊三角

形，求出扇形AOD的面積，最后用扇形AOB的面積減去扇形COE的面積,再減去S”洎械即

叮求出陰影部分的面積.

【解答】解：如圖，連接0D,AD,

:點C為0A的中點，

.\0C=-0A=—0D,

22

VCD10A,

.,.ZCD0=30°,ZDOC=60",

.'.△ADO為等邊三角形，0D=0A=12,0C=CA=6,

.*.CD=,6->/3,

2

?C-60-7l-12_9,tlT

?扇形AOIL----------------------"i兀，

360

S陰影二S扇形AOB-S4形COE-（S扇形AOD一S^COD）

_lQQ>K>122.10Q>n>62.（24_L><6X6后

3603602

=18遂+6n.

故選：C.

【點評】計求與圓有關的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不

規(guī)則的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積.常用的方法有：1.將所求面積分割后，利用規(guī)

則圖形的面積相互加減求解.

2.將陰影中某些圖形等積變形，重組成規(guī)則圖形求解

考點5：關于圓的計算的綜合題

【典例】(2018貴陽)(10.00分)如圖，AB為。0的直徑，且AB=4,點C在半圓上，OC±

AB,垂足為點0,P為半圓上任意一點，過P點作PEL0C于點E,設AOPE的內心為M,連

接OM、PM.

(1)求N0MP的度數(shù);

(2)當點P在半圓上從點B運動到點A時，求內心M所經(jīng)過的路徑長.

【分析】(1)先判斷出NM0P=NM0C,ZMPO=ZMPE,再用三角形的內角和定理即可得出結論；

(2)分兩種情況，當點M在扇形BOC和扇形AOC內，先求出/CM0=135°,進而判斷出點M

的軌跡，再求出/OO'C=9O°,最后用弧長公式即可得出結論.

【解答】解：

(1),.?△OPE的內心為M,

ZMOP=ZMOC,ZMPO=ZMPE,

.,.ZPM0=180o-NMPO-NM0P=180°-1.(ZEOP+ZOPE),

2

VPE±OC,即/PE0=90°,

.,.ZPM0=180°-1.(ZEOP+ZOPE)=180°-1.(180°-90°)=135°,

22

(2)如圖，VOP=OC,OM=OM,

而NM()P=NMOC,

AZCM0=ZPM0=135°,

所以點M在以OC為弦，并且所對?的圓周角為135°的兩段劣弧匕(3記和靛):

點M在扇形BOC內時，

過C、M、0三點作。0',連O'C,0'0,

在優(yōu)弧C0取點1),連DA,D0,

VZCM0=135°，

：.ZCD0=180°-135°=45°,

：.ZC0'0=90°,而0A=4cm,

.?.O'0=苧0C=^X4=2加，

二弧OMC的長=%兀義2叵二72"(cm),

180

同理：點M在扇形AOC內時，同①的方法得，弧ONC的長為M"cm,

所以內心M所經(jīng)過的路徑長為2X幣”=2版"cm.

【點評】本題考查了弧長的計算公式：1=里里，其中1表示弧長，n表示弧所對的圓心角

180

的度數(shù).同時考查了三角形內心的性質、三角形全等的判定與性質、圓周角定理和圓的內接

四邊形的性質，解題的關鍵是正確尋找點I的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

【同步練】(2017張家界)在等腰aABC中，AC=BC,以BC為直徑的。0分別與AB,AC相交

于點D,E,過點D作DFLAC,垂足為點F.

(1)求證：DF是。。的切線；

(2)分別延長CB,FD,相交于點G,ZA=60°,。。的半徑為6,求陰影部分的面積.

D」

【考點】ME：切線的判定與性質；KH：等腰三角形的性質；M0：扇形面積的計算.

【分析】(1)連接0D,由等腰三角形的性質證出NA=NODB,得出OD〃AC,證出DF10D,

即可得出結論；

(2)證明△()!?是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出NB0D=60°,求出NG=30°,由

直角三角形的性質得出0G=20D=2X6=12,由勾股定理得出DG=6?,陰影部分的面積二ZXODG

的面積-扇形OBD的面積，即可得出答案.

【解答】(1)證明：連接0D,如圖所示：

VAC=BC,OB=OD,

，NABC二NA,NABC二NODB,

???ZA=Z0DB,

AODZ/AC,

VDF1AC,

ADF1OD,

???0D是。()的半徑，

，DF是。0的切線;

(2)解：VAC=BC,ZA=60°,

AAABC是等邊三角形，

.'.ABC=60°,

VOD=OB,

.,?△OBD是等邊三角形，

???NB0D=60°,

VDF±0D,

AZ0DG=90°，

AZG=30°,

A0G=20D=2X6=12,

???DG=?OD=6仃

2

.?.陰影部分的面積=Z\ODG的面積-扇形OBD的面積=5乂6義6巡-607TX61873-

2v360

【真題演練】

1.（2018?沈陽）如圖，正方形ABCD內接于0,AB=2?,則眾的長是（）

【分析】連接0A、0B,求出/A0B=90°,根據(jù)勾股定理求出AO,根據(jù)弧長公式求出即可.

?.?正方形ABCD內接于0,

.*.AB=BC=DC=AD,

AB-BC^DC"AD'

.\ZA0B=—X360°=90°,

4

在Rtz^AOB中，由勾股定理得：2A0J（2。工））

解得:A0=2,

*JZ平，90兀X2

??AB的長為1加="'

loU

故選：A.

2.（2018?成都）如圖，在aABCD中，NB=60°,OC的半徑為3,則圖中陰影部分的面積

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可以求得/C的度數(shù)，然后根據(jù)扇形面積公式即可求得陰影

部分的面積.

【解答】解：；在叫BCD中，ZB=60°,0c的半徑為3,

.*.NC=120°,

二圖中陰影部分的面積是：120XKX32=3n,

360

故選：C.

3.（2018?東陽市模擬）已知一個圓錐的底面半徑為3cm,母線長為10cm,則這個圓錐的側

面積為（）

A.30ncm"B.50ncm'C.60ncm'D.35/91Hcm2

【分析】圓錐的側面積=底面周長X母線長+2,把相應數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：圓錐的側面積=2"X3X10+2=30”.

故選：A.

4.（2018?陵城區(qū)二模）一塊等邊三角形的木板，邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），

那么B點從開始至結束所走過的路徑長度為（）

［分析］根據(jù)題目的條件和圖形可以判斷點B分別以C和A為圓心CB和AB為半徑旋轉120°,

并且所走過的兩路徑相等，求出一個乘以2即可得到.

【解答】解：如圖：BC=AB=AC=L

NBCB'=120°,

AB點從開始至結束所走過的路徑長度為2X弧BB'=2X空絲衛(wèi)=且兀,

1803

故選：B.

5.（2018?山西）如圖，正方形ABCD內接于。0,。0的半徑為2,以點A為圓心，以AC

長為半徑畫弧交AB的延長線于點E,交AD的延長線于點F,則圖中陰影部分的面積為（）

A.4n-4B.4n-8C.8元-4D.8n-8

【分析】利用對稱性可知：陰影部分的面積二扇形AEF的面積-AABD的面積.

【解答】解:利用對稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-AABD的面積=義工上

360

-工X4X2=4n-4,

2

故選：A.

6.（2018?廣西）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得

到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2,則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（）

A.71+73B.71-73C.271-73D.2兀-2?

【分析】萊洛三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加,

再減去兩個等邊三角形的面積，分別求出即可.

【解答】解：過A作ADLBC于D,

VAABC是等邊三角形,

.*.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

VAD±BC,

；.BD=CD=1,AD=&BD=F，

?'.△ABC的面積為^XBCXAD當X2XJ專?，

2

c_60HX2_2W

3603

萊洛三角形的面積S=3X>|n-2XJ方2n-2遮，

故選：D.

7.（2018?荊門）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB<AD,ZD=30°,CD=4,以AB為直徑的

00交BC于點E,則陰影部分的面積為一.

【分析】連接半徑和弦AE,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得：ZAEB=90°,可得AE和BE

的長，所以圖中弓形的面積為扇形OBE的面積與AOBE面積的差，因為OA=OB,所以△OBE

的面積是AABE面積的一半，可得結論.

【解答】解：連接OE、AE,

：AB是00的直徑,

ZAEB=90°,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

,,.AB=CD=4,ZB=ZD=30°,

???AE=*AB=2,BE二五2一22-2遂,

V0A=0B=0E,

AZB=Z0EB=30°,

AZB0E=120°，

S陰影二S原形OBE-S△!?1?>

2

-1207TX21v1

36022

-與4x2X2在,

牛仃

o

8.（2018?安順）如圖,C為半圓內一點,0為圓心，直徑AB長為2cm,NB0C=60°,NBC0=90°,

將ABOC繞圓心0逆時針旋轉至△!?'0C',點C'在0A上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部

分）的面積為cm2.

A■COB

【分析】根據(jù)已知條件和旋轉的性質得出兩個扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式

進行計算即可得出答案.

【解答】解：：NB0C=60°,ABZ0C'是△BOC繞圓心0逆時針旋轉得到的，

0C'=60°,△BC0=AB,C'0,

0C=60°,ZCfB'0=30°,

.\ZB,0B=120°,

：AB=2cm,

.,.0B=lcm,OL=L

2

C'=返，

2

2

.<_1207lX1_1n

3603

.y"20九X；一兀

?'扇形c'oc-q

~360-12

?'?陰影部分面積=SHBB'OB+SAI),C0-S&BCO~S就影I"OC-Sa?B<OB_SKMC0C--1t---=—￡;

3124

故答案為：=31.

4

9.(2017貴州)如圖，已知直線PT與。。相切于點T,直線叩與。0相交于A,B兩點.

(1)求證:PT2=PA*PB；

【分析】（1）連接0T,只要證明△PTAs/iPBT,可得與工矍，由此即可解決問題;

PBPT

（2）首先證明△AOT是等邊三角形，根據(jù)S陰二S扇J-SAOT計算即可；

【解答】（1）證