高考數(shù)學(xué)分類匯編（高考真題+模擬新題）概率文

K單元概率

K1隨事件的概率

13.［2014?新課標(biāo)全國(guó)卷H］甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色

的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為一

13.1［解析］甲有3種選法，乙也有3種選法，所以他們共有9種不同的選法.若他

31

們選擇同一種顏色，則有3種選法，所以其對(duì)應(yīng)的概率-

13.［2014?全國(guó)新課標(biāo)卷I］將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語(yǔ)文書在書架上隨機(jī)排成一

行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為一.

2

13.-［解析］2本數(shù)學(xué)書記為數(shù)1,數(shù)2,3本書共有（數(shù)1數(shù)2語(yǔ)），（數(shù)1語(yǔ)數(shù)2）,（數(shù)

2數(shù)1語(yǔ)），（數(shù)2語(yǔ)數(shù)1）,（語(yǔ)數(shù)1數(shù)2）,（語(yǔ)數(shù)2數(shù)D6種不同的排法，其中2本數(shù)學(xué)書

49

相鄰的排法有4種，對(duì)應(yīng)的概率為/^-=-

63

14.［2014?浙江卷］在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張，另1張無獎(jiǎng).甲、乙兩人各

抽取1張，兩人都中獎(jiǎng)的概率是.

14.1［解析］基本事件的總數(shù)為3X2=6,甲、乙兩人各抽取一張獎(jiǎng)券，兩人都中獎(jiǎng)

21

只有2種情況，所以兩人都中獎(jiǎng)的概率

oo

19.［2014?陜西卷］某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本

車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

賠付金額（元）01000200030004000

車輛數(shù)（輛）500130100150120

（1）若每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；

（2）在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主

是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.

19.解：（1）設(shè)/表示事件“賠付金額為3000元”，8表示事件“賠付金額為40設(shè)元”，

以頻率估計(jì)概率得

*'）=1000="15,0（吩=1000=6\2.

由于投保金額為2800元，所以賠付金額大于投保金額的概率為

P［A}+P{B）=0.15+0.12=0.27.

（2）設(shè)。表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，得樣本車輛中車主為新

司機(jī)的有0.IX1000=100（輛），而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2X120

24

=24（輛），所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為麗=0.24.由頻率估計(jì)

概率得P（O=0.24.

16.、［2014?四川卷］一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡

片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)

字依次記為a,b,c.

（1）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+6=c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.

16.解：(1)由題意，(a,b,c)所有的可能為:

(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),

(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,

2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,

1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.

設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+6=?！睘槭录?

則事件4包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種,

31

所以P(4)=歷=§.

因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+8=c”的概率為去

(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件無

則事件8包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.

38

所以/(面=1一?⑻=1一藥=§.

O

因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為不

y

K2古典概型

20.,[2014?福建卷]根據(jù)世行2013年新標(biāo)準(zhǔn),人均GDP低于1035美元為低收入國(guó)家;

人均GDP為1035?4085美元為中等偏下收入國(guó)家；人均GDP為4085~12616美元為中等偏

上收入國(guó)家；人均GDP不低于12616美元為高收入國(guó)家.某城市有5個(gè)行政區(qū)，各區(qū)人口

占該城市人口比例及人均GDP如下表：

行政區(qū)區(qū)人口占城市人口比例區(qū)人均GDP(單位：美元)

A25%8000

B30%4000

C15%6000

D10%3000

E20%10000

(1)罰斷該城市人均GDP是否達(dá)到中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)；

(2)現(xiàn)從該城市5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等

偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的概率.

20.解：(1)設(shè)該城市人口總數(shù)為a,則該城市人均GDP為

8000X0.25a+4000X0.30a+6000X0.15a+3000X0.10a+10000X0.20a

a

6400(美元).

因?yàn)?400e[4085,12616),

所以該城市人均GDP達(dá)到了中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn).

(2)“從5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)”的所有的基本事件是：

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,

E),共10個(gè).

設(shè)事件"為“抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)”，

則事件"包含的基本事件是：{A,C},{A,E},{C,E},共3個(gè).

3

所以所求概率為P=-.

12.［2014?廣東卷］從字母&b,c,d,e中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母d的概

率為.

2

12-［解析］所有事件有(a,0)，(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,

5

e),(c,d),(c,e),(d,e),共10個(gè)，其中含有字母d的基本事件有(a,Z?),(a,c),

49

(a,",(a,e),共4個(gè)，所以所求事件的概率是公h=三

1U0

5.［2014?湖北卷］隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率

記為0”點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為q，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為"，則()

A.p\<pz<p^B.pz<p\<ps

C.p\(p、<piD.ps<p\<pi

5.C［解析］擲出兩枚骰子，它們句上冰J點(diǎn)數(shù)的所有可能情況如下表

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

1026［8

則"=花，"產(chǎn)礪，證.故0.故選C.

必=00

17.、［2014?湖南卷］某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨

機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：

(a,6),(a,6),(a,6),(a,b),(a,/J),(a,6),(a,6),(a,6),(a,6),(a,

6),(a,6),(a,t>),(a,6),(a,6),(a,A).

其中a,a分別表示甲組研發(fā)成功和失?。籦,方分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.

(1)若某組成功研發(fā)-?種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分.試計(jì)算甲、乙兩組研

發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平.

(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率.

17.解：(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?/p>

1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,

102

其平均數(shù)為x"，="j7=W，

方差為金熊一以0+(()-1)黑|

乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?/p>

1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,

93

其平均數(shù)為才乙==='，

155

方差為5々=部一部9+(0—

因?yàn)榫?lt;s%所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組.

(2)記￡=｛恰有一組研發(fā)成功｝.

在所抽得的15個(gè)結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a,b),(a,6),(a,6),(a,

t>),(a,t>),(a,6),(a,6),

7

共7個(gè)，故事件￡發(fā)生的頻率為三.

10

7

將頻率視為概率，即得所求概率為〃(②=左.

15

4.［2014?江蘇卷］從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的

乘積為6的概率是________.

4.1［解析］基本事件有(1,2),(1,3)(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情

況，乘積為6的是(1,6)和(2,3),則所求事件的概率為：.

O

3.［2014?江西卷］擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于()

11八11

A.五B.-C.-D.-

3.B［解析］擲兩顆均勻的骰子，一共有36種情況，點(diǎn)數(shù)之和為5的有(1,4),(2,

41

3),(3,2),(4,1),共4種，所以點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為宗=含

369

21.、、［2014?江西卷］將連續(xù)正整數(shù)1,2,…，〃(〃eN*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123…

n，血血為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如〃=12時(shí),此數(shù)為123456789101112,共有15個(gè)數(shù)字，尸。2)=

15),現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字,p?為恰好取到0的概率.

⑴求p(100)；

(2)當(dāng)〃W2014時(shí)，求尸(〃)的表達(dá)式；

(3)令g(〃)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，f(〃)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，h5)=f5)一

g(fi),S={n\h(n)=1,后100,〃eN*},求當(dāng)時(shí)p?的最大值.

21.解：(1)當(dāng)〃=100時(shí)，這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11,所

以恰好取到0的概率為0(100)=5.

，n,1W啟9,

2n-9,10W〃W99,

⑵/?=4

3/7-108,100^/2^999,

.4/7-1107,1000^/7^2014.

(3)當(dāng)〃=6(1<Z?W9,Z?GN*),g(n)=0；

當(dāng)〃=1O*+8(1W辰9,0W2>W9,AdN*,6eN)時(shí)，g(ii)=k；

當(dāng)〃=100時(shí)，g(〃)=ll,即g(〃)=

0,1W〃W9,

<k,n=\Qk+b,1WAW9,0W6W9,AeN,,6eN,

.11,〃=100.

同理有『(〃)=

’0,后8,

k,n=\Qk+b-\0W8W9,AeN*,Z?eN,

<f

/7—80,89W〃W98,

、20,/7=99,100.

由力(〃)=f(〃)一g(〃)=l,可知〃=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,

所以當(dāng)〃W100時(shí)，S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90).

當(dāng)〃=9時(shí),69)=0.

、,，7,、g(90)91

1/?=90時(shí)'°(90)=/?(90)=171=19'

cr(4)kkk

當(dāng)〃=1OA+9(1W辰8,MN)時(shí)，P(揄=尸(Q=2〃-9=204+9'由-20〃+9關(guān)十

在單調(diào)遞增，故當(dāng)〃=10A+9(lW辰8,%6N*)時(shí)，0(〃)的最大值為p(89)=總.

ioy

又高4，所以當(dāng)S時(shí)，夕(〃)的最大值為七

ioyiyiy

18.、［2014?遼寧卷］某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)

行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

喜歡甜品不喜歡甜品合計(jì)

南方學(xué)生602080

北方學(xué)生101020

合計(jì)7030100

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食

習(xí)慣方面有差異”；

(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5

名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率.

ZX2

++〃+14+2

p(X;及0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.解：(1)將2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得

,"(如儂一〃123)2100X(60X10-20X10)2100

x2=----------------=-------------------------=----4762

歷+e+〃+皿+270X30X80X2021

由于4.762>3,841,所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)

慣方面有差異”.

(2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間。={(a”如

力),(ai,1a2,&),(囪,a-i,&),(a,bi,bi),(a”A,&),(a,bi,A),(a2,b\,b),

(我,b\,bi),(檢，th,bi),(6,bi,bi)},

其中a,表示喜歡甜品的學(xué)生，/=1,2,歷表示不喜歡甜品的學(xué)生，j=l,2,3.

◎由10個(gè)基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

用/表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則力={(功，及，㈤，(&,b\,&),

(ai,bi,&),(a2,b\,&),(az,bi,th),(a”bi,左)，(力，b>,&)}.

7

事件{由7個(gè)基本事件組成，因而以⑷.

16.,［2014?山東卷］海關(guān)對(duì)同時(shí)從4B,。三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢

測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些

商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).

地區(qū)ABC

數(shù)量50150100

(1)求這6件樣品中來自4B,C各地區(qū)商品的數(shù)量；

(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相

同地區(qū)的概率.

16.解：(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是

所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是：50X±=l,150義二

1

=3,1。。義而=2.

所以4B,，三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.

(2)設(shè)6件來自4,B,C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為：4區(qū)，民，為G,C.則抽取的這2

件商品構(gòu)成的所有基本事件為：

{A,用，{A,因，{4&},{A,G},{A,C},{兒閱，{幾&},{&,G］,{兒

C},{&,閡以，G},{區(qū)，G},{'G},{&,G},{G,G},共15個(gè).

每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

記事件〃為“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，

則事件〃包含的基本事件有偽，閱，①，閡，{良，氏},修，幻，共4個(gè).

44

所以P0=—,即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為三.

1515

6.［2014?陜西卷］從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)

的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()

1234

A.~B~C.7D-

5555

6.B［解析］由古典概型的特點(diǎn)可知從5個(gè)點(diǎn)中選取2個(gè)點(diǎn)的全部情況共有10種，其

中選取的2個(gè)點(diǎn)的

42

距離小于該正方形邊長(zhǎng)的情況共有4種,故所求概率為々記=『

16.、［2014?四川卷］一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡

片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)

字依次記為a,b,c.

(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+6=c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,。不完全相同”的概率.

16.解：(1)由題意，(a,b,c)所有的可能為：

(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),

(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,

2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,

1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.

設(shè)”抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件4

則事件4包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種，

31

所以2(4)

z(y

因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+6=c”的概率為看

(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件8,

則事件8包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.

所以?(面=1一戶(而=1-^=*

因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為去

15.、［2014?天津卷］某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)4B,C和3名女同學(xué)％Y,Z,其年

級(jí)情況如下表：

一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)

男同學(xué)ABC

女同學(xué)XYZ

現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽（每人被選到的可能性相同）.

（1）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；

（2）設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件

“發(fā)生的概率.

15.解：（1）從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為｛/,0,｛4

。，｛A,用，｛A,｛A,才，｛B,。，｛B,出，｛B,外，｛6,力，｛C,A｝,｛C,Y｝,｛C,

/乃，｛匕以，｛K2，共15種.

（2）選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為｛4

｛A,才，｛6,出，｛8才，［C,出，｛C,Y\,共6種.

因此，事件"發(fā)生的概率鞏切=2=3.

155

17.、［2014?重慶卷］20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖

I-3所不.

頻率

W

成績(jī)（分）

O5060708090100

圖1-3

（1）求頻率分布直方圖中a的值；

（2）分別求出成績(jī)落在［50,60）與［60,70）中的學(xué)生人數(shù)；

（3）從成績(jī)?cè)冢?0,70）的學(xué)生中任選2人，求此2人的成績(jī)都在［60,70）中的概率.

17.解:（1）據(jù)直方圖知組距為10,由

（2a+3a+7a+6a+2a）X10=l,

解得a=,/00=O.005.

⑵成績(jī)落在［50,60）中的學(xué)生人數(shù)為2X0.005X10X20=2.

成績(jī)落在［60,70）中的學(xué)生人數(shù)為3X0.005X10X20=3.

（3）記成績(jī)落在［50,60）中的2人為4,4,成績(jī)落在［60,70）中的3人為兒反，員,

則從成績(jī)?cè)冢?0,70）的學(xué)生中任選2人的基本事件共有10個(gè),即（4,4）,（4,加,（4,

Bi）,（4,Bs）,（A,B〉,（4,Bi）>（4,氏），（3，區(qū)），Cfi,Bi）,（氏，.

其中2人的成績(jī)都在［60,70）中的基本事件有3個(gè)，即（如㈤，（兒區(qū)），（跖氏）.

故所求概率為々高

K3幾何概型

13.［2014?福建卷］如圖1-5所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有

180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為.

圖1-5

13.0.18［解析］設(shè)陰影部分的面積為S隨機(jī)撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形

內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面枳近似成正比，即

5落在陰影部分中的豆.了?數(shù)—180

落在正方形中的豆子數(shù)一1000一°」8'

所以可以估計(jì)陰影部分的面積為0.18.

5.［2014?湖南卷］在區(qū)間［—2,3］上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)匕則收1的概率為（）

6.［2014?遼寧卷］若將—個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖1-1所示的長(zhǎng)方形1比'〃中，其中四=

2,BC=\，則質(zhì)點(diǎn)落在以為直徑的半圓內(nèi)的概率是（）

A.萬(wàn)

6.B［解析］由題意48=2,BC=\,可知長(zhǎng)方形46（6的面積S=2X1=2,以4?為直

徑的半圓的面積S=￡兀X/=2.故質(zhì)點(diǎn)落在以4?為直徑的半圓內(nèi)的概率產(chǎn)=9=（.

15.［2014?重慶卷］某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：

30~7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早

5分鐘到校的概率為.（用數(shù)字作答）

9

15—［解析］設(shè)小張到校的時(shí)間為修小王到校的時(shí)間為八3?？梢钥闯善矫嬷?/p>

f154715471

的點(diǎn).試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋╔，y）I丁k這是一個(gè)

乙O乙OI

正方形區(qū)域，面積為S〃=4X）=）事件A表示小張比小王早到5分鐘，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳

OO

=（x,y）x—在白，與號(hào)即圖中的陰影部分，面積為

12262624432

c9

這是一個(gè)幾何概型問題，所以P（A）=m=總

S。32

15

K4互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

K5相互對(duì)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

20.、［2014?全國(guó)卷］設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為

0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.

(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；

(2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買在臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用設(shè)備

的人數(shù)大于k”的概率小于0.1,求〃的最小值.

20.解：記4表示事件：同一工作日乙、丙中恰有，人需使用設(shè)備，，=0,1,2.

6表示事件：甲需使用設(shè)備.

C表示事件：丁需使用設(shè)備.

〃表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.

￡表示事件：同一工作日4人需使用設(shè)備.

廠表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于無

(1)因?yàn)镻(⑸=0.6,尸(0=0.4,P(4)=CX0.5、7=0,1,2,

所以P(〃)=0(4?B*C+A,?8+4?0=P(4?B*C)+尸(4?B)+0(4?0=

P(Al)P(O+AA)P｛B)+P(4)?(而P(O=0.31.

⑵由⑴知,若k=2,則尸(用=0.31>0.1,

夕㈤=P｛B-C-4)=P(B)P(OP(A)=0.06.

若4=3,則尸(若=0.06VO.1,

所以女的最小值為3.

K6離散型隨機(jī)變量及其分布列

22.［2014?江蘇卷］盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些

球除顏色外完全相同.

(1)從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率2

(2)從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為為，加，吊，隨

機(jī)變量/表示為，*2,吊中的最大數(shù)，求才的概率分布和數(shù)學(xué)期望￡(心.

22.解：(1)取到的2個(gè)顏色相同的球可能是2個(gè)紅球、2個(gè)黃球或2個(gè)綠球，所以P

_Cl+d+C：_6+3+1__5_

=Cl=-36-=而

(2)隨機(jī)變量X所有可能的取值為2,3,4.

C’1

｛才=4｝表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是4個(gè)紅球”，故。(1=4)=旨=不r；

｛才=3｝表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是3個(gè)紅球和1個(gè)其他顏色的球,或3個(gè)黃球

和1個(gè)其他顏色的球”，故戶(六個(gè)=('C”因=葛皆二得；于是必才=2)=1-尸(才=3)

。12663

一尸(才=4)=1焉一焉號(hào).

所以隨機(jī)變量1的概率分布如下表:

X234

11131

P

1463126

因此隨機(jī)變量乃的數(shù)學(xué)期望

/：W=2X—+3X—+4X—

K7條件概率與事件的獨(dú)立性

K8離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布

20.、［2014?全國(guó)卷］設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為

0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.

(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；

(2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買％臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用設(shè)備

的人數(shù)大于*’的概率小于0.1,求發(fā)的最小值.

20.解：記4表示事件：同一工作日乙、丙中恰有？人需使用設(shè)備，，=0,1,2.

8表示事件甲需使用設(shè)備.

C表示事件丁需使用設(shè)備.

〃表示事件同一工作日至少3人需使用設(shè)備.

￡表示事件同一工作日4人需使用設(shè)備.

廠表示事件同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k.

(1)因?yàn)橄?⑸=0.6,尸(0=0.4,P(4)=C；X0.52,7=0,1,2,

所以尸(。=尸(4?B?C+A.?B+A2-B-0=P(A、?B?。+尸(4?B)+2(4?0)

P(4)P⑵P(O+AA)+。(4)P(B)P(4=0.31.

(2)由(1)知，若左=2,則尸(用=0.31>0.1,

P(E)=P(B?C,4)=P(B)P(OPSD=0.06.

若4=3,則尸(用=0.06VO.1,

所以A的最小值為3.

K9單元綜合

2.［2014?湖南雅禮中學(xué)月考1已知圓Gx+y=12,直線/：4x+3尸25,圓。上任

意一點(diǎn)A到直線1的距離小于2的概率為()

1111

A--C--

2B.43D.6

2.D［解析］因?yàn)閳A心(0,0)到直線/的距離為5,圓C的半徑為2所以直線1

與圓C相離.設(shè)且圓心到人的距離為3,則滿足題意的點(diǎn)4位于lo,1之間的弧上，

結(jié)合條件可求得該弧長(zhǎng)為圓「周長(zhǎng)的《，由幾何概型的概率計(jì)算公式可知選項(xiàng)D正確.

13.［2014?福州期末］在邊長(zhǎng)為2的正方形/比》內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)弘貝UI4M<1的概率

為.

13.2”［解析］由14必<1知，點(diǎn)"在以/為圓心，1為半徑的四分之一圓內(nèi)，故所求

16

1

-JI

41

概率為二天=左頁(yè).

N10

3.［2014?泰安模擬］從｛1,2,3,4,5｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)a,從｛2,3.4｝中隨機(jī)選

取一個(gè)數(shù)6,則的概率是()

3.C［解析］從兩個(gè)集合中各選一個(gè)數(shù)有15種選法，滿足力a的選法有(1,2),(1,

3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共有6種，所以ga的概率是—=(.

100

1.［2014?長(zhǎng)沙聯(lián)考］某停車場(chǎng)臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每輛汽車一次停

車不超過1小時(shí)收費(fèi)6元，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元(不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)

有甲、乙兩人在該地停車，兩人停車都不超過4小時(shí).

15

(1)若甲停車1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率為鼻，停車費(fèi)多于14元的概率為行，求

甲的停車費(fèi)為6元的概率；

(2)若甲、乙兩人每人停車的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙兩人停車費(fèi)之和

為28元的概率.

1.解：(D設(shè)“一次停車不超過1小時(shí)”為事件A,“一次停車1到2小時(shí)”為事件B,

“一次停車2到3小時(shí)”為事件C,“一次停車3到4小時(shí)”為事件D.

15

由已知得產(chǎn)(而=鼻，PkC+D)=—

又事件4B,C,〃互斥，

1R1

所以夕(4)—1一W一行=彳，

o1Z4

所以甲的停車費(fèi)為6元的概率為

(2)易知甲、乙停車時(shí)間的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,

2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,

4),共16個(gè).而“停車費(fèi)之和為28元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共3個(gè)，所以

3

所求概率為定.

3.［2014?常德期末］空氣質(zhì)量已成為城市居住環(huán)境的一項(xiàng)重要指標(biāo)，空氣質(zhì)量的好壞

由空氣質(zhì)量指數(shù)確定，空氣質(zhì)量指數(shù)越高，代表空氣污染越嚴(yán)重：

空氣質(zhì)

0?3535?7575?115115?150150?2502250

量指數(shù)

空氣質(zhì)輕度中度重度嚴(yán)重

優(yōu)良

量類別污染污染污染污染

對(duì)某市空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行一個(gè)月(30天)的監(jiān)測(cè)，所得的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖J17-1所示:

圖J17-1

(1)估計(jì)該市一個(gè)月內(nèi)空氣受到污染的概率(若空氣質(zhì)量指數(shù)大于或等于75,則空氣受

到污染);

(2)在空氣質(zhì)量類別為“良”“輕度污染”“中度污染”的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中用分層抽樣的方

法抽取一個(gè)容量為6的樣本，若在這6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的空氣

質(zhì)量類別不都是輕度污染的概率.

1o491QQ

3.解：⑴空氣受到污染的概率々記+記+記=布=3

303030305

(2)易知用分層抽樣的方法從“良”“輕度污染”“中度污染”的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中抽取的個(gè)

數(shù)分別為2,3,1.

設(shè)它們的數(shù)據(jù)依次為a”檢，b、,則抽取2個(gè)數(shù)據(jù)的所有基本事件為(國(guó),

3i),(a”bi),(a”b),(a”b),(a”<?)),(a2,bi),(a2,b),(包，bs),(含，。),(b、,

bi),(bi,bi),(bi,ci),(bz,bi),(&,a),(&,a),共15種.

設(shè)”這兩天的空氣質(zhì)量類別不都是輕度污染”為事件4則/中的基本事件數(shù)為12,

1244

所以P(A)=—=~,即這兩天的空氣質(zhì)量類別不都是輕度污染的概率為3

1555

4.[2014?衡陽(yáng)模擬]某工廠有25周歲以上(含25周歲)的工人300名，25周歲以下

的工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中

抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以

上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，并將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].加以統(tǒng)計(jì),得到如圖J17-2所示

的頻率分布直方圖.

(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2名，求至少抽到一名25周

歲以下的工人的概率.

(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件作出2X2

列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”？

附表:

/V》公0.1000.0500.0100.001

10.

k2.7063.8416.635

828

4.解：(1)由已知得，樣本中25周歲以上的工人有60名，25周歲以下的工人有40名，

所以樣本中II平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上的工人有60X0.05=

3(名)，記為Ai>AitAi；

25周歲以下的工人有40X0.05=2(名)，記為兒

從中隨機(jī)抽取2名工人,所有可能的結(jié)果為(4,㈤，(4,4),(4,4),(4,㈤,

（4,區(qū)），（4,區(qū)），（Az,氐），（4,㈤，（4,氏），（兒氏），共10種.

其中，至少抽到一名25周歲以卜的工人的可能的結(jié)果為（4,B\）,（4,Bi）?（4,Bx）>

7

（A2,盼,（4,&）,（4,B）,田,氏），共7種.故所求概率々而

（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中,25周歲以上的生產(chǎn)能手有60X0.25

=15（名），25周歲以下的生產(chǎn)能手有40X0.375=15（名），據(jù)此可得2X2列聯(lián)表如下：

生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)

25周歲以上154560

25周歲以下152540

合計(jì)3070100

n(ad—be)2

所以片=

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

100X(15X25-15X45)225

---------------------------=一79

60X40X30X7014八

因?yàn)?.79<2.706,所以沒有90%以上的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”.

分享一些學(xué)習(xí)的名言，讓學(xué)習(xí)充實(shí)我們的生活:

1、在學(xué)習(xí)中，在勞動(dòng)中，在科學(xué)中，在為人民的忘我服務(wù)中，你可以找到自己的幸福。一捷連斯基

2、讀書是學(xué)習(xí)，使用也是學(xué)習(xí)，而且是更重要的學(xué)習(xí)。一毛澤東

3、人不光是靠他生來就擁有?切，而是靠他從學(xué)習(xí)中所得到的?切來造就自己?！璧?/p>

4、正確的道路是這樣：吸取你的前輩所做的一切，