人大微積分課件7-2向量及其線性運(yùn)算

人大微積分課件7-2向量及其線性運(yùn)算CATALOGUE目錄向量及其表示向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積01向量及其表示向量是一個(gè)具有大小和方向的量，通常用有向線段表示?？偨Y(jié)詞向量在數(shù)學(xué)和物理中廣泛使用，它不僅表示一個(gè)具體的量，如力或速度，還表示一個(gè)方向和大小。在平面或空間中，向量可以用有向線段表示，起點(diǎn)為零點(diǎn)，終點(diǎn)為所表示的點(diǎn)。詳細(xì)描述向量的定義總結(jié)詞向量的模是表示向量大小的量，用雙箭頭表示。詳細(xì)描述向量的模定義為向量起點(diǎn)到終點(diǎn)的距離，記作∣∣→∣∣。向量的模具有以下性質(zhì)：∣∣→∣∣=√(x^2+y^2)，其中x和y分別是向量在x軸和y軸上的分量。向量的?？偨Y(jié)詞向量可以用多種方式表示，包括文字、符號(hào)、坐標(biāo)等。詳細(xì)描述向量的表示方法有多種，可以用文字描述向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)和方向，也可以用符號(hào)表示，如向量AB或→A。在坐標(biāo)系中，向量可以用坐標(biāo)表示，如向量(1,2)表示一個(gè)從原點(diǎn)到點(diǎn)(1,2)的有向線段。向量的表示方法02向量的線性運(yùn)算向量加法是將兩個(gè)向量首尾相接，形成一個(gè)新的向量。定義性質(zhì)幾何意義向量加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。向量加法在幾何上表示兩個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的連線。030201向量的加法數(shù)乘是指一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量的乘積，結(jié)果仍為一個(gè)向量。定義數(shù)乘滿(mǎn)足結(jié)合律和分配律，即λ(μa)=μ(λa)和λ(a+b)=λa+λb。性質(zhì)數(shù)乘在幾何上表示將向量按比例放大或縮小。幾何意義向量的數(shù)乘向量減法是通過(guò)加上一個(gè)向量的相反向量來(lái)實(shí)現(xiàn)的。定義向量減法滿(mǎn)足交換律，即a-b=-(b-a)。性質(zhì)向量減法在幾何上表示從一個(gè)向量的終點(diǎn)指向另一個(gè)向量的起點(diǎn)所形成的向量。幾何意義向量的減法03向量的數(shù)量積定義設(shè)$mathbf{a}=a_1mathbf{i}+a_2mathbf{j}+a_3mathbf{k}$，$mathbf=b_1mathbf{i}+b_2mathbf{j}+b_3mathbf{k}$，則$mathbf{a}cdotmathbf=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$。解釋數(shù)量積是兩個(gè)向量各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分量乘積之和。數(shù)量積的定義向量$mathbf{a}$與$mathbf$的模分別為$|mathbf{a}|$和$|mathbf|$，則$mathbf{a}cdotmathbf=|mathbf{a}|times|mathbf|timescostheta$，其中$theta$為兩向量的夾角。定義數(shù)量積表示兩向量之間的夾角余弦值乘以?xún)上蛄康哪ｉL(zhǎng)乘積。解釋數(shù)量積的幾何意義分配律$(lambdamathbf{a})cdotmathbf=lambda(mathbf{a}cdotmathbf)=lambdamathbf{a}cdotlambdamathbf$。交換律$mathbf{a}cdotmathbf=mathbfcdotmathbf{a}$。結(jié)合律$(mathbf{a}+mathbf)cdotmathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbfcdotmathbf{c}$。數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)04向量的向量積向量積是由兩個(gè)向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$生成的第三個(gè)向量，記作$mathbf{A}timesmathbf{B}$。向量積的定義基于三個(gè)向量的坐標(biāo)：設(shè)$mathbf{A}=a_1mathbf{i}+a_2mathbf{j}+a_3mathbf{k}$，$mathbf{B}=b_1mathbf{i}+b_2mathbf{j}+b_3mathbf{k}$，則$mathbf{A}timesmathbf{B}=(a_2b_3-a_3b_2)mathbf{i}+(a_3b_1-a_1b_3)mathbf{j}+(a_1b_2-a_2b_1)mathbf{k}$。向量積的定義向量積的幾何意義是描述兩個(gè)向量的旋轉(zhuǎn)關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)一個(gè)向量繞另一個(gè)向量旋轉(zhuǎn)時(shí)，其方向由向量積確定。向量積的方向由右手定則確定：伸開(kāi)右手，讓拇指與向量$mathbf{B}$平行，四指指向$mathbf{A}$的方向，則拇指指向就是$mathbf{A}timesmathbf{B}$的方向。向量積的幾何意義123$mathbf{A}timesmathbf{B}=mathbf{B}timesmathbf{A}$。向量積滿(mǎn)足交換律$(mathbf{A}+mathbf{C})timesmathbf{B}=mathbf{A}timesmathbf{B}+mathbf{C}timesmathbf{B}$。向量積滿(mǎn)足結(jié)合律$(lambdamathbf{A})timesmathbf{B}=lambda(mathbf{A}timesmathbf{B})$不恒成立。向量積與標(biāo)量乘法不滿(mǎn)足分配律向量積的運(yùn)算性質(zhì)05向量的混合積混合積的定義對(duì)于三個(gè)向量$mathbf{a},mathbf,mathbf{c}$，其混合積定義為$mathbf{a}cdot(mathbftimesmathbf{c})$，也可以表示為$(mathbf{a}cdotmathbf)cdotmathbf{c}$或$mathbf{a}cdot(mathbf{c}cdotmathbf)$?；旌戏e定義混合積滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，即$mathbf{a}cdot(mathbftimesmathbf{c})=(mathbf{a}cdotmathbf{c})cdotmathbf=mathbf{a}cdot(mathbfcdotmathbf{c})$?；旌戏e的代數(shù)性質(zhì)混合積的幾何意義混合積的幾何解釋混合積表示三個(gè)向量構(gòu)成的平行六面體的體積。具體來(lái)說(shuō)，如果$mathbf{a},mathbf,mathbf{c}$構(gòu)成平行六面體的三條相鄰棱，則混合積的值為該平行六面體的體積?；旌戏e為0的條件如果三個(gè)向量的混合積為0，則這三個(gè)向量共面。點(diǎn)乘滿(mǎn)足分配律，即$mathbf{a}cdot(mathbf+mathbf{c})=mathbf{a}cdotmathbf+mathbf{a}cdotmathbf{c}$。混合積與向量積之間存在關(guān)