矢量分析與場論課后習(xí)題及答案

矢■分析與場論

習(xí)題1

1.寫出下列曲線的矢■方程，并說明它們是何種曲線。

(1)x=acosZ,j=ftsinZ

(2)x=3sint9y=4sint9z=3cost

解：(1)r=acos￡i+6sin獷，其圖形是xOy平面上之橢圓。

(2)r=3sinri+4sin(/+3costk,其圖形是平面4x—與圓柱面

x2+z2=3之交線，為一橢圓。

4.求曲線x=f,y=f2,z=1〃的一個切向單位矢

223

解：曲線的矢量方程為r="+fj+-tk

則其切向矢量為?=i+24+2/左

at

模為|—|=Jl+4/2+4J=1+2〃

dt

drdrZ+2(7+2嚴(yán)左

于是切向單位矢量為—/I-1=

atat1+2產(chǎn)

6.求曲線x=asin2f,y=asin2f,z=acosf,在￡=一處的一個切向矢■<(

4

解：曲線矢量方程為r=asin2ti+asinltj+acostk

dr

切向矢量為r=-=?sin2ti+2acos2tj-asintk

dt

1萬從.V2

在f=一處，T=-----=cti—a------k.

4d￡,=三2

7.求曲線x=〃+l,y=4f-3,z=2〃-6f在對應(yīng)于1=2的點M處的切線方程和

法平面方程。

解：由題意得拉(5,5,-4),曲線矢量方程為r=(t2+l)i+(4/-3)j+(2/-6t)k,

dr

在，=2的點M處，切向矢量7=一=[2ti+4j+(4t-6)Jt]|,_2=4/+4j+2k

dt,=2

于是切線方程為七q=2二9=蟲上，即土丫=上二回=處乂

442221

于是法平面方程為2(x—5)+2(y—5)+(z+4)=0,即

2x+2j+z—16=0

8.求曲線/=〃+產(chǎn)/+上的這樣的點，使該點的切線平行于平面”+2y+z=4。

解：曲線切向矢量為?=它=，+2獷+3/人,(1)

平面的法矢量為〃=i+2j+A,由題知

T-n=(i+2y+3t2k)(i+2j+k)=l+4t+3t2=0

得，=一1,一,。將此依次代入⑴式，得

3

故所求點為(—1,1一1),(一一，

習(xí)題2

1.說出下列數(shù)量場所在的空間區(qū)域，并求出其等值面。

⑴〃=1

Ax++Cz+。'

⑵u=arcsin.

＜）7^7

解：（1）場所在的空間區(qū)域是除Ax+5y+Cz+O=0外的空間。

1_______

等值面為

Ax+By+Cz+D

（C1。0為任意常數(shù)），這是與平面Ax+5y+Q:+O=0平行的空間。

（2）場所在的空間區(qū)域是除原點以外的z2x2+j2的點所組成的空間部分。

等值面為z2=（x2+j2）sin2c,（x2+J20）,

當(dāng)sine#0時，是頂點在坐標(biāo)原點的一族圓錐面（除頂點外）；

當(dāng)sine=0時，是除原點外的平面。

22

2.求數(shù)■場〃=土產(chǎn)經(jīng)過點M（l,l,2）的等值面方程。

解：經(jīng)過點M。,1,2）等值面方程為

x2+y212+12,

u=---------=--------=1,

z2

即2=7+V，是除去原點的旋轉(zhuǎn)拋物面。

3.已知數(shù)?場“=孫，求場中與直線x+2y-4=0相切的等值線方程。

解:設(shè)切點為（與，盟）,等值面方程為盯=，=/凡，因相切，則斜率為

*=--=-即*0=2孔

*o2

點（工0，%）在所給直線上，有

4+2兒-4=0

解之得典=1,x0=2

故孫=2

4.求矢■A=xy2i+x2yj+zy2k的矢二線方程。

解矢量線滿足的微分方程為

AxJr=0,

dx_dydz

或2~——2——2

xyxyzy

dxdz

有xax=yay——=——.

9xz

fx2-v2=c

解之得_'”(G,C2為任意常數(shù)

z=C2x

5.求矢■場A=x2i+y2j+(x+y)zk通過點M(2,1,1)的矢■線方程。

解矢量線滿足的微分方程為"=a=———.

Xy(x+y)z

由華=%得L=J_+G，

xyxy

拉毋士裾右d(“_y)dzrf(x-j)dz鈕汨

按等比；E理有一i----=--------1，0即n--------=——.解傳X—y=Cz.

x-y2(x+j)zx-yz2

11門

―=-+Ci,1

故矢量線方程為《xyI又M(2,l,l)求得G=一—,C=1

22

x-y=C2z

1_1_1

故所求矢量線方程為-j-2.

x-y=z

習(xí)題3

1.求數(shù)?場"=，z3+2y2z在點M(2,0,-l)處沿/=2x"盯2/+3/A的方

向?qū)?shù)。

(24,其方向余弦為

解：因4)=2xi-xyj+3zk^i=4i+3k

43

cosa=—,cos0=0,cos/=—.

2

在點M(2,0,—1)處有半■=2我3=_4,半.=4丁2=0,學(xué).=3/產(chǎn)+2y=12,

dxdydz

所以包=±?(—4)+0?0+°?12=4

dl55

2.求數(shù)■場u=3x2z-xy+z2在點處沿曲線x=t,y=—產(chǎn)*=/朝f

增大一方的方向?qū)?shù)。

解：所求方向?qū)?shù)，等于函數(shù)”在該點處沿曲線上同一方向的切線方向?qū)?shù)。曲線上點

M所對應(yīng)的參數(shù)為f=l,從而在點M處沿所取方向，曲線的切向方向?qū)?shù)為

dx

=1，=-2/|,=-2,—=3〃L=3,

L，=1

dtMdtMdtM

123

其方向余弦為cosa=1=,cosB=——7=,cos/=-T=.

V14V14V14

_du(du

又一J63I-嚕=(3x2+2z)|=5o

M=T至

dxMM

于是所求方向?qū)?shù)為

du,duddudu、_1-2324

(-cosa+—cospn+-cos/)=7x-y=+(z-1)x—=+5x

~dlV14-V14

Mdxd"yd0zM…V14

3.求數(shù)■場u=x2jz3在點處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大？

解：因-=(gradw)-1。=|gradw|cos0,

當(dāng)6=0時，方向?qū)?shù)最大。

?dudu.du

8.此=（密+媼+資

M

2322

=（2xyz3z+xzj+3xyzki=-4i-4j+12k,

IM

即函數(shù)〃沿梯度gradu|“=Ti-4/+12A方向的方向?qū)?shù)最大

最大值為|gradu|J=V176=4JU。

4.畫出平面場"=一y2）中“=0,1,1,-,2的等值線，并畫出場在M1（2,、歷）與點

222

〃2（3,6）處的梯度矢■,看其是否符合下面事實:

（1）梯度在等值線較密處的模較大，在較稀處的模較小;

（2）在每一點處，梯度垂直于該點的等值線，并指向“增大的方向。

x2-y2=0,x2-j2=1,

解：所述等值線的方程為：x2-y2=2,x2-y2=3,其中第一個又可以寫為

x2-J2=4,

x—y=0,x+y=0為二直線，其余的都是以Qr軸為實軸的等軸雙曲線

（如下圖，

圖中G]=gradu|w,

G2=gradu|w,）

由于gradu=xi-yj,

故

gradu|w=2i-42j,

gradu|M=3z-V7j,

由圖可見，其圖形都符合所論之事實。

5.用以下二法求數(shù)?場〃二孫+yz+zr在點尸(1,2,3)處沿其矢徑方向的方向?qū)?shù)。

(1)直接應(yīng)用方向?qū)?shù)公式；

(2)作為梯度在該方向上的投影。

解：(1)點P的矢徑r=i+2/+3左，其模|r|=V14.其方向余弦為

1c23r

cosa=—^=r,cosp=1=,cosy=-T=?又

V14V14V14

普=(y+z)|p=5,當(dāng)=(x+z)|p=4,當(dāng)=(x+y)|p=3

(2"嘰=宣+而尸法Q=5’+4

故包=gradu|*r°=5x-^=+4x-^=+3x-^==-^=o

dl,lpV14V14V14V14

6,求數(shù)?場M=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z在點。(0,0,0)與點A(l,1,1)

處梯度的大小和方向余弦。又問在哪些點上梯度為0?

解：gradu=(2x+y+3)i+(4j4-x-2)j+(6z—6)k,

gradu|o=3i-2j-6A:,gradu|A=6i+3/+0A,

其模依次為：G+(—2)2+(-6)2=7,?2+32+()2=3函

—?326

于是gradu1的方向余弦為cosa=—,cos)5=--,cos/

7

,21

grad11匕的方向余弦為cosa=-^,cosft=-^,cos/=0.

2x+j+3=0,

求使gnzdu=0之點，即求坐標(biāo)滿足■4y+x-2=0,之點，由此解得

6z—6=0

x=-2,y=l,z=1故所求之點為(一2,1,1).

7.通過梯度求曲面/y+2xz=4上一點M(l,—2,3)處的法線方程。

解：所給曲面可視為數(shù)量場"=/y+2xZ的一張等值面，因此，場〃在點

M處的梯度，就是曲面在該點的法矢量，即

2

gradu|v/=(2xy+2z)i+xj+2xAr|必=2i+j+2k,

故所求的法線方程為二］=上土2==.

212

習(xí)題4

1.設(shè)S為上半球面x2+j2+z2=a2(z>0),求矢■場r=xi+歷+水向上穿過S的通■

①。【提示：注意S的法矢?n與r同指向】

解：

①二Jjr?dS=JJr〃dS=JJ|r|<ZS=?JJdS=a-ITHO1=2加。.

ssss

2.設(shè)S為曲面x2+j2+z2=a2(0<z<h),求流速場v=(x+y+z)k在單位時間內(nèi)下側(cè)

穿S的流量Qo

解：G=JJ(^+j+z)dxdy=-JJ(X+J+X2+J2)dxdy,其中D為S在xOy面上的

SD

投影區(qū)域：/+_/4瓦用極坐標(biāo)計算，有2=-Jj(rcos'+rsin,+r2)rdrd'

D

I-3,

)1r2乃J/thi

(廠cos。+r~sin。+/)dr=-1[(cos。+sin。)--+—]d0=一一

。342

3.設(shè)S是錐面z=瓜"二^"在平面z=4的下方部分，求矢?場A=4xz￡+陽+3水向

下穿出S的通?①。

解：略

4.求下面矢■場A的散度。

(1)A=(x3+yz)i+(J2+xz)j+{zi+xy)k;

(2)A=(2z-3y)i+(3x-z)j+(y-2x)k;

(3)A=(1+jsinx)/+(Xcosj+y)j.

解：(1)divA=3x2+2y+3z2

(2)divA=0

(3)divA=ycosx—xsinj+1

5.求divA在給定點處的值：(1)4=/，+//+23左在點]^(1,0,-1)處；

(2)A=4xi-2孫/+z2A在點M(l,l,3)處；

(3)A=xyzr(r=xi+,+水)在點M(l,3,2)處;

解：(1)divA|=Ox?+3y2+3Z2),=6

(2)divA|“=(4-2x+2z)|M=8

(3)divA=xyzdivr+graJ(xyz)*r=3xyz+(yzi+xg4-xyk)?(xi+yj+zk)

=6xyz,故divA|必=6xy^w=36o

22

6.已知u=xyz^9A=xi+xj—求div(uA)。

解：divA=2x-2j

gradu=y2z3i+2xyz3J+3xy2z2fc

故div(uA)=udivA+grad〃?A

=xy2z3(2x-2y)+(y2z5i+2xyz^j+3xy2z2k)(x2i+xzj-2yzk)

=2x2y2z3-2x2y3z3+x2y2z3+2x2yz4-6xy3z3

=3x2y2z3-8x2y3z3+2x2yz4.

7.求矢■場A從內(nèi)穿出所給閉曲面S的通?①：

(1)A=x3i+J3J++y2+z2=a2;

222

(2)A=(x-j+z)i+(j-z+x)j+(z-x+y)k,S為橢球面?+=+5=L

a2bc

解：⑴①=月A?dS=JjJdivAdV=JJJ3(Y+y2+々2)dv

sQ,Q.

其中。為S所圍之球域/+y2+z2今用極坐標(biāo)

x=rsin8cosp,y=rsin9sin0,z=rcos。計算,有

4./sin創(chuàng)出砌夕二31)d“)sinft/^￡r4dr=—7ms

si0005

(2)①=g4?dS=JJJdivAdV=31JJrfV=3x—7mbe=4nabc

ccC3

習(xí)題五

1.求一質(zhì)點在力場方=一丁，一力+x立的作用下沿閉曲線I:x=acos￡,y=asin￡,

Z=。(1一以)§￡)從￡=0至!)￡=2%運動一周時所做的功。

解：功W=1F?J/=J-ydx—zdy+xdz

i/

=/「［a?sin21-a2(1-cost)c(yst+a2cossin

2『2萬2

=aI(l-cos￡+cos￡sinE)dE=2w

Jo

2.求矢量場A=-yi+xj+a(C為常數(shù))沿下列曲線的環(huán)?：

(1)圓周一+『=R2,Z=0.

(2)圓周(x-2)2+y2=R2,z=o。

解：(1)令x=RcosO,則圓周x2+y2=R2,z=0的方程成為

x=Rcos09y=Rsin09z=0,于是環(huán)量

22

r==ydx+xdy4-Cdz=(Rsin6+R?cos0)d0=2幾R.

/i-

(2)令x-2=￡cos6，則圓周(x-2)2+y2=R2,Z=。的方程成為

x=/fcos^+2,j=Rsin09z=0，于是環(huán)量

r=『4'成='—ydx+xdy-hCdz=sin204-(/?cos^4-2)Rcos0ylG

ii

=C(R2+2Rcos0)d0=2TTR2

Jo

3.用以下兩種方法求矢量場A=x(z-y)i+^0-7)/+覺了一》)4在點M(1,2,3)處沿方

向〃=i+2/+2A的環(huán)?面密度。

(1)直接應(yīng)用環(huán)■面密度的計算公式；

(2)作為旋度在該方向上的投影。

H122122

解：(1)〃N=1^=一，+—j+—4,故〃的方向余弦為cosa=—,cos，=—,cos/=—.

|n|333333

又？=x(z-y)9Q=y(x-z),K=z(y-x)根據(jù)公式，環(huán)量面密度

〃，，IM=[(用一Qz)cosa+(Pz-Rx)cos0+(Qx-Py)cosy]M

=[(z+j)^+(x+z)^+(x+J)|]M=：+?+!=?

3333333

⑵r"A|M=[(z+j)i+(x+z)j+(x+=5i+4/+3左，于是

[22

4，，L”=，°'A\M?n°=(5i+4j+3k)?(-i+-j+-k)

58619

—I----1=—

3333

4.用雅可比矩陣求下列矢■場的散度和旋度。

(1)A=(3x2j+z)i+(J3-xz2)j+2xyzk;

(2)A=yz2i+zx2j+xy2k;

(3)A=P(x)i+Q(y)j+R(z)k.

6xy3x21

解：(1)D4=-Z23y2一24，,故有殺人=6盯+3/+29=(8*+3》)》,

2yz2xz2xy

rotA=4xzi+(l-2yz)j-(/+3x2)k.

0z22yz

(2)DA=^2xz0*2,,故有divAnO+O+OnO,

y22xy0

rotA=x(2y-x)i+y(2z-j)j+z(2x-z)k.

P,(x)00

(3)DA=-0O'（y）0，，故有divA=P'(x)+2'(y)+R'(z).

00R,(z)

ro/A=oo

xyz22

5.已知u=e9A,=zi+xJ-+-/幺求.uA.

解：uA=wrotA+graduxA,

002z

DA=<2xoo.，有rofA=2yi+24+2xk,urotA=exyz(2yi+24+2xk),

02y0

gradu=exyz(yzi+xy+xyk),graduxA

ijk

=exyzyzxzxy=eXJX[(xj2z-x3j)i+(xjz2-y3z)j+(x2yz-xz3)k],

z2X2y2

rotuA.=exyz[(2y+xy2z-xiy)i+(2z+xyz2-v3z)/1+(2x+x2yz-xz3)^]

習(xí)題六

1.證明下列矢量場為有勢場，并用公式法和不定積分法求其勢函數(shù)。

(1)A=jcosxyi+xcosxjj/+sinzfc;

(2)A=(2xcosj-y2sinx)i+(2jcosx-x2sinj)J.

解：(1)記尸=ycosxy9Q=xcosxy,l?=sinz.

ijA

aa

IA

則rotA=￥&=Oz+0j4-[(cosxy-xysinxj)-(cosxj-xysinxj)]A:=0

lapxR

。

所以A為有勢場。下面用兩種方法求勢函數(shù)v:

10公式法：y=+G

=一j00dx-￡xcosxydy一￡sinzdz+G

=0-sinxy+cosz-1+C.=cosz-sinxy+C.

2°不定積分法：因勢函數(shù)v滿足A=—gradv,即有

vx=-jcosxy9vy=-xcosxy9vz=-sinz,

將第一個方程對x積分，得羽=-sinxy+9(y,z),

對求導(dǎo)，得匕,與第二個方程比較，知

y=-xcosxy+^>y(j,z),

(Py(y,z)=0,于是(p(y.z)=%(z),從而V=-sinxy+i//(z).

再對z求導(dǎo)，得七=—(z),與第三個方程比較，知J(z)=-sinz,故—(z)=cosz+C.

所以v=cosz-sinxy+C.

(2)記P=2xcosy-y2sinx,。=2ycosx-x2sinj,/?=0.

則

.

iJ

8

rotA=IA一=Oz+0j+[(-2jsinx-2xsinj)-(-2xsinj-2jsinx)]A;=0

lax辦

p。

所以A為有勢場。下面用兩種方法求勢函數(shù)u:

1°公式法：y=-「尸(工,0,0)4%-]：。(占必0)6一j；R(占y,z)dz+C

=-￡2xrfx-J^(2jcosx-x2siny)dy-+C

=-x-ycosx-x-cosy+x+C=-ycosx-xcosy+C.

2°不定積分法：因勢函數(shù)v滿足A=-ga/y,即有

22

vx=—2xcosj+jsinx,vJT=—2jcosx+xsinj,^,=0,

將第一^方程對x積分，得u=-x2cosj-j2cosx+e(y,z),

對y求導(dǎo)，得u,=x2sinj-2jcosx+^>\(j,z),與第二個方程比較，知

(py(j,z)=0,于是0(y,z)=w(z),從而v=-x2cosJ-J2COS+“(z).

再對z求導(dǎo)，得l=娟(z),與第三個方程比較，知夕'(z)=0，故〃(z)=C.

所以v=-x2cosy—y2cosx+C.

2.下列矢■場A是否保守場