八年級數學上學期期中真題分類匯編（人教版）：專題02 三角形與角有關的壓軸題訓練（解析版）（人教版）

專題02三角形與角有關的壓軸題訓練多邊形內角和1．如圖1六邊形的內角和為度，如圖2六邊形的內角和為度，則．【答案】0【分析】將兩個六邊形分別進行拆分，再結合三角形的內角和和四邊形的內角和計算即可得出答案.【詳解】如圖1所示，將原六邊形分成了兩個三角形和一個四邊形，∴=180°×2+360°=720°如圖2所示，將原六邊形分成了四個三角形∴=180°×4=720°∴m-n=0故答案為0.【點睛】本題考查的是三角形的內角和和四邊形的內角和，難度適中，解題關鍵是將所求六邊形拆分成幾個三角形和四邊形的形式進行求解.2．（1）如圖1所示，；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內角和為，則二環(huán)四邊形的內角和為；二環(huán)五邊形的內角和為；二環(huán)n邊形的內角和為．【答案】360°720°1080°【分析】（1）結合題意，根據對頂角和三角形內角和的知識，得，再根據四邊形內角和的性質計算，即可得到答案；（2）連接，交于點M，根據三角形內角和和對頂角的知識，得；結合五邊形內角和性質，得；結合（1）的結論，根據數字規(guī)律的性質分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，交于點M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內角和為：∵二環(huán)三角形的內角和為：二環(huán)四邊形的內角和為：∴二環(huán)五邊形的內角和為：∴二環(huán)n邊形的內角和為：故答案為：，，．【點睛】本題考查了多邊形內角和、對頂角、數字規(guī)律的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角形內角和、多邊形內角和、數字規(guī)律的性質，從而完成求解．3．如圖，，，且，，則的度數為°．

【答案】【分析】設，，根據三角形內角和公式可求得，，推得，根據三角形內角和公式可求得，將代入即可求解．【詳解】解：設，，如圖：

∵，，在中，，在中，，又∵，∴，故，在中，，在中，，，將代入可得；故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．4．(1)如圖①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奧秘嗎？請用你學過的知識予以證明；(2)如圖②，設x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，運用(1)中的結論填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如圖③，一個六角星，其中∠BOD＝70°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）證明見解析.(2)180；180；180；(3)140【分析】（1）首先延長BO交AC于點D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根據∠BDC=∠A+∠B，判斷出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根據外角的性質，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據此解答即可．b、首先根據外角的性質，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據此解答即可．c、首先延長EA交CD于點F，EA和BC交于點G，然后根據外角的性質，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根據∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，據此解答即可．（3）根據∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，據此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數是多少即可．【詳解】(1)證明：如圖，延長BO交AC于點D，則∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180；(3)140【點睛】（1）此題主要考查了三角形的內角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的內角和是180°．（2）此題還考查了三角形的外角的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．角度之間的數量關系5．【問題背景】中，是角平分線，點E是邊上的一動點．【初步探索】如圖1，當點E與點A重合時，的平分線交于點O．（1）若，，則____________；（2）若，則___________；（用含m的代數式表示）

【變式拓展】當點E與點A不重合時，連接，設，．（1）如圖2，的平分線交于點O．①當，時，____________；②用、的代數式表示____________．（2）如圖3，的平分線與相交于點O，與的平分線所在的直線相交于點F（點F與點E不重合），直接寫出點F在不同位置時與之間的數量關系．（用含、的代數式表示）【答案】初步探索（1）55；（2）；變式拓展（1）①75；②；（2）或【分析】初步探索（1）根據角平分線的定義，得到、，再根據三角形外角的性質，即可求出的度數；（2）根據三角形內角和定理，得到，再根據角平分線的定義和三角形外角的性質，即可求出的度數；變式拓展（1）①延長、交于點G，根據三角形內角和定理，得到，，再根據角平分線的定義和三角形外角的性質，即可求出的度數；②同①理，即可表示出；（2）分兩種情況討論：點F在內部和點F在外部，利用角平分線的定義，三角形內角和定理以及三角形外角的性質分別求解，即可得到答案．【詳解】初步探索解：（1）中，是角平分線，點E是邊上的一動點．，平分，，，平分，，，故答案為：55；（2），，平分，平分，，，，故答案為：；變式拓展解：（1）①如圖，延長、交于點G，，，，，，，平分，平分，，，故答案為：75；

②，，，，，，平分，平分，，，故答案為：；（2）如圖，當點F在內部時，令于的交點為H，

，平分，，，，，，，平分，，，，平分，平分，，，，；如圖，當點F在外部時，令于的交點為K，

，平分，，，，，平分，，，，，，，綜上可知，與之間的數量關系或．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形外角的性質，理解題意，找出角度之間的數量關系是解題關鍵．6．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．

(1)如圖2，一束光線射到平面鏡上，被反射到平面鏡上，又被反射，若被反射出的光線（與光線平行，且，則_______°，______°；(2)如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線與鏡面的夾角，鏡面，的夾角，當光線經過平面鏡，，的三次反射后，入射光線與反射光線平行時，請求出的度數；(3)如圖4，在（2）的條件下，在，之間再照射一條光線，經過平面鏡，兩次反射后反射光線與交于點，請?zhí)骄颗c的數量關系．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據題中平面鏡反射角度之間的關系，結合的性質及三角形內角和定理即可得到答案；（2）過作，如圖所示，根據題中平面鏡反射角度之間的關系，結合的性質及三角形內角和定理即可得到答案；（3）根據題中平面鏡反射角度之間的關系，在（2）的基礎上，得出相關角度，再結合四邊形內角和、四邊形內角和，列方程組求解即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：

根據題意，，，，，，，，在中，由三角形內角和定理可得，故答案為：，；（2）解：過作，如圖所示：

，，，，，，，則，在中，，，則由三角形內角和定理可得，，則，；（3）解：如圖所示：

由（2）知，，，，由于一個四邊形可以分成兩個三角形，由三角形內角和定理可知，在四邊形中，，，，，則，，由于一個四邊形可以分成兩個三角形，由三角形內角和定理可知，在四邊形中，，，由與，代入已知角度有與，可得，，解得．【點睛】本題考查利用數學知識探尋平面鏡反射中角度關系，涉及平行線的性質、平面鏡反射角度關系、三角形內角和定理、四邊形內角和為及恒等變形等知識，讀懂題意，理解平面鏡反射角度之間的關系，數形結合，準確表示各個角之間的和差倍分關系是解決問題的關鍵．7．如圖，在平面直角坐標系中，點A為軸負半軸上一點，點為軸正半軸上一點，，，其中滿足關系式

(1)___________，___________；(2)如圖，若平分交于點，交于點，求證：；(3)如圖，若點、點分別在軸負半軸和正半軸上運動，的角平分線交軸于點，點在軸上，且，請補全圖形，探究的值的變化情況，并直接寫出結論（不要求寫出探究過程）．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析，【分析】（1）根據非負數的性質可得和的值，（2）根據角平分線的定義可得，再根據三角形的內角和定理可得，最后由對頂角相等和等量代換可得結論，（3）首先證明，推出，再證明，，即可解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，，故答案為：；（2）證明：如圖中，

平分，∴，，，∴，∴，∵，∴．（3）解：如圖，結論：；

理由：，，∴，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內角和定理，三角形的外角性質等知識，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．8．如圖直線與相交于點，點在射線上，點在射線上連接，的平分線與外角的平分線所在直線相交于點．(1)如圖①，若，求的度數；(2)若，則________(結果用含的代數表示)；(3)如圖②，若點是射線上一點，連接為的角平分線．①隨著點的移動，與存在什么樣的數量關系，__________________；②過點作交于點，則，，三個角之間的數量關系為．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據角平分線的定義可知，，再根據三角形外角的性質即可解答；（2）根據角平分線的定義，，再根據三角形外角的性質即可解答；（3）①根據角平分線的定義及三角形內角和定理可知，再根據三角形外角的性質即可解答；②根據角平分線的定義及平行線的性質可知，再根據三角形的內角和定理及三角形的外角的性質即可解答．【詳解】（1）解：∵分別是角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵分別是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①∵為的角平分線，∴，，∴，∴，∵，∴，∵分別是角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為；②∵，∴，，∴，∵為的角平分線，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵分別是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，三角形內角和定理，三角形的外角的性質，掌握角平分線的定義是解題的關鍵．定值問題9．已知（如圖1）在中，，平分，點在的延長線上，過點作于點，設，(1)當，時，求的度數；(2)試問與、之間存在著怎樣的數量關系，試用表示，并說明理由(3)若與平分線交于點（如圖2），當點在線上運動時，是否發(fā)生變化，若不變，請用表示；若變化，請說明理由【答案】(1)(2)(3)不會，【分析】（1）根據三角形的內角和求出，再根據角平分線的定義求出，從而得到，利用垂直的定義即可得到結果；（2）表示出，，得到，進一步可得結果；（3）設與交于，根據角平分線的定義得到，，根據三角形的內角和求出，最后利用角平分線的定義和三角形內角和即可求出，即可得到結果．【詳解】（1）解：，，，平分，，，，，；（2），，，，；（3）設與交于，平分，，平分，，，平分，，，故不會發(fā)生變化．【點睛】本題考查了三角形的內角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內角和是解題的關鍵．10．如圖1，在平面直角坐標系中，是x軸正半軸上一點，C是第四象限內一點，軸交y軸負半軸于，且．

(1)求點C的坐標．(2)如圖2，設D為線段上一動點，當時，的角平分線與的角平分線的反向延長線交于點P，求的度數；（點E在x軸的正半軸）(3)在（2）的基礎上，如果將“的角平分線與的角平分線的反向延長線交于點”條件改為“”，求的度數；（點E在x軸的正半軸）(4)如圖3，當點D在線段上運動時，作交于M點，、的平分線交于N點，則點D在運動過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)見解析【分析】（1）過點A作于點G，根據非負數的性質求出，，得出，，根據矩形性質得出，，求出，根據，得出，求出，得出，即可得出答案；（2）設，根據角平分線的定義得出，得出，求出，得出，求出，最后根據三角形內角和定理即可得出答案；（3）設，則，得出，根據，得出，求出，得出；（4）連接，設，，根據平行線的性質得出，即，求出，根據求出結果即可．【詳解】（1）解：過點A作于點G，如圖所示：

∵，∴，，解得：，，∴，，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∵，，∴，即，解得：，∴，∴點C的坐標為．（2）解：設，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴設，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（4）解：連接，如圖所示：

∵平分，平分，∴設，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了非負數的性質，坐標與圖形，角平分線的有關計算，平行線的性質，三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握非負數的性質，求出，．11．如圖1，在中，平分平分．

(1)若．①求的度數；②如圖2，過點P作直線，交邊于點D、E，則_______°；(2)若，小明將（1）中的直線繞點P旋轉，分別交線段于點D，E，如圖3，試問在旋轉過程中的度數是否會發(fā)生改變？若不