（新高考通用）2024年高考數(shù)學高頻考點題型 第22練 平面向量的概念及其線性運算（精練：基礎+重難點）解析版

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）第22練平面向量的概念及其線性運算（精練）【A組

在基礎中考查功底】一、單選題1．設是正方形ABCD的中心，則（

）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及向量的概念，即可得出答案.【詳解】

對于A項，，不共線，故A項錯誤；對于B項，顯然不平行，且三點不共線，故B項錯誤；對于C項，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知，，，的長度相等，故C項錯誤；對于D項，根據(jù)正方形的性質(zhì)，方向相同，方向相同.又，，，的長度相等，所以，，故D項正確.故選：D.2．設如圖，在平行四邊形中，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由相等向量的定義即可得，所以A錯誤；由向量的加減法則，結合三角形法則可知BC錯誤，D正確.【詳解】根據(jù)相等向量的概念可得，即A錯誤；由向量的三角形法則可得，即B錯誤；易知，所以可得，即C錯誤；由向量的減法法則可得，所以D正確；故選：D3．化簡以下各式:①；②；③；④，結果為零向量的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的加法運算即可求解.【詳解】對于①，,故①正確；對于②，,故②錯誤；對于③，，故③正確；對于④，,故④正確.故結果為零向量的個數(shù)是3.故選:C.4．如圖所示，、、分別是的邊、、的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的減法法則結合相等向量的定義可求得結果.【詳解】因為、、分別是的邊、、的中點，則且，所以，，，因此，.故選：D.5．在平行四邊形中，，則必有（

）A． B．或C．為矩形 D．為正方形【答案】C【分析】根據(jù)零向量的概念分析判斷A、B；根據(jù)向量線性運算可得，即平行四邊形的對角線相等，則可判斷選項C、D.【詳解】因為在中，顯然，則，故A、B錯誤；因為，則，即平行四邊形的對角線長相等，故為矩形，故C正確；因為沒有確定是否相等，故無法確定是否為正方形，故D錯誤.故選：C.

6．如圖，向量，，，則向量（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.【詳解】依題意，得，故選：C．7．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，且．若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義，化簡整理即可得出答案.【詳解】因為，所以有，整理可得.故選：A.8．已知D是的邊BC上的點，且，則向量（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法以及數(shù)乘的運算，可得答案.【詳解】由題意作圖如下：

由，則，.故選：C.9．如圖，在中，點在的延長線上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】用向量的線性運算把向量分解成形式即可得答案.【詳解】∵，∴，故選：B．10．在△OAB中，P為線段AB上的一點，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求解.【詳解】,所以，故選：A二、多選題11．下列關于向量的命題正確的是（

）A．對任一非零向量，是一個單位向量B．對任意向量，，恒成立C．若且，則D．在中，C為邊AB上一點，且，則【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的相關概念與線性運算逐項分析判斷.【詳解】對于A：由于是非零向量，則，可得是一個單位向量，故A正確；對于B：根據(jù)向量減法的運算法則可得：當，共線時，（，反向）或（，同向），故；當，不共線時，由三角形法則可得；綜上所述：，故B正確；對于C：根據(jù)向量相等的定義可得，故C正確；對于D：由題意可得，故D錯誤；故選：ABC.12．下列說法錯誤的為（

）A．共線的兩個單位向量相等B．若，，則C．若，則一定有直線D．若向量，共線，則點，，，不一定在同一直線上【答案】ABC【分析】根據(jù)共線向量、單位向量的相關概念與性質(zhì)判斷各項的正誤.【詳解】選項A：共線的兩個單位向量的方向可能相反，故A錯誤；選項B：，不一定有，故B錯誤；選項C：直線與可能重合，故C錯誤；選項D：若向量，共線，則與可能平行，此時A，B，C，D四點不共線，故D正確.故選：ABC.13．已知M為△ABC的重心，D為邊BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及向量的線性運算、基本定理一一判定即可.【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得，故A正確；由題意得M為線段AD的靠近D點的三等分點，所以，又，所以，故B正確；，故C正確；，，又，所以，故D錯誤.

故選：ABC14．下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若與共線，則或C．若為單位向量，則D．是與非零向量共線的單位向量【答案】AD【分析】根據(jù)向量相等與共線，逐一判斷即可.【詳解】依題意，對于A：若，則，故A正確；對于B：若與共線，則，故B錯誤；對于C：若為單位向量，則，方向不一定相同，故C錯誤；對于D：是與非零向量共線的單位向量，故D正確.故選：AD.15．（多選）平面上點P與不共線的三點A、B、C滿足關系：，則下列結論錯誤的是（）A．P在CA上，且B．P在AB上，且C．P在BC上，且D．P點為的重心【答案】BCD【分析】利用向量的線性運算化簡，即可得到結論.【詳解】由，則，即，得，則有，所以P在CA上，A選項正確，BCD選項錯誤.故選：BCD三、填空題16．給出以下5個條件：①；②；③與的方向相反；④或；⑤與都是單位向量．其中能使成立的是________(填序號)．【答案】①③④【分析】根據(jù)向量共線的定義即可結合選項求解.【詳解】相等向量一定是共線向量，①能使成立；方向相同或相反的向量一定是共線向量，③能使成立；或可知或為零向量，零向量與任一向量平行，④能使成立，以及與都是單位向量只能得到與的模長相等，無法確定兩個向量的方向，故得不到，故答案為：①③④17．已知，為非零不共線向量，向量與共線，則______.【答案】【分析】依題意，可以作為平面內(nèi)的一組基，則，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因為，為非零不共線向量,所以，可以作為平面內(nèi)的一組基底,又向量與共線，所以，即，所以，解得.故答案為：18．設，是兩個不共線的向量，關于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共線的有________．（填序號）【答案】①②③【分析】根據(jù)向量共線的條件對各選項逐一判斷即可.【詳解】①，共線；②，共線；③，共線；④和無法表示成，所以不共線.故答案為：①②③19．在中，，且，則________．【答案】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求解即可.【詳解】，，即，，．故答案為：.20．設，是兩個不共線的向量，若向量與的方向相反，則__________.【答案】【分析】根據(jù)向量共線定理可得存在實數(shù)使，從而得到關于，的方程組，進而可求出.【詳解】由題意可知與共線，所以存在實數(shù)使，因為，不共線，所以，解得或，因為向量與的方向相反，即.故答案為：.21．在中，是的重心，，則________．【答案】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)和向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，可得，因為是的重心，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可得，由向量的運算法則，可得.故答案為：22．已知與是兩個不共線的向量，，若三點共線，則實數(shù)_________．【答案】或【分析】根據(jù)向量共線運算求解.【詳解】因為與是兩個不共線的向量，若三點共線，則，即，可得，解得或.故答案為：或.23．如圖，在中，為線段上的一點，，且，則______.【答案】2【分析】根據(jù)圖形，利用平面向量的運算法則即可.【詳解】由題意，結合圖形，根據(jù)平面向量的運算法則，由，得，即，所以，.所以.故答案為：.四、解答題24．已知點，，及.(1)若點P在第一象限，求t的取值范圍；(2)四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由.【答案】(1)(2)不能，理由見解析【分析】（1）由平面向量的坐標運算，求出，利用點P在第一象限，列不等式求得的取值范圍；（2）利用四邊形是平行四邊形時，只需要，列方程求出的值，即可判斷四邊形能否為平行四邊形.【詳解】（1），由題意得，解得：，即的取值范圍為.（2）若四邊形是平行四邊形，只需要，即，由（1）知，，而，，方程組無解，故四邊形不能成為平行四邊形.25．已知向量，不共線，，，．(1)若，，求x，y的值；(2)若A，P，Q三點共線，求實數(shù)t的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的基本定理列方程組來求得的值.（2）根據(jù)三點共線列方程來求得的值.【詳解】（1）當時，，而，所以，解得.（2），，由于三點共線，所以，解得.26．如圖所示，在中，為邊上一點，且，過的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，兩點不重合）.(1)用，表示；(2)若，，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；（2）根據(jù)（1）的結論，轉(zhuǎn)化用，表示，根據(jù)、、三點共線找出等量關系，再利用基本不等式計算可得；【詳解】（1）因為，所以，化簡得；（2）因為，，，所以，由圖可知，又因為、、三點共線，所以，所以，當，即時，取最小值.【B組

在綜合中考查能力】一、單選題1．下列命題：①若，則；②若，，則；③的充要條件是且；④若，，則；⑤若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的概念可判斷①；利用相等向量的定義可判斷②；利用相等向量的定義以及充分條件、必要條件的定義可判斷③⑤；取可判斷④.【詳解】對于①，因為，但、的方向不確定，則、不一定相等，①錯；對于②，若，，則，②對；對于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯；對于④，取，則、不一定共線，④錯；對于⑤，若、、、是不共線的四點，當時，則且，此時，四邊形為平行四邊形，當四邊形為平行四邊形時，由相等向量的定義可知，所以，若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對.故選：A.2．在等腰梯形中，，分別為的中點，為的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的共線定理、平面向量的加法的幾何意義，結合已知和等腰梯形的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為在等腰梯形中，，分別為的中點，為的中點，所以可得：．故選：B.3．已知，為兩個單位向量，則下列四個命題中正確的是（

）A． B．如果與平行，那么與相等C． D．如果與平行，那么或【答案】D【分析】根據(jù)單位向量的定義及向量相等，再利用向量的摸公式及向量平行的定義即可求解.【詳解】對于A，因為，為兩個單位向量，當兩個向量方向不相同時，兩個向量不相等，所以，故A不正確；對于B，如果與平行，則兩個向量方向相同時，此時與相等，方向相反時，此時與不相等，故B不正確；對于C，，由于不知道向量與的夾角，所以無法求出的值；故C不正確；對于D，如果與平行，則兩個向量方向相同或相反，那么或，故D正確.故選：D.4．下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．C．與的方向相反 D．若，則存在唯一實數(shù)λ使得【答案】B【分析】由向量的定義，加減法則運算及共線條件進行判斷即可.【詳解】對于A：因為向量不能比較大小，所以A錯誤；對于B：根據(jù)向量的加法、減法運算法則，.故B正確；對于C：與的方向相同，故C錯誤；對于D：根據(jù)向量平行的判定定理，若且時，則存在唯一實數(shù)λ使得.故D錯誤.故選：B.5．已知，若A、、三點共線，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得t的值，再去求的值【詳解】由，若A、、三點共線，可得，則則，，，則故選：A6．已知點在的內(nèi)部，分別為邊的中點，且，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用向量的加減法的幾何表示運算即可.【詳解】由題意得，所以．故選：B.7．在中，，，且CE與AD交于點P，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，，利用、分別表示出，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得、，再代入計算可得.【詳解】依題意、、三點共線，故，所以，、、三點共線，故，則，所以，解得，所以，又，所以，所以.故選：B.8．已知點是的邊上靠近點的三等分點，點是線段上一點（不包括端點），若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可推得，進而根據(jù)“1”的代換，結合基本不等式，即可得出答案.【詳解】

由題意得：，.因為，，三點共線，所以，所以，，當且僅當，即，時取等號.故選：D.9．設D、E、F分別是的三邊BC、CA、AB上的點，且，，，則（

）A．與反向平行 B．與同向平行C．與反向平行 D．與不共線【答案】A【分析】將、、用和表示，再根據(jù)平面向量的線性運算以及平行的概念判斷可得答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，，，，所以，所以與反向平行，故A正確，B錯誤；，所以與同向平行，故CD錯誤.故選：A10．已知所在的平面上的動點滿足，則直線一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【分析】由題意可得，平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，從而即可得答案.【詳解】解：因為，根據(jù)平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，而向量與共線，點的軌跡過的內(nèi)心.故選：．二、多選題11．下列關于向量的敘述正確的是（

）A．向量的相反向量是B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點在同一條直線上，且，則D．若向量與滿足關系，則與共線【答案】ABD【分析】由相反向量、單位向量、共線向量的定義以及性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：A向量的相反向量是，正確：B.模為1的向量是單位向量，其方向是任意的，正確：C.若A，B，C，D四點在同一條直線上，且，則，不正確，因為與可能方向相反；D.若向量與滿足關系，∴，則與共線，正確.故選：ABD12．下列有關四邊形ABCD的形狀判斷正確的是（

）A．若，則四邊形ABCD為平行四邊形B．若，則四邊形ABCD為梯形C．若，且，則四邊形ABCD為菱形D．若，且，則四邊形ABCD為正方形【答案】ABC【分析】由向量平行與相等的關系確定四邊形的邊的關系得結論．【詳解】，則且，四邊形ABCD是平行四邊形，A正確；，則且，四邊形ABCD是梯形，B正確；若，四邊形ABCD是平行四邊形，又，即，則四邊形ABCD為菱形，C正確；若，四邊形ABCD是平行四邊形，，即，則四邊形ABCD為菱形，D錯誤．故選：ABC．13．如圖，在邊為的正方形中，則（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)可判斷AB選項；利用平面向量的加法、減法法則以及向量的模長可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】因為正方形的邊長為，對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，所以，，C對；對于D選項，，所以，，D錯.故選：BC.14．著名數(shù)學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心的距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC的中點，且，則下列結論正確的有（

）A．O為線段GH的中點 B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由條件結合平面向量的數(shù)量積運算以及線性運算，對選項逐一判斷即可得到結果.【詳解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，有，故A選項錯誤；由G是三角形ABC的重心可得，所以，故B項正確；過三角形ABC的外心O分別作AB，AC的垂線，垂足為D，E，如圖，易知D，E分別是AB，AC的中點，則，故C項錯誤；

因為G是三角形ABC的重心，所以有，故，即，又，有，故D項正確.故選：BD.三、填空題15．下列關于向量的命題，序號正確的是_____.①零向量平行于任意向量；②對于非零向量，若，則；③對于非零向量，若，則；④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.【答案】①③【分析】根據(jù)平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據(jù)相等向量和相反向量的定義可判斷③.【詳解】因為零向量與任一向量平行，所以①正確；對于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故不一定等于，故②錯誤；對于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；對于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.故選：①③16．已知向量、不共線，且，若與共線，則實數(shù)的值為___________【答案】或【分析】利用向量共線的充要條件以及一元二次方程求解.【詳解】已知向量、不共線，，所以，若與共線，則存在實數(shù)，使，即，所以，即，解得或.故答案為：或.17．已知，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，若A，B，C三點共線，則________．【答案】【分析】利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義求出的坐標，把A，B，C三點共線轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)向量相等可得答案.【詳解】由題意可得，∵A，B，C三點共線，∴，∴，故有，解得，或，故答案為：．18．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若，則_____【答案】【分析】由可得，即可得答案.【詳解】.則三點共線，且在BA的反向延長線上，如下圖所示，則.故答案為：19．點是線段上的任意一點（不包括端點），對任意點都有，則的最小值為______.【答案】9【分析】由點是線段上一點及向量共線的推論得，由基本不等式“1”的妙用求最值即可.【詳解】因為點是線段上的任意一點（不包括端點），所以，,所以，又，所以，且，所以，當且僅當時等號成立.故答案為：920．設M為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意結合三點共線的結論確定點的位置，進而分析運算即可.【詳解】在取點，使得，則，可知：點為的中點，可得，即，所以與的面積之比為.故答案為：.21．在中，，，AD，BC的交點為M，過M作動直線l分別交線段OA，OB于E，F(xiàn)兩點，若，（，），則的最小值為_______________．【答案】【分析】以為基底，求出的表達式，再利用基本不等式求解.【詳解】如圖：由A，M，D三點共線，可得存在實數(shù)t，使得，由B，M，C三點共線，可得存在實數(shù)m，使得，所以，解得，所以，因為E，M，F(xiàn)三點共線，所以存在實數(shù)x，使得，所以，解得，所以，當且僅當，時，取等號；故答案為：【C組

在創(chuàng)新中考查思維】一、單選題1．在中，角所對的邊分別為，點分別為所在平面內(nèi)一點，且有，，，，則點分別為的（

）A．垂心，重心，外心，內(nèi)心 B．垂心，重心，內(nèi)心，外心C．外心，重心，垂心，內(nèi)心 D．外心，垂心，重心，內(nèi)心【答案】A【分析】根據(jù)三角形垂心，重心，外心，內(nèi)心的定義和性質(zhì)結合平面向量的線性運算和共線定理，分別推導即可.【詳解】由，得，即，則，所以，則，同理可得，，即是三邊上高的交點，則為的垂心；由，得，設的中點為，則，即，，三點共線，所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，即是三邊中線的交點，故為的重心；由，得，即，又是的中點，所以在的垂直平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是三邊垂直平分線的交點，故是的外心；延長交于點，因為，，三點共線，則設（），且，，代入，得，即①，又因為與共線，與、不共線，則只能當且時，①成立，即，則,由正弦定理得：，又，則，即，又，所以，則是的角平分線，即點在的角平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是內(nèi)角平分線的交點，故是的內(nèi)心；故選：A.2．為所在平面上動點，點滿足,,則射線過的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】將變形為，因為和的模長都是1，根據(jù)平行四邊形法則可得，過三角形的內(nèi)心.【詳解】因為和分別是和的單位向量所以是以和為鄰邊的平行四邊形的角平分線對應的向量所以的方向與的角平分線重合即射線過的內(nèi)心故選B【點睛】本題主要考查平面向量的平行四邊形法則、單位向量的性質(zhì)以及三角形四心的性質(zhì)，屬于中檔題.3．中，D為BC中點，，AD交BE于P點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)D為BC中點，得到，因為三點共線，推導出