初中數(shù)學(xué)中考偏難壓軸題專項(二)

初中數(shù)學(xué)中考偏難壓軸題專項(3)

一、綜

題號總分

合題

得分

2、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線-2x+4分別交x軸、y軸于點B,C,正方形的頂點。在第二象限

內(nèi)，￡是灰:中點，OhDE于點F,連結(jié)OE.動點P在2。上從點A向終點。勻速運動，同時，動點Q在直線BC

評卷人得分一、綜合題上從某一點Q向終點Q勻速運動，它們同時到達終點.

(每空？分，共？分)

1、如圖，直線片-X+4與x軸j軸分別交于48兩點，過48兩點的拋物線y=aK+bx+c與x軸交于點C

求點的坐標(biāo)和的長

(-1,0).(1)8

n1

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點Q為(m,。)，當(dāng)飛尸時，求點Q的坐標(biāo).

(3)根據(jù)(2)的條件，當(dāng)點P運動到2。中點時，點Q恰好與點C重合.

(2)連接BC,若點E是線段4U上的一個動點(不與4U重合)，過點￡■作EF11BC,交于點F,當(dāng)用的面

積是時，求點￡的坐標(biāo)；

①延長/。交直線8c于點Q,當(dāng)點Q在線段QQ上時，設(shè)QiQ=s,/P=匕求s關(guān)于f的函數(shù)表達式.

(3)在(2)的結(jié)論下，將△8斤繞點尸旋轉(zhuǎn)180。得△8",試判斷點￡是否在拋物線上，并說明理由.

②當(dāng)PQ與&。配的一邊平行時,求所有滿足條件的/P的長.

3、如圖，在等腰RfZ8c中，4ACB=90°,AB=14、反，點。￡分別在邊AB.BC上,將線段ED繞點￡按逆時畫NMl8。于點M,NPlNM交力8于點P,PQ工8c于點Q,得到四邊形外Q4W.小波把線段8/V稱為"波利

針方向旋轉(zhuǎn)90°得到亞線”

(1)如圖1，若AD=BD,點E與點C重合，2尸與0c相交于點。.求證：80=200.(3)推理：證明圖2中的四邊形PQMN是正方形.

3,

(2)已知點G為/尸的中點.(4)拓展：在(2)的條件下，在射線82上截取NE=NM,連結(jié)EQ,EM［如圖3).當(dāng)tan/A/8例=1■時，猜想

的度數(shù)，并嘗試證明.

①如圖2,若47=8。，。=2,求。G的長.

請幫助小波解決"溫故"、"推理"、"拓展"中的問題.

②若AD=68。，是否存在點E,使得△。紇是直角三角形？若存在，求立■的長；若不存在，試說明理由.

圖3

5、如圖1,已知拋物線y=?/+bx+u過點4(1,0),8(?3,0).

4、小波在復(fù)習(xí)時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展.(1)求拋物線的解析式及其頂點C的坐標(biāo)；

(1)溫故：如圖1,在“跋中，ADI.BC于點D,正方形PQMN的邊QM在跋上，頂點P,/V分別在AB,AC(2)設(shè)點。是x軸上一點，當(dāng)tan(/C4O+/C。。)=4時，求點。的坐標(biāo)；

上，若80=6,,求正方形QQ例AZ的邊長.

(3)如圖2.拋物線與y軸交于點E.點P是該拋物線上位于第二象限的點，線段外交8E于點M,交y軸于點N,

(2)操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：如圖2,任意畫△/8U,△加尼和△￡/"/的面積分別為m、。，求m-。的最大值.

在48上任取一點P,畫正方形PQMN，使Q,〃在8U邊上，N在△力跋內(nèi)，連結(jié)8/V并延長交4C于點N,

A

6、箭頭四角形

模型規(guī)律

如圖1,延長。交力8于點。，則N8OU=/1+N8=/4+NU+/8.

7、如圖，拋物線%a*+6x+u的圖象過點4(-1,0)、8(3,0)、6(0.3).

因為凹四邊形48OC形似箭頭，其四角具有"/BOC=2A+/BsC這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做"箭頭四

角形”.(1)求拋物線的解析式；

模型應(yīng)用(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得的周長最小，若存在，請求出點P的坐標(biāo)及的周長；若

不存在，請說明理由；

(1)直接應(yīng)用:①如圖2,/4+/8+/U+/￡?+/6"=.

(3)在(2)的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M(不與U點重合)，使得邑PAM=SB若存在，請求

②如圖3"BE、的2等分綻即角平轆)BF、"交于點尸，已知/8叱=120°,z.BAC=50°,則/8叱=.

出點例的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

③如圖4,BOKC。分別為〃80、的2019等分線(7=1,2,3，…，2017,2018).它們的交點從上到

下依次為。、Q、Q、…、Qoi8.已知以C=〃°,則/8(9ioooC=度.

(2)拓展應(yīng)用：如圖5,在四邊形力8。中，BC=CD,￡BCD=2乙BAD.。是四邊形內(nèi)一點，且。1=08

=OD.求證：四邊形088是菱形.

8、如圖，拋物線與x軸交于8兩點，與y軸交于點U(0,-2),點力的坐標(biāo)是(2,0),P為拋物線上的一(2)如圖2,把“?！昀@點力順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點。落在28上時，連接,。，。的延長線交8E于點P,若BC

個動點，過點P作乃Ux軸于點D,交直線86?于點E,拋物線的對稱軸是直線x=-1.=6y,AD=3,求仆POE的面積.

10、如圖，四邊形是正方形，△辰?是等腰直角三角形，點￡在/8上，且/女尸=90°,FGJ_/。，垂足為點C.

(1)試判斷4G與的是否相等？并給出證明；

(2)若點H為?！龅闹悬c，GH與?！ù怪眴幔咳舸怪?給出證明；若不垂直，說明理由.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點P在第二象限內(nèi)，且PE=NOD,求△。跳的面積.

(3)在(2)的條件下，若例為直線8U上一點，在x軸的上方，是否存在點利使A8。例是以8。為腰的等腰三

角形？若存在，求出點用的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.11、若二次函數(shù)%a*+6x+c的圖象與x軸、y軸分別交于點/(3,0)、8(0,-2),且過點0(2,-2).

9、如圖，△H8U和△/￡?￡是有公共頂點的等腰直角三角形，/班C=，D4￡=90°.(1)求二次函數(shù)表達式；

(2)若點P為拋物線上第一象限內(nèi)的點,且S、PBA=A,求點P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上(48下方)是否存在點M,使/ABM?若存在，求出點例到y(tǒng)軸的距離;若不存在，請

說明理由.

(1)如圖1,連接BE.CD,跳的廷長線交/U于點F,交CD于點P,求證：BPA.CD;

⑵.若點心是位于直線工8上方拋物線上的一動點，以朋4"3為相鄰兩邊作平行四邊形當(dāng)平行四邊形

的面積最大時，求此時四邊形“的面積S及點M的坐標(biāo)；

17

y——

⑶.在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線4的距離,若存

在，求出定點F的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.

12、在平面直角坐標(biāo)系中，直線片x+2與"軸交于點4與y軸交于點B,拋物線y=a#+bx+c(a<0)經(jīng)過點4

14.⑴.如圖1,E是正方形4BCD邊力8上的一點，連接BZXDE,將NBQE繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。，旋轉(zhuǎn)

B.

后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G.

(1)求ab滿足的關(guān)系式及u的值.

①.線段。8和DG的數(shù)量關(guān)系是_;

(2)當(dāng)x<0時，若片a2+H+c(0)的函數(shù)值隨x的增大而增大，求a的取值范圍.

②.寫出線段BE、和DB之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖，當(dāng)-1時，在拋物線上是否存在點P,使△以8的面積為1?若存在，請求出符合條件的所有點P的

⑵.當(dāng)四邊形4BCD為菱形，N4DC=60°,點E是菱形4B8邊08所在直線上的一點，連接8nDE,將

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

N8QE繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G.

①.如圖2,點E在線段上時，請?zhí)骄烤€段BE、和BD之間的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并給出證明；

13、如圖，已知直線48與拋物線C：y=?/+2x+c相交于和點以2,3)兩點

⑴.求拋物線C的函數(shù)表達式；

②.如圖3，點E在線段AB的延長線上時,DE交

射線BC于點膽；若3￡'=[,05=2,直接寫出線段0河的長度.

15、如圖，在平面直角坐標(biāo)系到中，。為坐標(biāo)原點，點4(4,0)，點8(0,4),必8。的中線?與y軸交于

點C,且?！敖?jīng)過。，4C三點.

(1)求圓心〃的坐標(biāo)；

(2)若直線4。與O股相切于點A,交y軸于點D,求直線力。的函數(shù)表達式；

(3)在過點8且以圓心”為頂點的拋物線上有一動點P,過點。作PEWy軸,交直線4。于點E.若以所為半徑的

。戶與直線4。相交于另一點F.當(dāng)￡戶=4代時,求點戶的坐標(biāo).

16、如圖，拋物線片-*+初什c與x軸交于48兩點(2在8的左側(cè))，與y軸交于點/V,過力點的直線/:y

=kx+n與y軸交于點C,與拋物線y=-2+6r+u的另一個交點為。，已知/(-1,0),。(5,-6),P點為

拋物線y=-M+bx+c上一動點(不與4。重合).

(1)求拋物線和直線/的解析式；

(2)當(dāng)點P在直線/上方的拋物線上時,過P點作'IIx軸交直線/于點號作PF\\y軸交直線/于點F,求PE+PF

(1)求拋物線的解析式和A.8兩點的坐標(biāo)；

的最大值；

(2)如圖1,若點戶是拋物線上B、U兩點之間的一個動點(不與B、C重合)，是否存在點P,使四邊形PBOC的

(3)設(shè)例為直線/上的點，探究是否存在點M,使得以點MC,M、0為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，

面積最大？若存在，求點P的坐標(biāo)及四邊形P8OU面積的最大值；若不存在，請說明理由；

求出點例的坐標(biāo)；若不存在，清說明理由.

(3)如圖2,若點例是拋物線上任意一點，過點例作y軸的平行線，交直線8C于點N,當(dāng)MN=3時，求點例的

坐標(biāo).

18、如圖，拋物線y=d*+6x+c與x軸交于點4(-1,0),點8(-3,0)，且08=00.

(1)求拋物線的解析式；

3

17、已知拋物線y=a^+lx+4的對稱軸是直線*=3,與x軸相交于A,8兩點(點8在點2右側(cè))，與y軸交于

(2)點P在拋物線上，且乙POB=^ACB,求點P的坐標(biāo)；

點C.

(3)拋物線上兩點M,N,氤例的橫坐標(biāo)為m,點/V的橫坐標(biāo)為m+4.點。是拋物線上M,/V之間的動點，過

點。作y軸的平彳送交MN于氤E.

①求。￡的最大值；

②點。關(guān)于點E的對稱點為F,當(dāng)m為何值時，四邊形M0/V尸為矩形.

20、已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線,1分別交x軸和y軸于點A(-3,0),B(0,3)

(1)如圖1,已知圓P經(jīng)過點O,且與直線4相切點B,求圓P的直徑長;

(2)如圖2,已知直線4:丁=3五一3分另(］交x軸和y軸于點C和點D,點Q是直線4上的一個動點，以Q為圓心，

272為半徑畫圓.

19、如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，點A,C分別在x軸和y軸的正半軸上，連結(jié)AC,

①當(dāng)點Q與點C重合時，求證：直線"與圓Q相切；

tanZ.OAC=

0A=3,3,口是K的中點.

②設(shè)圓Q與直線乙相交于M,N兩點，連結(jié)QM,QN，問：是否存在這樣的點Q,使得&QMN是等腰直角三角形,若

(1)求0C的長和點D的坐標(biāo)；存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

2

(2)如圖2,M是線段0C上的點，0M二弓0。點P是線段0M上的一個動點，經(jīng)過P,D,B三點的拋物線交x

軸的正半軸于點E,連結(jié)ED交AB于點F.

①將△DBF沿DE所在的直線翻折，若點B恰好落在AC上，求此時BF的長和點E的坐標(biāo).

②以線段DF為邊，在DF所在直線的右上方作等邊GDFG,當(dāng)動點P從點0運動到點M時，點G也隨之運動，請直

接寫出點G運動的路徑的長.

21、已知：如圖，在四邊形/紀(jì)。中，ABWCD,^.ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm.垂直平分/C.點P

從點8出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s;同時，點Q從點。出發(fā)，沿OU方向勻速運動，速度為Icm/s;

當(dāng)一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點P作PE工AB,交8C于點E,過點Q作Q&/U,分別交AD,OD

于點F.G.連接OP,EG.設(shè)運動時間為r(5)(0<f<5),解答下列問題：

圖I圖2

CM24IS

(1)當(dāng)1為何值時，點￡在/外仁的平分線上？

(2)設(shè)四邊形PEG。的面積為5(cm2),求5與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使四邊形4G。的面積最大？若存在，求出才的值；若不存在，請說明理

由；

(4)連接。巳OQ,在運動過程中，是否存在某一時刻匕使。￡1OQ?若存在，求出f的值；若不存在，請說明

理由.

1_

23、如圖，二次函數(shù)y=-巨*+6*+《的圖象過原點，與x軸的另一個交點為(8,0)

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)在x軸上方作x軸的平行線yi=m,交二次函數(shù)圖象于48兩點，過48兩點分別作x軸的垂線，垂足分別

為點6點C.當(dāng)矩形48。為正方形時，求6的值；

22、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線片/+bx+u與x軸交于點4(-2,0)，點8(4,0),與y軸交于點(3)在(2)的條件下，動點P從點4出發(fā)沿射線28以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同的速度從

50,8)，連接8c又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動直線/,沿x軸正方向從O運動到8(不含。點和B點工出發(fā)沿線段2。勻速運動，到達點。時立即原速返回，當(dāng)動點Q返回到點4時，尺Q兩點同時停止運動，設(shè)

點)，且分別交拋物線、線段8c以及*軸于點P,D,E.運動時間為f秒(1>0).過點P向x軸作垂線，交拋物線于點巳交直線/U于點尸，問：以4E、F、Q四點為頂

點構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形.若能，請求出f的值；若不能，請說明理由.

(1)求拋物線的表達式；

(2)連接AC,AP,當(dāng)直線/運動時，求使得△陽I和“OU相似的點P的坐標(biāo)；

(3)作PF±BC,垂足為F,當(dāng)直線/運動時,求RtA外。面積的最大值.

24、如圖1,已知。。夕?點P向。。作切線外，點2為切點，連接夕。并延長交。。于點B,連接工。并延長交①求力關(guān)于0的函數(shù)解析式,并寫出自變量6的取值范圍；

。。于點U,過點C作CD±PB,分別交回于點段交0。于點。，連接.

②當(dāng)h=9時，直接寫出48。的面積.

(1)求證：5POiDCA;

（2）如圖2,當(dāng)力。=4?時

①求/P的度數(shù)；

PQ

②連接AB,在OO上是否存在點Q使得四邊形4PQ8是菱形.若存在，請直接寫出CQ的值；若不存在，請說明理

（第26題）

26、已知二次函數(shù)y=-H+c且a=b,若一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)的圖像交于點A（2,0）.

Q）寫出一次函數(shù)的解析式,并求出二欠函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)；

⑵當(dāng)a>（:時，求證：直線y=kx+4與拋物線丁=一"+'一定還有另一個異于點A的交點；

25、如圖，拋物線『=（"1）’+"與*軸相交于48兩點（點/在點8的左側(cè)），與y軸相交于點0（0,-3）.P

⑶當(dāng)c<a4+3時，求出直線y=kx+4與拋物線V=白，-'一定還有另一個異于點B的坐標(biāo)；記拋物線頂點為

為拋物線上一點，橫坐標(biāo)為6,且m>0.

25

M,拋物線對稱軸與直線y=kx+4芙蓉交點為N.設(shè)9"，寫出S關(guān)于a的函數(shù)，并判斷S是否有

⑴求此拋物線的解析式；

最大值，如果有，求出最大值，如果沒有，請說明理由.

⑵當(dāng)點?位于x軸下方時，求4/8。面積的最大值；

x2+12x[x2+1

27、以下四個命題①用換元法解分式方程xr+1時，如果設(shè)x，那么可以將原式方程化為關(guān)

⑶設(shè)此拋物線在點C與點P之間部分（含點U和點P）最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為h.

于y的整式方程/+丁-2=0；②如果半徑為「的圓的內(nèi)接正五邊形邊長為a,那么a=2rcos54。；③有一個圓錐，

4

與底面圓直徑是且體積為三的圓柱等高，如果這個圓錐的側(cè)面積展開圖是半圓,那么它的母線長為弓;④二

次函數(shù)y="/-2ax+l,自變量的兩個值和々，對應(yīng)的函數(shù)值分別為必，必，若1々-1|>1勺-1|,則

>°,其中正確的命題的個數(shù)為

A.1個B.2個C.3個D.4個

28、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線片a"bx+2(dMO)與x軸交于/(?1,0),8(3,0)兩點，與

y軸交于點C連接8U.29、學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機器人開展數(shù)學(xué)活動.

(1)求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；在相距150個單位長度的直線跑道ABk,機器人甲從端點4出發(fā)，勻速往返于端點48之間，機器人乙同時從端

點8出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點8、/之間.他們到達端點后立即轉(zhuǎn)身折返,用時忽略不計.

(2)點。為拋物線對稱軸上一點，連接CD、3D,若iDCB=￡CBD,求點。的坐標(biāo)；

興趣小組成員探究這兩個機器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇"包括面對面相遇、在端點處相遇這兩種.

(3)已知尸(1,1),若E(x,y)是拋物線上一個動點(其中l(wèi)<x<2),連接任CF、〃，求面積的最

大值及此時點￡的坐標(biāo).【觀察】

(4)若點/V為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M,使得以B.C.M./V為頂點的四邊形是平行四邊形？①觀察圖1,若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為30個單位長度，則他們第二次迎面

若存在，請直接寫出所有滿足條件的點例的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.相遇時，相遇地點與點力之間的距離為個單位長度；

②若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為40個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相

遇地點與點力之間的距離為個單位長度；

【發(fā)現(xiàn)】

設(shè)這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點2之間的距離為x個單位長度，他們第二次迎面相遇時，相遇地點

與點力之間的距離為y個單位長度.興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與*的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象(線段。夕，不

包括點。，如圖2所示).

(Da=;

②分別求出各部分圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式，并在圖2中補全函數(shù)圖象；

【拓展】

設(shè)這兩個機器人第一次迎面相遇時,相遇地點與點力之間的距離為x個單位長度，他們第三次迎面相遇時，相遇地點

與點力之間的距離為y個單位長度.

若這兩個機器人第三次迎面相遇時，相遇地點與點力之間的距離y不超過60個單位長度，則他們第一次迎面相遇時，

相遇地點與點4之間的距離x的取值范圍是.(直接寫出結(jié)果)

30、特例感知

(1)如圖1,對于拋物線/二-*-x+1,乂=-M-2x+l,匕=-*-3*+1,下列結(jié)論正確的序號是