考點(diǎn)33空間角、空間向量及其應(yīng)用-2019年浙江新高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)+含解析

考點(diǎn)33空間角、空間向量及其應(yīng)用

1.空間角

（1）了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置.

（2）了解空間兩點(diǎn)間的距離公式

（3）會(huì)用向量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計(jì)算問題.

2.綜合應(yīng)用

（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，

（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.

（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

（4）掌握向量的長(zhǎng)度公式、兩向量夾角公式、空間兩點(diǎn)間的距離公式，并會(huì)解決簡(jiǎn)單的立體幾何問題.

（5）理解直線的方向向量與平面的法向量.

（6）會(huì)用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.

（7）會(huì)用向量方法證明直線和平面位置關(guān)系的有關(guān)命題，了解向量方法在研究幾何問題中的作

一、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

1.空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)。

定義以空間一點(diǎn)。為原點(diǎn)，具有相同的單位長(zhǎng)度，給定正方

向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：X軸、y軸、Z軸，建立了一坐標(biāo)軸九軸、y軸、z軸

個(gè)空間直角坐標(biāo)系。-孫Z通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸

坐標(biāo)平面

的平面

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向X軸的正方向，食指指向)，軸的正方向，如果中指指向Z軸的正

方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.

2.空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)

(1)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示，記作M(x,y,z),其中u叫做點(diǎn)M的橫坐

標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).

(2)建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

3.空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式

(1)距離公式

①設(shè)點(diǎn)A(X1,y,Z|),3(孫乃"2)為空間兩點(diǎn)，

則4,8兩點(diǎn)間的距離?‘必卜J(.一+Gi-+(4—Z02

②設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),

則點(diǎn)P(x,y,z)與坐標(biāo)原點(diǎn)。之間的距離為?°尸=+r+r.

(2)中點(diǎn)公式

X.4-X,

x=-----

2

y-、

設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)為6(x,，x，zJ,月的中點(diǎn)，則I2

4.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間,向量在空間中，具有大小和方向的量

單位向量長(zhǎng)度(或模)為1的向量

零向量長(zhǎng)度（或模）為0的向量

相等向量方向相同且模相等的向量

二、空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算

1.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,僅厚0）,a〃力的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使得a=M.

牢記兩個(gè)推論：

intnmiinHM

（1）對(duì)空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)尸在直線AB上的充要條件是存在實(shí)數(shù)3使。產(chǎn)=（l-/）Qd+rO3或

1nm?MmiH—

0P=x04+y0B（其中x+y=l）.

（2）如果/為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量。的直線，那么對(duì)空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線/上

的充要條件是存在實(shí)數(shù)r,使法＞=次+必，其中向量。叫做直線/的方向向量，該式稱為直線方程的

向量表示式.

2.共面向量定理

如果兩個(gè)向量a,B不共啜，那么向量0與向量a,分共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）,

使p=xa+）歷.

ULUi■nil

牢記推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）,使HP=X.13+JTC;

1nniiiiMIiHmULU

或?qū)臻g任意一點(diǎn)。，有0P=CU+x,必+J'XC.

3.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使得p=xa+.W+

zc.其中，｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量.

注意：（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成基底.

（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.

（3）0不能作為基向量.

4.空間向量的運(yùn)算

（1）空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算都可類比平面向量.

夾角

(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)4=生)4=(4力"4),則4±6=(q士4：生土&，生士&)

Aa=(zz715za2sz^)(zeR)ab=q"+a2b2+a也

4尸6=6=24="=Aalsb2=20也=Aa3(zeR)

aab+a2b2+a3bm=0

|A|=V^''=Ja；+a：+不

ab_q"+a9】+生&

cos(a：b)HW也;+；t+a；猴版+片

三、利用空間向量解決立體幾何問題

1.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作/,顯然一條直線的方向向量可以有

無(wú)數(shù)個(gè).

(2)若直線/La,則該直線/的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作以,有無(wú)數(shù)多個(gè)，任

意兩個(gè)都是共線向量.

平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為a=(x,y,z).在平面內(nèi)找出(或求出)兩個(gè)不共線的向量

”⑷生㈤足他也㈤，根據(jù)定義建立方程組，得到產(chǎn)"=°,通過(guò)賦值，取其中一組解，得

ab=O

到平面的法向量.

2.利用空間向量表示空間線面平行、垂直

設(shè)直線］,小的方向向量分別為1,，〃，平面a,6的法向量分別為a,夕.

⑴線線平行：若l”m,則2尸機(jī)=l=%?(/cR)；

線面平行：若"/a,則l—ao2a=0；

面面平行：若a〃力，則a?尸=a=/以/.eR)

(2)線線垂直：若I工m,則?加=乙，”=0：

線面垂直：若/la,則?產(chǎn)a=l=/a(7eR)；

面面垂直：若。，/,則a~L￡=a/=O.

3.利用空間向量求空間角

設(shè)直線/,機(jī)的方向向量分別為l,m,平面的法向量分別為外.

(1)直線/，機(jī)所成的角為。，則0464工，計(jì)算方法：141股I；

2

(2)直線/與平面a所成的角為。，則0＜。(二，計(jì)算方法：冏聞；

2

(3)平面a,4所成的二面角為。，則046?兀，

如圖①，AB,CC是二面角a—/一￡的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小6=〈A3,8〉.

23

如圖②③，〃|,〃2分別是二面角a-1-B的兩個(gè)半平面a,。的法向量，則二面角的大小6滿足|cosd|=

也出,二面角的平面角大小是向量n,與的夾角（或其補(bǔ)角）.

同同

4.利用空間向量求距離

（1）兩點(diǎn)間的距離

設(shè)點(diǎn)A（%,y,4）,B（孫力zJ為空間兩點(diǎn),

ULUS,------------------；----------r

,isI=I.isi=再-9y+(耳j+(4-zj

則A,3兩點(diǎn)間的距離

（2）點(diǎn)到平面的距離

如圖所示，已知AB為平面a的一條斜線段，"為平面a的法向量，則B到平面a的距離為

ium

考向一空間直角坐標(biāo)系

對(duì)于空間幾何問題，可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，把空間中的點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組（即坐標(biāo)）表示出來(lái)，通過(guò)坐標(biāo)

的代數(shù)運(yùn)算解決空間幾何問題，實(shí)現(xiàn)了幾何問題（形）與代數(shù)問題（數(shù)）的結(jié)合.

典例引領(lǐng)

典例1如圖，以長(zhǎng)方體,近CD-4BIGA的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，若。4的坐標(biāo)為（4,3,2）,則AG的坐標(biāo)為.

【答案】(-4,3,2)

【解析】如圖所示，以長(zhǎng)方體，45GA的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)0的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閮傻淖鴺?biāo)為432,所以."440)6(032),所以為=(-432).

變式拓展

1.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-ABiGU中,\AB\=\AD\=3,\AAt\=2,點(diǎn)M在AQ上，|MG|=2|AiM|，

N在0c上且為。C中點(diǎn)，求M、N兩點(diǎn)間的距離.

考向二共線、共面向量定理的應(yīng)用

1.判斷兩非零向量a,萬(wàn)平行，就是判斷a=46是否成立，若成立則共線，若不成立則不共線.

2.證明空間三點(diǎn)尸、A、3共線的方法：

①尸4=4P8(4GR)；

In1IHmiRim

②對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=OA+t.4B(reR).

1HH1HmiIIIMI

③對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=xOA+y.4B(,x+y=1).

3.證明空間四點(diǎn)P、M、A、8共面的方法:

①M(fèi)P=xJ￡4+yMB

IHBinn*1RIH?■

②對(duì)空間任一點(diǎn)。，°P=0X1+工也4+W;

iH1inHmiinMIiHm

③對(duì)空間任一點(diǎn)0,°P=x°"+J0*+zOBa+y+z=i）；

④PM//AB（或PA//MB或PB//AM）-

典例引領(lǐng)

7uuri

典例2如圖，在正方體ABCEMiBCA中,E在力四上，且4；E=2初1，/在體對(duì)角線AC上，且遇尸-FC.

3

求證：E,F,B三點(diǎn)共線.

【解析】設(shè)而。而="大。

___2___

.?兒一E=H）——D/A彳F=3-FC;

T7-:T7T-^4F=54C=5兄-過(guò)尸j（AB-AD-AA^=鏟一M尻及

/1?L>—Zl?U*—

13113

________24222

..EF=-4石=~fl-b-二l二（fl-；b-c\

22

又彘=就工；b—:b-c,

：.EF=-EB

5

：.E,F,B三點(diǎn)共線.

變式拓展

2.如圖，已知。、/、B、C、D、E、F、G、〃為空間中的9個(gè)點(diǎn)，且OE=ZQA，OF=kOB，

ULLLULAJULULLU（JULI1X11

OH=kOD>AC=.1D+mAB-EG=EH+mEFkwO,

求證：(1)X、B、C、Z)四點(diǎn)共面，￡、F、G、，四點(diǎn)共面:

（2）AC//EG；

⑶OG=kOC

考向三利用向量法證明平行問題

1.證明線線平行：證明兩條直線的方向向量平行.

2.證明線面平行：

(1)該直線的方向向量與平面的某「法向量垂直；

(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；

(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.

3.證明面面平行：兩個(gè)平面的法向量平行.

典例引領(lǐng)

典例3已知正方體的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別是BBi,的中點(diǎn)，求證：

(1)尸G〃平面AOE；

(2)平面AOE〃平面BJGF.

【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Df”,則有50,0,0),.4(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,

2),EQ,2,1),"0,0,1),5)(2,2,2),

所以元i=(0,2,1),刀=(2,0,0),J￡=(0,2,1).

ruum

/DA=2x=0,

(1)?設(shè)巾，z。是平面4QE的法向量，則％J_D4,n,1AE，即｛uun得

IMjAE=2)、+zj=0,

[=0,

\令zi=2,則yi=—l,

[4=-2x，

所以"i=(O,-1,2).

ULU

因?yàn)槭珻i%=-2+2=0,

所以EGl/ir

又因?yàn)镕C,<Z平面ADE,

所以FG〃平面AOE

(2)易得G4=(2,0,0),

n^FCx=2y2+z1=0,

設(shè)"2=(X2,心，功是平面3c1F的一個(gè)法向量，則”：一FG,%-C/i，即，___

n2clB]=2頊=0,

x,=0,

得*.令zz=2,得心=一1,

Z2=-2%

所以“2=(0,—2),

因?yàn)閙=〃二,

所以平面XDE"平面BiCF.

變式拓展

3.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCQ-AiBiG。］中,E、M、N分別是BC、AE、C￡>i的中點(diǎn),AO=AA|="/B=2a.求證:

MN〃平面ADQA.

考向四利用向量法證明垂直問題

1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.

2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.

3.面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?

典例引領(lǐng)

典例4如圖,已知正四棱錐UABCO中,E是VC的中點(diǎn)，正四棱錐的側(cè)面YBC為正三角形.求證:平面VAC±

平面EBD.

t解析】如圖，以，在底面」3CD內(nèi)的射影。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系0-醞

設(shè)心心的24在中小、；〒誨二,許而一，產(chǎn)

J5

?.?。∣,O：、r^）fr2^：0：0）C（-、f^0：0）：M。：,y^：Q）：D[O：?\yz：O）：E1—丁。：0：--d）t

則呢=(-----a,*a,——-a),加=(0,-2A/^,0),憶=(-嫄“,0,-^/^a).

22

■:施l/t=<72+0-a2=0,BD-Kt=O,

/.l)EA-Kt,BblVt,BPDEIVC,BD1.VC.

■:DECBD=D,

：.VCJ_平面E8D

又VCu平面VAC,

二平面IMC_L平面EBD.

典例5如圖，正方體x5CD-431G4中，E,F,”分別為44，4G，CG的中點(diǎn)?

(1)證明：BELAH；

（2）在棱2G上是否存在一點(diǎn)G,使得AG〃,平面6EF?若存在，求出點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

、（1、

【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一號(hào)z,設(shè).”=1,則月（1上0）,5（L1SO）,E\L-;l,

,-J

呼注｝

一（n_ri

.-^=；-lsL-,BE=\Q--A',

AHBE=0>

(2)設(shè)G(OjJ),貝ij行=(一111),iLI

設(shè)平面BEF的法向量為n=(xj\z),

11c

—x+—y=0

；2"，令z=l,得”=(22」),

——x+z=0

2

:AGII平面BEE,

-t=

AGn=(1J=1)-(X-：11=0,解得~>

二當(dāng)G是4G的中點(diǎn)時(shí)，XGII平面BEF.

變式拓展

4.如圖所示，已知AB,平面ACD,OEJ_平面AC2ZXACO為等邊三角形4)=￡>E=2AB,F為C￡>的中點(diǎn).

(1)求證:AF〃平面BCE;

(2)求證:平面3CE_L平面CDE.

考向五用向量法求空間角

1.用向量法求異面直線所成的角

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)求出兩條直線的方向向量；

UUUUUL1

(3)代入公式求解，一般地，異面直線4C,8。的夾角的余弦值為COS￡=W￡S-.

\AC\\BD\

2.用向量法求直線與平面所成的角

(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；

(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平

面所成的角.

3.用向量法求二面角

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾

角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

典例引領(lǐng)

典例6如圖，在五棱錐尸―5cDE中,平面/18?￡＞及21=且8=,如：=28。=2?！?2,ZDEA=

/EAB=NABC=90°.

(1)求二面角P—DE—A的大??；

(2)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.

【解析】由題可知，以AB、AE、”分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則N(0￡0),E(0,ZO)Q(L2.0),尸(0,0.2),C(2J0).

設(shè)平面PDE的法向量為〃=(x,y,z),

又曲=(1,0,0),加(0,-2,2).

廣IRm

nED=x=0fx=0/、

由Jinn，得〈，令y=l,得〃=(0,1,1).

nEP=-2y^2z=QU=z

(1)由于PN1平面N6CD瓦則平面ADE的一個(gè)法向量為戶302),

20

于正35萬(wàn)＞=麗=耳石=工,

所以-=451

則二面角尸-DE-H的大小為45s.

⑵由于元=(2,1,-2),

PC"2x0+lxl+(-2)xl0

所以c行^>=布=一亞萬(wàn)一=—

故PC與平面PDE所成角的正弦值為由

6

典例7如圖所示，在四棱錐E-A6CO中,A3〃CD,NAOC=9(T,CO=3,4B=1,EA=AD=DE=2,EC=y/13.

(1)求證:平面EAO_L平面ABCQ;

(2)求二面角。-BE-C的余弦值.

【解析】(1)如圖，取的中點(diǎn)，，連接E，、CH.

'：EA=AD=DE=2.：.△.10石為正三角形.'

V

在RtAHDC中：a>3QA=1：

?H「=____________=_

\!CD2+DH2v32+1*v'IO!

在△即C中即=臼"=即改=,1T

：.EC2=EHZ+HC\

.,.NEHC=90。，即EH1HC.

又平面48CD.HCu平面ABCD：.AD\HC=H.

二.EH1平面ABCD：

又?「ENu平面END,.?.平面ETD1平面.-1BCD.

(2)以”為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”一町z,

貝UH((W)”(L0e3(LL0)M-L0M，C(-L3,0),￡(0:05A/3).

曲=(2-1,0),踮(=-11,四,比=(-2,2,0),

設(shè)平面的法向量為加=（與”0）貝H,

mBE=0

卜2再一兇=0

即1一再_川+代1=0'

令zi=l：則x】="々ji=2行

yoV3

從而可得平面DEB的一個(gè)法向量"，=.、手2、311

,、IM-5￡=0

設(shè)平面CBE的法向量為"貝卜—，

[M-5C=0

廣三一+限=0

[-2七+2B=。

令工尸、密則心=、，紂2=2，

從而可得平面CBE的一個(gè)法向量”=（行爭(zhēng)2）,

yo'P

mn

從IE...=___5__而

ffljCOS<^h.W-^?lw|l|?|I—4^r0——--8---

故二面角D-BE-C的余弦值為巫.

8

變式拓展

5.如圖，在斜三棱柱'四C-431G中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，34=3,AB1=M，

NC8瓦=600

8

（1）求證：平面ABCJ.平面5CG4；

(2)求二面角3—Ag—C的正弦值.

考向六用向量法求空間距離

1.空間中兩點(diǎn)間的距離的求法

兩點(diǎn)間的距離就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量的模.因此，要求兩點(diǎn)間的距離除使用距離公式外，還可轉(zhuǎn)化為

求向量的模.

2.求點(diǎn)P到平面a的距離的三個(gè)步驟：

(1)在平面a內(nèi)取一點(diǎn)4,確定向量PA的坐標(biāo).

(2)確定平面a的法向量〃.

(3)代入公式d/叢“1求解.

\n\

典例引領(lǐng)

典例8如圖，直三棱柱中,4。=品1=144產(chǎn)3,44(78=90。,￡＞為。?上的點(diǎn),二面角A-A.B-D

的余弦值為-正.

6

(1)求證:CO=2;

(2)求點(diǎn)A到平面A3。的距離.

【解析】(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分另?以匕!、。3、(70所在直線為.\軸、)軸、2軸建立空間直角坐標(biāo)系。一42：

則X(LOQ)、B(OJO)、4(L0,3).設(shè)O(OIM).

加=（1」,0）是平面4，4的一個(gè)法向量:設(shè)?=（xZ）是平面45。的法向量.

1。3-。）:'^=（0J：-a）：由y^-7J=0：后力=）得x+（3—a）z=0-皿=0,

l/ri?UDUD

取x=3—/得y=_%z=_L即“=（3_a「a「l）.

由題設(shè)知gs"?）|=件J=n=4：解得戶2或"L

I訓(xùn)同J2x，（3-a）-+a，+l66

所以DC=2或DC=1.

但當(dāng)DC=1時(shí):顯然二面角，4一/田一。為銳角，故舍去.

綜上QC=2.

⑵由⑴，知E1,2-1）為平面4—的一個(gè)法向量,

他0,3）,所以點(diǎn)月到平面ABD的距離d=華4=空￡

巧又4一4*

|?|2

變式拓展

6.如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面ABCO為正方形，PB=PD=04B=[AP=[。是C。中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)C到平面BPQ的距離；

（2）求二面角A-PQ—B的余弦值.

考向七用向量法求立體幾何中的探索性問題

1.通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在（或結(jié)論成立），然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的

數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)

明假設(shè)不成立，即不存在.

2.探索線段上是否存在點(diǎn)時(shí)，注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用，這樣可減少坐標(biāo)未知量.

典例引領(lǐng)

典例9如下圖所示,三棱柱ABC-ABC中,44」平面ABC,BC，AC,8C=AC=2A4i=3，。為AC的中點(diǎn).

（1）求二面角G-8C-C的余弦值;

（2）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)P,使得CPJ_平面BOG?并證明你的結(jié)論.

【解析】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則CMOOO'HOIZiqtUOLqQCQRlSC，所以0=(0:3,2):^=(13:0).

設(shè)〃=（為g口）是平面BDCi的法向量廁

nJB=0

n-CZD-0'

3u+2z~~011

所以“「二，令得〃=（1「不不是平面3DG的一個(gè)法向量,

［再+3M=032

易知_（。30）是平面ABC的一個(gè)法向量,

L?C一

■■■■I

jrQC_-12

所以cos<%C；C>=同|希|===一5,

而二面角G-8D-C為銳角，故其余弦值為g.

(2)假設(shè)側(cè)棱A41上存在一點(diǎn)尸(2,)，,0)(史乃3),使得CPL平面BDCy.

因?yàn)檗k=(2,)，-3,0),

所以(C只PC品iH=0()?即/仁3(43-島3)=)0=0,得尸3且三針7

所以方程組無(wú)解.

則假設(shè)不成立，即側(cè)棱A41上不存在點(diǎn)R使CPL平面BDCy.

典例10已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC,/.DAB=90°,PDJ.底面/1BCD,且

PD=DA=CD=2AB=2,M點(diǎn)為PC的中點(diǎn).

(1)求證：BM〃平面P/W.

(2)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N,使MN1平面PBD.

【解析】(I)因?yàn)榈酌鍭BCO.CO〃48,COJ_AD,所以以“為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz(如

圖所示).

由于PD=CD=ZM=2A3=2,所以￡>(0,0,0),B(2,l,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Af(0,1,1),

所以(-2,0,1),DC=(0,2,0).

因?yàn)楸菾.平面PAD,

所以應(yīng)是平面P4。的法向量，

又因?yàn)楸?B?=0,

所以由分/平面PAD,

所以8例//平面PAD.

(2)設(shè)入口0二)是平面PAD內(nèi)一點(diǎn)，

貝11*'?——*

人」MN=(x-l,z-1\DP=(0,0,2),D3=(2,1,0),

若小工平面皿廁畫羽二0，

te-D3=0

1

x=一

所以，即一f

Z=1

1

所以在平面PAD內(nèi)存在點(diǎn)N；三刀」；使得一HV1平面E3D

變式拓展

7.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PA。，平面ABC。，PA±PD,PA=PD,ABLAD,AB=\,

AD=2,AC=CD=^/5

(1)求直線P8與平面PC。所成角的正弦值.

(2)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得平面PCD?若存在，求4竺的值；若不存在，說(shuō)明理由.

AP

、亨點(diǎn)沖關(guān)火

1.設(shè)向量a，b,c不共面，則下列各組向量可作為空間的一個(gè)基底的是

A.(a+b,b-a,a}B.{a+b,h—a,b}

C.[a+b,b-a,c}D.{a+b+c,a+b,c}

2.設(shè)空間四點(diǎn)O/,B,P滿足0A=m0N+n(ZB,其中m+九=1,則

A.點(diǎn)P一定在直線4B上B.點(diǎn)P一定不在直線4B上

C.點(diǎn)P不一定在直線4B上D.以上都不對(duì)

3.設(shè)(1,2,-2)為平面a的法向量(2,-4用為平面夕的法向量，若a,及則上

A.2B.-5

C.4D.-2

4.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱—431G，CX=CG=2CB，則直線BG與直線夾角的

余弦值為

「2x/5

5

5.如圖所示，在直二面角。-ARE中，四邊形A8C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，aAEB是等腰直角三角形，其

中NAEB=90。測(cè)點(diǎn)D到平面ACE的距離d為

A百

3

C.V3D.2G

6.已知正四棱柱ABCD-AyByCyDy中,A4]=2AB,則CD與平面BDCy所成角的正弦值等于

2RG

A.-

33

「V21

D.-

33

7.已知向量,6=（-1:11|,且kz+8與2a-3）互相垂直，則女的值是.

8.如圖所示，在直三棱柱A8C-4BC中，底面是以NABC為直角的等腰三角形,AC=2a,班產(chǎn)3g￡＞是4G的中

點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA上，要使CEL平面BQE,則AE=

9.如圖，在直三棱柱ABC-AjBiG中，ZBAC=90°,AB=AC=AA^2,點(diǎn)G與E分別是4閏和CG的中點(diǎn),

點(diǎn)。與F分別是AC和AB上的動(dòng)點(diǎn).若GDLEF,則線段OF長(zhǎng)度的最小值為

10.在如圖所示的幾何體中，四邊形4BCD為平行四邊形，平面4EC_L平面4BCD,乙1CB=90。，EF//BC,

1

EF=—BC,AC=BC=2,AE=EC.

2

(1)求證：AF=CF.

(2)當(dāng)二面角4-EC-。的平面角的余弦值為正時(shí)，求三棱錐4-EFC的體積.

3

11.如圖，在四棱錐尸-ABC力中，底面4BCD是矩形，PAL^ABCD,PA=AD=4,AB=2.若M,N分別

為棱P。，PC上的點(diǎn)，。為4c的中點(diǎn)，且AC=20例=20N.

B

(1)求證：平面平面PCD；

(2)求直線C3與平面ACM所成的角的正弦值;

(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

12.如圖所示,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形,P4_L底面ABCD,PA=AB=A￡>=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在邊BC上移動(dòng).

(1)求證:無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE±AF;

(2)BC(包括端點(diǎn)8,0上是否存在一點(diǎn)E,使PO〃平面AEF2若存在，求出點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明

理由.

13.如圖，矩形ABCD所在的平面和直角梯形C0EF所在的平面成60。的二面角QE〃CECC

DE入D=2,EF=3避,CF=6,/CFE=45°.

(1)求證:BF〃平面ADE;

⑵在線段CF上求一點(diǎn)G,使銳二面角B-EG-D的余弦值《

14.如圖，在多面體A8C0E77中，四邊形A8CO是正方形，BF±ABCD,平面ABC。,

8P=OE,點(diǎn)M為棱AE的中點(diǎn).

A

（1）求證：平面〃平面EFC；

（2）若DE=2AB,求直線AE與平面8OM所成的角的正弦值.

直通高考、

、一??尸

l.（2018新課標(biāo)全國(guó)^理科）在長(zhǎng)方體,4BCZ）-4用G4中，.<5=BC=l，A4,=相，則異面直線明

與所成角的余弦值為

1R非

A.-

56

c.好,D,顯

52

2.（2018高考浙江卷）如圖，已知多面體ABCASG，A|A,BBGC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,

A]A=49C|C=1,AB=BC=B]B=2.

(I)證明：ABi_L平面AIBIG;

(ID求直線4G與平面AB8所成的角的正弦值.

3.(2017高考浙江卷)如圖，已知四棱錐尸△幺￡＞是以AO為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,

CD1.AD,PC=AO=2OC=2CB,E為的中點(diǎn).

p

（I）證明：CE//平面FAB；

（II）求直線CE與平面P8C所成角的正弦值.

4.（2018新課標(biāo)全國(guó)I理科）如圖，四邊形ABC。為正方形，分別為A。,3c的中點(diǎn)，以為折

痕把折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且Pf_L8尸.

（1）證明：平面平面ABF。；

（2）求OP與平面48Po所成角的正弦值.

A8

5.(2018新課標(biāo)全國(guó)n理科)如圖，在三棱錐P-A8C中，AB=BC=2&，PA=PB=PC=AC=4,O

為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO1平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角尸A-C為30。，求PC與平面所成角的正弦值.

6.(2018新課標(biāo)全國(guó)III理科)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M

是CO上異于C,￡>的點(diǎn).

(1)證明：平面前">_1_平面8MC；

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面與面MC。所成二面角的正弦值.

7.（2018江蘇卷）如圖，在正三棱柱48cAl81G中，AB=44|=2,點(diǎn)P,。分別為AiS，BC的中點(diǎn).

（1）求異面直線B尸與4G所成角的余弦值；

（2）求直線CQ與平面AQG所成角的正弦值.

8.（2018北京理科）如圖，在三棱柱A8C-A4G中，CG，平面ABC,E,F,G分別為AA,AC,A,C,,

Bg的中點(diǎn)，AB=BC=亞,AC=AA=2.

(1)求證：AC_L平面BEF：

(2)求二面角B-CD-Ci的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面BCD相交.

9.(2018天津理科)如圖，AD//BCSLAD=2BC,AO_LC。，EG〃A。且EG=AO,CO〃FG且C￡>=2FG,

DGJ?平面ASCQ，DA=DC=DG=2.

(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：“平面CDE;

(2)求二面角E-3C-尸的正弦值；

(3)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面AOGE所成的角為60。，求線段。尸的長(zhǎng).

10.(2017新課標(biāo)全國(guó)【理科)如圖，在四棱錐P-A8CQ中，AB//CD,且乙以尸ZCZ)P=90°.

(1)證明：平面以B_L平面以。；

(2)PA=PD=AB=DC,^APD=90°>求二面角A-PB-C的余弦值.

嶷賽考答案.

變式拓展

1.【解析】如圖所示，分別以A3、AD.所在的宜線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意可知0330),5030),

'：\DD}=CC1=一工知=2,

；C(332),。】(032).

?.?.V為CD]的中點(diǎn)，

3

3,1).

工

'.'3/是R】G的三分之一分點(diǎn)且靠近點(diǎn),

/?Mb1,2).

【名師點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系的建立、點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及距離公式，建系時(shí)注意要利用兩兩垂

直的三條線建系，由線段比例求坐標(biāo)時(shí)，注意由坐標(biāo)特征求，不要直接乘比例系數(shù)求坐標(biāo).建立空間直角

坐標(biāo)系，分別由比例關(guān)系求出點(diǎn)”、點(diǎn)N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出線段長(zhǎng)度，即可得到結(jié)果.

ULUUUU(JUS

2.【解析】(1)??[4。=,5+制京8，小。0，

iHRIinn,iHna

XC,lDilB共面，即A、B、C、。四點(diǎn)共面.

"EG=EH+mEF'

iniitnHi

即共面，即E、F、G、〃四點(diǎn)共面.

(2)EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=HOD-OA)+bn(OB-OA)

iHn?iHmi11RIULULinn?

=kAD+bnAB=k(AD+=匕1C，

???AC//EG

iniHimiHn?iHmiiHni(nmULU

(3)OG=OE+EG=kOA+kAC=k9A+AC)=kOC.

3.【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、DC、DD】為x軸、j?軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

貝1」/（20,0）：5伍,20>0）。（0240）分】（00。）三（!224,0，

?.”、一V分別為AE、8】的中點(diǎn)，

：加0）鄧43）.派=（一口0：芻

一工"TX

取〃=（0」,0）顯然平面/QQX且””=。,

二贏?*"兄

又MVC平面ADD\A\，二MV〃平面ADD\A

4.【解析】設(shè)力）=0E=2.鋁=2。,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z,

則40￡0）,<7（勿。0）1（0￡。）,刀（4鳥,0）,醺4布42。）.

為CO的中點(diǎn),...Rga,—a，0).

22

3ci

(1),/AF=(-a,^-a,0),猊=(a,@,a),比=(2a,0.-q),，AF^B'E+B'C).

又AFC平面BCE,.MF〃平面BCE.

-3

(2)-：AF=(-a—4,0),d>(-。,衣,0),麗=(0,0,-2〃),AF-Cb=(),AF-協(xié)=0,，/fr±而，而_L前,AFJ_

2

CZMF_LED

又CDI即=Z),.*.4尸_L平面C。E.

又AF//平面BCE,；.平面BCE1.平面CDE.

5.【解析】(1)取SC的中點(diǎn)。，連接。生。31,

因?yàn)榈酌?，加C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以。4—BC＞且QT=出)

因?yàn)?瓦=3,NCB瓦=60\05=1,

所以。B：=F+3?-2xlx3xcos60'=7,

所以。反=5,

又因?yàn)?i=而，

所以Qf+OB^=10=，

所以。4，。4，

又因?yàn)镺BJBC=O,

所以04,平面6。。出，

乂因?yàn)镼4u平面ABC,

所以平面A