八年級數(shù)學上學期期中真題分類匯編（人教版）：專題02 三角形與角有關(guān)的壓軸題訓練（解析版）（人教版）

專題02三角形與角有關(guān)的壓軸題訓練多邊形內(nèi)角和1．如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則．【答案】0【分析】將兩個六邊形分別進行拆分，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和計算即可得出答案.【詳解】如圖1所示，將原六邊形分成了兩個三角形和一個四邊形，∴=180°×2+360°=720°如圖2所示，將原六邊形分成了四個三角形∴=180°×4=720°∴m-n=0故答案為0.【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和，難度適中，解題關(guān)鍵是將所求六邊形拆分成幾個三角形和四邊形的形式進行求解.2．（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為．【答案】360°720°1080°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對頂角和三角形內(nèi)角和的知識，得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）連接，交于點M，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對頂角的知識，得；結(jié)合五邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得；結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，交于點M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為：故答案為：，，．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和、對頂角、數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)角和、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解．3．如圖，，，且，，則的度數(shù)為°．

【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可求得，，推得，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可求得，將代入即可求解．【詳解】解：設(shè)，，如圖：

∵，，在中，，在中，，又∵，∴，故，在中，，在中，，，將代入可得；故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．(1)如圖①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奧秘嗎？請用你學過的知識予以證明；(2)如圖②，設(shè)x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，運用(1)中的結(jié)論填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如圖③，一個六角星，其中∠BOD＝70°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）證明見解析.(2)180；180；180；(3)140【分析】（1）首先延長BO交AC于點D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根據(jù)∠BDC=∠A+∠B，判斷出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據(jù)∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據(jù)此解答即可．b、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據(jù)∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據(jù)此解答即可．c、首先延長EA交CD于點F，EA和BC交于點G，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根據(jù)∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，據(jù)此解答即可．（3）根據(jù)∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，據(jù)此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是多少即可．【詳解】(1)證明：如圖，延長BO交AC于點D，則∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180；(3)140【點睛】（1）此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．（2）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．角度之間的數(shù)量關(guān)系5．【問題背景】中，是角平分線，點E是邊上的一動點．【初步探索】如圖1，當點E與點A重合時，的平分線交于點O．（1）若，，則____________；（2）若，則___________；（用含m的代數(shù)式表示）

【變式拓展】當點E與點A不重合時，連接，設(shè)，．（1）如圖2，的平分線交于點O．①當，時，____________；②用、的代數(shù)式表示____________．（2）如圖3，的平分線與相交于點O，與的平分線所在的直線相交于點F（點F與點E不重合），直接寫出點F在不同位置時與之間的數(shù)量關(guān)系．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】初步探索（1）55；（2）；變式拓展（1）①75；②；（2）或【分析】初步探索（1）根據(jù)角平分線的定義，得到、，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；變式拓展（1）①延長、交于點G，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；②同①理，即可表示出；（2）分兩種情況討論：點F在內(nèi)部和點F在外部，利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．【詳解】初步探索解：（1）中，是角平分線，點E是邊上的一動點．，平分，，，平分，，，故答案為：55；（2），，平分，平分，，，，故答案為：；變式拓展解：（1）①如圖，延長、交于點G，，，，，，，平分，平分，，，故答案為：75；

②，，，，，，平分，平分，，，故答案為：；（2）如圖，當點F在內(nèi)部時，令于的交點為H，

，平分，，，，，，，平分，，，，平分，平分，，，，；如圖，當點F在外部時，令于的交點為K，

，平分，，，，，平分，，，，，，，綜上可知，與之間的數(shù)量關(guān)系或．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，理解題意，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．

(1)如圖2，一束光線射到平面鏡上，被反射到平面鏡上，又被反射，若被反射出的光線（與光線平行，且，則_______°，______°；(2)如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線與鏡面的夾角，鏡面，的夾角，當光線經(jīng)過平面鏡，，的三次反射后，入射光線與反射光線平行時，請求出的度數(shù)；(3)如圖4，在（2）的條件下，在，之間再照射一條光線，經(jīng)過平面鏡，兩次反射后反射光線與交于點，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，結(jié)合的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）過作，如圖所示，根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，結(jié)合的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（3）根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，在（2）的基礎(chǔ)上，得出相關(guān)角度，再結(jié)合四邊形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和，列方程組求解即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：

根據(jù)題意，，，，，，，，在中，由三角形內(nèi)角和定理可得，故答案為：，；（2）解：過作，如圖所示：

，，，，，，，則，在中，，，則由三角形內(nèi)角和定理可得，，則，；（3）解：如圖所示：

由（2）知，，，，由于一個四邊形可以分成兩個三角形，由三角形內(nèi)角和定理可知，在四邊形中，，，，，則，，由于一個四邊形可以分成兩個三角形，由三角形內(nèi)角和定理可知，在四邊形中，，，由與，代入已知角度有與，可得，，解得．【點睛】本題考查利用數(shù)學知識探尋平面鏡反射中角度關(guān)系，涉及平行線的性質(zhì)、平面鏡反射角度關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和為及恒等變形等知識，讀懂題意，理解平面鏡反射角度之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，準確表示各個角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標系中，點A為軸負半軸上一點，點為軸正半軸上一點，，，其中滿足關(guān)系式

(1)___________，___________；(2)如圖，若平分交于點，交于點，求證：；(3)如圖，若點、點分別在軸負半軸和正半軸上運動，的角平分線交軸于點，點在軸上，且，請補全圖形，探究的值的變化情況，并直接寫出結(jié)論（不要求寫出探究過程）．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析，【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得和的值，（2）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，最后由對頂角相等和等量代換可得結(jié)論，（3）首先證明，推出，再證明，，即可解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，，故答案為：；（2）證明：如圖中，

平分，∴，，，∴，∴，∵，∴．（3）解：如圖，結(jié)論：；

理由：，，∴，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．8．如圖直線與相交于點，點在射線上，點在射線上連接，的平分線與外角的平分線所在直線相交于點．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)若，則________(結(jié)果用含的代數(shù)表示)；(3)如圖②，若點是射線上一點，連接為的角平分線．①隨著點的移動，與存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，__________________；②過點作交于點，則，，三個角之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可知，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答；（3）①根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可知，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可知，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及三角形的外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵分別是角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵分別是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①∵為的角平分線，∴，，∴，∴，∵，∴，∵分別是角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為；②∵，∴，，∴，∵為的角平分線，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵分別是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．定值問題9．已知（如圖1）在中，，平分，點在的延長線上，過點作于點，設(shè)，(1)當，時，求的度數(shù)；(2)試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，試用表示，并說明理由(3)若與平分線交于點（如圖2），當點在線上運動時，是否發(fā)生變化，若不變，請用表示；若變化，請說明理由【答案】(1)(2)(3)不會，【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，從而得到，利用垂直的定義即可得到結(jié)果；（2）表示出，，得到，進一步可得結(jié)果；（3）設(shè)與交于，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，最后利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和即可求出，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：，，，平分，，，，，；（2），，，，；（3）設(shè)與交于，平分，，平分，，，平分，，，故不會發(fā)生變化．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．10．如圖1，在平面直角坐標系中，是x軸正半軸上一點，C是第四象限內(nèi)一點，軸交y軸負半軸于，且．

(1)求點C的坐標．(2)如圖2，設(shè)D為線段上一動點，當時，的角平分線與的角平分線的反向延長線交于點P，求的度數(shù)；（點E在x軸的正半軸）(3)在（2）的基礎(chǔ)上，如果將“的角平分線與的角平分線的反向延長線交于點”條件改為“”，求的度數(shù)；（點E在x軸的正半軸）(4)如圖3，當點D在線段上運動時，作交于M點，、的平分線交于N點，則點D在運動過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)見解析【分析】（1）過點A作于點G，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出，，得出，，根據(jù)矩形性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)，得出，求出，得出，即可得出答案；（2）設(shè)，根據(jù)角平分線的定義得出，得出，求出，得出，求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；（3）設(shè)，則，得出，根據(jù)，得出，求出，得出；（4）連接，設(shè)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即，求出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：過點A作于點G，如圖所示：

∵，∴，，解得：，，∴，，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∵，，∴，即，解得：，∴，∴點C的坐標為．（2）解：設(shè)，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（4）解：連接，如圖所示：

∵平分，平分，∴設(shè)，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形，角平分線的有關(guān)計算，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)，求出，．11．如圖1，在中，平分平分．

(1)若．①求的度數(shù)；②如圖2，過點P作直線，交邊于點D、E，則_______°；(2)若，小明將（1）中的直線繞點P旋轉(zhuǎn)，分別交線段于點D，E，如圖3，試問在旋轉(zhuǎn)過程中的度數(shù)是否會發(fā)生改變？若不