高校工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)教學(xué)課件

高校工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)教學(xué)課件BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目錄CONTENTS課程介紹與背景復(fù)變函數(shù)基本概念與性質(zhì)解析函數(shù)與初等函數(shù)積分與路徑無(wú)關(guān)性定理級(jí)數(shù)與留數(shù)定理保形映射與共形映射總結(jié)回顧與拓展延伸BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01課程介紹與背景03拓展學(xué)生的視野，了解復(fù)變函數(shù)在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的工程意識(shí)和實(shí)踐能力。01培養(yǎng)學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和方法，理解復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。02提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和抽象思維能力，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)課程的目的和意義電氣工程在電路分析、電磁場(chǎng)理論等方面，復(fù)變函數(shù)提供了有效的數(shù)學(xué)工具。機(jī)械工程在振動(dòng)分析、流體力學(xué)等領(lǐng)域，復(fù)變函數(shù)可用于解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。計(jì)算機(jī)科學(xué)在圖像處理、信號(hào)處理等方面，復(fù)變函數(shù)具有重要的應(yīng)用價(jià)值。工程數(shù)學(xué)中的復(fù)變函數(shù)應(yīng)用0102復(fù)變函數(shù)的基本概念與性質(zhì)包括復(fù)數(shù)、復(fù)平面、復(fù)變函數(shù)、極限與連續(xù)等概念。解析函數(shù)與初等函數(shù)包括解析函數(shù)的性質(zhì)、初等函數(shù)的解析性及其性質(zhì)等。復(fù)變函數(shù)的積分包括復(fù)積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，柯西積分公式與解析函數(shù)的邊值問(wèn)題等。級(jí)數(shù)與留數(shù)包括復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)，留數(shù)定理及其應(yīng)用等。保形映射與共形映射包括保形映射的概念、性質(zhì)與應(yīng)用，共形映射的概念、性質(zhì)與應(yīng)用等。030405課程內(nèi)容與結(jié)構(gòu)安排BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02復(fù)變函數(shù)基本概念與性質(zhì)形如$z=a+bi$（其中$a,b$為實(shí)數(shù)，$i$為虛數(shù)單位）的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)定義復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法，運(yùn)算規(guī)則與實(shí)數(shù)類(lèi)似，但需注意虛數(shù)單位的特殊性。030201復(fù)數(shù)及其運(yùn)算規(guī)則回顧復(fù)平面以實(shí)軸和虛軸為坐標(biāo)軸組成的平面稱(chēng)為復(fù)平面，復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)。極坐標(biāo)表示法復(fù)數(shù)$z=a+bi$可用極坐標(biāo)表示為$z=r(costheta+isintheta)$，其中$r=|z|=sqrt{a^2+b^2}$，$theta=argz$為$z$的輻角。復(fù)平面與極坐標(biāo)表示法復(fù)變函數(shù)定義設(shè)$D$是復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，若對(duì)$D$內(nèi)的每一個(gè)復(fù)數(shù)$z$，都有唯一確定的復(fù)數(shù)$w$與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)$w$是$z$的函數(shù)，記作$w=f(z)$。復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)包括連續(xù)性、可微性、解析性等。其中解析性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)處處可微，且滿(mǎn)足柯西-黎曼方程。復(fù)變函數(shù)的定義及性質(zhì)BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03解析函數(shù)與初等函數(shù)解析函數(shù)的零點(diǎn)孤立，且無(wú)窮遠(yuǎn)處也為孤立奇點(diǎn)。性質(zhì)定義：若函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)的每一點(diǎn)都可微，則稱(chēng)$f(z)$在$D$內(nèi)解析。解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿(mǎn)足柯西-黎曼方程。解析函數(shù)在其定義域內(nèi)無(wú)窮次可微。解析函數(shù)的定義及性質(zhì)0103020405多項(xiàng)式函數(shù)在其定義域內(nèi)是解析的。多項(xiàng)式函數(shù)三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)也是解析的。三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在除去使其無(wú)定義的點(diǎn)外是解析的。對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)初等函數(shù)的解析性討論冪函數(shù)圖像根據(jù)指數(shù)的不同而有所變化，具有不同的單調(diào)性和凹凸性。對(duì)數(shù)函數(shù)圖像為單調(diào)增的曲線，具有對(duì)數(shù)變換的性質(zhì)。指數(shù)函數(shù)圖像為單調(diào)增或減的曲線，具有無(wú)記憶性、可微性等性質(zhì)。多項(xiàng)式函數(shù)圖像為平面曲線，性質(zhì)由多項(xiàng)式的次數(shù)和系數(shù)決定。三角函數(shù)圖像為周期函數(shù)，具有周期性、奇偶性等性質(zhì)。典型初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04積分與路徑無(wú)關(guān)性定理復(fù)變函數(shù)的積分定義通過(guò)類(lèi)比實(shí)變函數(shù)的積分，引入復(fù)變函數(shù)在某一曲線上的積分概念。積分存在條件分析復(fù)變函數(shù)在某一曲線上可積的條件，如函數(shù)在該曲線上的連續(xù)性等。積分性質(zhì)探討復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)，如線性性、可加性等。復(fù)變函數(shù)的積分概念引入柯西積分公式及其推論柯西積分公式介紹柯西積分公式的基本形式，該公式建立了復(fù)平面上某一閉曲線上的積分與函數(shù)在該閉曲線內(nèi)部點(diǎn)的值之間的關(guān)系。推論及應(yīng)用通過(guò)柯西積分公式，推導(dǎo)出一系列重要的推論和結(jié)論，如解析函數(shù)的平均值定理、莫雷拉定理等，并給出相應(yīng)的應(yīng)用舉例。闡述路徑無(wú)關(guān)性定理的內(nèi)容，即如果函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析，則該函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)間的積分與路徑無(wú)關(guān)。路徑無(wú)關(guān)性定理通過(guò)具體實(shí)例，展示路徑無(wú)關(guān)性定理在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用，如計(jì)算復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)、證明某些復(fù)變函數(shù)的恒等式等。應(yīng)用舉例路徑無(wú)關(guān)性定理及應(yīng)用舉例BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05級(jí)數(shù)與留數(shù)定理絕對(duì)收斂與條件收斂闡述復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及它們之間的關(guān)系。收斂性判別法介紹復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別法，如比較判別法、比值判別法、根值判別法等，并通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明。復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)介紹復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，包括級(jí)數(shù)的部分和、收斂與發(fā)散等性質(zhì)。復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性判別法冪級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與收斂域確定闡述冪級(jí)數(shù)的定義、性質(zhì)以及收斂半徑和收斂域的概念。常見(jiàn)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)介紹常見(jiàn)函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等）的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并給出相應(yīng)的推導(dǎo)過(guò)程。探討冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分等性質(zhì)，并通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明。冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)留數(shù)定理及其在計(jì)算中的應(yīng)用介紹留數(shù)的定義及計(jì)算方法，包括可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算。留數(shù)定理及其應(yīng)用闡述留數(shù)定理的內(nèi)容，并探討其在計(jì)算實(shí)積分、求解微分方程等方面的應(yīng)用。通過(guò)實(shí)例詳細(xì)展示留數(shù)定理在計(jì)算中的具體步驟和技巧。輻角原理與Rouche定理介紹輻角原理與Rouche定理的內(nèi)容，并探討它們?cè)谧C明不等式、確定方程根的范圍等方面的應(yīng)用。通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明。留數(shù)的概念與計(jì)算BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06保形映射與共形映射保形映射的定義及性質(zhì)保形映射是一種在復(fù)平面上保持角度和定向的映射，即局部上可以通過(guò)解析函數(shù)實(shí)現(xiàn)的映射。定義保形映射具有保角性、保向性和共形不變性。其中，保角性指映射前后兩曲線的夾角保持不變；保向性指映射前后兩曲線的定向關(guān)系保持不變；共形不變性指映射前后兩區(qū)域的形狀相似。性質(zhì)VS共形映射是一種在復(fù)平面上保持角度的映射，即局部上可以通過(guò)解析函數(shù)實(shí)現(xiàn)的映射，且該解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不為零。分類(lèi)共形映射可分為線性共形映射和非線性共形映射。線性共形映射包括平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換等；非線性共形映射則包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。概念共形映射的概念及分類(lèi)冪函數(shù)冪函數(shù)是一種典型的非線性共形映射，其形式為$w=z^n$。冪函數(shù)在復(fù)平面上將原點(diǎn)映為自身，其他點(diǎn)則根據(jù)冪次$n$的不同而呈現(xiàn)出不同的映射特性。例如，當(dāng)$n=2$時(shí)，冪函數(shù)將復(fù)平面上的單位圓映為實(shí)軸上的區(qū)間$[-1,1]$；當(dāng)$n=3$時(shí)，冪函數(shù)將復(fù)平面上的單位圓映為一個(gè)三葉玫瑰線。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)是另一種典型的非線性共形映射，其形式為$w=e^z$。指數(shù)函數(shù)在復(fù)平面上將實(shí)軸映為射線$argw=0$，將虛軸映為單位圓$|w|=1$。此外，指數(shù)函數(shù)還具有周期性，周期為$2pii$。對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，其形式為$w=logz$。對(duì)數(shù)函數(shù)在復(fù)平面上將射線$argz=theta$映為直線$Imw=theta$，將圓環(huán)$|z|=r$映為平行于實(shí)軸的直線段$Rew=logr$。對(duì)數(shù)函數(shù)還具有多值性，即對(duì)于同一個(gè)$z$值，其對(duì)數(shù)值可以有多個(gè)不同的取值。典型共形映射舉例與分析BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA07總結(jié)回顧與拓展延伸復(fù)變函數(shù)的定義與性質(zhì)包括復(fù)變函數(shù)的定義、極限、連續(xù)、可導(dǎo)等概念，以及柯西-黎曼條件等重要性質(zhì)。復(fù)變函數(shù)的積分包括復(fù)變函數(shù)的線積分、柯西積分公式與柯西積分定理等內(nèi)容，以及其在解析函數(shù)中的應(yīng)用。復(fù)數(shù)的表示與運(yùn)算包括復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式和指數(shù)形式，以及相應(yīng)的運(yùn)算法則和性質(zhì)。課程重點(diǎn)內(nèi)容總結(jié)回顧電氣工程在電路分析中，利用復(fù)變函數(shù)可以方便地處理正弦交流電路的問(wèn)題，如阻抗、導(dǎo)納、功率因數(shù)等計(jì)算。機(jī)械工程在振動(dòng)分析中，復(fù)變函數(shù)可用于描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)、阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)等，進(jìn)而求解系統(tǒng)的固有頻率和響應(yīng)等問(wèn)題。航空航天工程在飛行器設(shè)計(jì)中，復(fù)變函數(shù)可用于分析機(jī)翼升力、阻力等氣動(dòng)性能，以及飛行器的穩(wěn)定性和操縱性等。工程數(shù)學(xué)中復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用案例分享相關(guān)領(lǐng)域前沿動(dòng)態(tài)介紹隨著人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展，復(fù)變函數(shù)在