整式乘法公式

第五課時(shí)完全平方公式和平方差公式一：公式及其變形1、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b22、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b23、立方和公式和立方差公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b34、歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：①位置變化，xyyxx2y2②符號(hào)變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦連用公式變化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式變化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz二、公式的靈活運(yùn)用的經(jīng)典例題例1．已知，，求的值。例2．已知，，求的值。例3：計(jì)算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例6：判斷（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的個(gè)位數(shù)字是幾？例7．運(yùn)用公式簡便計(jì)算（1）1032（2）1982例8．計(jì)算（1）a4b3ca4b3c（2）3xy23xy2例9．解下列各式（1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。（3）已知aa1a2b2，求的值。（4）已知，求的值。例10．四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？例11．計(jì)算（1）x2x12（2）3mnp2三、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。例1.計(jì)算：(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例2.計(jì)算：例3.計(jì)算：（三）、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。例4.計(jì)算：（四）、變用:題目變形后運(yùn)用公式解題。例5.計(jì)算：（五）、活用:把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例6.已知，求的值。例7.計(jì)算：例8.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足，那么（）四、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”．例1計(jì)算(-2x2-5)(2x2-5)例2計(jì)算(-a2+4b)2（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計(jì)算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．例4計(jì)算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2例5計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．（三）、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每兩項(xiàng)乘積的2倍．例6計(jì)算(2x+y-3)2（四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例7(1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．例8計(jì)算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．（五）、注意乘法公式的逆運(yùn)用例9計(jì)算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．例10計(jì)算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2五、怎樣熟練運(yùn)用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式．（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式．如計(jì)算（x+2y－3z）2，若視x+2y為公式中的a，3z為b，則就可用（a－b）2=a2－2ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)．常見的幾種變化是：1、位置變化如（3x+5y）（5y－3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了．2、符號(hào)變化如（－2m－7n）（2m－7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化如后就能夠用乘法公式加以解答了．4、系數(shù)變化如（4m+）（2m－）變?yōu)?（2m+）（2m－）后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了．5、項(xiàng)數(shù)變化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）變?yōu)椋▁+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了．（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡便．如計(jì)算（a2+1）2·（a2－1）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．對數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用．如計(jì)算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題．即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…××=×=．有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．面對這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．下列各題，難不倒你吧？！若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值．2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字．五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．第一層次──正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡單的套用．例1計(jì)算(2)(－2x－y)(2x－y)．第二層次──逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用．例2計(jì)算(1)19982－1998·3994＋19972；第三層次──活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式．例3化簡：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．例4計(jì)算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)第四層次──變用：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，則求解十分簡單、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．第五層次──綜合后用：將(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2綜合，可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷．例6計(jì)算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．六、正確認(rèn)識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式：對于學(xué)習(xí)的兩種（三個(gè)）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法公式。如圖1，兩個(gè)矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為(a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2，通過面積的計(jì)算方法，即可得到兩個(gè)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：①提出負(fù)號(hào)：對于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）114x113;（2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)計(jì)算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2;（2）(a-1/2)2)(2+1/4)2(a+1/2)2計(jì)算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，運(yùn)算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運(yùn)算就顯得簡便易行。A.先分組，再用公式例1.計(jì)算：B.先提公因式，再用公式例2.計(jì)算：C.先分項(xiàng)，再用公式例3.計(jì)算：D.先整體展開，再用公式例4.計(jì)算：E.先補(bǔ)項(xiàng)，再用公式例5.計(jì)算：F.先用公式，再展開例6.計(jì)算：G.乘法公式交替用例7.計(jì)算：八、中考與乘法公式1.結(jié)論開放例1.（02年濟(jì)南中考）請你觀察圖1中的圖形，依據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個(gè)你非常熟悉的公式，這個(gè)公式是______________。例2.（03年陜西中考）如圖2，在長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（），把余下的部分剪成一個(gè)矩形，如圖3，通過計(jì)算兩個(gè)圖形的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是______________。2.條件開放例3.（03年四川中考）多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方，則加上的單項(xiàng)式可以是____________（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)即可，不必考慮所有的可能情況）。3.找規(guī)律例4.（01年武漢中考）觀察下列各式：由猜想到的規(guī)律可得____________。4.推導(dǎo)新公式例5.在公式中，當(dāng)a分別取1，2，3，……，n時(shí)，可得下列n個(gè)等式將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加，可推導(dǎo)出求和公式：__________（用含n的代數(shù)式表示）例6.（04年臨汾中考）閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些等式也可以用這種形式表示，例如：就可以用圖4或圖5等圖表示。（1）請寫出圖6中所表示的代數(shù)恒等式____________；（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示：（3）請仿照上述方法另寫一個(gè)含有a，b的代數(shù)恒等式，并畫出與之對應(yīng)的幾何圖形。對應(yīng)訓(xùn)練一：平方差公式：語言敘述：兩數(shù)的。(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b，(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b.(-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的（a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b，（a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b（a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b一、判斷題1．．（）2．．（）3．．（

）4．．（

）5．．（

）6．．（

）7．．（

）填空題：(1)a2-4ab+()＝(a-2b)22．．3．．4．．5．．6．．7．．8．．9．．10．，則11．．12、(2x-1)()=4x2-113、(-4x+)(-4x)=16x2-49y214、 15、16、 17、18、 19、20、直接運(yùn)用公式1.（a+3）(a-3)2..(2a+3b)(2a-3b)3.(1+2c)(1-2c)4.(-x+2)(-x-2)5.(2x+)(2x-)6.(a+2b)(a-2b)7.(2a+5b)(2a-5b)8.(-2a-3b)(-2a+3b)9、1998×200210、498×50211、999×100112、1.01×0.9913、30.8×29.214、（100-）×（99-）15、（20-）×（19-）完全平方公式(1)：(2)語言敘述：兩數(shù)的。1.填空題(1)a2-4ab+()＝(a-2b)2(2)(a+b)2-()＝(a-b)22.選擇題(1)下列等式能成立的是().A.(a-b)2＝a2-ab+b2B.(a+3b)2＝a2+9b2C.(a+b)2＝a2+2ab+b2D.(x+9)(x-9)＝x2-9(2)(a+3b)2-(3a+b)2計(jì)算的結(jié)果是()A.8(a-b)2B.8(a+b)2C.8b2-8a2D.8a2-8b2一、計(jì)算：1、=2、=3、=4、=5、=6、=7、=（8）1022=（9）1972=（10）=（11）=（12）=（13）=（14）=（15）=（16）=（17）=（18）=（19）=（20）=（21）=（22）=（23）（24）（25）（26）（27）（28）（29）(30)(31)（32）=（33）()()=（34）=(35)(a+b+c+d)2=(36) (37) （38) (39) (40) (41)4、先化簡，再求值.（1）(x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x2-2)2，其中x=-.（2）、（3）、5、立方差公式(1) (2) (3) (4) (5) (6)6、計(jì)算 7、 8、化簡9、計(jì)算 10、設(shè)的值 11、已知 12、已知 13、 14、已知 15、已知 16、已知 17、已知對應(yīng)訓(xùn)練二：1．（a＋2b）2＝a2＋_______＋4b2．2．（3a－5）2＝9a2＋25－_______．3．（2x－______）2＝____－4xy＋y2．4．（3m2＋_______）2＝_______＋12m2n＋________．5．x2－xy＋________＝（x－______）2．6．49a2－________＋81b2＝（________＋9b）2．7．（－2m－3n）2＝_________．8．（s＋t2）2＝_________．9．4a2＋4a＋3＝（2a＋1）2＋_______．10．（a－b）2＝（a＋b）2－________．11．a(chǎn)2＋b2＝（a＋b）2－______＝（a－b）2－__________．12．（a－b＋c）2＝________________________．13．（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）＝[（a－d）－（_____）][（a－d）＋（_____）]＝（）2－（）2．14．（a2－1）2－（a2＋1）2＝[（a2－1）＋（a2＋1）][（a2－1）－（______）]＝__________．15．代數(shù)式xy－x2－y2等于（A）（x－y）2（B）（－x－y）2（C）（y－x）2（D）－（x－y）216．已知x2（x2－16）＋a＝（x2－8）2，則a的值是…………（）（A）8